Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 29
C. F. Patris, (1, p. 482-483).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κθ´. | PROPOSITIO XXIX. |
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Ἐαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσι, καὶ πολλωπλασιίασας ἐκατιρος εαὐτον πο ! ῇ τι- νας΄,οἱ γένόμενοι εξ αὐτῶν πρῶτοι σπρος αλλη- λους ἐσονται" καν οἱ εζ ἀρχῆς τοῦὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσι τίνας. κακεῖνοι σρω- τὸι πρὸς αλληλοὺυς ἐσονται" καὶ αεἰὶ περὶ τοὺυς ἄκρους τοῦτο συμβαΐνει. |
Si duo numer primi inter se sint, et multiplicans uterque se ipsum faciat aliquos, facti ex ipsis primi inter se erunt ; ct si Ipsi a principio factos multiplicantes faciant aliquos, et illi primi inter se erunt ; et SCInper cirea extremos hoc continget. |
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Ἑστωτῶν αρ ; θμοἶ δὺο3 σρῶτοι σπρὸς ἀλληλοὺυς Ο. Α4Α. Β. καὶ ὁ Α εαὐτὸν πολλαπλασίασας τὸον |
Sint duo numeri A, B primi inter se, et A se ipsum multiplicans ipsum Tʼ faciat, ipsum |
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Τ ποιείτω. τὸν δὲ Τ πολλαπλασιάσας τὸν Ἑ σοιείτω. ὁ δὲ Β εαυτὸν ͵ι͵ιξν3 πολλαπλασιώσας τὸν Δ ποιείτω. τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ σοιείτω" λέγω ὅτι οἵ τε Τ᾿ Ε καὶ οἷΔ. οΖ ʼπρὦ’τοι ’πρὅς ἀλλήλους εἰσίνς |
autem I multiplicans ipsum É faciat, ipse autem B quidem se 1psum multiplicans ipsum A faciat, Ipsum vero A multiplicans ipsum Z faciat ; dico et ipsos I, E et ipsos A, Z primos inter se esse.
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Επεὶ γὰρ οἱ Α- Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ, καὶ δΑ ἑαυτὸν στολλαπλασι ; ἱσʼας τὸν Τ πεποίη- Ν οιἶ Γ. Β ἆ’ρα πρὦτοι ʼπρὃς ἀλλῆλους εἰσί. Ἐπεὶ οὖνί οἱ Τ. Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ, καὶ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίη- κενο οὐ Τ, Δ ἆ’ροι πρὧ’τοι ’πρὃς ἀλλήλους εἰσίς Πάλιν. ἐπεὶ οʼ΄Α-. Β πρὧτοι ’πρὃς ἀλλήλους εἰσὶ, καὶ ὃ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκενο Ο α. Δ ἀ’ροε πρῶτοι ’πρὃς ἀλλήλους εἰσίν" ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α΄. Τ πρὸς δὺο ἀριθμοὺς τοὺς Β. Δ ἀμφότερο ; πρὸς ἐκάτερον πρῶτοί εἰσι" καὶ ὁ ἐκ τῶν Α-. Τ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ τῶν Β. Δ πρῶτός ἐστι. Καὶ ἔστιν ὃ μἓνἔπτὧνΑ ΓἆΕ, ὃ δὲεκ τῶνΒ. Δ Ζ" οἷ Ε. Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. Οπερ ἔδει δείξαις |
Quoniam enim A, B primi inter se sunt, et 4 se ipsum mulüplicans ipsum Tʼ fecit ; ipsi D, B igitur primi inter se sunt. Et quoniam D, B primi inter se sunt, et B se ipsum multiplicans lpsum A fecit, ipsi D, A igitur primi inter se sunt. Rursus, quoniam A, B primi inter se sunt, et B seipsum multiplicans ipsum A fecit ; ipsi A, A igitur primi inter se sunt ; et quoniam duo numeri A, T ad duos numeros B, A uterque ad utrumque primi sunt ; et ipse ex ipsis A, T igitur factus ad ipsum ex ipsis B, A primus est. Et est ipse quidem ex A, T ipse E, ipse vero ex B, A ipse Z ; ipsi E, Z igitur primi inter sc sunt, Quod oportebat ostendere. |
Si deux nombres sont premiers entr’eux, et si ces nombres étant multipliés par eux-mêmes font des nombres, les produits de ces nombres seront premiers entr’eux ; et si les nombres proposés multipliant les produits font d’autres nombres, ces derniers seront aussi premiers entr’eux, et il en sera toujours ainsi pour les derniers nombres qui auront été produits.
Que les deux nombres 4, B soient premiers entr’eux, que A étant multiplié par lui-même fasse r, que A multipliant r fasse E, que B étant multiplié par lui-même fasse À, que B multipliant à fasse z ; je dis que r, E et A, Z sont premiers entrʼeux : Puisque les nombres A, B sont premiers entr’eux, et que A étant multiplié par lui-même fait r, les nombres r, B sont premiers enu”eux (27. 7) ; et puisque T, B sont premiers entr’eux, et que B multiplié par lui-même fait 4, les nombres r, A sont premiers entrʼeux. De plus, puisque A, B sont premiers entrʼeux, et que B multiplié par lui-même a fait À, les nombres A, A sont premiers entrʼeux. Mais les deux nombres 4, r sont premiers avec les deux nombres B, 4, l’un et l’autre avec l’un et l’autre ; donc le produit de A par r est premier avec le produit de B par A (28. 7). Mais le produit de A par T est E, et le produit de B par 4 est z. Donc les nombres E, z sont premiers entrʼeux. Ce quʼil fallait démontrer.