Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 30
C. F. Patris, (1, p. 483-485).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λ΄. | PROPOSITIO XXX. |
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Ἐὰν δύο οἷριθμ. οἶ πρῶτοι ’πρὄς ἀλλήλους ὦσι, καὶ συναμφὄτερος ʼπρἓς ξκοίτερον αὐτῶν πρῶτος ἐσταν" καὶ ἐαν συναμφοτερὸς πρὸς ἐνὰ τινὰ αὐτῶν πρῶτος ἧ, καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. |
Si duo numeri primi inter se sunt, et uterque simul ad utrumque eorum primus erit ; et si uterque simul ad unum aliquem eorum primus est, et ipsi a principio numeri primi inter se erunt.
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Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, οἱ ΑΒ. ΒΓ" λέγω ὁτι καὶ συναμφό- τέρος ΑΤ πρὃς ἐχάτερον τῶν ! ΑΒ. ΒΓ πρῶτός ἐστιν. |
Componantur duo numeri primi inter se AB, BT ; dico et utrumque simul AT ad utrumque eorum AB, BIʼ primum esse. |
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Εἰ γὰρ μή εἶσιν οἱ ΤΑ ΑΒ πρῶτο ; πρὸς ἀλ- λήλους. μετρᾗσει τίὶς τοὺς ΤΑ. ΑΒ᾽ οἷριθμὄς. Μετρείτω, καὶ ἔστω ὃ Δ. Ἐπεὶ οὖν ὃ Δ τοῦς ΓΑ. ΑΒ μετρεῖ" καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΒΤ᾽ μετρήσεις Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΒΑ’ ὃ Δ ἄρα τοὺς ΑΒ. ΒΓ μετρεΐ, πρὧτους ὄντως ʼπρὄς ἀλλήλους. ς ὗ’περ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἆἶρω τοῦς ΤΑ. ΑΒ ο’ιμθμοὖς ἀριθβμός τις μετρήσει" οἷ ΤΑ. ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΑΓ. ΓΒ σρῶτοι ʼπρὄς ἀλλήλους εἰσίν"" ὃ ΤΑ ο’ι’ρα ʼπρὄς ἑκότερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν. |
Si enim non sint TA, AB primi inier se, mceletur aliquis ipsos A, AB numcrus, Moetia- tur, ctsit A. Et quoniam A ipsos TA, AB meli. tur ; ct reliquum igitur BTʼ metietur. Melitur aulem cet ipsum BA ; ipse A igitur ipsos AB, Bp metitur, primos existentes inter se, quod est impossibile ; non igitur A, AB numeros nume. rus aliquis meüietur ; ipsi lʼA, AB igitur primi inter se sunt. Propter cadem utique et Ar, rs primi inter se sunt ; ipse TA igilur ad utrumque Ipsorum AB, BIʼ primus est. |
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Ἕστωσαν δὴ πάλιν οἱ ΤΑ. ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους " λέγω ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι ’πρὄς ἀλλήλους εἶἰσίν. |
Sint et L A, AB primi inter se ; dico et AB, sr primos inter se esse. |
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Εἰ γὲρ μή εἰσι πρῶτοι οἱ ΑΒ. ΒΓ πρὸς ἀλ- λᾗλευςΞ, μετρἧσει τις τοὺς ΑΒ, ΒΓὥ οἶριθμο’ς. |
Si enim non sint primi AB, 3Tʼ inler se, me- tetur aliquis ipsos AB, BP numerus. Metiatur, et sit A, Et quoniam A utrumque eorum AB,
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τῶν ΑΒ. ΒΓ μότρνιʼ καὶ ὅλον αρι τὸν ΓᾺ με- τρήσει. Μετρεῖ ʼδὲ καὶ τὸν ΑΒʼ ὃ Δ ἀρα τοὺς ΤΑς ΑΒ μετρεῖ, πρῶώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους. ὕπέρ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ Ξἔροι τοὺς ΑΒ. ΒΓ ἆριθμοὖς ἀριθμός τις μετρήσει" οἱ ΑΒ. ΒΤ ἄρα πρῶτοι νπΡὃς ἀλλήλους εἰσίν. Οπερ ἔδοι, δεῖξαι. |
BP meütur ; et totam igitur TA metictur. Metitur autem et ipsuni AB ; ipsc A igitur ipsos A, AB metitur, primos existentes inter sc, quod cst impossibile ; non igitur ipsos AB, BI numcros numcrus aliquis mctictur ; ipsi AB, BT igitur primi inter se suat. Quod oportebat ostendere. |
Si deux nombres sont premiers entrʼeux, leur somme sera un nombre premier avec chacun d’eux ; et si leur somme est un nombre premier avec chacun d’eux, les deux nombres proposés seront premiers entr’eux. Ajoutons les deux nombres premiers entr’eux AB, Br ; Je dis que leur somme AT est un nombre premier avec chacun des nombres 48, Br.
Car si les nombres rA, 4Bne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre mesurera TA, AB. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit A. Puisque A mesure TA, AB, il mesurera le reste Br ; mais il mesure BA ; donc A mesure AB, Er qu sont deux nombres premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres rA, AB ; donc TA, AB sont premiers ent’eux. Par la même raison AT, TB sont premiers entr’eux ; donc le nombre rA est premier avec chacun des nombres AB, Br.
De plus, que ΓA, AB soient premiers entr’eux ; je dis que AB, Br sont premiers entrʼeux.
Car si AB, BT ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit A. Puisque A mesure chacun des nombres 4B, Br, il mesurera leur somme rA. Mais il mesure 4B ; donc A mesure TA, AB, qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres 48, Br ; donc AB, Br sont premiers entr’eux. Ce qu’il fallait démontrer.