Astronomie populaire (Arago)/I/03

François Arago

Astronomie populaire (Arago)

GIDE et J. BAUDRY, 1854 (Tome 1, p. 6-9).

CHAPITRE III

de l’usage du cercle

Les anciens regardaient le cercle comme la plus noble des courbes. C’était donc, d’après eux, suivant des cercles que devaient s’opérer tous les mouvements célestes.

Cette conception malheureuse jeta les Grecs dans des systèmes d’une extrême complication, qui s’écroulèrent avec fracas et sans retour dès que l’astronomie se fut enrichie d’un certain nombre d’observations précises. Le cercle n’en joue pas moins un rôle très-important au milieu des combinaisons artificielles que l’intelligence humaine a dû créer pour ne pas se perdre au milieu du dédale de mouvements de toutes sortes que les astres éprouvent.

Tout diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux parties égales. Si une des extrémités du diamètre passe par le zéro de la division d’un cercle gradué, l’autre extrémité aboutira à ${\tfrac {360^{\circ }}{2}}$ ou au 180^e degré. Si l’extrémité d’un diamètre passe par la division qui termine le 90^e degré, l’autre extrémité aboutira au 270^e puisque les deux extrémités d’un diamètre doivent toujours être éloignées de 180°, et ainsi de suite.

C’est un principe important et dont les applications sont très-fécondes, que celui qu’on démontre dans tous les traités de géométrie et qui peut être énoncé ainsi : les circonférences de cercles sont proportionnelles à leurs rayons. Il faut comprendre par cet énoncé, que si après avoir enroulé un fil autour d’une circonférence de cercle d’un rayon égal à 1, le fil aurait le double de longueur si on l’enroulait sur une circonférence, de rayon double ; que la longueur du fil développée serait triple si le rayon était triple, et ainsi de suite. La proportion est vraie, non seulement quand il s’agit de rapports simples comme ceux que nous venons de citer, mais encore à l’égard de circonférences de cercle dont les rayons seraient entre eux dans un rapport quelconque. Ainsi, à des cercles successifs dont les rayons seraient $1,\ 1+{\tfrac {1}{10^{e}}},\ 1+{\tfrac {1}{100^{e}}},\ 1+{\tfrac {1}{1,000^{e}}},$ etc., correspondraient des circonférences dont la seconde aurait ${\tfrac {1}{10^{e}}}$ de plus que la première, la troisième ${\tfrac {1}{100^{e}}}$, la quatrième ${\tfrac {1}{1,000^{e}}}$ etc., toujours de plus que cette première d’un rayon égal à 1.

Il faut mettre soigneusement ces résultats en réserve, car nous en ferons bientôt d’utiles applications.

Supposons que d’un même point C comme centre (fig. 1), on décrive des circonférences de cercle avec des rayons différents CA, CB, CD, CE, ces circonférences de cercle seront dites concentriques. Admettons qu’une de ces circonférences, la plus petite de toutes, soit divisée en 360 parties égales ou en 360 degrés ; menons du centre commun de ces cercles à chacune des 360 divisions du plus petit, des rayons ; ces rayons prolongés jusqu’à la seconde, à la troisième, à la quatrième circonférence, les partageront en parties égales entre elles dans chaque circonférence, ou en degrés.

Puisque les circonférences entières sont proportionnelles aux rayons, les 360^es parties de ces circonférences ou leurs degrés seront dans le même rapport.

Cela veut dire que le développement rectiligne de l’arc d’un degré pris sur une circonférence d’un rayon double, est double du développement rectiligne d’un degré pris sur une circonférence de rayon simple.

De même, le développement rectiligne de l’arc d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1 étant donné, le développement rectiligne d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à $1+{\tfrac {1}{100^{e}}}$, sera de ${\tfrac {1}{100^{e}}}$ plus grand, et ainsi de suite, quel que soit le rapport des rayons.

Fig. 1. — Division du cercle en degrés.

Nous avons supposé les cercles concentriques afin que ces propositions diverses parussent évidentes d’elles mêmes, mais il est clair que ces propositions auraient la même vérité, quels que fussent les lieux où les cercles, satisfaisant aux conditions précédentes, seraient tracés. Seulement quand les cercles sont concentriques, il suffit que l’un d’entre eux, le plus petit par exemple, ait été exactement divisé en degrés pour qu’on puisse, en prolongeant les divers rayons jusqu’aux autres circonférences, les partager également en degrés.

La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite.

Cette coïncidence presque parfaite d’un arc de cercle et d’une ligne droite s’étend jusqu’à l’arc de 1°. La ligne droite qui coïncide ainsi sur une petite étendue avec un arc de cercle est appelée une tangente.