Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 4
C. F. Patris, (1, p. 138-143).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ δʹ. | PROPOSITIO IV. |
|---|---|
|
Χ ϑΑῶω λ ωεῃ Ἔ. ΚΕΕ Εὰν εὐθεῖα γραμμῆ τρηθὴ ὡς ἔτυχέ5 τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἐσὸν ἐστὶ τΤοῖς τῈ ἄσοὸ τῶν τμημώτων τετρωγώνοις. καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν τμή-- μώτων περιέχομένῳ ὀρθόγωνῳ. |
Si recta linea sccetur utcunque, ipsum et totá quadratum æquale est et ipsis ex segmentis quadratis, et ipsi bis sub segmentis contento rectangulo. |
|
Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ. ΑΒ τετμήσθω ὡς ἐτυχε κατὰ τὸ Τʼ λξᾳω ὅτι τὸ ἀπὸ τὴς ΔΒ τετρἆ ; ω- γον Ἶἴσον ἰστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΤ ΓΒ τετρα- γώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΤ, ΤΒ περεεχομένῳ ορθογωνὶῷ. |
Recia enim linea AB secetur utcunque in Tʼ ; dico ipsum ex AB quadratum æquale esse et ipsis ex AD, DTʼB quadratis, et ipsi bis sub ATʼ, DB contento rectangulo. |
|
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρώγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ, καὶ δηὰ μὲν τοῦ Τ ὑποτερᾳ τῶν ΑΔ, ἘΕΒ ’ποιροἷλλπλος ἤχθω- ὴ ΙῖΗΖ διὰ δὲ τοῦ Ἡ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΔῈ παρ- ἀλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ᾿ |
Describatur enim ex AB quadratum AAEB, ct jungatur BA, ct per I quidem alterutri ip- sarum AA, EB parallela ducatur THZ, per H vero alterutri ipsarum 4B, AE parallela dyuce- tur OK.
|
|
Καὶ ἐπεὶ παραλλήηλος ἐστιν ἢ ΓΖ τῇ ΑΔ. και εἰς αὑτὰς ἐμπεστωκεν ἢ ΒΔ, ʼ ἐκτὸς γων ! α ἡ ὑπὸ ΤῊΒ : 6Ὴ ἐστιί τῇ εντὸς καὶ ἀπεναντιον Τῇ ὑπὸ ΑΔΒ. Αλλ η ὑπὸ ΑΔΒ Τή ὑπὸ ΑΒΔ εστιν ἶ’σπ, ἐσπε ! παὶ ʼπλεεφοι ἢἡ ΒΑ τὴῇ ΑΔ εστιν ἰση" καὶ ἡ ὑπὸ ΤῊΒ ἄρῶὼ γωμί τῇ ὑπὸ ΗΒΙ ἐστιν ἰση" ὥστε καὶ πλευρὰ : ΒΓ πλευρᾷ πτῇ ΤῊ ἐστὶν ἰση, Αλλὰ ἡ μεν 18 τῇ ΗΚ ἐστὶν ἰσῆ, ἢ δὲ ΤΗ τῇ ΒΚ καὶ ἡ Ἡϊξ ἆἶτω τὴ ἈΒ εἐστιν 45 ἰσὸ- σλεύρον ἀρὰ ἐστί πὸ ΓΗΚΒ, Λέγω δὰ ὅτι καὶ ὀρθογωνιον. Ἐπεὶ γὰρ παραλληλὸς εἐστὴν η ΤῊ τῇ ΒΆ. καὶ εἰς αὐτὰας εἰέπεσεν ἡ Τ1Β" α : ὡρα ὑπὸ ΚΒΓ, ΒΙῊ γω"ἰαι δυσὶν ὀρθαὶς εἰσὶν ἰσαφξς Ορθη δὲ ἡ ὑπὸ ΚΒΓ" ἐρθήὴ ἀρα καὶ ἡ υὑπὸ ΒΙΗ. Ωστε καὶ αἱ ἀπεια : τίον. αἱ ὑπὸ ΤῊΚ. ἩΚΒ ὁρβαί εἶσιν" ὀρϑογώνεον ἀρα ἐστὶ ΤΟΓΗ͂ΚΒ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον" τετράγώτον ἀρὰ ἐστί, καὶ ΕστΤΙν ἀπὸ τῆς ΤΒ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 62 τετρά- γωνον εἐστι 9 καὶ ἐστίν ἀπὸ τῆς ΘΗ͂. Τοῦτ ἐστιν ἀπὸ" τῆς ΑΤ τὰ ὡρῶ ΘΖ. ΤΚ τετράγωνα ατὸ τῶν ΑΤ΄. ΤΒ εἰσί. Καὶ « πεὶ ἰσὸν ἐστὶ τὸ ΑἩ τῷ ἩΕ. καὶ εἐστί τὸ ΑἩ τὸ υπὸο τῶν ΑΓ. ΤΒ. ἰσῆ |
Et quoniam parallela est TZ ipsi AA, et in Ipsas incidit BA, interior angulus TʼHB equalis est interiori et opposito AAB. Sed AAB ipsi ABA est equalis, quoniam et latus BA ipsi AA est squale ; et THB igitur angulus ipsi HBIʼ est equalis ; quare et latus BD lateri PH est equale. Sed TB quidem ipsi HK est equalis, TH vero ipsi BK ; et HK igilur ipsi KB estequalis ; wqui- laterum igitur esL DHKB. Dico etiam et rectangu- lum. Quoniam enim parallela est DH ipsi BK, et in ipsas incidit DB ; ipsi igitur KBP, BIʼH anguli duobus rectis sunt equales. Rectus autem est KBDI ; rectus igitur et BTH. Quare et oppositi LTHK, HKB rect sunt ; rectangulum igitur est CHKS. Ostensum autem £st et cquilaterum ; quadratum igitur est, et est ex B, Propter eadem utique el OZ quadratum est, et est ex €H, hoc est ex ADI ; ipsa igitur OZ, TK quadrata ex AT, TB sunt. Et quoniam « quale est AH ipsi HE, et est AH ipsum sub AT, PB, equalis enim HT ipsi lʼB ; et HE igitur æquale ipsi sub AT, DB ; ipsa igitur AH, HE aequalia sunt ipsi bis
|
|
γαρ ἡ ΗΓ τῇ ΤΒ᾿ καὶ τὸ ἨῈ αρα ἴσον ἰστὶ τῷ ὑπὸ τῶνθ ΑΤ΄ ΓΒ᾽ τὰ αμι ΑἩ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΑΤ ΓΒ. Ἐστι δὲ καὶ τὰ Θ2Ζ- ΤΚ τετροἔγωνοι ἀπὸ τῶν ΑΤ, ΓΒ᾽ τὰ ἐἔρω τἑσσα ; οι τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗE ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΑΤ, ΤΒ |
sub AT, FB. Sunt autem et OZ, DIʼK quadrata ex AT, LlʼB ; ergo quatuor OZ, ClK, AH, HE aequalia sunt et ipsis ex AD, IʼB quadratis et ipsi bis sub. AT, TB contento rectangulo. Sed quatuor ΘZ, ΓΚ, ΑΗ, ΗE totum sunt AAEB, quod est ex AB quadratum ; ergo ex AB qua. |
|
περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Αλλὰ τὸὰ τέσσαρα ΘΖ, ΓΚ, AΗ, ΗΕ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. ὁ ἔστι τὸδ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά- γῶνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΤΒ τετρα- γώνοις καὶ τῷ δὴς ὑπὸ τῶν ΑΤ΄. ΓΒ περμεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα, καὶ τὰ ἐξῆς. |
dratum ezequale est ctipsis ex ATʼ, ʼB quadratis et ipsi bis sub AT, B contento rectangulo. Si igitur recta, ect. |
| ΚΑΙ ΑΛΛΩΣʼ. | ET ALITER. |
|---|---|
|
Λεέεγὼ ὁτι τὸ αἀπὸ τῆς ΑΒ τετροιγωνον ἰσὸν ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΤ΄. ΤΒ τετράγωνοις πκαὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σεριεχομενῳ ορθογωνιῳ. |
Dico ex AB quadratum æquale esse et ipsis ex AT, LB quadratis et ipsi bis sub ΑΓ, ΓΒ contento rectangulo. |
|
Ἐπὶ γαρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς, ἐπεῖ ἰσὴ ἐστὶν ἢ ΒΑ τὴῇ ΑΔ, ἰσὴ ἐστὶ καὶ γωνίω ἡ ὑπὸ 4ΒΔ τῇ υπὸ ΑΔΒ" χαὶ « πεὶ παᾶντος τρίγῶϊου ἂὧἱ τρέιίς γωνίωι δυσὶν ορθαῖς ἴσαι εἰσίν, ποῦ ΑΒΔ ἀρα τρι- γώνου αἱ τρεῖς γωνίαι. αἱ υὑπὸ ΑΒΔ. ΑΔΒ, ΒΑΔ, δυσὶν ὄρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ορθὴή δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, λοιπαὶ ἀία αἱ ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΔΒ μιᾷ ὀρθῇ ἰἴσαι εἰσι" καὶ εἰσὶν ισαι" εκώτερῶ ἂρὰ τῶν υπὸ ΑΒΔ. ι ΑΔΒ ἡμίσεια ἔστιν ὀρθῆς. Ορθη δῈ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ, ἰσὴ γάρεστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Α" λοιπῆ ἀρα ἢ υπὸ ΤῊΒ ἡμίσεια ἐστιν ὀρθῆ ς", ἰσὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΤῊΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΤΒῊ" ὥστε καὶ πλευρὰ ἢ ΒΓ τῇ ΤῊ ἐστιν ἰσῆῇ. Αλλ ἢ μεὲν ΓΒ τῇ ΗΚ εστὶν ἰση ἡ δὲ ΤῊ τῇ ΒΚ ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΤΚ. Ἐχε ! δὲ καὶ Ἐορθήν τὴν ὑπὸ ΤῈΚ γων ! αν" τετράγωνον ἀρὰ εἐστι τὸ Τ. καὶ ἐστιν |
Quoniam enim, in eádem figuràá, æqualis est BA Ipsi AA, æqualis est et angulus ABA ipsi AAB ; et quoniam omnis trianguli tres anguli duobus recüs æquales sunt, ergo ABA trianguli tres angu ! ABA, AAB, BAA duobus rectis z- quales sunt. Rectus autem 8A4 ; reliqui igitur ABA, AAB uni recto « quales sunt ; et sunt equales ; uterque igitur ipsorum ABA, AAB di- midius est recti. Rectus est autem BIʼH, ; qualis enim est interiori et opposito qui ad A ; reliquus igitur THB dimidius est recti ; zequalis igitur est THB angulus ipsi BH ; quare etlatus BTʼ ipsi TH est equale. Sed TʼB quidem ipsi HK est z- qualis, TH vero ipsi BK ; zquilaterum igitur est FK, Habet autem et rectum FBK angulum ; quadratum igitur est ʼK, et est ex IB. Propter
|
|
ἀπὸ τῆς ΤΒ, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΘΖ τε- τροφωνον εσʼτιδ καὶ ἐστὶν ἴσονθ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΤʼ τὰ αρα, ΓΚ. ΘΖ2 τετραγωνοι ἐστι. καὶ ἔστιν ἰσα τοῖς ὠπὸ τῶν ΑΙ. ΤΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τω ΗΕ. καὶ ἔστι τὸ ΔΉ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΤ9 ΤΒ. ἴση ἐστὶ7 φαρ ἡ ΤῊ τῇ ΓΒ. καὶ τὸ ἘΗ αΡοι ἴσον ἔστι τω ὑπὸ τῶν ΑΤ΄. ΓΒ’ τὰ αΡωΑΗ ΗῈ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΤ, ΓΒ. Ἐστι δὲ καὶ τὰ ΤΚ ΘΖ |
eadem utique et 9Z quadratum est, ct est a. quale ipsi ex AT ; ergo lʼK, eZ quadrata sunt, et sunt æqualia ipsis ex AT, TB. Et quoniam equale est AH Ipsi HE, et est AH ipsum sub AT, LIB, equalis est enim LʼH ipsi TB ; et EH igitur quale est ipsi sub AT, ʼB ; ergo AH, HE gqualia sunt ipsi bis sub AT, F5, Sunt autem et ipsa TK, 9Z æqualia ipsis ex AD, IʼBj ergo TK, |
|
ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΤ ΓΒ’ τὰ ἄρα ΤΚ, ΘΖ ; ΑΗ͂, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ. ΤΒ καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΑΓ. ΓΒ. Αλλὰ τὰ ΤΓΚ, ΘΖ καὶ τὰ ΑΗ, ἨΕ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑἙΕ. ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ τε- τράγωνον" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΤ. ΓΒ πτρα, ’ ; ὧνοις καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΑΓ. ΤΒ ’περιεχεμἕνῳ ὖρθοᾳωνἵῳ. Οσερ ἔδει δείξαις- |
OZ, AH, HE æqualia sunt et ipsis ex AT, IʼB et ipsi bis sub AT, FB. Sed TK, OZ et AH, HE totum sunt AE, quod est ex AB quadratum ; ergo ex AB quadratum : æquale est et ipsis ex AT, LlʼB quadratis et ipsi bis sub AT, lʼB con- tento rectangulo. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΟΡῚΣΜΑ. | COROLLARIUM. |
|---|---|
|
Ἐκ δὴ τούτων φανερον εστινγ. τι ἐν τοῖς τέ- τραγωνοις χῶώρίοις τὰ πέρί ΤῊΡ ὢαμετρον σαρ- αλλπλο’γροιμμω τετΡοἷγωνοἷ ἐστιν. |
Ex his utique evidens est, in quadratis spa- tiis, circa diametrum parallelogramma quadrata esse. |
Si la droite est coupée à volonté, le quarré de la droite entière est égal aux quarrés des segments, et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments.
Que la droite AB soit coupée à volonté au point r ; je dis que le quarré de AB est égal aux quarrés des segments Ar, rB, et à deux fois le rectangle contenu sous AΓ, ΓB.
Avec AB décrivons le quarré AAEB (46. 1) ; joignons BA ; par le point r conduisons ΓHZ parallèle à l’une ou à lʼautre des droites AA, EB (31. 1) , et par le point H conduisons ΘK parallèle à l’une ou à l’autre des droites AB, AE. Puisque Γz est parallèle à AA, et que BA tombe sur ces deux droites, l’angle extérieur THB est égal à l’angle intérieur et opposé 44B (29. 1) . Mais l’angle 4aB est égal à lʼangle 4ABA (5. 1) , puisque le côté BA est égal au côté AA ; donc l’angle rHB est égal à l’angle HBr ; donc le côté Br est égal au côté TH (6. 1) ; mais rB est égal à HK (34. 1) , et TH égal à BK ; donc Ek est égal à KB ; donc le quadrilatère rHKB est équilatéral. Je dis qu’il est rectangle. Car puisque TH est parallèle à BK, et que r£ tombe sur ces deux droites, les angʼes KT, BTH sont égaux à deux droits (29. 1}. Mais l’angle KEr est droit (dé. 50. 1) ; donc l’angle BrH est droit. Donc les angles opposés THK, HKB sont droits aussi (34. 1) ; donc le quadrilatère THKB est rectangle. Mais on à démontré quʼil est équilatéral ; donc ce quadrilatère est un quarré, et ce quarré est décrit avec TB. Par la même raison Θ2 est aussi un quarré, et ce quarré est décrit avec ΘH, c’est-à-dire avec AΓ ; donc ΘZ, ΓK sont des quarrés décrits avec AΓ, TB. Et puisque le rectangle AH est égal ai rectangle HE- (43. 1) , et que le rectangle AH est compris sous les droites AΓ, ΓB, car HT est égal à rB, le rectangle HE est égal au rectangle sous Ar, rB ; donc les rectangles AH, HE sont égaux à deux fois le rectangle sous AΓ, rB. Mais les quarrés Θz, TK sont décrits avec les droites Ar, T8 ; donc les quatre figures Θz, TK, AH, HE sont égales aux quarrés des droites AΓ, rB et à deux fois le rectangle compris sous AΓ, ΓB. Mais les quatre figures Θz, 1K, AH, HE sont la figure entière AAEB, qui est le quarré de AB ; donc le quarré de AB est égal aux quarrés des droites Ar, ΓB, et à deux fois le rectangle com- pris sous AΓ, ΓB. Donc, etc.
Je dis que le quarré de AB est égal au quarré des droites ΑΓ, ΓΒ et à deux fois le rectangle compris sous ΑΓ, ΓΒ.
Car puisque, dans la même figure, BA est égal à AA, l’angle ABA est égal à l’angle AAB (5. 1) ; et puisque les trois angles de tout triangle sont égaux à deux droits (32. 1) , les trois angles ABA, AAB, BAA du triangle ABA sont égaux à deux droits. Mais l’angle B44 est droit ; donc les deux angles restants ABA, AAB sont égaux à un droit ; et ils sont égaux ; donc chacun des angle ABA, AAB est la moitié d’un droit. Mais l’angle BrH est droit, car il est égal à l’angle intérieur et opposé en A ; donc l’angle restant rHB est la moitié d’un droit ; donc l’angle THB est égal à rBH ; donc le côté Br est égal au côté rH (34. 1) . Mais TB est égal à HK, et TH égal à lʼangle BK (34. 1) ; donc 1K est équilatéral. Mais il a l’angle droit rBk ; donc TK est un quarré, et il est le quarré de r8. Par la même raison, ΘZ est un quarré, et il est égal à celui de Ar ; donc TK, Θz sont des quarrés, et ils sont égaux à ceux des droites AT, TB. Ét puisque AH est égal à HE (31. 1) , et que AH est sous AT, TB, Car TH est égal à rB ; le rectangle EH est égal au rectangle sous AT, TB ; donc les rectangles AH, HE sont égaux à deux fois le rectangle compris sous AT, IB. Mais les quarrés rKk, ©Z sont égaux aux quarrés des droites AT, rB ; donc les figures TK, ΘZ, AH, HE sont égales aux quarrés des droites Ar, TB, et à deux fois le rectangle compris sous Ar, rB. Mais les figures IK, ΘΖ et AH, HE sont la figure entière AE, qui est le quarré de 48 ; donc le quarré de
AB est égal aux quarrés des droites AT, rB, et à deux fois le rectangle compris sous AT, rB. Ce qu’il fallait démontrer.
De là il est évident que, dans les quarrés, les parallélogrammes autour de la diagonale sont des quarrés.