Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie élémentaire, article 5

Solution d’un problème de minimum ; par un Abonné.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 117-120).

Solution du problème de géométrie énoncé à la page 368
du XV.^e volume du présent recueil ;

Par un Abonné.

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PROBLÈME. On donne l’une des faces latérales d’un trône de prisme triangulaire, la longueur de l’arête latérale opposée, la section du tronc par un plan perpendiculaire à ses arêtes latérales, et par suite le volume du tronc ; et l’on demande quelle doit être la situation de l’arête latérale donnée de longueur, par rapport à la face latérale opposée, pour que la somme des aires des deux bases du tronc soit un minimum ?

Solution. Soient $\mathrm {ABB'A'}$ la face latérale donnée et $\mathrm {CC'}$ la projection orthogonale, sur le plan de cette face, de l’arête latérale opposée, dans la situation qui convient au minimum de la somme des aires des deux bases ; en menant $\mathrm {CA,CB,C'A',C'B',}$ les deux triangles $\mathrm {ACB,A'C'B'}$ seront les projections des bases sur le même plan. Soient $\mathrm {D,D'}$ les points où la direction $\mathrm {CC'}$ rencontre les côtés $\mathrm {AB,A'B'}$

de ces bases ; puisqu’on connaît la section perpendiculaire aux arêtes latérales du tronc, il s’ensuit que, bien que les points $\mathrm {C,C'}$ soient inconnus, on connaît néanmoins la droite $\mathrm {DD'}$ ainsi que sa distance à l’arête latérale dont elle est la projection ; et, comme les longueurs $\mathrm {CC'}$ et $\mathrm {DD'}$ sont connues, il s’ensuit qu’on connaît aussi la somme $\mathrm {CD+C'D'=DD'-CC'.}$

Prolongeons les côtés non parallèles $\mathrm {AB,A'B',}$ jusqu’à ce qu’ils se rencontrent en $\mathrm {E.}$ De ce point $\mathrm {E} ,$ abaissons une perpendiculaire $\mathrm {EG}$ sur $\mathrm {DD'} \,;$ divisons en outre l’angle $\mathrm {DED'}$ en deux parties égales, par une droite qui rencontre $\mathrm {DD'}$ en $\mathrm {F} \,;$ imaginons enfin des points inconnus $\mathrm {C,C'}$ des perpendiculaires $\mathrm {CH,C'H'}$ sur $\mathrm {AB,A'B'.}$

Cela posé, il a déjà été démontré (Annales, tom. XIII, pag. 137) que, pour que la somme des aires des bases du tronc fût un minimum, il fallait que l’arête dont la projection est $\mathrm {CC'}$ fût tellement située, que les plans de ces bases fussent également inclinés sur le plan de la face latérale opposée $\mathrm {ABB'A'} \,;$ ce qui se réduit évidemment à faire en sorte que les perpendiculaires $\mathrm {CH,C'H'}$ soient de même longueur. Il s’agit donc de savoir de quelle manière il faudra placer les points $\mathrm {C,C'}$ ou seulement l’un d’eux sur $\mathrm {DD',}$ pour que cette condition soit remplie.

Les triangles rectangles semblables $\mathrm {DGE,DHC,}$ d’une part, et les triangles rectangles semblables $\mathrm {D'GE,D'H'C',}$ d’une autre, donnent

$\mathrm {DE:CD::EG:CH={\frac {CD\times EG}{DE}}} ,$

$\mathrm {D'E:C'D'::EG:C'H'={\frac {C'D'\times EG}{D'E}}} \,;$

puis donc qu’on doit avoir $\mathrm {CH=C'H'} ,$ on aura, en supprimant le facteur commun $\mathrm {EG,}$

$\mathrm {{\frac {CD}{DE}}={\frac {C'D'}{DE}}} ,$

c’est-à-dire,

$\mathrm {CD:CD'::DE:D'E} .$

Mais, parce que la droite $\mathrm {EF}$ divise l’angle $\mathrm {DED'}$ en deux parties égales, on a

$\mathrm {DE:D'E::DF:D'F} \,;$

donc, à cause du rapport commun,

$\mathrm {DF:D'F::CD:C'D'}$

d’où

$\mathrm {DF+D'F:CD+C'D'::DF:CD} \,;$

c’est-à-dire,

$\mathrm {DD':DD'-CC'::DF:CD} \,;$

ce qui fournit fa construction suivante :

Soient portés $\mathrm {DD'}$ sur $\mathrm {DE,}$ de $\mathrm {D}$ en $\mathrm {K} ,$ et $\mathrm {CC'}$ sur $\mathrm {KD}$ de $\mathrm {K}$ en $\mathrm {L} \,;$ soit menée $\mathrm {KF,}$ et, par le point $\mathrm {L} ,$ soit menée une parallèle à cette droite ; cette parallèle rencontrera $\mathrm {DD'}$ au point inconnu $\mathrm {C} \,;$ de sorte qu’on aura alors tout ce qui est nécessaire pour construire le tronc de prisme.