Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 10
C. F. Patris, (1, p. 265-267).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιʹ. | PROPROSITIO X. |
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Ισοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι, ἔχον ἐκα- τέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διαπλασίονὰ |
Isosceles triangulum constituere, habens uterum- que ipsorum ad basim angulorum duplum re- liqui. |
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τῆς λοιπῆς. Εκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ. τὸ Τ σημειον, ὥστε τὸ υτὸ τὼν ΑΒ, ΒΓ σεριέχο- |
Exponatur aliqua recta AB, et secetur in Γ punceto, ita ut ipsum suh AB, BΓ contentum |
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μενὸν ὀρθογωνιὸν ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ ΓΑ τε- τραγωνῳ καὶ κέἐντρῳ τῷ Α, καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ1 κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν |
rectangulum æquale sit ipsi ex ΓA quadrato ; et centro &, et intervallo AB circulus descri- batur BAE, etaptetur in BAΔE circulo ipsi AΓ
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BΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ εὐθείᾳ, μη μείζονι οὐση τῆς᾿ τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου, ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΔ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κὐύκλος ὁο ΑΓΔ. |
rectæ, non majori existenti ipsbá BAΓ circuli di metro, æqualis recta BΔ ; et jungantur AΔ, ΓR, et cireumscribatur circa AΓΔ triangulum circu- lus AΓΔ. |
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Καὶ ἐπειί τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΒΓ ἰΙσὸν ἐστὶ τῷ ἀπὸο ! τῆς ΑΓ, ἴτη δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σηῤιειον ἐκτὸς τὸ |
Et quoniam ipsum sub AB, BΓ æquale e quadrato ex AΓ, æqualis autem AΓ ipsi Bà ; ipsum igitur sub AB, BΓ æquale est ipsi ex BA, Et quoniam extra circulum AΓΔ suimptum e ; t |
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Β, καὶ ἀπὸ τοὺυ Βπρὸς τὸν ΑΓΔ χκύκλον προσς- πεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καὶ ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν2 ΑΒ, ΒΓ ἴσὸν τῷ απὸὺ τῆς ΒΔ. ἡ ΒΔ ἀρὰ ἐφαπτέεται του ΑΡΔ. ζΚαι ἐπεῖ ἐῷφαπτεται μὲν ἡ ΒΔ5, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΔΙδ ἡ ἀρὰ ὑπσοῦο ΒΔΓΡ γωνία ἰση ἐστιὶ τὴῇ ἐν τῷ ἐγαλλαξζ, του κυκλου τμήματι γωνίᾳ τή υπὸο |
aliquod punctum B, et a B in AΓΔ circulum c « dunt duæm rectæ BA, BΔ, et allera quidem ip sarum secat, altera vero incidit ; et est ipsum sub AB, BΓ æquale ipsi ex BΔ ; ipsa BΔ igitur con- tingit AΓΔ. Et quoniam contingit quidem ipsa BΔ, a contactu vero ad Δ ducta est AΓ ; ipse igitur BΔΓF angulus æqualis est ipsi in alterno cir- culi segmento angulo AΓRA. Quoniam igitur æ-
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Construire un triangle isocèle, qui ait chacun des angles de la base double de l’angle restant.
Soit une droite ΑΒ ; que cette droite soit coupée en un point Γ, de manière que le rectangle compris sous ΑΒ, ΒΓ soit égal au quarré de ΓΑ (II. 2) ; du centre Α et de l’intervalle AB décrivons le cercle ΒΔE (dém. 3) ; dans le cercle ΒΔΕ adaptons une droite ΒΔ égale à la droite AΓ, qui m°est pas plus grande que le diamètre du cercle BAE (1. 4) ; joignons AB, ΓΔ, et circonscrivons le cercle ΑΓΔ au triangle ΑΓΔ (5. 4) .
Puisque le rectangle sous ΑΒ, BΓ est égal au quarré ΑΓ et que AT est égal à BA, le rectangle sous ΑΒ, ΒΓ est égal au quarré de B4. Et puisque le pcint Ba été pris hors du cercle ΑΓΔ, que les droites BA, BA vont du point B au cercle ΑΓΔ, que l’une d ? elles le coupe, et que l’autre ne le coupe point, et que le rectangle sous ΑΒ, BΓ est égal au quarré de ΒΔ, la droite ΒΔ est tangente au cercle AΓΔ (37. 3) Donc, puisque la droite B3 est tangente, (que la droite ΔΡ a été menée du point de contact Δ, l’angle ΒΔΓ est égal à lʼangle ΔΑΓ placé dans le segment alierne du cercle (32. 3) . Puisque l’angle ΒΔΓ est égal à l’angle ΔΑΓ, ajoutons Vangle commun ΓΔΑ, l’angle entier ΒΔΑ sera égal aux deux angles ΓΔΑ, ΔΑγ. Mais l’angle extérieur ΒΓΔ est égal aux angles ΓΔΑ, ΔΑΓ (32- 1) ; donc l’angle ΒΔΑ est égal à lʼangle ΒΓΔ. Mais langie ΒΔΑ est égal à l’angle ΓΒΔ (5. 1) , puisque le côté ΔΑ est égal au côté ΑΒ ; donc l’angle ΔΒΑ est égal à angle BΓ ; . Donc les trois angles ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ sont égaux entr’eux. Et puisque l’angle ΔΒΓ est égal à l’angle ΒΓΔ, le côté B3 est égal au côté ΔδΓ (6. 1η. Mais le côté ΒΔ est supposé égal au côté ΓΑ ; donc le côté ΑΓ est égal au côté ΓΔ ; donc l’angle ΓΔΑ est égal à l’angle ΔΑΓ (5. 1) ; donc les angles ΓΔΑ, ΔΑΓ sont doubles de l’angle ΔΑΓ. Mais d’angle ΒΓΔ est égal aux angles ΓΔΑ, pAT (32. 1) ; donc l’angle BΓ ; est double de lʼangle ΔΑΓ. Mais l’angle ΒΓΔ est égal à chacun des angles BAA, ñBA ; donc chacun des angles BAA, Û+BA est double de l’angle ΒΑΔ.
Donc on a construit un triangle isocèle ΑΔΒ, ayant chacun des angles de la base ΒΔ double de l’angle restant. Ce qu’il fallait faire.