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Le développement du §227 semble incorrect, dans la mesure où, pour tout $k>0$

${\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}-x^{2}\right)\cos kx\,dx={\frac {1}{k}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\sin {\frac {k\pi }{2}}-C_{2}\\C_{2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x^{2}\cos kx\,dx\quad \qquad \qquad ={\frac {1}{k}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\sin {\frac {k\pi }{2}}-{\frac {2}{k}}S_{1}\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad I&={\frac {2}{k}}S_{1}\quad \mathrm {avec} \quad S_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\sin kx\,dx=-{\frac {1}{k}}{\frac {\pi }{2}}\cos {\frac {k\pi }{2}}+{\frac {1}{k^{2}}}\sin {\frac {k\pi }{2}}\\\mathrm {soit} \quad I&=-{\frac {\pi }{k^{2}}}\cos {\frac {k\pi }{2}}+{\frac {2}{k^{3}}}\sin {\frac {k\pi }{2}}\\\end{aligned}}$

et donc finalement la dernière équation devrait s'écrire:

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\varphi x={\frac {1}{2.3}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}&+{\frac {2}{\pi }}\left\{{\frac {\cos .x}{1^{3}}}-{\frac {\cos .3x}{3^{3}}}+{\frac {\cos .5x}{5^{3}}}-{\frac {\cos .7x}{7^{3}}}+\mathrm {etc.} \right\}\\&+\qquad {\frac {\cos .2x}{2^{2}}}-{\frac {\cos .4x}{4^{2}}}+{\frac {\cos .6x}{6^{2}}}-\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

(chacune des 2 séries est alternée) --F0x1 (d) 6 janvier 2020 à 16:10 (UTC)