Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 24
C. F. Patris, (1, p. 399-401).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κδʹ. | PROPOSITIO XXIV. |
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Παντὸς παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διά- μέτρον παραλληλόγραμμα ὁμοιά ἐστὶ τῷ τ ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις. |
Omnis parallelogrammi circa diamcirum pa- rallelogramma similia sunt et toti et inter se. |
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Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, δυείμε- τρὸς δὲ αὐτοῦʼ ἡ ΑΤ. περὶ δὲ τὴν ΑΤ παραλλήῃ- λόγρᾶμμα ἔστω τὰ ἘΗ͂. ΘΚ᾽ λέγω ὃτι ξ : εοἰτερον τῶν ἘΗ͂. ΘΚ παραλλπλο“, ροἱμμων ὁμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις. |
Sit parallelogrammum ABTA, diameter au- lem ejus ipsa. ATʼ, circa. AT autem paralielo- gramma sint EH, ΘK ; dico utrumque ipsorum EH, OK parallelogrammorum simile esse toti ABTA et inter se. |
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Ἐπεὶ γάρ τριγωνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρὼῶν τὴν ΒΓ ὑκται ἡ ἘΖ. ἀγαλογὸν ἐστὶν ὡς |
Quoniam enim trianguli ABI juxta unum laterum BI ducta est EZ, proportionaliter est
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ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ἘΑ οὕτως ἡ ΤΖ πρὸς τὴν ΖΑ. Πάλιν. ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τῶν ΦʼτλενΡὢ’ν2 τὴν ΓΔ ἧκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογον ἆ’Ρα : Β ἐστὶν ὡς ἡ ΤΖ πρὸς τὴν ΖΑ οὕτως ἡ ΔῊ “ρὸς τὴν ΗΑ. Αλλʼ ὡς ἡ ΤΖ πρὸς τὴν ΖΑ οὕτως ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὄς τὴν ἘΑ’ καὶ ὡς οἰ’μι 1 ΒΕ ττρὄς τὴν ἘΑ οὕτως ἡ ΔΗ πρὃς τὴν ἨΑ- καὶ συντε- θέντι5 ὡς ἥ ΒΑ ʼπρἓς τὴν ΑῈ οὕτως ἡ ΔΑ πΡὄς τὴνϑ ΑΗ, καὶ ἕναλλἆξ ὡς ᾧʼ ΒΑ στρὄς |
ut BE ad EA ita IʼZ ad ZA. Rursus, quoniam irianguli ATA juxta unum laterum rA duca est ZH, proporüonalter igitur est nt TZ ad ZA ita AH ad HA. Sed ut rZ ad zA ilà os. tensa est et BE ad EA ; et ut igitur BE ad EA ita AH ad HA, et per compositionem, ut BA ad AE ita AA ad AH, et alterne ut BA ad AA ita EA ad AH ; ipsorum igitur ABTA, gH parallelogrammorum proporlionalia sunt latera |
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τὴν ΑΔ οὕτως ἢ ἘΑ πρὄς τὴν ΑῊἩ’ τῶν αρα ΑΒΓΔ. ΕΗ7 παραλληλογράμμων ἀνέλογον εἶσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν πῳνὴν γωγνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ. Καὶ εἐπεὶ ʼπαράλλπλὄς ἐστιν ἢ ΗΖ τῇ ΔΙ, ἰσὴ ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΙΓ. ἡ δὲ ὑπὸ ἩΖΑ τὴ ὑπὸ ΔΙΑϑ. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΙ΄. ΑΗΖ καὶ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία" ἰσογώνεον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ. Διὼ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΤΒ |
circa communem angulum BAA, Et quoniam parallela est HZ ipsi AP, zqualis est ipse qui- dem AHZ angulus ipsi AAT, ipse vero HZA 1psi ATA, et communis duobus triangulis AAT, AHZ ipse AAT angulus ; equiangulum igitur est AAT triangulum ipsi AHZ triaugulo. Propter eadem utique et ALB triangulum zquiangu- lum est ipsi AZE triangulo ; et totum igitur ABFA parallelogrammum ipsi EH parallelo-
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τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖῈ τριγώνῳ" καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ἘΗ παραλληλογράμμῷ ἰσογώνιόν ἐστινϑʼ" ἀνάλογον ἆ’ροι ἐστὶν ὦς ἡ ΑΔ ’πρὃς τὴν ΔΙΓ οὗτωςᾗ ΑΗ ʼπρὃς τὴν ΗΖ. ς δὲ 5 ΔΙ πρὃς τῆν ΤΑ οὕτως ἡ ἨΖ ʼπρὄς πὴν Ζ2ΖΑ. ὧς δὲ ἡ ΑΓ ’πρὄς τὴν ΙʼΒιοὖτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡς 10 ΤῈ πρὸς τὴν ΒΑ οὕτως ἡ ΖΕ ’πρὄς τὴν ἘΑ" καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μἔν ἡ ΔΓ ʼπρὄς τὴν ΤΑ οὕτως ἡ ἨΖ ʼπρὖς τὰν ΖΑς ὡς δὲ ἡ ΑΤ ’πΡὄς τὴν ΤΒ οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τῆν 2Ε" διίσου ἆ’ροι ἐστὶν ὡς ἡ. ΔΤ πρὃς τὖν ΒΓ οὐ’τως ἡ ΗΖ ’πρὄς τὴν ΖῈ" τῶν ἆ’ρω ΑΒΓΔ : ἘΗ παρ- αλλ-πλογροἔμμων ἆνάλογὄν εἰσιν αἱ ’πλευραἶ αἱ ’περἶ τὰς ἴσας γωνίας" ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παρ- αλληλόγραμμον τῷ ἘΗ παραλληλογράμμῳ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ 1 τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τςΐ ΘΚ παραλλπλογροἶμμῳ ὖμοιὅν ἐστιν" ἐκά- τερον ἄρα τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμῳ ὁμοιόν ἐστι. Τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὁμοιώ" καὶ τὸ ἘΗ ἄρα ʼπαραλλκλὄγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅδμοιόν ἐστʼ, Παντὸς ἄρα, καὶ τὰ εξῆς. |
grammo zequiangulum est ; proportionaliier igi- tur est ut AA ad AT ita AH. ad HZ. Ut autem AT ad PA ita HZ ad ZA, ut ATP vero ad TB ila AZ ad ZE, et insuper ut PB ad BA ita ZE ad EA ; et quoniam ostensum est ut ATP quidem ad lA ita HZ ad ZA, ut AT vero ad UB ita AZ ad ZE ; ex equo igilur est ut Alad BTʼ ita HZ ad ZE. Ipsorum igitur ABDA, EH paralleiograra- morum proportionalia sunt latera circa equales angulos ; simile igitur est. ABA parallelogram- mum ipsi EH parallelogrammo. Propter eadem utique et ABPA parallelogrammum et ipsi OK parallelogrammo simile est ; utrumque igitur ipsorum EH, OK parallelogrammorum ipsi ABLA perallelogrammo simile est. Ipsa autem eidem rectilineo similia, ct inter se sunt si- milia ; et EH igitur parallelogrammum Ipsi OK parallelogrammo simile est. Omnis igitur, etc. |
Dans tout parallélogramme, les parallélogrammes autour de la diagonale sont semblables au parallélogramme entier et semblables entr’eux.
Soit le parallélogramme ABrA, que Ar soit sa diagonale, qu’autour de la diagonale Ar soient les parallélogrammes EH, ΘK ; je dis que les parallélogrammes EH, ΘK sont semblables au parallélogramme entier ABrA, et semblables entr’eux.
Puisqu’on a mené Ez parallèle à un des côtés 8r du triangle ABr, la droite BE est à E4 comme IZ est à ZA (2. 6). De plus, puisquʼon a mené ZH parallèle à un des côtés ra du triangle AIA, la droite TZ est à ZA comme AH est à HA. Mais on a démontré que TZ est à ZA comme BE est à EA ; donc BE est à EA comme AH est à HA (11. 5) ; et par composition, BA est à AE comme A4 esl à AH (18. 5), et par permutation, BA est à AA comme EA est à AH (16. 5) ; donc les côtés des parallélogrammes 4Br4, EH autour de l’angle commun B44 sont proportionnels. Et puisque HZ est parallèle à AT, l’angle AHZ est égal à l’angle 4ar (29. 1), et l’angle HzA égal à l’angle ATA ; mais l’angle AAT est commun aux deux triangles AAT, AHZ ; donc les triangles AAT, AHZ sont equiangles. Les triangles ATB, AZE sont équiangles, par la même raison ; donc le parallélogramme entier ABrA, et le parallélogramme EH sont équiangles ; donc AA est à AT comme AH est à HZ (4. 6). Mais AT est à TA comme Hz est à ZA, et AT est à TB comme AZ est à ZE, de plus, TB est à BA comme ZE est à EA, et l’on a démontré que Ar est à TA comme HZ est à ZA, et que AT est à rB comme AZ est à ZE ; donc, par égalité, AT est à Br comme HZ est à ZE (22. 5) ; donc les côtés des parallélogrammes ABrA, EH, autour des angles égaux, sont proportionnels ; donc le parallélogramme ABrA est semblable au parallélogramme EH (déf. 1. 6). Le parallélogramme 4Bra est semblable au parallélogramme ex, per la même raison ; donc chacun des parallélogrammes EH, @k est semblable au parallélogramme ABrA. Mais les figures qui sont semblables chacune à une même figure, sont semblables entr’elles (21. 6) ; donc le parallélogramme EH est semblable au parallélogramme ex. Donc, etc.