Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie élémentaire, article 1

Inscription et circonscription au cercle d’un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue ; par M. Gérono.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 26-29).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes de géométrie,
énoncés à la page 244 du précédent volume ;

Par M. C. C. Gerono.

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PROBLÈME. À un cercle donné inscrire ou circonscrire un triangle, dont les trois côtés forment une proportion continue, par différence ou par quotient, dont la raison soit donnée ?

Cet énoncé renferme évidemment quatre problèmes que nous allons traiter successivement.

I. Triangle inscrit.

Soit $R$ le rayon d’un cercle auquel on propose d’inscrire un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue. Soient $x,y,z$ les trois côtés du triangle, en désignant par $T$ l’aire de ce triangle, on aura

$16T^{2}=(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\,;$

mais d’un autre côté on sait que

$R={\frac {xyz}{4T}},\quad$d’où$\quad 16T^{2}R^{2}=x^{2}y^{2}z^{2}\,;$

donc en substituant

$R^{2}(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)=x^{2}y^{2}z^{2}.\qquad$(1)

Cela posé, 1.^o si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par $d$ la raison donnée de cette progression, on aura

$x=y-d,\qquad z=y+d\,;$

ce qui donnera, en substituant et réduisant,

$3R^{2}\left(y^{2}-4d^{2}\right)=\left(y^{2}-d^{2}\right)\,;$

ou bien

$y^{4}-\left(2d^{2}+3R^{2}\right)y^{2}+d^{2}\left(d^{2}+12R^{2}\right)=0\,;$

d’où l’on voit que, si le problème est possible, il admettra deux solutions. On tire de là

$y={\sqrt {\frac {2d^{2}+3R^{2}\pm 3R{\sqrt {R^{2}-4d^{2}}}}{2}}}\,;$

de sorte que le problème ne sera possible qu’autant que la raison $d$ n’excédera pas la moitié du rayon du cercle donné.

Le côté $y$ étant déterminé par cette formule facile à construire, on en conclura $x=y-d$ et $z=y+d\,;$ et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

2.^o Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens, en désignant par $q$ la raison donnée de cette progression, on aura

$x={\frac {y}{q}},\qquad z=qy$

ce qui donnera, en substituant dans l’équation (1) et réduisant

$R^{2}\left(1+q+q^{2}\right)\left(1+q-q^{2}\right)\left(1+q^{2}-q\right)\left(q^{2}+q-1\right)=q^{4}y^{4},$

d’où

$y={\frac {R}{q^{2}}}{\sqrt {\left(1+q+q^{2}\right)\left(1+q-q^{2}\right)\left(1+q^{2}-q\right)\left(q^{2}+q-1\right)}}\,;$

d’où l’on voit que le problème est toujours possible, et n’admet qu’une solution unique.

De la valeur de $y,$ on conclura celles de $x={\frac {y}{q}}$ et de $z=qy\,;$ et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

II. Triangle circonscrit.

Soit $r$ le rayon d’un cercle, auquel on propose de circonscrire un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue. Soient $x,y,z$ les trois côtés du triangle ; en désignant par $T,$ comme ci-dessus, l’aire de ce triangle, on aura

$16T^{2}=(x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\,;$

mais, d’un autre côté on sait que

$2T=r(x+y+z)\quad$d’où$\quad 4T^{2}=r^{2}(x+y+z)^{2}$

donc, en substituant

$4r^{2}(x+y+z)=(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z).\qquad$(2)

Cela posé, 1.^o si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par $d$ la raison donnée de cette progression, on aura

$x=y-d,\qquad z=y+d\,;$

ce qui donnera, en substituant et réduisant

$12r^{2}=(y+2d)(y-2d)=y^{2}-4d^{2}$

et par suite

$y=2{\sqrt {d^{2}+3r^{2}}}\,;$

quantité facile à construire, si l’on remarque que $3r^{2}$ est le quarré de la corde du tiers de la circonférence. On voit que le problème, toujours possible, n’admet qu’une solution unique.

De la valeur de $y$ on conclura celles de $x=y-d$ et de $z=y+d\,;$ et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

2.^o Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens ; en désignant par $q$ la raison de cette progression, on aura

$x={\frac {y}{q}},\qquad z=qy,$

ce qui donnera, en substituant dans (2) et réduisant,

$4q^{2}r^{2}\left(1+q+q^{2}\right)=\left(1+q-q^{2}\right)\left(1+q^{2}-q\right)\left(q^{2}+q-1\right)y^{2}\,;$

et conséquemment

$y=2qr{\sqrt {\frac {\left(1+q+q^{2}\right)}{\left(1+q-q^{2}\right)\left(1+q^{2}-q\right)\left(q^{2}+q-1\right)}}}.$

On voit que le problème, toujours possible, n’admet qu’une solution unique.

De la valeur de $y,$ on conclura celles de $x={\frac {y}{q}}$ et de $z=qy\,;$ et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.