Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 29
C. F. Patris, (1, p. 413-415).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κθʹ. | PROPOSITIO XXIX. |
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Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυ- γράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραξαλεῖν. ὑπερξάλλον εἶδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι. |
Ad datam rectam dato rectilineo e quale pa- rallelogrammum applicare, excedens figurá pa- Pallelogrammá simil data. |
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Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. τὸ δὲ δοθεν εὐθύγραμμον. ᾧ δὲ : ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραξα- λεῖν, τὸ Τ. ᾧ δὲ δεὶ ὅμοιον ὑπερξζαλεῖν, τὸ Δ δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Τ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραῤαλεῖν. ὑπερξζάλ- λον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ. |
Sit data quidem recta AB, datum vero rec- ülinecum T, cui oportet equale ad AB applicare, A autem cui oportct simile applicare ; oportet igilur ad AB rectam ipsi P rectilineo : æquale parallelogrammum applicare, excedens figurá parallelogrammâ simili ipsi Δ. |
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Τετμησθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγε- γράφθω ἀπὸ τῆς ἘΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κεί- μένον παραλληλογραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμιῷο- |
Secelur AB bifariam in E, et describatur ex EB ipsi A simile et similiter positum paralle- logrammum BZ, ct utrisque simul quidem BZ,
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τέρο ; ς μὲέν τοῖς ΒΖ, Γ ἰσὸν, Ττῷ δὲ Δ ὁμοιὸν καὶ ομοίως κπείμενον τὸ αὐτὸό συγνεστάτω τὸ ἢΘ" ὅμοιοὸν ἔρα ἐστὶ τὸ ἨΘ τῷ ΕΛ΄. Ομόλογ ος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΔ. ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ, Καὶ ἐτεὶ μεῖζόν ἰστι τὸ ἨΘ τοῦ 2Β. μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἢ μὲν ΚΘ τῆς ΖΔ. ἡ. δὲ ΚΗ τῆς ΖΕ. Ἐκζε- ϐλήσθωσαν αἱ ΖΔ. ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἔσῃ ἐστὼ ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕῈΝ- καὶ συμπεπλη- |
Γ æquale, ipsi vero A simile et similiter posi- tum idem constituatur HO ; simile lgitur egt HO ipsi EA. Homologa autem sit Ko quidem ipsi ZA, ipsa vero KH ipsi ZE. Et quoniam majus est HO ipso ZB, major igitur est et ipsa quidem KO ipsà ZA, ipsa vero KH Ipsà zg, Producantur ipse ZA, ZE, et ipsi quidem ΚΘ æqualis sit ZAM, ipsi vero KH &€qualis ZEN |
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ρώσϑω τὸ ΜΝʼ τὸ ΜΝ ἀρὰ τῷ ΗΘ ὅσον τέ ἐστι καὶ ομοιὸνς Αλλὼ τὸ ἨΘ τῷ ἘΛ ἐστιν ομιοίον" καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ" ἘΛ ὁμοιὸν ἐστι" πέερὶ τὴν αὑτὴν ἀρα διαμετρὸν ἐστί τὸ ἘΛ τῷ ΜΗ Ἰἴχϑω αὐτῶν ἡ διάμετρος ἢ 11Ξ. καὶ καταγεγοζφὕύω τὸ σχἥμα. |
et compleatur MN ; ipsum MN igitur ipsi HO equaleque est et simile. Sed HO ipsi EA est simile ; et MN igitur 1psi EA simile est ; circa camdem igitur diametrum est 1psum EAÀ circa quam MN. Ducatur corum diameter Zz, et describatur figura. |
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Ἐπεὶ οὖν" ἴσον ἐστὶ τὸ Θ τοῖς EΛ, Γ. αλλὰ |
Et quoniam equale est HO ipsis EΛ, Γ,
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τὸ ΗἨΘ τῷ ΜΝ ἔσον ἐστί" καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖς ΕΛʼ Γ ἴσον ἔστί, Κοινὸν ἆφυρᾗσθω τὸ ἘΛ" λοιπὸς αρά ὃ ΨΧΦ γνώμων τῷ Τ ἐστὶν ἰσοςΐ, Καὶ επει ἰσὴ : ’πτ ΕΒ. ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τω ΝΒ) τουτέστι τῷ ΛΟ, Κοιγὸν προσπείσθω τὸ ἘΞ ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμωνι Αλλὰ ὃ ΦΧΨ γνώμων τὸ Τʼ ἴσος ἐστί" καὶ το ΑΞ ἄρὰ τῷ Τ σὸν Ε ΤΊΨ. |
sed HO ipsi MN æquale est ; ct MN igitur ipsis EA, TP æquale est. Commune anferatur EA ; reliquus igitur ΨΧΦ gnomon ipsi P est equalis. Et quoniam æqualis est AE ipsi EB, æquale est et. AN ipsi NB, hoc est ipsi AO. Commune apponatur EZ ; totum jgitur AZ g- quale est ipsi ΦΧΨ gnomoni. Sed ΦΧΨ gno- mon ipsi T equalis est ; et AZ ieitur ipsi T æquale est. |
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Παρὰ τὴν δοθεῖδαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντ, εὐθυγράμμῳ τῷ Τ ἦσον Φαραλληλογραμ- μὸν παραξέξληται τὸ ΑΞ΄. ὑπερξέλλον εἶδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντε τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ἘΛ ἐστὴν ὅμοιον τὸ ΟΠ", Οπερ ἔδεν ποιῆσαι. |
Ad datam igitur rcctam AB dalo rcctilinco Γ æquale parallelogrammum applicatum est AE, excodens figurà parallelogrammá ΠO si- mil existenti ipsi A, quoniam et ipsi EA est simile OΠ, Quod oportebat facere. |
Appliquer à une droite donnée, un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée, et qui soit excédent d’un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.
Soit AB la droite donnée, à laquelle il faut appliquer un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée Γ, et qui soit excédent d’un parallélogramme semblable à un parallélogramme Δ ; il faut à la droite AB appliquer un parallélogramme qui soit égal à la figure rectiligne Γ, et qui soit excédent d’un parallélogramme semblable au parallélogramme Δ.
Coupons AB en deux parties égales au point E (9. 1), sur la droite EB décrivons le parallélogramme BZ semblable au parallélogramme 4 et semblablement placé (18. 6), et construisons le parallélogramme HΘ égal aux deux figures EΛ, T, et semblable au parallélogramme Δ, et semblablement placé (25. 6) ; le parallélogramme HΘ sera semblable au parallélogramme EA. Que KΘ soit l’homologue de ZΛ, et KH l’homologue de ZE. Puisque HΘ est plus grand que ZB, la droite KΘ est plus grande que ZΛ, et la droite KH plus grande que ZE. Prolongeons ZΛ, ZE, que ZΛM soit égal à KΘ, et ZEN égal à KH (3. 1), et achevons le parallélogramme MN. Le parallélogramme MN sera égal et semblable au parallélogramme HΘ. Mais le parallélogramme HΘ est semblable au parallélogramme EΛ ; donc le parallélogramme MN est semblable au parallélogramme EΛ (21. 6) ; donc les deux parallélogrammes EΛ, MN sont autour de la même diagonale (26. 6). Menons leur diagonale ZΞ, et décrivons la figure.
Puisque le parallélogramme HΘ est égal aux figures EΛ, Γ, et que HΘ est égal à MN, le parallélogramme MN est égal aux figures EΛ, Γ. Retranchons le parallélogramme commun EΛ ; le gnomon restant ΨXΦ sera égal à Γ. Et puisque AE est égal à EZ, le parallélogramme AN est égal au parallélogramme NB (36. 1), c’est-à-dire au parallélogramme ΛO (43. 1). Ajoutons le parallélogramme commun EΞ, le parallélogramme entier AΞ sera égal au gnomon entier ΦΧΨ. Mais le gnomon ΦΧΨ est égal à Γ ; donc le parallélogramme AΞ est égal à Γ.
On a donc appliqué à la droite donnée AB un parallélogramme AΞ qui est égal à la figure rectiligne donnée Γ, et qui est excédent d’un parallélogramme ΠO semblable au parallélogramme Δ, parce le parallélogramme EΛ est semblable au parallélogramme OΠ, Ce qu’il fallait faire.