Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 20

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 469-470).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κ´.	PROPOSITIO XX.
Εαν τρεις ἀαρηῦμοι ἀναλογὸν ὡσὶν, ὁ ὑπὸ Τῶν ἀκρῶν ἰσὸς ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου2" ἐὼν δὲ ὁ ὑπὸ τῶν ακρων ἐσὸον ΞʼΙ Τ ααὸ Τοὺ μἔὄου, οἱ τρεῖς αρῦμοι ἀναλογον ἐσονται.	Si tres numeri proportionales sunt, ipse ex extremis æqualis est ipsi ex medio ; si autem ipse ex extremis æqualis est ipsi ex medio, tres numeri proportionales erunt.
Ἑστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ο Α. -. Β. Γ, ὡς Ο ΔΑ σρὸς τὸν Β ουτῶς Ο Β σρὸς τὸον Τʼ λεγῶ ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ απὸ τοῦ Β.	Sint tres numeri proportionales A, B, Γ, ut A ad B ita B ad Γ ; dico ipsum ex A, Γ æqualem esse ipsi ex B.
Κείσθω γαρ τῷ Β ᾿σὸς ὁ Δʼ εστιν ἆμι ῶς ο A πρὸς τὸν Β ουτωῶς ο Δ πρὸς τὸν Τʼ ὁ ἀρὰ εκ Τῶν ΑΟὌ Τ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β. Δ. Ο δὲ ἐκ τῶν Β. Δ ἰσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Βʼ ἰσος γὰρ 08 τῷ Δʼ ο ἀρὰ ἐκ τῶν Α. ΓΊ σος ἐστίὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β.	Ponatur enim ipsi B æqualis A ; est igitur y A ad B ita A ad P ; ipseigiturex A, r fquili est ipsi ex B, A. Ipse autem ex B, A qualis est ipsi ex B ; equalis enim B ipsi À ; Ipse igilur exA, T æqualis est ipsi ex B.

Αλλὰ δὴ ὃ ἐκ τῶν Α. ΓΤ ἰσος ἔστω τῷ ἀπὸ τοῦ Βʼ λέγω τ ἐστιν ὡς 0 Α πρὸς τὸν Β ουτοὸς ὁ Β σρὸς τὸν Γ	Sed et ipse ex A, Tʼ æqualis sit Ipsi ex 2 ; dico esse ut A ad B ita B ad Γ.
Ἐπεὶ γὰρ οἐκ τῶν Α : Γ ἰσὸς ἐστιὶ τῷ αἀπὸ Τοὺ Β. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἴσος τῷ ὑπὸ" τῶν Β. Δʼ ἐστιν ἀρὰ ὡς Ο Α πρὸς τὸν Β ουτῶς ο ἃ πρὸς Τὸν Γ. Ισὸς δὲ ο Β τῷ Δʼ ἔστιν ἀρα ὡς 0Α πρὸς τὸν Β οὕτως ὃ Β πρὸς τὸν Τ᾿ Οπερ ἔδει δεῖξαι.	Quoniam enim ipse ex A, T æqualis est Ipsi ex B, ipse autem ex B æqualis lpsi ex B, A ; est igitur ut A ad B ita A ad T. Æqualis auten BipsiA estigiturutAadBitaBadT, Quod oportebat ostendere.

PROPOSITION XX.

Si trois nombres sont proportionnels, le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen ; et si le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen, les trois nombres seront proportionnels.

Soient A, B, Γ trois nombres proportionnels ; que A soit à B comme B est à Γ ; Je dis que le produit des nombres A, r est égal au quarré de B. Que A soit égal à B ; À sera à B comme A est à Γ ; donc le produit des nombres A, Γ est égal au produit des nombres B, A (19. 7). Mais le produit des nombres B, A est égal au quarré de B ; parce que B est égal à à ; donc le produit des nombres A, Γ est égal au quarré de B.

Mais que le produit des nombres A, Γ soit égal au quarré de B ; je dis que À est à B comme B est à Γ.