Des théorèmes mécaniques (trad. Reinach)/Théorème VI
(Théorème VI).
Tout hémisphère a pour centre de gravité un point situé sur son axe et dont les distances au sommet et à la base sont dans le rapport de 5 à 3.
Soit une sphère et un plan passant par son centre qui la coupe suivant le cercle ΑΒΓΔ (fig. 8). Traçons dans le cercle deux diamètres rectangulaires ΑΓ, ΒΔ. Par ΒΔ menons un plan perpendiculaire à ΑΓ, et considérons le cône ayant pour base le cercle de diamètre ΒΔ (dans un plan perpendiculaire à ΑΓ), pour sommet Α, pour côtés ΑΒ, ΑΔ. Prolongeons ΑΓ d’une longueur ΑΘ = ΑΓ et considérons ΘΓ comme un levier ayant pour milieu fixe Α.
Dans le demi-cercle ΒΑΔ, menons une parallèle 
Fig. 8. quelconque ΞΟ à ΒΔ. Elle coupera la circonférence du demi-cercle en Ξ, Ο, le cône en Π, Ρ, l’axe ΑΓ en Ε. Par ΞΟ faisons passer un plan perpendiculaire ΑΓ. Il coupera l’hémisphère suivant le cercle ΞΟ, le cône suivant le cercle ΠΡ. On a :
(1) |
ΑΓΑΕ = (ΑΓ.ΑΕΑΕ² =) ΑΞ²ΑΕ². |
Mais ΑΞ² = ΑΕ² + ΕΞ², ΑΕ² = ΕΠ². Substituant, il vient :
(2) |
ΑΓΑΕ = ΕΠ² + ΕΞ²ΕΠ² = cercle ΠΡ + cercle ΞΟcercle ΠΡ, |
et, comme ΑΓ = ΑΘ,
(3) |
ΑΘΑΕ = cercle ΞΟ + cercle ΠΡcercle ΠΡ. |
Les cercles ΞΟ et ΠΡ ont pour centre de gravité Ε. Si donc on suppose ces deux cercles en place, et le cercle ΠΡ seul transporté en Θ comme centre de gravité, les distances ΑΘ, ΑΕ des centres au point fixe étant inversement proportionnelles aux surfaces représentées, il en résulte que les deux cercles feront équilibre, par rapport au point Α, au cercle ΠΡ transporté en Θ.
[Le même raisonnement s’appliquant à toutes les autres positions de la parallèle, en additionnant tous les cercles pareils, on voit que le cône et l’hémisphère restant en place équilibreront, par rapport au point Α, le cône seul transporté en Θ.
Considérons maintenant, suspendu en Θ, un cylindre ΜΝ équivalent au cône ΑΒΔ et divisons-le par un plan horizontal en deux cylindres partiels dont l’un Μ équilibre le cône par rapport à Α : alors l’autre cylindre partiel Ν équilibrera l’hémisphère. Soit maintenant sur ΑΗ le point Φ tel que ΑΦ = 3 ΦΗ : Φ sera le centre de gravité du cône (lemme VIII). Je prends sur ΑΗ le point Χ tel que ΑΧΧΗ = 53, ou, ce qui revient au même, ΑΗΑΧ = 85 : je dis que Χ est le centre de gravité de l’hémisphère.
En effet, puisque le cylindre Μ (centre de gravité Θ) équilibre par rapport à Α le cône ΑΒΔ (centre de gravité Φ), on a :
Comme : vol. cône ΑΒΔ = vol. cyl. ΜΝ, on a :
ou encore :
(1) |
cône ΑΒΔcyl. Ν = 85, c’est-à-dire = ΑΗΑΧ. |
D’autre part, on a (Théorème II) :
(2) |
hémisphèrecône ΑΒΔ = 21, = ΑΘΑΗ. |
Multipliant membre à membre (1) et (2), il vient :
Mais le cylindre Ν a pour centre de gravité Θ ; il équilibre d’ailleurs — on l’a vu plus haut — l’hémisphère par rapport au point Α : donc nécessairement Χ est le centre de gravité de l’hémisphère[1].]
- ↑ J’ai suivi, pour suppléer cette démonstration, l’analogie du théorème VIII et les indications de la figure ; mais on pourrait arriver au même résultat par une méthode plus rationnelle, sans supposer le problème résolu. Puisque hémisph. + cône (en place) équilibrent par rapport à Α le cône (en Θ), le centre de gravité Ω du système « hémisph. + cône » doit satisfaire à l’égalité :
hémisph. + cônecône = ΑΘΑΩ,
et, comme hémisph. = 2 cônes, il en résulte ΑΘ = 3 ΑΩ : le point Ω est donc au tiers du diamètre (ou aux 2/3 du rayon) à partir de Α. Le centre de gravité du cône (lemme VIII) est en Φ, aux 3/4 de ΑΗ. Donc le centre de gravité de l’hémisphère seul — différence du système et du cône — est (d’après lemme I), sur ΦΩ prolongé dans le sens de Ω, en un point Χ tel que :
ΧΩΩΦ = cônehémisph. = 12,en d’autres termes, à une distance de Ω moitié moindre (et de sens contraire) que celle de Φ. Calculons ΑΧ. On a ΩΦ = ΑΦ − ΑΩ = 34 ΑΗ − 23 ΑΗ = 112 ΑΗ ; donc ΧΩ = 124 ΑΗ et ΑΧ = ΑΩ − ΧΩ = 23 ΑΗ − 124 ΑΗ = 1524 ΑΗ = 58 ΑΗ. C. q. f. d.