Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 3

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 293-294).

ΠΡΟΤΆΣΙΣ γ΄.	PROPOSITIO III.
Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ἢ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλα- πλάσια τοῦ πρώτου καὶ τρίτου" καὶ διΐσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολ-- λαπλάσιον, τὸ μὲν τοῦ δευτέρου, τὸ δὲ τοῦ τε- τάρτου.	Si prima secundæ æque sit mulliplex ac ter- tia quaræ, sumantur autem eque multiplices prime et tertiz ; et ex aequo sumptarum utra- que utriusque eque erit multiplex , altera qui- dem secundæ, altera vero quartz.
Πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β Ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Τ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α΄ Τ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ἘΖ, ΗΘ’ λέγω ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά-: σιον' τὸ ἘΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ,	Prima enim A secunde B zque sit multiplex ac tertia T quartæ A , et sumantur ipsarum A, T zque multiplices EZ , HO; dico eque esse mul- tiplicem EZ ipsius B ac HO ipsius A.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ἘΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ' ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ἘΖ ἴσα τῷ Α,, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Τ᾿. διῃρήσθω τὸ μὲν ἘΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη	Quoniam enim zque est multiplex EZ ipsius A ac HO ipsius T ; quot igitur suntin EZ equa- les ipsi A, tot et in HO quales ipsi T. Di- vidatur EZ quidem in magnitudines ipsi A zqua-
ἴσα τὰ ἘΚ, ΚΔ, τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Τ ἴσα τὰ ἫΔ, ΔΘ’ ἔσται δὴν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ. ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ' ἴσον δὲ τὸ μὲν ἘΚ τῷ Α, τὸ δὲ ΗΛ τῷ Τ' ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ἘΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολ- λαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ.	les EK , KZ , ipsa vero HO in magnitudines iir zquales HA, AO; eritutique zqualis multitud; ipsarum EK, KZ multitudini ipsarum HA, A6, p quoniam eque est multiplex A ipsius Bac T ipsius Aj aequalis autem BK quidem ipsi A, ipsa vero HA ipsi T; eque igitur est multiplex EK ipsius 3 ac HA ipsius A, Propter eadem utique zque est mul- tiplex KZ ipsius B' ac AO ipsius A. Quoniam
Ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ἘΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου ποῦ Δ' ἐστὶ δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρ- που τοῦ Δ' καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ἘΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ. Ἐὰν ἄρα πρῶτον, καὶ τὰ ἑξῆς.	igitur prima EK sccundz B zque est multiplex ac tertia HA quartz A ; est autem et quinta KZ se- cundz 3 eque multiplex ac sexta AO quari A; et simul sumpta igitur prima et quinta EZ se- cunde B seque sunt multiplices ac tertia et sexta HO quartæ A. Si igitur prima, etc.

PROPOSITION III.

Si la première est le même multiple de la seconde que la troisième l’est de la quatrième, et si l’on prend des équimultiples de la première et de la troisième, le multiple de la première sera, par égalité, le même multiple de la seconde que le multiple de la troisième l’est de la quatrième.

Que la première A soit le mème multiple de la seconde B que la troisième Γ lʼest de la quatrième Δ ; prenons les équimultiples EZ, HΘ de A et de Γ ; je dis que EZ est le même multiple de B que HΘ lʼest de Δ.

Puisque EZ est le même multiple de A que Ho lʼest de r, il y a dans E autant de grandeurs égales à A quʼil y a dans HΘ de grandeurs égales à Γ. Divisons EZ en grandeurs égales à A, et que ces grandeurs soient EK, KZ; divisons HΘ en grandeurs égales à Γ, et que ces grandeurs soient HΔ, ΔΘ. Le nombre des parties EK, KZ sera égal au nombre des parties HA, 46, Et puisque A est le même multiple de B que Γ l'est de A, que EK est égal h4, et HA égal à r, la grandeur EK est le même multiple de B que HA l’est de Δ. Par la même raison, KZ est le même multiple de B que 4@ l’est de 4. Et puisque la première Ek est le même multiple de la seconde B que la troisième HA l’est de la quatrième 4, et que la cinquième Kz est le même multiple de la seconde B que la sixième 4@ l'est de la quatrième A, la somme de la première et de la cinquième, qui est Ez, sera le même multiple de la seconde B, que la somme de la troisième et de la sixième, qui est HΘ, l’est de la quatrième 4 (2. 5). Donc, etc.