Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 4

Euclide

Les Éléments - Livre 7

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 444-445).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ δʼ.	PROPOSITIO IV.
Πᾶς ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ. ὁ ἐλάσσων τοῦ μειζονος, ἡτοι μέρος ἐστῃν ἢ μέρῆ.	Omnis numerus omnis numeri, minor ma joris, vel pars est vel partes.
Ἑστωσαν δύο αριθμοι, οἱ Α-. ΒΓς καὶ εστῶ. ἐλάσσων ὃ ΒΓ" λέγω ὅτι ο ΒΓ τοῦ Α ἅτοι μέρος ἐστὶν ἢ μεβρῆ.	Sint duo numeri À, BP, et sit minor BP ; dico BIʼ ipsius A vel partem esse vel partes,

Οἱ Α, ΒΓʼ γὰρ ἥτοι πρῶτοι πρὄς ἀλλήλους εἰσὶν. ἢ οὔ, Ἑστωσαν πρώτερον οἱ Α. ΒΓὦΖ πρῶ- ΤΟΙ πρὄς ἀλλήλους. ἆιαιρεθἐντος δὴ τοῦ ΒΙ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μοραδὰας. ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος τὶ τοῦ Αʼ ὦστε μέρη ἑστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.	Ipsi A, BI" enim vel primi inter se sunt, vel non ; sint primumA, BT primi Interse, et divis BT in unitates 18 in ipso, erit quaque unit earum qua in BT pars aliqua ipsius A ; que BT — partes est BT ipsius A.
Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α. ΒΙ" πρῶτοι πρὸς ἀλλή- λους" ὁ δὴ ΒΤ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ. ἢ οὐ μετρεῖ. Εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ. μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ A.	Non sint antem A, BΓ primi inter se ; ipe utique BΓ ipsum A vel metitur, vel non met. Si autem BΓ ipsum A metitur, pars es BΓ ipsius A.
Εἰ δὲ οὐ. Εἰλήφθω τῶν ἃ. ΒΓ μέψιστον κοι- γὺν μέτρον ὃ ἃς- καὶ ἆι. ῃρᾗσθω ὁ ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους. τοὺς ΒΕ, ΕΖ, 21. Καὶ ἐπεὶ ὃ Δ τὸν Αμετρεῖ, μίρος ἐστὴν ὁ Δ τοῦ Α. Ισὸς δὴ ἕκαστῳ	Si autem non. Sumatur ipsorum A, Er Maxima communis mensura A, et dividatur Br in numéros ipsi À æquales BE, EZ, ZI. Et quoniam À ipsum A metitur, pars est À ipsius A.

τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ καὶ Ἑκαστὸος ἄρα τῶν ΒΕ,, ΕΖ, ZΓ τοῦ Α μέρος ἐστίνʼ ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. Απας ἄρα ἀριθμὸς, καὶ τὰ ἑξῆς.

Æqualis igitur unicuique ipsorum BE, EZ, ZT ; et Unusquisque igiluripsorum BE, Ε7, 7Γ ipsius A pars est ; quare partes est BI ipsius A. Omnis igitur numerus, etc.

PROPOSITION IV.

Tout nombre est ou une partie ou plusieurs parties de tout autre nombre, le plus petit du plus grand.

Soient deux nombres A, BΓ, et que BΓ soit le plus petit ; je dis que BΓ est ou une partie ou plusieurs parties de A. Car les nombres A, BΓ sont premiers entrʼeux, ou non ; qu’ils soient dʼabord premiers entrʼeux ; ayant divisé le nombre Br en ses unités, chacune dé unités de Br sera quelque partie de A (déf. 1 et 2. 7) ; donc Br sera plusieurs parties de A.

Que les nombres A, Br ne soient pas premiers entrʼeux ; le nombre BΓ mesure A ou ne le mesure pas. Si Br mesure A, le nombre Br est um partie de A. Sʼil ne le mesure pas, prenons la plus grande commune mesure A des nombres A, BT (2. 7), et partageons BT en parties BE, EZ, ZT égales à Δ. Puisque ^4 mesure A, le nombre ^ est une partie de 4. Mais Δ est égal à chacune des parties BE, EZ, Zr ; donc chacune des parties BE, EZ, ZT est une partie de 4 ; donc 8r est plusieurs parties de 4. Donc, etc.