Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 2

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 436-439).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ β΄.	PROPOSITIO II.
Δύο ἀριθμῶν δυϑέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλύ- λοὺυς, τὸ μεγιστον αὐτῶν κοιγὸν μέτρον εὑρεῖν.	Duobus numeris datis non primis inter se, maximam eorum communem mensuram invenire.
Ἑστῶωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, οἱ ΑΒ. ΓΔ, καὶ ἔστω ἐλάσσων δ ΤΔ" δὲῖ δὴ τῶν ΑΒ. ΤΔ τὸ μέγιστον κοιγὸν μέτρον εὑρεῖν.	Sint dati duo numeri non primi inter se lʼA, et sit minor TA ; oportet igitur ipὁ sorum AB, TʼA maximam communem mensuram invenire.

Εἰ μὲν οὖν οἿΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ εαὐτον" Ο ΤΔ ἀρὰ τῶν ΑΒ, ΓΔὥ κοινὸν με- τρὸν ἐστι. Καὶ φανερὸν ὁτι καὶ μέγιστον, οὐυδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΤΔ τὸν ΤΔ μετρήσει.	Si TA quidem ipsum AB melitur, metitur — Vero etseipsum ; ipse ΓΑ igitur ipsorum AB, TA communis mensura est. Et manifestum est et maximam ; nullus enim major ipso lʼA ipsum IʼA metietur.
Εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ο ΤΔ τὸν ΑΒ. τῶν ΑΒ. ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀἁεἰ τοῦ ἐλάττονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ληφθήσεταί τις ἀριθμὸς, ὃς μετρήσει	Si autem non metitur lʼA ipsum AB, ipsorum AB, lʼA detracto semper minore de majore, relinquetur aliquis numerus, qui me-

τὸν πρὸ εαυτοῦ, Μονὰς μὲν γαρ οὐ ληφθήσεται. Εἱ δὲ μᾗ, ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὃς ἀλλή- λους, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται" ληφθάσετα, ἀρα τις	tietur eum præ se ipso. Unitas quidem non enim relinquetur. Si autem non, erunt AB, TA primi inter se, quod non ponitur ; relin-
ἀριθμὸς, ὡς μετρέσει τὸν πρὸ εαὐτοῦ. Καὶ ὁ μὲν ΤΔ τὸν ΑΒ μεέτρων λειπεέτω εαυὐτοῦ ἐλασσονὰ τὸν ΕΑ. ὃ δὲ ἘΑ τὸν ΔΙ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ τὸν ΖΓ. ὃ δὲ ΤΖ τὸν ἙΑ μετρείτω, Ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὃ δῈ ΑἙ τὸν ΔΖ μετρεῖ" καὶ ὁ ΓΖ ἆροι τὸν ΔΖ μετρᾗσει, Μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυ-- τόν" καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΤΔ μετρήσει. Ο δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ" καὶ ὃ ΓΖ ἄρα τὸν ΒῈ μετρεῖς Μετρει δὲ καὶ τὸν ΕΑ" καὶ ολον ἀρὼ τὸν ΒΑ	quetur igitur aliquis numerus, qui metielur eum pre se ipso. Et ipse quidem rA ipsum AB meliens relinquat se ipso minorem ΣΑ ipse vero EA ipsum AT metiens relinguy se ipso minorem ZTʼ, ipse autem TZ Ipsum EA metiatur. Et quoniam TZ ipsum AE metiiur, ipse autem AE ipsum AZ metitur ; et T7 igitur ipsum AZ metietur. Metitur autem el se ipsum ; et totum igitur TÀ meletur, Ipse

μετρήσει. Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΤΔʼ ὑ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ. ΤΔ μετρεῖ" ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστί, Λέγω δὴ ὅὃτι καὶ μέ- γιστον. Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὃ ΓΖ τῶν ΑΒ. ΓΔ μέγιστον κοιγὸν μἔτρον, μετρᾗσει τις τοὺς ΑΒ. ΓΔʼ ἀριϑμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὧν τοῦ ΓΖ. Με- τρείτω. καὶ ἔστω ὃὁ Ἡ. Καὶ ἐπεὶ ὃὁ Η τὸν ΤΔ μετρεῖ. ὃ δὲ ΤΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ" καὶ ὃ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρήσει", Μετρεῖ δὲ καὶ ὁλον τὸν

autem TʼAÀ ipsum BE metitur et TZ igitur ipsum BE metitur. Metitur autem et ipsum EA ; et totum igitur BA metietur. Metitur autem et ipsum TA ; ipse lʼZ igitur ipsos AB, TʼA metitur ; TZ igitur ipsorum AB, TʼÀ communis mensura est. Dico utique et maximam, si enim non est ClZ ipsorum AB, TA maxima com- munis mensura, metietur aliquis AB, ΓΔ numeros numerus major existens ipso ΓZ. Μe-

ΒΑ’ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑῈ μετρήσει. Ο δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ καὶ ὁ Η ἄρὰ τὸν ΔΖ με- τρέἲ. Μετρει δὲ καὶ ὁλὸν τὸν ΔΙ" καὶ λοιπὸν ἀρῶ Τον ΓΖ μετρήσει, ὁ μειζων τὸν ἐλασσονα, ὅπερ ἐστὶν ἀδυνατον" οὐκ ἀρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμους ἀριθμὸς τις μετρησει. μείζων ὧν τοῦ ΓΖ ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ. ΓΔ μέγιστόν εστι κοινὸν μέτρον. Οπερ ἔδε δεῖξαι.

latur, et sit H, Et quoniam H ipsum TA meütur, ipse vero A ipsum BE metitur ; et ipse H igitur ipsum BE metietur. Metitur autem et totum BA ; et reliquum igitur ipsum AE melietur. Ipse autem AE ipsum AZ metitur ; et H igitur ipsum AZ metitur. Metitur autem et totum AD ; et reliquum igitur TZ metietur, major minorem, quod est impossibile ; non igitur AB, TA numeros numerus aliquis metietur, major existens ipso TZ ; ipse TZ igitur : ipsorum AB, TA maxima est communis mensura. Quod oportebat ostendere.

ΠΟΡΙΣΜΑ.	COROLLARIUM.
Ἐκ δὴ τούτου Φανερὸν. ὃτι ἐάν ἀριθμὲς δὺο ἀριθμοὺς μετρῇ. καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοιγὰν μέτρον μετρήσειή,	Ex hoc utique manifestum est, si numerus duos numeros metiatur, et maximam eorum communcm mensuram mensuruln esse.

PROPOSITION II.

Deux nombres non premiers entrʼeux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure. Soient donnés les deux nombres ΑΒ, ΓΔ non premiers entrʼeux, et que ΓΔ soit le plus petit ; il faut trouver la plus grande commune mesure des nombres AB, ΓΔ.

Si ΓΔ mesure AB, le nombre ΓΔ sera une commune mesure des nombres ΓΔ, AB, parce que ΓΔ se mesure lui-même ; et il est évident quʼil en sera la plus grande, car aucun nombre plus grand que ΓΔ ne peut mesurer ΓΔ.

Mais si ΓΔ ne mesure pas AB, et si on retranche toujours le plus petit des nombres AB, ΓΔ du plus grand, il restera quelque nombre qui mesurera celui qui est avant lui. On nʼaura pas lʼunité pour reste ; car si cela était, les nombres AB, ΓΔ seraient premiers entrʼeux, ce qui nʼest pas supposé ; il restera donc quelque nombre qui mesurera celui qui est avant lui. Que TA mesurant AB laisse EA plus petit que lui-même ; que EA mesurant 41 laisse Zr plus petit que lui-même ; et enfin que rZz mesure EA. Puisque r mesure AE, et que AE mesure AZ, le nombre TZ mesurera AZ. Mais il se mesure lui-même ; donc il mesurera TA tout entier. Maïs TA mesure BE ; donc F2 mesure BE. Mais il mesure EA ; donc il mesurera BA tout entier. Mais 1 mesure TA ; donc TZ mesure AB et TA ; donc TZ est une commune mesure des nombres AB, rA. Je dis qu’il en est la plus grande. Car si rZ n’est pas la plus grande commune mesure des nombres AB, rA, quelque nombre plus grand que TZ mesurera les nombres AB, TA. Qu’un nombre plus grand les mesure, et que ce soit H. Puisque H mesure ra, et que rA mesure 8E, le nombre H mesurera BE Mais il mesure BA tout entier ; donc il mesurera le reste AE. Mais. AE mesure AZ ; donc H mesure AZ. Mais il mesure Ar tout entier ; donc il mesurera le reste TZ, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc quelque nombre plus grand que rz ne mesurera pas les nombres AB, TA ; donc rz est] la plus grande commune mesure des nombres AB, ra. Ce qu’il fallait démontrer.

COROLLAIRE.

Il suit évidemment de là, que si un nombre en mesure deux autres, il mesure aussi leur plus grande commune mesure.