Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 33
C. F. Patris, (1, p. 487-488).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λγ. | PROPOSITIO XXXIII. |
|---|---|
|
Απας σύυνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρωτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. |
Omnis compositus numerus a primo aliquo numero mensuratur. |
|
Ἔστω σύνθετος αριθμος ο Α" λἐγω ὁτί ο Αὐπὸο ’πρώτου τιγὸς ἆριθμοὖ μετρεῖταις |
Sit compositus numerus A ; dico ipsum A à primo aliquo numero mensurari.
|
|
Ἐπεὶ γὰρ συνθετὸς ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριῦμος. Μετρείτω. καὶ ἐστὼω ο Β. Καὶ εἰ μὲν πρῶτος ἐστίν ο Β. γεέγονος ὧν εἰ τὸ ἐπι- ’ταχθεν. εἱ δὲ συνθετος. . μβέτρήσει τις αὐὑτον αρ ; θμος. Μετρεετω, καὶ ἐστῶ ο Τ. Κα͵αὶ Π 0Τ τὸν Β μετρεῖ. ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ" καὶ 5 Τʼ ἀρὰ τὸν Α μετρι ! . Καὶ εἰ μιὲν πρῶτος εατιν 0 Τ΄ |
Quoniam enim compositus est À, metietu, aliquis ipsum numerus. Metiatur » CL sIEB, E, 8 quidem primus est B, factum erit propositum, 51 vero compositus, metietur aliquis eum nume. rus. Metiatur, et sit P. Et quoniam T Ipsum B melitur, ipse autem B ipsum A metitur ; et p igilur ipsum À metitur. Et si quidem prins |
|
γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχῦεν" εἰ δὲ συνθετος μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμὸος. Τοιαυτῆὴς δὴ γινομενῆς ἐπισμέψεως ληφθήσιταί τις πρῶτος ἀριθμὸς. ὃς μιτρησιι τὸν πρὸ εαὐτοῦ ὃς καὶ τὸν Α μετρήσει. Εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται. μετρή- σουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἀπειροι ἀρθμο ! . ὧν ὁ ἐτερος τοῦ ετέρου ἐλάσσων ἐστὶν. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς" ληφθήσεταί τις ἀρα πρῶ- τὸος αριθμοςΐ. ὃς μετρήσει τὸν πρὸ εαυτοῦ. ὃς καὶ τὸν Α μετρῆσει. ἅπας ἀρὰγ καὶ τὰ εξη ςς, |
est T, factum crit propositum ; si vero COmno- situs, melietur aliquis ipsum numerus, Tali utique factà consideratione, rciünquetuz aliquis primus numerus, qui mctietur cum q : ui Dr se ipso, et qui ipsum A metietur. Si eniin non relinquitur, metientur 1psum A numerum inf- niti numeri quorum altcr altero minor est, quod est impossible in numeris. Relinquetur aliquis igitur primus qui mctietur eum qui prz se ipso, et qui ipsum A metietur. Omnis igitur, etc. |
Tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier.
Que A soit un nombre composé ; je dis que A est mesuré par quelque nombre Puisque A est un nombre composé, quelque nombre le mesurera (déf. 13. 7). Que quelque nombre le mesure, et que ce soit B. Si B est un nombre premier, on aura ce qui est proposé ; et si B est un nombre composé, quelque nombre le mesurera. Que quelque nombre le mesure, et que ce soit T. Puisque T mesure B, et que B mesure A, le nombre r mesurera A ; et si T est un nombre premier, on aura Ce qui est proposé. Sir est composé, quelque nombre le mesurera ; d’après une telle considération, il restera quelque nombre premier qui mesurera le nombre qui est avant lui, et le nombre 4. Car s’il ne restait pas de nombre premier, il y aurait une infinité de nombres qui mesureraient A, et qui seraient plus petits les uns que les autres, ce qui ne peut pas arriver dans les nombres (déf. 2. 7). Il restera donc quelque nombre premier qui mesurera le précédent, et le nombre 4. Donc, etc.