Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 13
C. F. Patris, (1, p. 274-276).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ γα. | PROPOSITIO XIII. |
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Εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὁ ἐστὶν ἰσοπλευρὸν Τϑ καὶ ἰσογωνιον, κυκλον ἐγχράψαι. |
In dato pentagono, quod est equilaterumque et æquiangulum, circulum inscribere. |
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Εστω τὸ δοθέν πεντάγωνον, ἰσοπλευρὸν ! τεκαι ἰσαγώνιον, τὸ ΑΒΓΔΕ : δὲεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ πεν- τἀγωνον κυκλον ἐγῃράψαι. |
Sit datum pentagonum æquilaterumque et ; ] quiangulum ABΓAE ; oportet igitur in ABΓ2E peutagono circulum inacribere. |
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Τετμήσθω γὰρ ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸΣ ἐκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ εὐθειῶν καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου. καθ ὁ συμξάλλουσιν αλ. λήλαις αἱ ΓΖ, ΔΖ εὐθεῖαι, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΑ, Ζ1 εὐθεῖαι. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τΓΔ, κοινὴ δὲ ηΤΖ, δύο δὴ αἱ Β᾽, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΔΙ, ΓΖ ἴσαι εἰσιέ. καὶ γωνί [α ἡ ὑπὸ ΒΡΖ γωνίᾳ τῃ υὑπὸ ΔΡΖ ἴση ἐστί3. βασις ἄρὰ ἡ ΒΖ τῇ βάσει ΔΖ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ Β2Τ τρίγωνον τῷ ΔΖΓΙ τριίχωνῳ ἐστι ἐσονή. |
Secetur enim uterque ipsorum BΓZA, ΓAE an- gulorum bifariam ab utráque ipsarum IZ, A rectaruni ; et a Z puncto, in quo conveniunt inter se ΓZ, AZ rectæ, ducantur ZB, Za, ztE rectá. Et quoniam æqualis est BΓ ipsi ΓA, com- munis autem ΓZ, duæ utique BΓ, Γ duahlu : AΓ, ΓZ æquales sunt, et angulus BΓZ angulo AΓz ; qualis est ; basis igitur BZ basi ΔZ est æqualis, et BZΓ triangulum ipsi AZΓ triaungulo est æquale, |
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ι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι. ἔσονται3 ὑφ᾽ʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν" ἴση ἀρὰ ἡ ὑπὸ ΤΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΖ. Καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῆς ὑπὸ ΓΔΖῦ, ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ ἄραὰα τῆς ὑπὸ ΓΒΖ ἐστὶ δὲ- πλῆ. ἴση ἄρα η ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῃ ὑποὸ ΖΒΓ φ“ ἡ ἀρὰ ὑσπσὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΖ εὐθείας. Ομοίως δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ ἐκα- τέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ δἵχχα τέτμηται ὑπὸ ἐκατέρας τῶν ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν. Ηχθωσαν δὴ ἀπὸ του Ζ σημείου ἐπι τὰας ΑΒ. ΒΓι ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ευθείας καθετοι αἱ ΖΗ͂, ΖΘ, ΖΚ, Λ, 2Μ. Καὶιὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΓΖ, ἐστι δὲ καὶ ορξῆ ἡ ὑπὸ ΖΘΓ ὀρθ7 τῇ ὑπὸ Ζ2ΖΚΓ ἴση, δύο δὴ τρίγωνὰ ἐστι τὰ ΖΘΓ, ΖΚΓ τὰς, δύο γωνίας ταῖς3 δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα, καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, κοινὴν αὐτῶν ΖΓ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν. ς καὶ τὰς λοιπας ἄρὰ πλευρας ταις λοιπαις πλευραις ιΙσας ἐξει" ἰση ἀρὰ ἡ ΖΘ καθετος τῇ ΖΚ καθέτῳ. Ομοίως δὴ δειχθησεται ὁτι καὶ ἐκάστη τῶν ΖΔλ, Ζ2Μ, Ζἢ εκατερᾳᾷ τῶν 1Θ, ΖΚ ἔση ἐστίν" αἱ πέντε |
et reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt, quos æqualia latera subtendunt ; æqualis igi- tur ΓBZ angulus ipsi ΓΔZ. Et-quoniam duplus. est ΓA4E ipsius ΓAΔZ, æqualis autem ipse qui-. dem ΓAE ipsi ABΓ, ipse vero ΓAZ ipsi ΓBZ, et ΓBA igitur ipsius ΓBZ est duplus ; æqualis igitur ABZ angulus ipsi ZBΓ. Ergo ABΓ angu- lus bifariam secatur à BZ rectá. Similiter uti- que ostendetur et uttumque ipsorum BAE, AEΔ bifariram secari ab utráque ipsarum Za, ZE rectarum. Ducantur autem à Z puncto ad AB, BΓ, ΓΔ, AE, EA rectas perpendiculares ZH, Ze, ZZ, Za, ZK. Et quoniam æqualis est Grz angulus ipsi KΓZ, est autem et rectus Zer recto ZKΓ æqualis, duo utique triangula sunt Zer, ZKΓ duos angulos duobus angulis æqua- les habentia, et unum latus uni lateri æquale, commune ipsorum ZΓ, subtendens ununt æ- qualium angulorum ; et reliqua igitur latera reliquis lateribus æqualia habebunt ; æqualis igitur Ze perpendicularis ipsi ZK perpendicu- lari. Similiter utique ostendetur et unamquam- que ipsarum Z24, zM, ZH, utrique ipsarum Zz] e,
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ἄρα εὐθεῖαι ἀἱ ΖΗ, 2Θ, 1Κ, Ζλ, ΖΜ ἴσαι ἀλ- λήλαις εἰσίν. Ο ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι ϑδὲ ἐνὶ τῶν ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, 2Δ, ΖΜ κύκλος γρα- φόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, Δ΄, ΒΑ εὐθειῶν. , διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς το Η, ΘιἰΚιΛ, Μ σημείοις γωνίας. Εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν, ἀλλὰ τεμεῖ αὐτὰς, συμὝίσεται τὴν τῇ διαμήτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾽ ἄκρας ἀγομένην ἐντὲς |
ZK æqualem esse ; quigque igitur rectæ zH, Ze, ZEK, ZA, ZM æquales inter se sunt. Ergo centro Z, , intervallo vero unà ipsarum ZH, ze, ZK, ZA, ZH circulus descriptus transibit q per reliqua puncta, et continget AB, BΓ, no, AE, EA rectas ; propterea quod recti sunt aj. AH, 9, K, S, M puncta anguli. Si enim non contingit ipsas, sed secat ipsas, eveniet ut ipsa diametro circuli ad rectos ab extremitate ducia |
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πίπτειν τοῦ κύκλου, ὄπερ ἄτοπον ἐδείχθη. Οὐκ ἄρα ὁ κἐντρῷ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ενὶ τῶν ΖΗ͂, 2Θ, ΖΚ, ΖΔ, Ζ2Μ εὐθειῶν γραφόμενος κύκλοςθ τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΒΑ εὐθείας. Εφα- Ψετα ; , ἄρα αὐτῶν. Γεγράφθω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ. |
intra cadat circulum, quod absurdum osten- sum est. Non igitur centro Z, intervallo vero uná ipsarum ZH, Ze, ZK, Za4, ZH rectarum descriptus circulus secabit ipsas AB, BΓ, Γt, AE, EA rectas ; continget igitur ipsas. De- cribatur ut HOKAM. |
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Εἰς ἀρὰ τὸ δοθὲέν πεντάγωνον, ὃ ἐστιν ἴσο-. σλευρὸν τέ καὶ ἰσογωνιον ς κύκλος ἐγγεέγραπται. Οπσερ ἔδει ποιῆσαι. |
In dato igitur pentagono, quod est æquila- terumque et æquiangulum, circulus inscriptu est. Quod oportebat facere. |
Dans un pentagone équilatéral et équiangle donné, inscrire un cercle.
Soit ΑΒΓΔΕ le pentagone équilatéral et équiangle donné ; il faut inscrire un cercle dans le pentagone ΑΒΓΔΕ.
Coupons chacun des angles ΒΓΔ, ΓΔE en deux parties égales par les droites ΓΖ, nZ (9. 1) ; et du point Z où les deux droites ΓΖ, ΔΖ se rencontrent, menons les droites ΖΒ, ZA, ZE. Et puisque ΒΓ est égal à ΓΔ, et que la droite TZ est commune, les deux droites BΓ, ΓΖ sont égales aux deux droites ΔΓ, ΓZ ; mais l’angle BΓZ est égal à l’angle ΔΓΖ ; donc la base ΒΖ est égale à la base ΔΖ (4. 1) , et le triangle BZΓ est égal au triangle ΔΓZ, et les angles restants égaux aux angles restants, ceux qui soutendent des côtés égaux (4. 1) ; donc l’angle ΓBZ est égal à l’angle ΓΔZ. Et puisque l’angle ΓΔE est double de l’angle ΓΔZ, que ΓΔΕ est égal à l’angle ΑΒΓ, et que ΓΔΖ est égal à ΓΒΖ, l’angle ΓΒΑ est double de l’angle ΓΒΖ ; donc l’angle ΑΒΖ est égal à l’angle ΖΒΓ ; donc l’angle ΑΒΓ est coupé en deux parties égales par la droite Bz. Nous démontrerons semblablement que chacun des angles BAE, ΑΕΔ est coupé en deux parties égales par les droites ZA, ΖΒ. Du point Z menons sur les droites ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, EA les perpendiculaires zH, zo, ΖΚ, ΖΔ, ZM. Puisque l’angle ΘΓΖ est égal à l’angle ΚΓΖ, et que l’angle droit ΖΘΓ est égal à l’angle droit ΖΚΓ, les deux triangles Zag, ΖΚΓ auront deux angles égaux à deux angles, et un côté égal à un côté, le côté commun ΖΓ qui soutend un des angles égaux ; ils auront donc les côtés restants égaux aux côtés restants (26 ; 1) ; donc la perpendiculaire ΖΘ est égale à ‘la perpendiculaire Z3. On démontrera semblablement que chacune des droites Z , ZM, ZH est égale à l’une et à l’autre des droites ΖΘ, ΖΚ ; donc les cinq droites ZH, ΖΘ, ZK, ΖΛ, ΖΜ sont égales entrelles. Donc le cercle décrit du centre Ζ, et d’un intervalle égal à une des droites ΖΗ, zo_, zK, ZA, ZM, passera par les autres points, et touchera les droites ΑΒ, BΓ, ΓΔ, ΔΕ, EA, parce que les angles sont droits en H, Θ, Κ, x, M. Car s’il πἶ les touchait pas, et s’il les coupaît, la perpendiculaire menée d’une de ses extrémités au diamètre, tomberait dans le cercle ; ce qui a été tlémontré absurde (16. 3) ; donc le cercle décrit du centre z, et d’un intervalle égal à une des droites ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΔΛ, ZM, ne coupera point les droites ΑΒ, BΓ, ΓΔ, ΔΕ, EA ; donc il les touchera. Décrivons le cercle ΗΘΚΛΜ.
Donc on a inscrit un cercle dans un pentangone équilatéral et équiangle domné. Ce qu’il fallait faire.