Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 21

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 471-472).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κά.	PROPOSITIO XXI.
Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὑτὸν λόγον ἔχοντας ! ἰσάκις. ὁ τε μείζων τὸν μείζονα. καὶ ὁ ἐλαττῶν τὸν ἐλαττονα.	Minimi. numeri 1psorum eamdem rationem habentium cum ipsis metiuntur, æqualiter eos eamdem ralionem habentes, et major majorem, et minor minorem.
Ἑστωσαν γάρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λογον ἐχοντῶν τοῖς Α. Β. οΟἰΤΔ. ΕΖ" λέγω ὁτι ἰσάκις ΟΥΔ τύόν μετρεῖ καὶ ὁ ἘΖ τὸν Β.	Sint enim minimi numeri lʼA, EZ Ipsorum eamdem rationem habentium cum A, B ; dico equaliter lʼA ipsum A metiri ac EZ ipsum B.

Ο ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὐκ ἔστι μερῆ. ἘΪ γάρ δυνώ- τὸν, ἐστω" καὶ ὁ ἘΖ ἀρὰ τοῦυ Β τὰ αὐυταῶ, μέερή ἐστιν ἁπερ ὃ ΓΔ τοῦ Α" ὅσα ἀρὰ ἐστὶν ἐν Τ Δ μέρηῇ του Α : . τοσαυτὰ εἐστίι καὶ τν τῷ ἘΖ μέερῆ τοῦ Β, Διῃρήσθω ὁ μὲν ΤΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη τα ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μἕρπ τὰ ἘΕΘ, Θ2Ζ᾽ ἔσται δὴ ἴσὸν τὸ πλῆθος τῶν ΤῊ. ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ἘΘ. ΘΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσοι οἱ ΓΗ, ΗΔ	Ipse TA enim ipsius A non est partes. Si enim-possibile, sit ; et EZ igitur ipsius B eædem partes est qua ΓΔ ipsius A ; quot igitur sunt in lʼA partes 1psius À, tot sunt et, in EZ partes ipsius B. Dividatur lʼA quidem in ipsas ipsius A partes TH, HA, ipse vero EZ in ipsas ipsius B partes EO, OZ ; erit utique æqualis multitudo ipsarum TʼH, HÀ mulütudini ipsarum E6, ez.
εἰσὶν ἀλληλοιςξ, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ. ΘΖ ειριθμοι ἴσοι ἀλλήλοις, καὶ ἔστιν ἴσον πλῆθος τῶν ΤΉ. ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ. ΘΖʼ ἔστιν ἆ’ροι ὡς ὃ ΤΗ ʼπρὃς τὸν ἘΘ οὕτως ὁ ΗΔ πρἆς τὸν ΘΖ" ἔσται ἀ’ρα καὶ ὡς εἷς τῶν Μγουμενων ΄προς ἐἕνα τῶν ἐπ ομ͵νων ουτως αʼπαντες οἱ Μγουμενοι ʼπρος απαιτας τους	Et quoniam zquales TH, H4 sunt inter se, sunt autem et EO, OZ numeri inter se zquales, et est equalis multitudo ipsarum TH, HA multitudini ipsarum EO, GZ ; est igitur ut TH ad EO ita HA ad OZ ; erit igitur et ut unus antece. dentium ad unum consequentium, ita omnes

ἐπομέενους" ἐστιν ἀρὰ ὡς ὁ ΤΗ πρὸς τὸν ἘΘ οὑὕτως ο ΓΔ σπρὸς τὸν ἘΖ᾽ ΟΙΤΗ. , ἘΘ ἀρὰ τούς ΓΤΔ. ΕΖεν τῷ αὐτῷ λογῷ εἰσὶν. ἐλαάττονες οντες αὐυτῶν. ὁπερ αδυνατον" υποκεινται γαρ οἱ ΤΔ. ἘΖ ἐλαχίστοι τῶν τὸν αὑτον λογον ἐχόντῶν αὖ -- τοιςʼ οὐκ ἀρὰ μερῆ ἐστιν 0 ΓΔ τοῦυ Α" μέρος ἀρα" καὶ ὁ ἘΖ τοῦ Β τὸ αὐτοῖ μέρος ἐστὶν ὁπερὸ ΓΔ τοῦ Α" ἰσάκες ἀρα ο ΤΔ τὸν Α μεέτρει καὶ ο ἘΖ τὸν Β. Οπερ ἔδει δεῖξαι.

antecedentes ad omnes consequentes ; est igitur utIʼHadEOtaAadEZ ; ipsiFH, EOigiturcum ipsis lʼA, ÊZ in eádem ratione sunt, minores existentes ipsis, quod est impossibile ; ponuntur enim TʼA, EZ minimi ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis ; non igitur partes est TA ipsius A ; pars igitur ; et EZ ipsius B eadem pars est qua LʼA ipsius A ; equaliter igitur TA ipsum A metitur ac EZ ipsum B. Quod oportebat ostendere.

PROPOSITION XXI.

Les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit.

Que ra, Ez soient les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec À, B ; Je dis que TA mesure A autant de fois que EZ mesure B.

Le nombre rA n’est pas plusieurs parties de A ; car, que cela soit, s’il est possible ; EZ sera les mêmes parties de B que rA l’est de A (déf. 20. 7). Il y aura donc dans TA autant de parties de 4 qu’il y dans EzZ de parties de 8. Partageons TA en parties de A, et que ces parties soient TH, HA ; et Ez en parties de B, et que ces parties soient EΘ, Θz. Le nombre des parties ΓH, HΔ sera égal au nombre des parties EΘ, ΘZ ; et puisque les parties ΓH, HΔ sont égales entr’elles, que les parties EΘ, ΘZ sont aussi égales entr’elles, et que le nombre des parties TH, HA est égal au nombre des parties EΘ, Θz ; la partie TH est à la partie Eo comme HA est à ΘZ ; donc un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme de tous les antécédents est à la somme de tous les conséquents (12. 7) ; donc TH est à EΘ comme TrA est à EZ ; donc les nombres TH, E© sont en même raison que les nombres rA, EZ qui sont plus petits que ces derniers, ce qui est impossible ; car on a supposé que rA, EZ sont les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux ; donc TA n’est pas plusieurs parties de 4. Donc il en est une partie ; mais EZ est la même partie de B que ra lʼest de A ; donc rA mesure A autant de fois que EZ mesure 8. Ce quʼil fallait démontrer.