Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 14
C. F. Patris, (1, p. 277-278).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιδʹ. | PROPOSITIO XIV. |
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Περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὁ ἐστιν ἰσοπλευρόν τε καὶ ἰσογῶνιυαν. κύκλον περιγράψαι. |
Circa datum pentagonum, quod est æquila- terumque et æquiangulum, circulum circum- scribere. |
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Εστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον. οἱ ἐστὶν ἰσοπλευ-, ὔ λ ἴμ λ ἃ ρύν τε καὶ ἰσογώνιον, τὸ ΑΒΓΔΕ. δὲῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον περιγράψαι. |
Sit datum pentagonum, quod est æquilate- rumque et æquiangulum ABΓAE ; oportet igi- tur circy ABΓΔE pentagonum circulum cir- cumscribere. |
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Τετμήσθω δὴ ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γω- νιῶν δίχα ὑπὸ ἐκατέρας τῶν ΓΖ, ΖΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθ᾽ ὃὁ συμΔάλλουσιν αἱλ εὐθεῖαι, ἐπὶ τὰ Β, ι Α, Ε σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ. Ομοίως δὴ τὸ πρὸς τούτου δειχθή- σεται, ὅτι καὶ ἐκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΔΕ, ΑΕΔ γωνιῶν δίχὰ τέτμηται ὑπὸ ἐκάστης τῶν 2Β, ΑΖ, ΕΖ εὐθωῶν. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία |
Secetur quidem uterque ipsorum BΓA, ΓAE angulorum bifariam ab utráque ipsarum Γz, ZΔ, etaZpuncto, in quo conveniunt rectæ, ad B, A, E puncta dueantur rectæ ZB, ZT, ZE. Similiter utique ut anutea ostendetur et unumquemque ipsorum ΓBA, BAE, AE^) an- gulorum bifariam secari ab unáquaque ipsarum ZB, AZ, EZ rectarum. Et quoniam æqualis est
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τἡη ὑπὸ ΓΔΕ ; καὶ ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΓΔ ημι. σεια ἡ ὑπὸ ΖΓΔ, τῆς δὲ ὑπὸ ΓΔΕ ὑμιἰσεια ἡ ὑπο ΓΔΖ, καὶ ἠἡεὺὐπὸ ΖΓΔ ἄρὰ τῃ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἰση" ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ Ζ2Γ πλευρῷ τῇ ΖΔ ἐστὶν ἴση. Ομοίως δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ ἐκάστη τῶν ΖΒ, ZΑ, ΖΕ ἐκατεέρᾳᾷ τῶν {Γ. ἐὰ ἐστὶν ἴσηλ αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἰ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, 2Δ, 2ΖΕ ἴσαι ἀλλη- |
BΓ^ angulus ipsi ΓAE, et est ipsius quidem BΓΔ dimidius ipse ZÉéΔ1, ipsius vero ΓAE di. midius ΓAZ, et ZzΔ igitur ipsi ZAoΓ est ? qualis ; quare et latus ZΓ lateri ZΔ est æquale. Similiter utique ostendetur et unamquamque ipsarum z3, ZA, ZE utrique ipsarum ZΓ, , Z4 esse æqu. lem ; quinque igitur rectæ ZA, ZB, ZΓ, ZH, z, |
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λαις εἰσίν. Ο ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ, καὶ διαστήματι ἐνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ χύκλος γραφομε- νος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγραφόμενοςΊ. Περιγεγράφθω, καὶ ἔστω ὃ ΑΒΓΔΕ. |
æquales inter se sunt. Ipse igitur centro Z et in tervallo unà ipsarum ZA, ZB, Zz, ZΔ ; , ZÉci- culus descriptus transibit et per reliqua puncta, et erit ciÀcumscriptus. Circumscribatur, et sit ABΓAE. |
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Περὶ ἄρα τὸ δοθὲνς6 πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσό- πλευρὸν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος περιγέγραπται. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
Circa datum igitur pentagonum, quod est æquilaterumque et æquiangulum, circulus cir- cumscriptus est. Quod oportebat facere. |
Circonscrire un cercle à un pentagone équilatéral et équiangle donné.
Soit ABΓΔE le pentagone équilatéral et équiangle donné ; il faut au pentagone ΑΒΓΔΕ circonscrire un cercle.
Coupons en deux parties égales chacun des angles BÀΔ, ΓΔΒΕ par les droites ΓΖ, ΖΔ (9. 1) , et du point Z où ces droites se rencontrent, menons aux points B, Α, E les droites ZB, ZA, ZE. Nous démontrerons, comme auparavant, que chacun des angles ΓBA, BAE, AEΔ est coupé en deux parties égales par les droites ΖΒ, ΑΖ, EZ. Et puisque l’angle ΒΓΔ est égal à l’angle ΓΔΕ, et que l’angle ΖΓΔ est la moitié de l’angle ΒΓΔ, et l’angle ΓΔΖ la moitié de l’angle ΓΔΕ, l’angle ΖΓΔ est égal à l’angle ΖΔΓ ; donc le côté ΖΓ est égal au côté z1 (6. 1) . On démontrera semblablement que chacune des droites ΖΒ, ΖΑ, 1Ε est égale à chacune des droites zZ, ΖΔ ; donc les cinq droites ZA, ZB, ZT, 3, ZE sont égales entelles. Donc le cercle décrit du point Ζ et d’un intervalle égal à une des droites ZA, ZB, ZΓ, Z4, ZE passera par les autres points, et sera circonscrit. Qu’il soit circonscrit, et qu’il soit ABΓnE.
Donc un cercle a été circonscrit à un pentagone équilatéral et équiangle donné. Ce qu’il fallait faire.