Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 5

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 297-299).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ἐ.	PROPOSITIO V.
Ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ἢ πολλαπλά- σιον, ὅσπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος" καὶ τὸ λοιπὸν ποῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὅσα- πλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου.	Si magnitudo magnitudinis zque sit multi- plex ac ablata ablatz , et reliqua relique eque erit mulüplex ac multiplex est tota totius,
Μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΤΔ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑἙ ἀφαι:- ρεθέντος τοῦ ΤΖ" λέγω ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ἘΒ λοιποῦ τοῦ 1Δ ἰσώκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.	Magnitudo enim AB magnitudinis TA aqu, sit multiplex ac ablata AE ablate TZ; dij, et reliquam EB reliqua ZA eque fore muliyi. cem ac multiplex est tota AB totius TA,
Οταπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυ- ταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ἘΒ τοῦ ΓΗ.	Quam multiplex enim est AE ipsius TZ , n multiplex fiat ct EB ipsius PH,
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑἙῈ τοῦ ΓΕ" καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ" ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολ- λαπλάσιον τὸ ΑῈ τοῦ ΤΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ" κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑῈ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ’ ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλά-	Et quoniam eque multiplex est AE ipsius rz ac EB ipsius HT ; æque igitur est multiplex AE ipsius TZ ac AB ipsius HZ ; ponitur au- tem æque multiplex AE ipsius TZ ac A3 ipsius TA; æque igitur est multiplex AB utriusque

σιον τὸ ΑΒ ἱκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ’ ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΔΖ ἴσον ἐστί, Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑἙῈ τοῦ ΤΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τῷ ΗΓ τὸ Δ1" ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. Ισάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑἙ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ᾽ ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλα-	ipsarum HZ, rA; cequalis igitur HZ ipsi A. Com- munis auferatur 'Z ; reliqua igitur HT relique Az est wqualis. Et quoniam sque est multipler AE ipsius TZ ac EB ipsius HT, equalis autem ipsi HT ipsa AZ; zque igitur est mullipler AE ipsius TZ ac EB ipsius ZA. Eque autem ponitur multiples AE ipsius TZ ac AB ip sius ΓΔ ; æque igilur est multiplex EB ipsios
πλάσιον τὸ ἘΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ’ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἘΒ λοιποῦ τοῦ 2Δ ἰσάκις ἐσταὶ" πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. Βὰν ἄρα μέγεθος, καὶ τὰ ἑξῆς.	ZA ac AB ipsius TA ; et reliqua igitur EB reli- que ZA zxque erit multiplex ac multiplex est iota AB totius T'A. Si igitur magnitudo , etc.

PROPOSITION V.

Si une grandeur est le même multiple d’une grandeur que la grandeur retranchée l’est de la grandeur retranchée, le reste sera le même multiple du reste que le tout l’est du tout. Que la grandeur 48 soit le même multiple dé la grandeur rA que la grandeur retranchée AE l'est de la grandeur retranchée rz ; je dis que la grandeur restante EB sera le même multiple de la grandeur restante ZA que la grandeur entière AB l’est de la grandeur entière ΓΔ.

Que AE soit le même multiple de ΓZ que EB l’est de TH.

Puisque AE est le même multiple de rz que EB l’est de Hr, AE est le même multiple de rz que 48 l’est de Hz(1.5). Mais l’on a supposé que AE est le même multiple de rz que 48 l’est de ra; donc 48 est le même multiple de æz et de ra; donc Hz est égal à ra. Retranchons la partie commune rz ; le reste Hr sera égal au reste 4z. Et puisque AE est le même multiple de 1Z que EB l'est de Hr, et que ZA est égal à Hr, AE est le même multiple de rZ que EB l'est de za. Mais on a supposé que AE est le même multiple de ΓZ que AB l’est de ΓΔ ; donc EB est le même multiple de za que 48 l’est de ra; donc la grandeur restante EB sera le même multiple de la grandeur restante za que la grandeur entière 48 l’est de la grandeur entière ra. Donc, etc.