Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 32

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 486-487).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λϐ´.	PROPOSITIO XXXII.
Ἐαν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους σποιῶσι τινα. τὸν δὲ γερόμενον εξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός" καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς με- τρήσει.	Si duo numeri sese multiplicantes faciant 4l ; quem, eum vero factum ex ipsis metialur aliquis primus numerus ; et unum eorum qui a prin cipio meuetur.
Δύο γαρ ἀριθμοὶ οἱ Α- Β πολλαπλασιάσαντες αλλήλους τὸν Τ ποιείτωσαν. τὸν δῈ Τ μετρείτω τις πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δʼ λέγω οτι ὁ Δ ἐνὰ τῶν Α, Β μετρεῖ.	Duo enim numeri A, B sese multiplicantes ipsum T faciant, ipsum autem Tʼ metiatur aliquis primus numerus A ; dico A unum eorum A, 3 metiri.

Τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω. . καὶ ἐστιί πρῶτος ο Δʼ οἷ Α. Δ ἀρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἶσί" καὶ ὁσάκις ὃ Δ τὸν Τ μετρεῖ. τοσαῦται μοναάδὲς ἐσ-

Ipsum enim A non metatur, et est primus A ; ipsi A, A igitur primi inter se sunt. Et quoties A ipsum I metitur, tot unitates sint in E. Et

τωσὰν ἐν τῷ Ἐ, Ἐπεῖ ! οὖν ο Δ τόν Τ μετρει κατὰ τὰς ἐν Τ Ἐ μοναἆας. Οδαάρατον Ε πολλώπλα- σιάσας τὸν Τ πεποίηκεν. Αλλὰ μὴν καὶ Ο. Α τὸν Β ποιλλαπλαάσιασας τὸν Τ πεποιήκεν" ἰσὸς ἀρὰ ἐστὶν ο εκ τῶν Δ. Ε τῷ ἐκ τῶν Α-ς Β’ ἐστιν ἀρὰ ὡς ὃ Δ πρὸς τὸν Α οὕτως ὁ Β πρῦς τὸν Ἐ. Οἱ δὲ Δ. Α πρῶτο ! 5 0 δὲ πρώτοι καὶ ἐλαχιστοι » 0 δὲ ἐλάχιστο ; μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λογὸν χοντας ἰΙσάκι ! ξ. 05 Τ μειζων τον μειζονα καὶ ὺ ἐλασσὼων τὸον ἐλασσονᾶ. τούυτέεστιν ὁ τε ἡγου- μένος τὸν ἡγουμένον καὶ ὁ « πομένος τὸν ἐπτομμενον" ὁ ἃ ἀρὰ τὸν Β μετρε ! . Ομοίως δὴ ἑ“ειξομεν ΟΤι καὶ ἐαν ο Δ τὸν Βὶ ΜΗ μετρῇ. τὸν Α μετρῆσει οΔ α’ροι ἐγώ τῶν Α5 Β μετρεί. Ο7ερ ἔδε, δεῖξαι.

quoniam A ipsum Γ melitur per ipsas quae in E unitates, ipse Δ igitur ipsum E multiplicans ipsum Γ fecit. Sed quidem et A ipsum B multiplicans ipsum Γ fecit ; aequalis igitur est ipse ex Δ, E, ipsi ex A, B ; est igitur ut Δ ad A ita B ad E. Ipsi autem Δ, A primi, ipsi vero primi et minimi, ipsi autem minimi metiuntur equaliter ipsos eamdem rationem habentes, et major majorem, et minor minorem, hoc est et antecedens antecendentem, et consequens consequentem ; ipse Δ igitur ipsum B metitur. Similiter utique ostendemus et si Δ ipsum B non metitur, ipsum A mensurum esse ; ipse Δ igitur unum corum A, B metitur. Quod oportebat ostendere.

PROPOSITION XXXII.

Si deux nombres se multipliant l’un l’autre font un nombre, et si quelque nombre premier mesure leur produit, il mesurera un des nombres proposés.

Car que les deux nombres A, B se multipliant l’un l’autre fassent r, et que quelque nombre premier A mesurer ; je dis que A mesure un des nombres A, B.

Qu’il ne mesure pas A ; puisque A est un nombre premier, les nombres 4, 4 seront premiers entr’eux (31. 7). Quʼil y ait autant d’unités dans E que A mesure de fois Γ. Puisque Δ mesure Γ par les unités qui sont en E, le nombre Δ multipliant E fera Γ. Mais A multipliant B fait Γ ; donc le produit de Δ par E est égal au produit de A par B ; donc Δ est à A comme B est à E (19.7). Mais Δ, A sont des nombres premiers, et les nombres premiers sont les plus petits (25.7), et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont avec eux la même raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21.7) ; donc Δ mesure B. Nous démontrerons de la même manière que si Δ ne mesure pas B, il mesurera A ; donc Δ mesure un des nombres A, B. Ce qu’il fallait démontrer.