Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 4
C. F. Patris, (1, p. 295-297).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ δ΄. | PROPOSITIO IV. |
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Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον" καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια ποῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τε- τάρτου, καθ᾿ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα. |
Si prima ad secundam eamdem habcat ratio- nem quam lerüia ad quartam; et eque mulii- plices primzque et tertie ad eque multiplices secunde et quartae, juxta quamvis multiplicatio- nem , eamdem habebunt rationem inter se com- paratæ. |
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Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐ- τὸν ἐχύτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Τ᾿ πρὸς τύταρτὸν |
Prima enim A ad sccundam B eamdem habeat ralionem quam tertia T ad quartam A , et su- |
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τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α΄, Τ᾿ ἰσάκις πολλα- πλάσια τὰ Ἑ, 2, τῶν δὲ Β. Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ἡ. Θ᾽ λέγω ὅτι ἐστὶν" ὡς τὸ Ἐ πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ 2 πρὸς τὸ Θ, |
mantur ipsarum quidem A , T zque multiplices E,Z, ipsarum véro B, À aliz utcunque eque multiplices H , 9; dico esse ut E ad H, ita Z ad Θ. |
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Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ἑ, 2 ἰσάκις πολλαπλά- σια τὰ Κ, Δ, τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα ἃ ἔτυχεν" ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν. |
Sumantur enim ipsarum quidem E , Z æque multiplices K, A , ipsarum vero H, 9 aliæ ut- cunque multiplices M , N.
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Καὶ ἐπεὶ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ἑ τοῦ Α, τὸ δὲ ὁ τοῦ τ, καὶ εἴληπται τῶν Ἑ, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Δ' ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ Α καὶ τὸ Λ τοῦ τ᾿ Διὰ τὼ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Δ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ ΤΥ πρὸς τὸ Δ. καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α,Τ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Δ, τῶν |
Et quoniam æque est multiplex E quidem ipsi, 4, ipsa vero Z ipsius T, et sumpt æ suntipsarum E, Z eque mulliplices K, 4 j zque igitur est multiplex K ipsius A ac A ipsius T. Propter ea. dem utique wque est multiplex M ipsius 3 ac N ipsius A. Et quoniam est ut A ad B itaraq A,etsumpte sunt ipsarum quidem A,T ?que multiplices K, A, ipsarum veroB, A aliz teur. |
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δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὼ Μ, Ν' εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Δ τοῦ Ν' καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ" ἔλατ- τον, ἴλαττον. Καὶ ἐστὶ τὰ μὲν Κ, ΔΛ τῶν Ε,Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΜΝ τῶν Η, Θ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρᾳ ὡς τὸ Ἑ πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ 2 πρὸς τὸ Θ. Ἐὰν ἄρα πρῶτον, καὶ τὰ ἑξῆς. |
que æque multiplices M, N j si igitur superat K ipsam M, superat et A ipsam N ; et si aqualis, aequalis ; et si minor, minor. Et sunt K, A qui- dem ipsarum E, Z eque multiplices ipsa vero. M, N ipsarum H, Oalie utcunque multiplices; est igitur ut E ad H, ita Z ad 6. Si igitur prima, etc. |
| ΠΌΡΙΣΜΑ. | COROLLARIUM. |
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Ἐπεὶ οὖν ἰδείχθη, ὅτι", εἰ ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Α τοῦ Ν᾽" καὶ εἰ ἰσὸν. σον" καὶ εἰ ἔλασσον, ἔλασσον" δηλονότι καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Κ, ὑπερέρεχει καὶ το Ν τοῦ Δ' καὶ εἰ σον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλασσον, ἔλασσον" καὶ διὰ τοῦτο ἔσται! καὶ ὡς τὸ Ἡ πρὸς τὸ Ἐ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ 2. Ἐκ δὴ τοῦτου φανερὸν. ὅτι ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνελογον ἦ καὶ ἀνάπαλιν ἀνά- λογον ἔσται, |
Quoniam igitur ostensum est, si superat K ip- sam M , superare et A ipsam N; et si equalis , wqualem ; et si minor, minorem; manifestum est et si M superat K , superare et N ipsam A j et si equalis , aequalem ; et si minor, minorem; et propter hoc erit et ut H est ad E , ita O ad Z. Ex hoc utique manifestum est, si quatuor magni- tudines proportionales sunt , et inversione pro- portionales fore. |
Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, des équimultiples quelconques de la première et de la troisième comparés à des équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième, auront entre eux la même raison.
Car que la première A ait avec la seconde B la même raison que Γ avec Δ, prenons des équimultiples quelconques E , z de A et de r, et d’autres équimultiples quelconques H , Θ de B et de 4 ; je dis que E est à H comme Z est à Θ.
Prenons des équimultiples quelconques K, A de E et de Z, et d’autres équimultiples quelconques M, N de H et de Θ. Puisque E est le même multiple de 4 que z l’est de r, et que l’on a pris des équimultiples k, À de E et de z, la grandeur K est le même multiple de A que A l’est de r (3. 5). Par la même raison, M est le même multiple de B que N l’est de 4. Et puisque A est à B comme r est à â, que l’on a pris des équimultiples quelconques k, À de A et de r, et d’autres équimultiples quel- conques M, N de B et de A, si K surpasse M, À surpasse N ; si K est égal à M, A est égal à N, et si K est plus petit que M, A est plus petit que N (déf. 5. 3.). Mais k, A sont des équimultiples quelconques de & et de z, et M, N d’autres
équimultiples quelconques de H et de ©; donc E est à H comme z est à Θ (déf. 6. 5). Donc, etc.Puisqu’il a été démontré que si K surpasse M, A surpasse N ; que si K est égal à M, À est égal à N, et que si k est plus petit que M, A est plus petit que N, il est évident que si M surpasse K, N surpasse A; que si M est égal à K, N est égal à À, et que si M est plus petit que K, N est plus petit que A; par conséquent H est à E comme Θ est à Z. De là il est évident que si quatre grandeurs sont proportionnelles, elles seront encore proportionnelles par inversion.