Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 3
C. F. Patris, (1, p. 440-443).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ γ´. | PROPOSITIO III. |
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Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλ- λήλους5 τὸ μεγιστον αὐτῶν κοιγὸν μετρον εὖ- ρεῖν. |
Tribus numeris datis non primis inter se, et Maximain eorum communem 1nensuram invenire |
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Ἐστωσαν οἱ δοθέντες τρεὲς ἀριθμοὶ μή πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, οἱ Α, Β, Γ δὲῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοιγὸν μέτρον εὑρεῖν. |
Sint dati tres numeri non primianter se A, B, Γ ; oporlet igitur ipsorum A, B, T maximam communem mensuram invenire. |
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Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α. . Β τὸ μέγιστον κοι- νὸν μέτρον ὃ Δʼ ὁ δὴ Δ τὸν Τ ἦτοι μετρεῖ. ῆ οὐ μετρεῖ. ʼΜετρεἰτω πρὄτερον- μετρεἳ’ δὲ παἶ ’τους Α. Βʼ ὃ Δ αρα τους Α, Β. }. 1 μστρω ͵ο Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μετῥον ἔστί. Λέγω ὅτι καὶ μέγιστον. Ἐἰ γαρ μη εστιν ο Δ ῇτ. ων Α. Β, Γ μίγιστον κοινὸν μετρον 5 μετρπσει τὁυζ Α. Β, Γ αριθμους αριθμος μειζων ὧν τοῦ Δ. Με- |
Sumatur enim duorum A, B maxuma communis mensura À ; ipse utique À ipsum T vel Metitur, vel non meütur. Metiatur primum, metitur autem et ipsos A, B ; ipse A igitur A yt ipsos A, B, Γ metitur ; ipse A igitur ipsorum A, B, Γ communis mensura est, Dico et maxiB, T roue À, mam. Si enim non est À ipsorum A, B, Γ maxima communis mensura, metietur À,
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τρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ἐ. Ἐπεὶ οὐὖν ΟῈ τουςα. Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β ἄρα μετρπσειζ καὶ τὸ τῶν Α. 0 Β μεγιο“τον κοιγὸν μετρον μετρῃσει. Τὸ δὲ τῶν Α. Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστιν ὁ Δʼ 0Ὲ ἀρὰ τὸν Δ μετρέι5 0 μειζων Τον. ἐλάσσονα. ὅὃπερ ἐστὶν αδυνατον" οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀαριθῦμος μετρῆσει ! μείζων τοῦ Δ ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστον εστι κοινὸν μέτρον. |
B ; Γ numeros numerus major existens ipso A, Metiatur, et sit E, Et quoniam E ipsos A, B, T metitur, et ipsos A, B igitur metietur, et ipsorum igitur A, B maximam communem mensuram melietur. lpsorum autem A, B maxima communis mensura est A ; ipse igitur E ipsum A metitur, major minorem, quod est impossibile ; non igitur ipsos À, B, l numeros numerus aliquis metietur major ipso A ; ipse A igitur ipsorum A, B, Tʼ maxima est communis mensura. |
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Μὴ μετρείτω δὲ ὁ Δ τὸν Γ λέγω πρῶτον. ὅτι οἱ Δ, Γ οὐκ εἰσὶ πρῶτο ; πρὸς ἀλλήλους, Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ οὐκ εἰσὶ πρωτοι πρὸς ἆλλἤλους, με- τρήσει τὶς αὐτοὺς ἀριθμός" ὃ δὲ τοὺς Α. Β. Γ με- |
Non metitur autem A ipsum FTʼ ; dico primum numeros A, T non esse primos inter se. Quoniam enim A, B, Tʼ non sunt primi inter Se, metietur aliquis eos numerus ; qui autem |
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Τρῶν, καὶ τοὺς Α, Β μετρήσε, καὶ τὸ τῶν Α, Β μεγίστον κοινὸν μετρον τὸ ἃ μετρῆσει. Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Τʼ τοὺς Δ. Γ ἆ’ρα οἷριθμὄς τις μετρη- |
ipsos A, B, l mettur, et ipsos À, B meletur, etipsorum A, B maximam mensuram. A metetur. Metitur autem et ipsum T ; ipsos A, T igitur
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δει" οἱ ΔΟΙ ἀρὼ οὐυκ εἰσὶ σρῶτοι πρὸς ἀλλή- λους. Εἰϊἰληφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινοὸν μέτρον, 9 Ε. Καὶ ἐπεὶ 9 Ἑ τὸν Δ μετρεὶ 5 ὁ δὲ Δ τους Α. Β μβετρει" καὶ 6 Ἑ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ. Μετρεὶ δὲ καὶ τὸν Τʼ ὁ Ἑ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μέτρει" ΟῈ ἀἂρὰ τῶν Α, Β, Γ κοιγὸν ἐστι μέτρον. Λέγω δηΐ ὃτι καὶ μέγιστον. Ἐἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁ Ἑ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον |
numerus aliquis metüetur ; ipsi A, P igitur noy sunt primi inter se. Sumatur igitur eorum maxima communis mensura E. Et quoniam g ipsum A metitur, ipse autem 4A ipsos A, B metitur ; et E igitur 1psos A, B, metitur, Me. ütur autem et ipsum Tʼ ; ipse E igitur Ipsos A, B, T metitur ; ipse E igitur ipsorum A, 8, I communis est mensura, Dico autem et maximam. |
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κοινὸν μέτρον, μετρῆσει τὶς τοὺς A, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὧν τοῦ Ἐ. Μετρείτω, καὶ ἔστω ὃ Ζ. Καὶ ἐπεὶ ο Ζ τὸος Α. Β. Γ μέετρεῖ, καὶ τοῦυς Α, Β μέτρεῖ, καὶ τὸ τῶν Α, Β ἀραῦ μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. Τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγίστον κόιγὸν μετρὸν ἐστὶν ὁ Δʼ ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ. Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Τʼ Ζ αρα τους Δ, Τ μετρειʼ καὶ τὸ τῶν Δ, Γ ἄρα μέγιστον κοιγὸν μέτρον μετρπσʼω. Ἰὸ δετῶν Γ. |
Si enim non est E ipsorum A, $, P maxima communis mensura, metietur aliquis ipsos 4, B, Clʼ numeros numerus major existens ipso E ; metiatur, et sit Z. Et quoniam Z ipsos A, B, T metitur, et ipsos A, B metitur, et ipsorum A, B igitur maximam communem mensuram me. tetur. Ipsorum autem A, B maxima communis mensura est A ; ipse Z igitur ipsum A metitur, Metitur. autem et ipsum I ; ipse Z igitur ipsos A, T |
|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Δ μέγιστον κοιν μετρον εστιν ὁ E* ὁ Z αρα τὸν Ἐ μέτρει ! 5 ὁ μειζων τὸν ἐλασσονα, οἴπτερ ἐστὶν ἀδύνωτον" οὐκ ἄρα τοὺς Α- Β. Τ ἀριθμός τις μετρήσει με ; ζων ὧν τὸυ ἘΟῈ ἀρὰ Των Α, Β, Γ μέγιστον ἐστιν κοιγὸν μέτρον. | style="width:50%; vertical-align:top;" | metitur ; et ipsorum A, I igitur maximam communem mensuram metitur. Ipsorum autem 5, A maxima communis mensura est E ; ipse Z igitur ipsum E metitur, major minorem, quod est impossibile ; non igitur ipsos A, B, T numerus aliquis mctietur major existens ipso E ; ipse E igitur ipsorum A, B, Iʼ maxima est communis mensura. |- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Τριῶν αρα αριθμῶν δοθεντων μὴ πρωτων προς ἀλλήλους, εὕρηται τὸ μέγιστον κομΜὸν μέτρον. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. | style="width:50%; vertical-align:top;" | Tribus igitur numeris datis non primis inter se, inventa est maxima communis "mensura. Quod oportebat facere. |}
| ΠΟΡIΣΜA. | COROLLARIUM. |
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Ἐκ δὴ τούτων φαγερὸν, ὅτι ἐαν ἀριθμὸς ἀριθμοὺς τρεῖς μέτρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει. |
Ex his utique mamfestum est, si numerus numeros ires metiatur, et maximam eorum communem mensuram mensurum esse. |
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Τὸν αὐτὸν δὲ τρόπου καὶ πλειόνων αριθμῶν δοθέντων, τὸ μέγιστον κοινὸν μετρον ευρήσομεν. |
Eodem modo ct pluribus numeris daüs, maximam communem mensuram inveniemus. |
Trois nombres non premiers entrʼeux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure.
Soient donnés les trois nombres A, B, T non premiers entrʼeux ; il faut trouver leur plus grande commune mesure.
Prenons la plus grande commune mesure Δ des deux nombres A, B ; le nombre A mesure, ou ne mesure pas le nombre r. Premièrement, quʼil le mesure ; mais il mesure aussi les nombres 4, B ; donc il mesure les nombres 4, B, Γ ; donc Δ est une commune mesure des nombres A, B, T. Je dis quʼil en est la plus grande. Car si A n’est pas la plus grande commune mesure des nombres A, B, T, un nombre plus grand que A mesurera les nombres A, 5, r. Quʼun nombre plus grand les mesure, et que ce soit E. Puisque E mesure les nombres A, B, Tr, il mesurera les nombres A, B, et par conséquent leur plus grande commune mesure (cor. 2. 7). Mais A est la plus grande commune mesure des nombres A, B ; donc E mesure Δ, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc un nombre plus grand que Δ ne mesurera pas les nombres 4, B, T ; donc A est la plus grande commune mesure des nombres A, B, r.
Que À ne mesure pas Tr ; je dis premièrement que les nombres A, Tr ne sont pas premiers entrʼeux. Car puisque les nombres A, B, T ne sont pas premiers entrʼeux, quelque nombre les mesurera, et celui qui mesure les nombres A, B, T, mesurera les nombres A, B, et mesurera aussi leur plus grande commune mesure A (cor. 2. 7). Mais il mesure aussi T ; donc quelque nombre mesurera les nombres Δ, T ; donc Δ, T ne sont pas premiers entr’eux. Prenons leur plus grande commune mesure E. Puisque E mesure Δ, et que Δ mesure les nombres A, B, le nombre E mesure A et B. Mais il mesure r ; donc E mesure les nombres A, B, L ; donc E est une commune mesure des nombres A, B, r. Je dis quʼil en est la plus grande. Car si E nʼest pas la plus grande commune mesure des nombres A, B, r, un nombre plus grand que E mesurera les nombres A, B, T. Quʼil les mesure, et que ce soit z. Puisque Z mesure les nombres A, 8, r, il mesure A et B, et il mesurera par conséquent leur plus grande commune mesure. Mais A est la plus grande commune mesure des nombres 4, 8 ; donc Z mesure A. Mais il mesure aussi r ; donc z mesure 4 etr ; donc il mesure la plus grande commune mesure des nombres A, r. Mais E est la plus grande commune mesure des nombres Γ, Δ ; donc Z mesure E, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc un nombre plus grand que E ne mesurera pas les nombres A, B, Γ ; donc E est la plus grande commune mesure des nombres A, B, Γ.
Donc, trois nombres non premiers entrʼeux étant donnés, on a trouvé leur plus grande commune mesure. Ce qu’il fallait faire.
COROLLAIRE.
Il suit évidemment de là que si un nombre en mesure trois autres, il mesurera aussi leur plus grande commune mesure.
Plusieurs nombres étant donnés, on trouvera de la même manière leur plus grande commune mesure.