Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 3

Euclide

Les Éléments - Livre 2

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 136-137).

ΠΡΟΤΑΣῚΣ γ.	PROPOSITIO III.
Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ ὡς ἔτυχεϊ, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ενὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἔσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὑρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρη- μένου τμήματος τετραγῶνῳ.	Si recta linea secetur utcunque, ipsum sub totà et uno segmentorum contentum rectangu- lum æquale est et ips : sub segmentis contento rectangulo, et ipsi ex prædicio segmento qua- drato.
Εὐθεῖα γάρ ἡ ΑΒ τετμήσθω ὡς ἔτυχε κατὰ τὸ Γ 2 λέγω ὅτι τὰ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ’περιςχὄ- περιεχόμεένῳ ορθογωνίῷ. μετῶ τὸοὺ ἀπὸ τῆς" ἘΓ τετραγὧνου.	Recta enim AB secetur utcunque in Iʼ ; dico ipsum sub AB, BrIʼ contentum rectangulum aequale esse ipsi sub AT, TʼB contento rectan- gulo, cum ipso ex BI" quadrato.
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΤΒ τετρώγωγον τὸ τοῦυ Α οποτερᾷ τῶν ΓΔ, BE παραίλλπλος ῆχθω η ΑΖ.	Describatur enim ex IʼB quadratum TʼAEB, et producatur EA in Z, et per A alterutri ipsa- rum ΓΔ, BE parallela ducatur AZ.

1σὸν δῇ στὶ πτὸ ΔῈ τοῖς ΑΔ, ΓῈ" καὶ ἔστι τὸ μὲν ΑῈ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὄρθο-- γῶνιον. , περίεχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ. ἰσὴ δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΒΓ’ τὸ δὲ ΑΔ τὸ" ὑπὸ τῶν ΑΤ. ΓΒ. ἴσῃ γὰρ ἡ ΔΙ τῇ ΤΒʼ τὸ δ᾽ ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον" τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΓ περιε : - χύμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΤΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. κατὼ τοῦ ἀπὸ τῆς ΤΒ τετραγωγου. Ἐαν ἀρὰ εὐθεῖα. καὶ τὰ εξὴς.

Æquale utique est AE ipsis AA, TE ; et est quidem AE ipsum sub AB, BIʼ contentum rec- tangulum, contiuetur etenim sub AB, BE, equalis autem. BE ipsi BT ; AA vero ipsum sub AT, PB, equalis enim APʼ ipsi TB ; AB autem ex IʼB est quadratum ; ipsum igitur sub AB, BT contertum rectangulum æquale est ipsi sub AT, TB contento rectangulo, cum ipso ex TB quadrato. Si Igitur recta, etc.

PROPOSITION III.

Si une ligne droite est coupée à volonté, le rectangle contenu sous la droite entière et l’un des segments, est égal au rectangle contenu sous les segments et au quarré du segment premièrement dit. Que la droite AB soit coupée à volonté au point Γ ; je dis que le rectangle contenu sous 4B, Br est égal au rectangle contenu sous AΓ, ΓB, avec le quarré de BΓ.

Avec ΓB décrivons le quarré ΓAEB (46. 1) , prolongeons E4 en Z, et par le point A conduisons AZ parallèle à l’une ou à l’autre des droles rA, BE (31. 1) .

Le rectangle AE est égal aux rectangles AA, ΓE ; mais AE est Le rectangle contenu sous AB, BΓ, puisqu ’1l est contenu sous AB, BE, et que BE est égal à Br ; AA est le rectangle sous AΓ, ΓB, puisque AΓ est égal à rB ; et 4B est le quarré de ΓB ; donc le rectangle contenu sous AB, ΓB est égal au rectangle contenu sous AΓ, ΓB, avec le quarré de ΓB. Donc, etc.