Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 9
C. F. Patris, (1, p. 263-265).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ θʹ. | PROPROSITIO IX. |
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Περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγρά- ψαι. |
Circa datum quadratum circulum circums- cribere.
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Εστω τὸ δυοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ. δὲὴῦῬ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περι- γρώψαι. |
Sit datum quadratum ABΓA ; oportet igitur circa ABΓΔ quadratum circulum circumscri- bere. |
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Επεζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΙΓΛ᾽, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε. |
Junctæ enim AΓ, BΔ, sese secent in E.
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις ἡ ΔΓΙ βάσει τῇ ΒΓ ἴση1ς γωνία ἄρα ἴση ἐστίν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓΖ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δῖχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΓ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἐκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῶν ΑΓ ΔΒ εὐθειῶν. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γω- γία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἔστι τῆς μὲν ὑπὸ ΔΑΒ |
EÉt quoniam æqualis est AΔ ipsi AB, commu- nis autem AΓ, duæ utique AAg, AΓ duabus BA, AΓ æquales sunt, et basis AΓ basi BΓ ? qualis ; angulus igitur æqualis est AAΓ ipsi BAΓ ; ipse igitur AAB angulus bifariam sectus estab Ar, Similiter utique ostendemus et unumquemque ip. sorum ABΓ, BΓá, ΓTM bifariam sectum esse jj AΓ) , AB rectis. Et qnoniam æqualis est AAB an. gulus ipsi ABΓ, et est ipsius quidem AAB di. |
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ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΑΒ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐσὶν ἴση" ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΑ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστὶν ἴση. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΕΒ εὐθειῶν ἑκατέρᾳ τῶν ΕΓ, ΕΔ ἴση ἐστίν. Αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Ο ἄρα κέντρῳ τῷ Ε, καὶ διαστήματι ἐνὶ τῶν ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ κύκλος |
midius ipse EAB, et ipsius ABΓ dimidius ipse EBA ; et EAB igitur ipsi EBA est æqualis. Quare et latus EA lateri EB est æquale. Similiter uti- que ostendemus, et utramque EA, EB recta- rum utrique ipsarum EΓ, EΔ Àqualem esse ; qua- tuor igitur EA, EB, Ec, E^ æquales inter se sunt. Ipse igitur centro E, et intervallo unà ipa- rum EXA, EB, EΓ, EΔ circulus descriptus lran-
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γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων. καὶ ἐσται περιγράμμενος Ζπέριί τὸ ΑΒΓΔ τετρα- γωνον. Περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ. |
sibit et per réliqua puncta, et erit circumscrip- tus ciigg ABΓΔ quadratum. Circumscribatur ut ABΓΔ. |
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Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέ- γράπται. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
Circea datum igitur quadratum circulus cir- cumseriptus est. Quod oportebat facere. |
Circonscrire un cercle à un quarré donné.
Soit ΑΒΓΔ le quarré donné ; il faut circonscrire un cercle au quarré ΑΒΓΔ. Joignons AΓ, BΔ, et que ces droites se coupent au point E. Puisque ΔΑ est égal à ΑΒ, et que la doite ΑΓ est commune, les deux droites ΔΑ, AΓ sont égales aux deux droites BA ; ΑΓ ; mais la base ΔΓ est égale à la base ΒΓ ; donc l’angle ΔAΓ est égal à l’angle ΒΑΓ (8. 1) ; donc l’angle ñAB est coupé en deux parties égales par la droite ΑΓ. Nous démontrerons semblablement que chacun des angles ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ est coupé en deux parties égales par les droites ΑΓγΓ, ΔΒ. Ët puisque l’angle ΔΑΒ est égal à l’angle ΑΒΓ, que J’angle EAB est la moitié de l’angle δαβ, et l’angle BBA la moitié de l’angle ΑΒΓ, l’angle EAB est égal à l’angle EBA ; donc le côté ΕΑ est égal au côté EB (G. 1) Nous démontrerons semblablement que lune et l’autre des droites ET, EB est égale à l’une et à l’autre des droites EΓ, ΕΔ ; donc les quatre droites E4, EB, EΓ , ΕΔ sont égales entr’elles, Donc le cercle décrit du centre B, et d’un intervalle égal à une des droites ΕΑ, EB, EΓ ; ΕΔ passera par les autres points, et il sera circonscrit au quarré ABΓΔ Qu’il soit circonscrit comme ΑΒΓΔ.
Donc on a circonscrit un cercle a un quarré donné. Ce qu’il fallait faire.