Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 17

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 465-466).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιζ´.	PROPOSITIO XVII.
Βὰν ἆριθμὃς δύο οἷριθμοὖς πολλαπλασιάσας ποιὴ τινας" οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν πὸν αὐτὸν ἐξουσι ʼλόγον πολλαπλασιασθεῖσιν.	Si numerus duos numeros multiplicans facit aliquos, facti ex ipsis eamdem rationem habebunt quam multiplicati.
Αριθμὸς γὰρ δ᾽Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β. Τ πολλαπλασιάσας τοὺς Δ. Ε ποιείτω" λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς 08Β πρὸς τὸν Τ οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν E.	Numerus enim A duos numeros B, Tʼ multiplicans ipsos A, E faciat ; dice esse ut B. ad Tʼ ita. A ad E.

Ἐπεὶ γάρο Α τὸν Β πολλαπλασιᾶασας τὸν Δ ΠεπΟΙΉκεν" ο Β ἀρὰ τὸν Δ μεέετρει κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μοναάδὰς. Μετρεἳ’ δὲ καὶ ἡ 2 μονᾶς τὸν Α αμθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας" ἰσώκις ἄρα Ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ α Β τὸν Δʼ ἐστιν ἀρω ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμονϑ ουτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ. Δίὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἢ	Quoniam enim A ipsum B multiplicans ipsum A fecit ; B. igitur ipsum A metitur per ipsas in A unitates. Metitur autem et Z unitas ipsum A numerum per ipsas in eo unitates ; equalhter igitur Z unitas ipsum A numerum metitur ac B ipsum A ; est igitur ut Z unitas ad A numerum ita B ad A. Propter eadem uti-
Ζ μονοἶς ʼπρὃς τὸν Α οἷριθμὃν οὕτως ὁ Τ πρὃς τὸν Ἐ’ καὶ ὡς ο’ι’ροι 6 Β ’πρὃς τὸν Δ οὕτως ὁ Τ πρὸς τὸν Ε : ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Τ οὕτως ὃ Δ πρὸς τὸν Ἐ Οπερ ἔδει δεῖξαι.	que et ut Z unitas ad A numerum ita T ad E ; et ut igitur B ad A ita Tʼ ad E ; alterne igitur est ut B ad Tʼ ita A ad E. Quod oportebat ostendere.

PROPOSITION XVII.

Si un nombre multipliant deux nombres en produit d’autres ; les nombres produits auront la même raison que les nombres multipliés.

Que le nombre A multipliant les nombres B, r produise les nombres 4, E ; je dis que B est à T comme A est à E.

Car, puisque A multipliant B a produit A ; B mesure A par les unités qui Sont en A (déf. 15. 7). Mais l’unité z mesure le nombre A par les unités quʼil contient ; donc l’unité Z mesure le nombre A autant de fois que B mesure A ; donc l’unité Z est au nombre A comme B est à A. Par la même raison, l’unité Z est au nombre A comme T est à E ; donc B est à A comme Tr est à E ; donc, par permutation, B est à T comme 4 est à E (13. 7). Ce quʼil fallait démontrer.