Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814/Éléments - Livre 6
F. Peyrard, 1814.
| ◄ Éléments - Livre 5 | Éléments - Livre 6 | Éléments - Livre 7 ► |
Proposition 1. Les triangles et les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont entr’eux comme leurs bases.
Proposition 2. Si l’on mène une droite parallèle à un des côtés d’un triangle, cette droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle ; et si les côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la droite qui joindra les sections sera parallèle au côté restant du triangle.
Proposition 3. Si un angle d’un triangle est partagé en deux parties égales, et si la droite qui partage cet angle coupe la base, les segments de la base auront la même raison que les côtés restants de ce triangle ; et si les segments de la base ont la même raison que les autres côtés du triangle, la droite menée du sommet à la section, partagera l’angle de ce triangle en deux parties égales.
Proposition 4. Dans les triangles équiangles, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels ; et les côtés qui soutendent les angles égaux, sont homologues.
Proposition 5. Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels, ils seront équiangles, et ils auront les angles soutendus par les côtés homologues égaux entr’eux.
Proposition 6. Si deux triangles ont un angle égal à un angle, et si les côtés autour des angles égaux sont proportionnels, ces deux triangles seront équiangles, et les angles soutendus par des côtés homologues seront égaux.
Proposition 7. Si deux triangles ont un angle égal à un angle, si les côtés autour des autres angles sont proportionnels, et si l’un et l’autre des angles restants sont en même temps ou plus petits ou non plus petits qu’un droit, les triangles seront équiangles, et les angles compris par les côtés proportionnels seront égaux.
Proposition 8. Si dans un triangle rectangle on mène une perpendiculaire de l’angle droit sur la base, les triangles adjacents à la perpendiculaire sont semblables au triangle entier et semblables entr’eux.
Proposition 9. Dʼune droite donnée retrancher la partie demandée.
Proposition 10. Partager une droite donnée, qui n’est point partagée de la même manière quʼune droite donnée est partagée.
Proposition 11. Deux droites étant données, trouver une troisième proportionnelle.
Proposition 12. Trois droites étant données, trouver une quatrième proportionnelle.
Proposition 13. Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle.
Proposition 14. Deux parallélogrammes étant égaux et équiangles, les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels ; et les parallélogrammes équiangles dont les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels, sont égaux entr’eux.
Proposition 15. Si deux triangles égaux ont un angle égal à un angle, les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels ; et si deux triangles ont un angle égal à un angle, et si les côtés autour de ces angles égaux sont réciproquement proportionnels, ces deux triangles sont égaux.
Proposition 16. Si quatre droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les deux extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes ; et si le rectangle compris sous les extrêmes et égal au rectangle compris sous les moyennes, ces quatre droites sont proportionnelles.
Proposition 17. Si trois droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les extrêmes est égal au quarré de la moyenne ; et si le rectangle compris sous les extrêmes est égal au quarré de la moyenne, ces trois droites seront proportionnelles.
Proposition 18. Sur une droite donnée, décrire une figure rectiligne semblable à une figure rectiligne, et semblablement placée.
Proposition 19. Les triangles semblables sont entr’eux en raison double des côtés homologues.
Proposition 20. Les polygones semblables peuvent être divisés en triangles semblables, égaux en nombre, et homologues aux polygones ; et le polygone a avec le polygone une raison double de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue.
Proposition 21. Les figures rectilignes semblables à une même figure sont semblables entr’elles.
Proposition 22. Si quatre droites sont proportionnelles, les figures rectilignes semblabies et semblablement construites sur ces droites, seront proportionnelles ; et si des figures rectilignes semblables et semblablement construites sur ces droites sont proportionnelles, ces mêmes droites seront proportionnelles.
Proposition 23. Les parallélogrammes équiangles ont entr’eux une raison composée des côtés.
Proposition 24. Dans tout parallélogramme, les parallélogrammes autour de la diagonale sont semblables au parallélogramme entier et semblables entr’eux.
Proposition 25. Construire une figure rectiligne semblable à une figure rectiligne donnée et égaie à une autre figure rectiligne donnée.
Proposition 26. Si d’un parallélogramme on retranche un parallélogramme, semblable au parallélogramme entier, et semblablement placé, et ayant avec lui un angle commun, ces parallélogrammes seront autour de la même diagonale.
Proposition 27. De tous les parallélogrammes qui sont appliqués à une même droite, et qui sont défaillants de parallélogrammes semblables au parallélogramme décrit sur la moitié de cette droite, et semblablement placés, le plus grand est celui qui est appliqué à la moitié de cette droite, et qui est semblable à son défaut.
Proposition 28. À une droite donnée appliquer un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée, et qui soit défaillant d’un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné : il faut que La figure rectiligne donnée ne soit pas plus grande que le parallélogramme appliqué à la moitié de la droite donnée ; le défaut du parallélogramme appliqué à la moitié de cette droite.
Proposition 29. Appliquer à une droite donnée, un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée, et qui soit excédent d’un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.
Proposition 30. Couper une droite finie et donnée en moyenne et extrême raison.
Proposition 31. Dans les triangles rectangles. la figure construite sur le côté qui soutend lʼange droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprènent lʼangle droit.
Proposition 32. Si deux triangles, ayant deux côtés proportionnels à deux côtés, se touchent par un angle, de manière que leurs côtés homologues soient parallèles, les côtés restants des triangles seront dans la même direction.
Proposition 33. Dans les cercles égaux, les angles ont la même raison que les arcs qu’ils comprènent, soit que les angles soient placés aux centres ou bien aux circonférences ; il en est de même des secteurs qui sont construits aux centres.