Euclide - Les quinze livres des éléments géométriques et le livre des Données - Traduction de Henrion, 1632/Element I

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ELEMENT


PREMIER.


DEFINITIONS


1. Le point, est ce qui n’a aucune partie.


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es Phyſiciens diſent que le point eſt le moindre objet de la veuë ; & iceluy peut eſtre deſcrit avec ancre ou autre chose. Mais les Mathématiciens rejettans ceſte definition, diſent que le point eſt un object de l’intellect ſi ſubtil qu’il ne peut eſtre diviſé en aucune parties : Et iceluy ne ſe peut eſcrire, mais seulement entendre & imaginer : Bien est vrai que pour le repreſenter à nos ſens exterieurs nous nous ſervons du point Phyſique. Le point n’a donc aucunes des dimenſions geometriques, c’est à dire qu’il n’a longueur, largeur, ny eſpaiſſeur, mais bien eſt il principe d’icelles.


2. La ligne, est une longueur sans largeur.

Apres le point, Euclide vient à la ligne, qui n’eſt autre choſe que le flux ou coullement d’iceluy point d’un lieu en un autre : car par ainſi l’intervalle compris entre ces deux lieux-là, ſera une longueur ſans largeur, puis que le point du coullement duquel elle eſt produite n’en a aucune : & par conſéquent la ligne (qui eſt la premiere eſpece de magnitude ou quantité continue) a ſeulement une dimenſion, ſçavoir est longueur, car n’ayant aucune largeur, il eſt certain qu’elle n’aura auſſi aucune
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eſpaiſſeur ou profondeur. Et pour tant mieux entendre cecy, qu’on imagine le point A eſtre meu ou covllé depuis A jusques en B, & avoir laiſſé par ſon flux ou coullement la trace & vestige AB : or ceſte trace AB sera appellee ligne : car l’intervalle

compris entre les deux points A & B est vrayement une longueur sans largeur & eſpaisseur, puis que le point A, par le coullement duquel elle est produite, est privé de toute dimension.


3. Les extremitez de la ligne, sont poincts.

Cecy est intelligible, puis que toutes les lignes terminees commencent à un point, & achevent auſſi à un point, comme les lignes precedentes AB, qui ont pour leurs extremitez les points A & B : car Euclide n’entend parler icy ny des lignes infinies ny des circulaires, ny de toutes autres formes de lignes, auſquelles on ne peut aſſigner aucun terme ny extrémité.


4. La ligne droite, eſt celle qui eſt également compriſe & eſtendue entre ſes poincts.

Les Mathématiciens ont de trois ſortes de lignes, c’eſt aſçavoir la ligne droite, la ligne circulaire, qu’ils appellent auſſi ligne courbe, & la ligne mixte : Euclide definit icy la droite, laquelle il dit eſtre celle là qui eſt eſgalement eſtendue entre ſes points : ainſi la ligne ACB eſt dite ligne
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droite, pource que tous les points entre moyens d’icelle ligne, comme C, sont également poſés entre les extremes A & B, l’un n’eſtant plus eſlevé ou abaiſſé que l’autre : ce qui n’advient aux trois autres lignes ADB, AEB, AFB, car il est manifeste que les points entremoiens D, E, F sont bien plus eslevez que les extremes A & B. Quelques autres Autheurs ont diverſement définy la ligne droite : car Campanus dit, que c’est le plus court chemin d’un point jusqu’à un autre : &, selon Archimède, la ligne droite eſt la plus courte de toutes celles qui ont meſmes extremitez. Mais Platon dit que c’eſt celle-là dont les points du milieu ombragent les extremes : comme par exemple, ſi la ligne ACB, le point extreme A avoit la vertu d’illuminer, & le point du milieu C la force de cacher : iceluy point C empeſcheroit que le point extreme B fuſt illuminé de l’autre extreme A : Et auſſi l’œil eſtant au point extreme A, il ne pourroit voir l’autre extreme B, à cause du point C posé entre iceux extremes : ce qui n’arriveroit pas aux lignes non droites, comme le démonſtrent les lignes ADB, AEB, & AFB.

Or tout ainsi que les Mathématiciens conçoivent la ligne eſtre deſcripte par le flux & mouvement imaginaire du point, ainsi aussi entendent-ils la qualité de la ligne deſcripte par la qualité d’iceluy mouvement : car si on entend que le point coulle droit par le plus court chemin ne se deſtournāt ça ne là, la ligne ainsi deſcrite sera appellee ligne droite : mais ſi le point fluant vacille en ſon mouvement, & s’eſcarte ça & là ; la ligne deſcrite sera appellee mixte ; & finalement si le point fluant ne vacille en ſon mouvement, mais eſt porté en rond d’un certain mouvement uniforme & regulier, gardant touſjours une eſgale diſtance à quelque certain point à l’entour duquel il eſt porté ; cette ligne deſcrite sera appellee circulaire. Or Euclide ne traite icy que des deux ſimples lignes, ſçavoir est de la droite & de la circulaire. Il a défini celle-là cy-deſſus, & il definira ceſte-cy à la 15. def. Mais quant à la mixte, il en obmet la definition, pource qu’elle n’a aucun usage en ses elements Geometriques : il y en a de pluſieurs ſortes, & d’icelles traitent amplement Apollonius, Pergeus, Nicomedes, Archimedes & autres Autheurs.


5. Superficie, eſt ce qui a longueur & largeur tant ſeulement.

Apres la ligne, qui eſt la premiere eſpece de quantité continue, & qui a une ſeule dimenſion, Euclide definit la ſuperficie, qui eſt la ſeconde espèce de quantité, & a deux dimenſions : car on n’y trouve pas la ſeule longitude comme en la ligne, mais aussi latitude, sans toutesfois aucune profondité : comme la quantité ABCD compriſe entre les lignes AB, BC, CD, DA, &
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conſideree ſelon la longitude AB, ou DC, & ſelon la latitude AD, ou BC, sans aucune eſpoiſſeur ou profondité, eſt appellee ſuperficie. Quelques vns deſcrivans la ſuperficie diſent, que c’eſt l’extremité du corps. Et comme dit Proclus, la ſuperficie nous eſt fort naïvement repréſentee par les ombres du corps : car vu qu’elles ne peuvent penetrer au dedans de la terre, elles ſeront ſeulement longues & larges. Davantage comme les Mathématiciens entendent que la ligne eſt produite par le flux ou coullement du point, ainſi diſent-ils que la ligne se mouvant en travers, produit la superficie : comme par exemple, si on entend que la ligne A, B se meuve vers la ligne DC, elle ſera la superficie ABCD, laquelle n’aura aucune profondeur, puis que c’est la trace & vestige du mouvement de la ligne AB qui n’a aucune profondité.

6. Les extremitez de la ſuperficie, ſont lignes.

Il faut icy entendre des ſuperficies bornees, & terminees par lignes droites, comme la ſuperficie ABCD cy deſſus, de laquelle les extrémitez ſont les lignes AB, BC, CD, & DA : car il y a bien pluſieurs superficies encloses, d’une ſeule ligne, comme de la circulaire, & autres, dont Euclide ne fait mention en ces Elemens-cy : mais il n’en veut icy parler, non plus que la ſuperficie ſphérique, qui circuit & environne un corps entierement rond & ſpherique. Comme donc la ligne terminee commence à un point, & finit à un autre point, ainſi aussi la ſuperficie terminee commence par une ligne, & finit par une ligne, tant ſelon sa longueur, que ſelon ſa largeur.

7. Superficie plane, est celle qui eſt également compriſe entre ſes lignes.

Ceſte definition de la superficie plane a quelque ſimilitude & rapport à celle de la ligne droite : car comme la ligne qui est également eſtendue entre ses points, est appellee ligne droite, ainſi auſſi la superficie qui eſt également eſtendue entre ſes lignes, tellement que toutes les parties du milieu ne ſont plus eſlevees ny abaiſſees que les extremes, eſt appellee superficie plane. Et derechef, comme la ligne droite eſt la plus courte d’entre ses extremitez, ainſi auſſi la superficie plane est la plus courte, ou brieſue de toutes celles qui ont les meſmes extremitez. C’est encore pour la méme raiſon que quelques autres deſcrivans la superficie plane, diſent que c’est celle-là de laquelle toutes les parties du milieu ombragent ſes extremes : ou bien celle-là à toutes les parties de laquelle une ligne droite peut eſtre accommodee.
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Comme par exemple, la superficie ABCD sera dite plane, si la ligne droite AE se mouvant à l’entour du point immobile A, en ſorte qu’elle vienne à eſtre la meſme que AF, puis la meſme que AG, & puis encore la meſme que AH, en apres la meſme que AI, & finalement la meſme que AK ; elle ne rencontre rien en la superficie de plus eſlevé ou abaiſſé l’un que l’autre, ainſi que tous les points de ladite ſuperficie ſoient touchez d’icelle ligne mouvante AE, & en quelque ſorte raclez par icelle. Mais toutes ſuperficies eſquelles il y a des endroits les uns plus eſlevez que les autres, tellement qu’on n’y peut pas accommoder une ligne droite par tous les lieux & endroits d’icelles, telle qu’eſt la superficie interieure d’une voulte ou arcade, ou bien l’exterieure d’un globe, ou d’une colomne ronde, & aussi d’un cone, &c. ſont appellees ſuperficies courbes : & icelles sont de pluſieurs ſortes, c’est à ſçavoir convexe, comme la ſuperficie exterieure d’une ſphere, ou d’une colomne ronde : & concave, comme la ſuperficie interieure d’une voulte ou arcade : mais la contemplation de toutes ces choſes appartient à la Stereometrie dont traite Euclide és cinq derniers livres : c’est pourquoy il explique ſeulement icy la ſuperficie plane, de laquelle il traite és ſix premiers livres. Et cependant eſt à noter que ceſte superficie eſt souventesfois appellée plan par les Mathématiciens : tellement que quand ils parlent de plan, il faut touſjours entendre une ſuperficie plane. 8. Angle plan, eſt l’inclination de deux lignes, l’une à l’autre se touchant en un plan non directement.

Euclide enſeigne ici que quand deux lignes conſtituées en quelque ſuperficie plane concurrent en vn point d’icelle ſuperficie, et ne ſe rencontrent directement, alors l’inclination d’icelles deux lignes s’appelle angle plan.

Comme par exemple, pour ce que les deux lignes AB et AC, concurrent
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en A, et ne ſe rencontrent pas directement ; le concours ou inclination qu’icelles deux lignes font au point A, s’appelle angle : Et d’autant qu’iceluy angle eſt constitué au même plan qu’icelles deux lignes AB et AC, on l’appelle angle plan, à la différence d’autres angles, dont les uns sont nommés angles solides, deſquels traite ci-après Euclide en la Stéréométrie ; et les autres ſont appelés angles ſphériques, deſquels traite amplement Menelaus et Théodose en leurs éléments ſphériques, comme nous avons auſſi fait en nos triangles ſphériques.

Or quant à l’angle plan ci-deſſus déſſini eſt à remarquer, premièrement que la grandeur ou quantité dudit angle plan conſiste en la seule inclination des lignes qui le conſtituent, et non pas en la longueur d’icelles lignes ; car le prolongement deſdites lignes n’augmente point leur inclination, ni par conſéquent la grandeur de l’angle. En apres que quelques géomètres ont eſtimé qu’afin que deux lignes faſſent angle, il était néceſſaire qu’étant continuées du point de leur rencontre, elles s’entrecoupaſſent en icelui, dont s’ensuiuroit que deux cercles s’entretouchant en un plan, ou qu’une ligne droite touchant un cercle ne ferait angle, ce qui eſt contre l’intention d’Euclide, ainsi qu’il appert, tant par cette définition de l’angle plan, que par la 16. p. 3. et comme l’a auſſi bien démontré Clavius sur la même proposition où il réfute Pelletier, qui diſoit que la ligne droite touchant le cercle ne faiſoit angle ; c’est pourquoi ceux qui tiennent encore cette opinion, ſe moquent bien d’Euclide, de Clavius, et autres géomètres, qui diſent qu’une ligne droite touchant un cercle, fait un angle contigent, ou d’attouchement.


9. Que ſi les lignes comprenant l’angle ſont droites, l’angle ſera appelé rectiligne.

Tout angle plan est fait, ou de deux lignes droictes, et alors il ſe nomme angle rectiligne, comme dit ici Euclide, ou de deux lignes courbes, et alors on l’appelle angle curuiligne ou bien d’vne ligne droite & d’vne courbe, & alors on le nomme angle mixte. Or les angles curvilignes peuvent varier en trois manières, & les mixtes en deux, à cause de la diverse inclination ou habitude des lignes courbes, ainſi qu’il appert manifeſtement aux angles plans de la figure cy appoſée.

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10. Quand une ligne droite tombant ſur une autre ligne droite, fait les angles de part & d’autre eſgaux entr’eux, les angles ſont droits ; & la ligne tombante, eſt perpendiculaire à celle-là, ſur laquelle elle tombe.

Il y a de trois ſortes d’angles rectilignes, ſçavoir eſt droits, obtus & aigu : le premier deſquels Euclide definit icy avec la ligne perpendiculaire, & quant aux deux autres, il les définit aux deux définitions prochainement ; ſuiuantes. Il dit donc icy que ſi une ligne droite tombe ſur une autre ligne droite, en ſorte quelle faſſe les angles de part & d’autre eſgaux, ce qui advient lors que ladite ligne ne ſ’incline ou panche plus d’un coſté que de l’autre ; chacun d’iceux angles eſt appellé angle droit, & la ligne ainſi tombante, est ditte perpendiculaire a celle-là
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sur laquelle elle tombe. Comme par exemple, si la ligne droicte AB tombe sur la ligne droite CD, en ſorte qu’elle ne ſ’incline pas plus d’un coſté que de l’autre, les deux angles, quelle fait au point B seront eſgaux entr’eux, & chacun d’iceux sera nommé angle droit, mais la ligne AB ſera dite perpendiculaire à CD, sur laquelle elle tombe. Par meſme raison, la ligne droite CB ſera aussi dicte perpendiculaire à la ligne droite AB, encore qu’icelle CB faſſe un seul angle droit avec AB ; Et ce d’autant que ſi ladite ligne AB estoit prolongée directement de la part de B, elle y feroit un autre angle eſgal au premier. Parquoy en Geometrie, pour conclure, que quelque angle est droit, ou que la ligne qui le constinue eſt perpendiculaire à une autre, il faut seulement prouver que ledit angle eſt egal à celuy de l’autre coſté. Semblablement, ſi quelque angle eſt dit droict, ou que l’une des lignes qui le conſtitue ſoit perpendiculaire à l’autre, on pourra aussi conclurre que ledit angle est égal à celuy de l’autre coſté, car ſi ces angles-là n’eſtoient égaux, ils ne ſeroient nommez angles droicts, ainſi qu’il appert

tant par la ſusdite définition, que par les deux ſuivantes.


11. Angle obtus, est celuy qui eſt plus grand qu’un droict.


12. Mais l’aigu, est celuy qui est plus petit qu’un droict.

Quand une ligne droicte tombant sur une autre s’incline ou panche plus d’un coſté que de l’autre, elle fait consequemment deux angles inégaux, dont l’un est plus grand que l’angle droict, & se nomme angle obtus ; mais l’autre est plus petit, & s’appelle angle aigu. Ainsi pource qu’en cette figure, la ligne droicte EC tombant sur
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la ligne droicte AB, s’incline & panche plus du coſté de AC que de la part de BC, les deux angles du poinct C ſeront inégaux, & celuy vers B, qui eſt plus grand & ouvert que le droict ſera dit angle obtus : mais celuy de la part de A, qui eſt plus petit & fermé que l’angle droict, ſera nommé angle aigu.

Et d’autant que ſouventefois en un plan concurrent plus de deux lignes à un même poinct, & par conſequent y conſtituent pluſieurs angles, les Geometres ont accouſtumé (pour eviter confuſion) d’exprimer l’angle dont ils parlent par trois lettres, deſquelles celle du milieu denotte le poinct auquel les lignes conſtituent l’angle, & celles des extremes signifient les commancemens d’icelles lignes qui font iceluy angle : tellement qu’en la figure cy-dessus l’angle obtus que nous avons dit eſtre celuy de la part de B, ſera exprimé & entendu par ces trois lettres ECB ou BCE, à cauſe qu’il eſt constitué au poinct C, & contenu par les deux lignes droictes EC, & BC, qui commançant en E & B, ſe vont rencontrer au susdit poinct C. Mais l’angle aigu que nous avons dit eſtre de la part de A, s’exprimera par ces trois lettres ECA ou ACE, par ce qu’il eſt constitué au poinct C, & fait par les deux lignes droictes EC & AC, qui commencent en E & A, & se vont rencontrer au suſdict poinct C. Ce qu’on doit bien notter, afin de connoiſtre & diſcerner facilement les angles, dont sera faict mention és démonſtrations ſuivantes.


13. Terme, eſt l’extrémité de quelque chose.

Ainsi les poincts ſont termes ou extremitez des lignes, les lignes des ſuperficies, & les ſuperficies des corps.


14. Figure, eſt ce qui eſt compris & environné d’un, ou de pluſieurs termes.

Toute quantité ayant ternies, n’eſt pas dicte figure : mais ſeulement celles que les termes environnent : ainsi la ligne terminée par deux poincts, n’eſt pas dite figure : mais toutes ſuperficies, & ſolides, finis & limitez, ſont nommez figures, pource qu’ils ſont environnez d’un ſeul, ou de plusieurs termes : d’un ſeul, comme le Cercle, l’Ellipse, & la Sphere : de pluſieurs, comme le triangle, le quarré, le cube, la pyramide, &c.


15. Cercle, eſt une figure plane, contenue par vne ſeule ligne qu’on appelle circonference, vers laquelle toutes les lignes droictes menées d’un ſeul poinct de ceux qui ſont en icelle figure, ſont égales entr’elles.


16. Et ce poinct-là eſt appellé centre du cercle.

De toutes les figures planes, la plus parfaicte eſt le cercle, lequel, selon que le definit icy Euclide, est une figure plane contenue & environnee d’une ſeule ligne, â laquelle toutes celles me-
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nees d’un ſeul poinct de ceux qui ſont dedans la figure, ſont égales entr’elles : & cette ligne là s’appelle periphere, ou circonférence du cercle, & du ſusdict point, centre du cercle : Comme par exemple, si une ſuperficie ou eſpace eſt environnee d’une ſeule ligne ACE, & que de quelque poinct d’au-dedans d’icelle, comme de F, toutes les lignes droictes menees au terme ou circuit ACE, comme FA, FC, & FE, ſont égales entr’elles : telle figure plane ſera appellee cercle, & le terme ou ligne ACE, qui circuit & enuironne icelle figure, s’appellé periphere, ou circonférence du cercle : mais ledit poinct F, est nommé centre du cercle.

Quelques Geometres definiſſent autrement le cercle, & disent que c’est une figure plane, deſcrite par une ligne droicte finie, laquelle ayant un des points extremes fixe, est meuë à l’entour d’iceluy iusques à ce qu’elle retourne au meſme lieu où elle a commencé à mouvoir : comme ſi la ligne droicte AF ayant le poinct F fixe, eſt entendue ſe mouvoir à l’entour d’iceluy poinct F, tirant de A vers C, E, iusques à ce qu’elle revienne au meſme lieu FA, où elle a commencé ſon mouvement, elle deſcrira par iceluy mouvement le cercle ou espace ACE, duquel la circonférence eſt deſcrite & traſſee par le poinct mobile A ; & le poinct fixe F, est le centre d’iceluy cercle, duquel centre toutes les lignes droictes menées à la suſdite circonference ACE, ſont egales entr’elles, puis qu’elles proviennent toutes d’une seule & meſme meſure, c’est à ſçavoir de la ligne FA.


17. Diametre du cercle, eſt une ligne droicte menée par le centre du cercle, & finiſſant de part & d’autre à la circonference d’iceluy cercle, le diviſe en deux également.

Si dans un cercle on mene une ligne droicte par le centre, qui aille de part & d’autre iuſques à la circonférence ; icelle ligne s’appellera diametre du cercle. Comme en ceſte première figure,
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la ligne droide AB, qui est tiree par le centre C, & va départ & d’autre iuſques a la circonference du cercle, s’appelle diametre du cercle : Et iceluy, comme adiouste Euclide, couppe le cercle en deux parties égales, tellement que la partie AEB est égale à la partie ADB. Ce qui est aſſez manifeste, puiſque ledit diametre AB paſſe par le milieu du cercle, c’eſt à ſçavoir par le centre C : car s’il ne divisoit le cercle en deux parties éſgales, les lignes droictes tirées du centre à la circonference, ne ſeroient pas égales, contre la définition du cercle : Neantmoins pluſieurs interpretes d’Euclide rapportent en cet endroict la demonstration que Proclus dit, en avoir eſté faite par Thales Milesien, qui eſt telle : Imaginons nous que la partie de cercle ADB ſoit ſuperposée & accommodée à l’autre partie du cercle AEB, en sorte que le diametre AB soit commun à l’une & à l’autre partie. Or la circonférence ADB se rencontrera totallement auec la circonférence AEB, ou bien elle tombera au deſſus d’icelle, ou au deſſoubs : Si elles se rencontrent & conviennent l’une à l’autre, il est evident que ces deux parties là faictes par le diametre AB, sont égales entr’elles, puiſque l’une n’excede l’autre. Mais si on dit que la circonférence ADB ne se rencontre pas avec la circonference AEB, ains qu’elle tombe au deſſus ou au deſſoubs d’icelle, comme en la 2.figure, soit tiree du centre Ç une ligne droicte laquelle couppe la circonfèrence ADB en D, & la circonference AEB en E ; les deux lignes droictes CD & CE, qui sont tirées du centre à la circonference d’un meſme cercle, seront égales entr’elîes, par la définition du cercle : Ce qui est abſurde, car l’une n’eſt que partie de l’autre. Donc l’une de ces circonférences là ne tombera pas au deſſus ny au deſſoubs de l’autre ; mais ſe rencontreront & conviendront totallement l’une avec l’autre, & par conſéquent ſeront égales : ce qu’il falloit demonſtrer.

De ceſte demonſtration il appert que le diametre ne couppe pas ſeulement la circonference en deux egallement, mais aussi toute l'aire & superficie du cercle : Car puisque les demyes circonferences conviènnent & s’accordent entr’elles, comme il a eſté demonſtré ; les superficies contenues et encloſes entre le diametre & chacune d’icelles demy circonferences conviendront aussi entr’elles, puiſque l’une n’excede pas l’autre ; & par conſequent elles ſeront egales entr’elles. 18. Demy cercle, est une figure çomprise du diametre, & de moitié de la circonférence.


19. Portion ou segment de cercle, est une figure comprise d’une ligne droicte, & de partie de la circonférence.

Au cercle precedent la figure AEB contenue soubs le diametre AB, & la moitié de la circonference AEB, est dicte demy cercle ; car il a esté demonstré cy dessus qu’icelle figure est moitié du cercle AEBD, & ce à cause que le diamètre, ou ligne droicte AB, qui le divise en deux parties, passe par le centre C : Mais quant une ligne droicte, qui ne passe pas par le centre du cercle, le divise en deux parties ; chacune d’icelles parties contenuë soubs ladite ligne droicte, & une partie de la circonférence, est nommée segment ou portion de cercle ; & ces deux parties sont inegales, car celle où est le centre est plus grande que l’autre. Çomme par exemple, au cercle ABCD, duquel le centre est E, soit une ligne droide BFD, qui couppe ledit cercle en deux parties sans passer par ledit centre E ; la partie BAD, composee soubs la ligne droicte BD, & la partie de circonference BAD, s’appelle segment ou portion de cercle, Comme aussi BCD, qui est contenue soubs la mesme ligne droicte BD, & la circoference BCD. Or il est asses evident que la portion BAD, en laquelle est le cen-
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tre E, est plus grande que l’autre portion BCD, attendu que si dé B par le centre E on menoir un diamètre, il coupperoit le cercle en deux moitiez, çhacune desquelles seroit plus grande que la portion BCD, & moindre que l’autre portion BAD : Néantmoins Clauius & quelques autres interpretes d’Eucfide le demonstrent ainsi. Soit conceu ou imaginé que par le centre E, soit mené le diametre AC perpendiculaire à BD : donc si les susdites portions BAD & BCD, sont dictes esgales, & que la portion BCD, soit entendue se mouvoir à l’entour de la ligne droicte BD, en sorte qu’elle tombe sur l’autre portion BAD ; ceste portion là conviendra avec ceste-cy, & la ligne droicte CF à la ligne droicte AF, à cause que par la 10. defin. les angles du poinct F sont droicts & egaux : Parquoy la ligne droicte FC qui est maintenant la mesme que FA, sera plus grande que EA, qui n’est qu’une partie d’icelle FA. Mais d’autant que EC, est égaie à EA ; estans toutes deux menees du centre E à la circonférence ; FC fera pareillement plus grande que EC, la partie que le tout : Ce qui est absurde. Donc la portion BCD ne conviendra pas à la portion BAD ; ainsi elle tombera dedans icelle, comme est la portion BGD, de sorte que la ligne droicte FG, qui fera lors la mesme que FC sera moindre que EA ou EC ; car si on disoit qu’elle tombe dehors, comme si le cercie BCDG, duquel le centre fust E ; aussi la portion

BCD tomberoit dehors BGD, ainsi que la portion BAD : Derechef FA, qui seroit lors la mesme que FC, seroit plus grande que EG, c’est à dire que EC ; & partant la partie FC seroit derechef plus grande que le tout EC : Ce’qui est absurde. Il est donc manifeste que la portion BAD, en laquelle est le centre E, est plus grande que l’autre portion BCD, puis que celle-cy est égale à la portion BGD, qui est partie de la portion BAD. Car puisque i a esté demonstré que la portion BCD, meüé à l’entour de 1a ligne droicte BD, ne peut convenir sur la portion BAD, ne tomber hors icelie ; elle tombera totalement au dedans comme BGD. Or ces deux définitions n’estoient pas proprement de ce lieu, veu qu’elles ne sont employées en ce premier liure, mais bien au troisiesme, auquel la derniere est repetée.


20. Figure rectiligne, est celle qui est comprise de lignes droictes.

Apres avoir definy le cercle, le demy cercle, & les pontons de cercle, Euclide passe aux figures planes rectilignes, & dit, que ce sont celles contenues & encloses de lignes droictes, & telles sont les trois figures cy dessous cottees A, B, C ; par consequent les figures planés comprises & environnees de lignes courbes,
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comme celles cotees D, E, F, sont appellees figures courbelignes, ou curvilignes : mais les figures qui sont circuites & ençloses en partie de lignes droictes, & en partie de lignes courbes, sont nommées figures mixtes.


21. Figure de trois costez, est celle qui est comprise de trois lignes droictes.

Euclide voulant descrire divers genres de figures rectilignes, commence par les figures trialteres, ou de trois costez, & dit que ce sont celles qui sont contenues & environnees de trois lignes droictes : & d’autant que telles figures ont tousiours trois angles, on les appelle communement triangles. Ainsi la figure A cy dessus, laquelle est contenue soubs trois lignes droictes, qui constituent trois angles, sera nommee figure trilatere, ou plustost triangle rectiligne, il y en a de diverses especes, qui seront declarees cy après, mais la figure D, circuite & enclose de trois lignes courbes, sera dicte triangle curviligne.


22. Figure de quatre costez, est celle qui est comprise de quatre lignes droictes.

Apres les figures trilateres viennent en ordre les quadrilatères, ou de quatre costez, c’est à sçavoir les figures contenues soubs quatre lignes droictes lesquelles constituent aussi quatre angles ; & pour ce sont elles souvent appellees quadrangles : ainsi entre les figures précédentes celle cottée B, comprise & enclose de quatre lignes droictes qui constituent quatre angles, sera appellee quadrilatere, ou quadrangle rectiligne ; & y en a de diverses especes cy après declarees : mais la figure cottee E enclose de quatre lignes courbes sera dicte quadrangle curviligne.


23. Figures multilateres, ou de plusieurs costez, sont celles qui sont comprises de plus de quatre lignes droictes.

Le nombre des especes de figures rectlignes estant infiny, Euclide s’est contenté de définir, & particulièrement denommer les deux premières especes cy dessus déclarées, c’est à sçauoir celles contenues foubs trois & quatre lignes droictes : & quant aux autres especes de figures, qui sont contenues & encloses par plus de quatre lignes droictes, il les appelle de ce nom general, mnltilateres : mais les Geometres denommant particulièrement quelqu’unes de ces figures multilateres, prennent leurs denominations du nombre de leurs angles : ainsi les figures cy devant cottees C, & F, lesquelles font comprises & environnees de cinq lignes, qui constituent cinq angles, sont appellees Pentagones : Et celles contenues de six lignes, sont nommées Hexagones ; de sept, Heptagones ; de huict, Octogenes ; de neuf, Enneagones ; de dix, Decagones ; de unze, Endecagones ; de douze, Dodecagones, &c.


24. Or des figures de trois costez, celle se nomme Triangle equilateral, qui a les trois costez egaux.


25. Triangle Isoscele, qui a deux costez egaux seulement.


26. Scalene, qui a les trois costez inegaux.

Il y a diverses especes de triangles rectilignes, soit qu’on les considere selon les costez, soit
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qu’on ait esgard à leurs angles : considerant les costez il y en a de trois especes, lesquelles Euclide expose par ces trois definitions ; & dit premieremēt que

le triangle qui a tous les trois costez egaux, comme le triangle A, s’appelle triangle equilateral : Mais les triangles qui n’ont que deux costez egaux, comme B & C, s’appellent triangles lsoscelles. Et finalement, le triangle qui a cous les trois costez inégaux, comme D, est nommé triangle scalene. Or les triangles Equilateraux sont toujours uniformes & d’une mesme sorte : mais les isoscelles, & les Scalenes sont diversifiez en infinies manieres.


27. Encores des figures de trois costez, celle se nomme triangle rectangle qui a un angle droict.


28. Ambligone, qui a un angle obtus.


29. Oxigone, qui a les trois angles aigus.

Euclide considere maintenant les triangles ayant égard à leurs angles, lesquels triangles sont de trois sortes, c’est à sçauoir rectangle, ambligone, & oxigone : les triangles rectangles sont ceux
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qui ont un angle droict & tel est icy le triangle A : mais les triangles ambligones, sont ceux qui ont un angle obtus, comme est icy le triangle B : & les triangles oxigones, sont ceux qui ont tous les trois angles aigus, & tel est icy le triangle C. Or est a noter qu’en tout triangle deux quelconques lignes des trois qui le contiennent estans prises pour deux costez, la troisieme restante a scouftumé d’estre appellée par les Geometres, la base du triangle, soit qu’icelle ligne soit le costé infime du triangîe, ou
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non : tellement que chacune desdictes trois lignes qui constituent & enfermét le triangle peut estre prise pour base : Ainsi au triangle ABC, les lignes AB, & AC estans prises pour les deux costés, la troisiéme lig. BC sera la base : mais si on prend AB, & BC pour les deux costés, AC sera là base du triangle.


30. Mais des figures de quatre costez ; celle qui a les quatre costés égaux, & les quatre angles droicts s’appelle quarré.

Apres les figures trilateres, Euclide expose les quadrilate-
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res, qui sont de cinq sortes : la première d’icelles, qui est equilaterale & rectangle, s’appelle quarré. Ainsi la figure quadrilatere ABCD, ayant tous les quatre costez égaux, & tous les quatre angles droicts sera appellee quarré.

31. Quarré long, qui a les quatre angles droicts, mais non pas tous les costez égaux.

La seconde figure quadrilatere s’appelle quarré long, à cause qu’estat plus long d’une part que de l’autre, elle a tous les quatre
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angles droicts. Ainsi la fig. quadrilatère ABCD sera appellée quarré lôg, car elle a les quatre angles droicts & non pas tous les costés égaux entr’eux, ainsi seulement les costés opposez AB, DC, qui sont plus longs que les deux autres opposez AD, BC, qui sont aussi egaux entr’eux.


32. Rhombe, qui a les quatre costez egaux, mais non pas les quatre angles droicts.

La troisiesme sorte de figure quadrilatère, laquelle on appelle Rhombe a bien tous les quatre costez egaux entr’eux, ainsi que le quarré, mais elle n’a pas comme lay les quatre angles droicts ; ains elle
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en a deux opposez obtus, & deux opposez aigus. Ainsi le quadrilatere EFGH, duquel tous les quatre costés sont esgaux entr’eux, & les quatre angles non droicts, ains obtus & aigus, sera appellé Rhombe.


33. Rhomboide, qui a les angles opposez, & les costez opposez aussi egaux entr’eux, sans estre equilateral, ny rectangle.

la figure quadrilatère qui n’est equilateralle ny rectangulaire, mais a les costés opposés egaux entr’eux, & les angles opposés aussi
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égaux entre eux, s’appelle Rhomboide, & telle est icy la figure IKLM, de laquelle les costés opposez IK, LM sont egaux entr’eux, & plus longs que les deux autres costés opposés IL, KM, qui sont pareillemeht egaux entr’eux, mais les angles opposes I, M, egaux, & plus grands que les deux autres K, L, lesquels sont aussi egaux entr’eux.


34. Toutte autre figure de quatre costez, est appellée trapeze.

Toute autre figure quadrilatere differente des quatre susdites, c’est à sçavoir qui n’est ny quarré, ny quarré
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long, ny Rhombe, ny Rhomboide, s’appelle trapeze ; & telles sont ces deux figures A & B ; car l’une ny l’autre n’est equilatere ny rectangle, n’y n’a les angles opposez egaux, ny tous les costez opposez aussi égaux. Or est icy à notter que quand d’vn angle
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de quelconque figure quadrilatere on tire une ligne droicte à l’angle opposé, cette ligne est appellée diametre par aucuns, & diagonale par d’autres, ainsi au quadrilatere ABCD la ligne BD, menee de l’angle B à son opposé D est dicte diagonalle, ou diametre.


35. Lignes droictes paralleles, sont celles qui estans sur un mesme plan, & prolongées infiniment de part & d’autre ne se rencontrent iamais.

Afin que les lignes droictes soient dictes paralleles, ou equidistantes, il ne suffit pas qu’estans prolongées infiniment de part & d’autre, elles ne viennent iamais à se rencontrer, mais il est aussi necessaire qu’elles soient en une mesme superficie plane : Car plusieurs lignes droites n’estans en une mesme superficie, pourroient bien estre prolongées à l’infiny & ne le rencontrer iamais, lesquelles toutesfois ne seroient dites parallèles. Comme par exemple, si deux lignes droictes posees de travers au milieu de l’air ne se touchent point, bien qu’elles soient prolongées tant qu’on’voudra, elles ne se rencontreront iamais, & toutesfois el-
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les ne seront pas dictes paralleles. Parquoy les deux lig. droictes AB, & CD, lesquelles sont en une mesme superficie plane, & qui estans prolongées à l’infiny tant de la part de A, C, que de B, D, ne se rencontrent iamais, seront dictes lignes paralleles.

Or icy finissent les definitions du premier livre d’Euclide : Mais d’autant qu’en ce mesme livre est souvent parlé de parallelogramme, & de leurs complemens, lesquels Euclide n’a point definy, nous adjousterons icy leurs definitions.


36. Parallélogramme, est une figure quadrilatere qui a les costez opposez parallels, ou equidistans.

Telle figure est tousiours l’une de ces quatre : Quarré, Quarré long, Rhombe, & Rhomboide, car elles ont toutes leurs costez opposés parallels.


37. Mais quand en un parallelogramme on mene un diametre, & deux lignes droictes paralleles aux costez lesquelles couppant iceluy diametre à un méme poinct, divisent le parallelogramme en quatre autres parallelogrammes ; ces deux là par lesquels le diametre ne passe point, sont appellez complemens ; mais les deux autres par lesquels le diametre passe, sont dicts estre à l’entour du diametre.

Soit un parallélogramme ABDC, duquel le diametre est BC, & la ligné EF couppant iceluy diametre au poinct I, soit parallele aux costez AC, BD ; mais la ligne GH coupant ledit diametre BC au mesme poinct I, soit parallele aux costés AB, CD. Il est manifeste que tout le
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parallelogramme est divisé par lesdites 2 lignes paralleles EF, GH, en quatre autres parallelogrames, deux desquels, sçauoir AGIF, DEIH, par lesquels le diametre BC ne passe point, sont appellez par les Geometres complemens, ou supplemens des deux autres parallelogrammes BFIH, CEIG, lesquels sont dits estre à l’entour du diametre, à cause que par iceux passe le diametre.


PETITIONS OV DEMANDES.


1. D’un poinct donné à un autre poinct mener une ligne droiçte.


2. Continuer infiniment une ligne droicte donnée & terminée.


3. Descrire un cercle de quelque centre & intervalle que ce soit.

Euclide ne se sert en ces Elemens-cy que de deux sortes de lignes simples, sçavoir est de la droite & de la circulaire, la description desquelles estant fort facile, il demande icy qu’on la luy concede de accorde, sans qu’il soit contraint de demonstrer qu’elle est possible : ce qui est toutefois manifeste ; car puisque la ligne est un flux & coullement imaginaire du poinct, & partant la ligne droicte estre un flux procedant de droict chemin, & le plus court qui puisse estre d’un lieu à un autre, il est certain que si on entend quelque poinct se mouvoir directement à vn autre, une ligne droicte sera menee d’un poinct à l’autre. Parquoy on ne peust pas nier que depuis le poinct A iusques à quelconque poinct B, on ne puisse mener une droicte ligne, comme AB, ainsi qu’Euclidè requiert qu’on luy accorde par la premiere des trois petitions susdictes. Et si on entend le mesme poinct se mouvoir encore plus outre directement & sans aucunement decliner ça ne là, la ligne droicte terminee sera prolongee ; & ce prolongement se pourra faire à l’infiny, veu que nous pouvons entendre ce poinct-là se mouvoir infiniment : Et partant per-
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sonne ne pourra nier que la ligne droicte AB cy-dessus ne puisse estre continuée iusques en C, puis encore iusques en D, & ainsi à l’infiny, comme Euclide demande qu’on luy accorde par la 2. pétition. Mais si on conçoit quelconque ligne droite terminee se mouvoir à lentour d’un de ses poincts extremes qui demeure fixe, iusques à ce qu’elle retourne au mesme lieu où elle a commencé son mouvement, sera descrit un cercle, & fait ce qui est requis par la 3. pétition comme il appert en ces quatre lignes droites AB, AC, AD, AE, chacune desquelles estant menée à l’entour du centré A, descrit un cercle selon la grandeur & intervalle d’icelle.

Aux trois petitions precedentes, Clauius a adiousté la suivante.


4. Estant donné quelconque grandeur, on en peust prendre une autre plus grande, ou moindre.

Car d’autant que toute quantité continue peust estre infiniment augmentee par additition, & diminuée par division, il ne se peut donner quantité continue si grande, qu’il ne s’en puisse donner encore une plus grande ; ny une si petite qu’il ne s’en puisse encore donner une plus petite. Ce qui est dit icy touchant l’addition, est aussi veritable aux nombres ; car chaque nombre peut estre augmenté à l’infiny par l’addition continuelle de l’unité, jaceoit qu’en la diminution d’iceluy on parvienne à l’unité indivisible.


AXIOMES OV
communes sentences.


1. Les choses esgales à une mesme, sont egales entr’elles.

A ce premier axiome, Clauius a adjousté qu’une chose qui est plus grande ou plus petite qu’une des eales, est aussi plus grande ou plus petite que l’autre : Et si l’une des choses egales est plus grande on plus petite que quelque grandeur, l’autre est pareillement plus grande ou plus petite que la mesme grandeur.


2. Si à choses egales, on adjouste choses egales, les touts sont egaux.


3. Si de choses egales, ou ofte choses egales, les restes sont egaux. 4. Si à choses inegales, on adjouste choses egales, les touts sont inegaux.

A cet axiome Clauius a adjousté, que si à choses inegales on adiouste choses inegales, c’est à sçauoir la plus grande à la plus grande, & la plus petite à la plus petite, les touts sont inegaux, sçavoir est celuy-là plus grand, & cestuy-cy plus petit.


5. Si de choses inegales, on oste choses egales, lès restes sont inegaux.

A ceste notion Clauius adiouste aussi, que si de choses inegales on oste choses inegales, c’est à sçavoir de la plus grande, moins, & de la plus petite, plus ; les restes sont inegaux, sçavoir est celuy-là plus grand, & cestuy-cy plus petit.

Or en toutes les quatre notions precedentes par le mot de choses ou quantitez egales, il faut aussi entendre vne mesme commune à plusieurs ; Car si à choses égales on y en adjouste une mesme commune, les touts seront égaux. Et si de chofes égales on en retranche une commune, les restes seront aussi égaux. Et si a choses inegales on en adjouste une commune, où à une mesme chose commune, on adjouste choses inegales, les tous seront inegaux. Et si de choses inegales ; on en retranche une mesme commune, ou d’une mesme chose, on en retranche d’inegales, les restes seront inegaux.


6. Les choses doubles d’une autre sont egales entr’elles.

Clauius adjouste à cet axiome, que ce qui est double d’une des choses égales est pareillement double de l’autre ; Mais il est aussi manifeste que les choses qui sont triples d’une mesme, ou bien quadruple, ou quintuple, &e. sont égales entr’elles.


7. Les choses qui sont moitiez d’une mesme, sont egales entr’elles.

Il est aussi evident que les choses égales entr’elles sont moitiés d’une mesme : Et semblablement que les choses qui sont tierces parties d’une mesme, ou quartes, ou cinquiesmes, &c. sont aussi egales entr’elles.

En ces deux derniers axiomes, par une mesme quantité on doit aussi entendre les quantitez egales, car les choses doubles, triples, quadruples, &c. de choses egales, sont aussi egales entr’elles ; item, les choses qui sont moitiez, ou tierces parties &c. de choses egales, sont pareillement egales entr’elles. 8. Les choses qui conviennent entr’elles, sont egales entr'elles.

C’est à dire, que deux grandeurs seront egales entr’elles, si estans posees l’une sur l’autre, l’une n’excede l’autre, mais toutes deux ensemble s’adjustent entr’elies : côme deux lignes droites, seront dictes estre egales entr'elles, si l’une estant posee sur l’autre, celle qui est posée dessus s’adjuste à toute l’autre, tellement qu'elle ne l’excede, ny ne soit excedee d’icelle. Ainsi aussi deux angles rectilignes seront egaux entr’eux quand le sommet de l'un, estant posé sur le sommet de l’autre, l'un n’excede l’autre, mais les lignes de l’un tombent totalement sur celles de l’autre : car par ainsi lés inclinations des lignes seront, egales combien que souventefois icelles lignes soient inegales entr’elles. Ainsi aussi deux superficies seront esgaîes entr'elles, quand l’une estant posee sur l’autre, elle ne l’excede, ny n’est excedee par icelle, mais s’adjustent totalement entr’elles. Quelqu’un expliquant cette notion a dit que convenir, c’est avoir ses extremitez sur les extremitez : ce qui n’est pas vray en toutes grandeurs ; Car pour exemple, une ligne droicte peut bien avoir lès extremitez sur les extremitez d’une ligne courbe, laquelle neantmoins, ne luy sera egale. Ainsi aussi une ligne courbe peut bien avoir ses extremitez sur les extremitez d’une autre ligne courbe, laquelle ne luy sera pas pourtant egale. Or il est manifeste que de cet axiome on peut bien convertir & prendre pour principe, que les lignes droictes egales conviennent : Aussi que les angles rectilignes égaux conviennent : Semblablement, Que les superficies planes egales & semblables conviennent. On peut bien encore tirer quelques autres converses de cet axiome : mais de le vouloir convertir universellement (comme quelques-uns) c’est se moquer, veu que si on trouve une ligne courbe egale à une droicte, elles ne conviendront pas pourtant : & aussi qu’à tout angle rectiligne, il s'en peut bailler un curviligne egal, lesquels neantmoins ne conviendront iamais : voire mesme faire un quarré egal à un triangle, ou à quelconque autre figure rectiligne ; lesquels pourtant ne peuvent iamais convenir.


9. Le tout est plus grand que sa partie.


10. Tous les angles droicts sont egaux entr'eux.

De ce principe, nous pouvons convertir & prendre pour maxime, que tout angle rectiligne egal à un angle droict, est aussi droict.


11. Si une ligne droicte tombant sur deux autres lignes droictes, faict les angles interieurs d’un mesme costé plus petits que deux droicts, icelles deux lignes estans. continuées à l'infiny, se rencontreront du costé où les angles sont plus petits que deux droicts.

Comme par exemple, si la ligne droicte AB, tombant sur les deux lignes

droictes CD, EF, & les couppant aux poincts G, H, faict les deux angles intérieurs DGH, FHG, pris ensemble plus
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A petis que deux droicts, icelles deux lignes CD, EF, estans continuees à l’infiny se rencontreront de la part de D, F, où les susdits angles intérieurs sont faits moindres que deux droicts ; Car il est manifeste que de l’autre costé, sçavoir est vers C, E, l’espace d’entre lesdites deux lignes CD, EF, s’eslargira tousiours de plus en plus ; mais de cestuy cy, il s’estrecira en sorte que finallement icelles lignes se rencontreront à un poinct


12. Deux lignes droictes n’enferment pas un espace.

Une seule ligne courbe enferme bien un cspace, comme sont aussi une ligne droicte & une courbe, mais deux droictes ne le peuvent faire, ainsi il en faut du moins 3 pour contenir & enclorre
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une espace, côme il appert en ceste figure, en laquelle les 2 lignes droites AB, & BC, qui font l’angle B, estans prolongées tant qu’on voudra de la part de A & C, ne se joindront point, mais au contraire elles se dilateront tousiours de plus en plus ; tellement que pour enclore l’espace d’entre icelles deux lignes, il fera necessaire d’en mener une troisiesme, comme AC.

A ces 12 axiomes, Clauius & autres interpretes d’Euclide, ont encore adiousté les 8 suivans.


13. Deux lignes droictes se rencontrans indirectement n’ont pas un mesme & commun segment.

Combien que par la nature de la ligne droicte, il soit assez manifeste que deux lignes droictes, se rencontrans de tra-
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vers, ne peuvent avoir aucune partie commune tant petite qu’elle puisse estre, outre le poinct de leur rencontre ; si est ce toutes fois que Proclus le demonstre ainsi ; Que deux lignes droictes ADB, ADC ayent, s’il est possible vue partie commune AD. Du centre D, & de l’intervalle d’icelle AD, soit d’escrit un cercle couppant les deux lignes droictes proposees aux poincts B & C. Donc les circonférences AB, & ABC seront égales entr’elles : (car elles sont circonferences de deux cercles égaux, puis que ADB, ADC sont posez diametres)

sa partie & le tout : ce qui est absurde. Donc deux lignes droictes, &c.

Or nous n'avons pas rapporté cet axiome, ny aussi les sept autres suivans, tout de mesme qu’ils se trouvent dans Clauius & autres Interpretes d'Euclide, ains avons changé quelques mots aux uns, & adiousté aux autres, afin d’oster de ceux-là tout doubte & ambiguité, & ne laisser en ceux-cy aucune defectuosité : comme par exemple, en cestuy-cy nous avons adiousté se rencontrant indirectement, pource que deux lignes droi-
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ctes peuvent bien avoir un commun segment, quand elles sont posees directement, & constituent comme une seule ligne droicte, ainsi qu’il appert icy aux deux lignes droictes DC & BA, qui ont la partie ou segmenc AC commun ; mais quand elles sont posees de travers & indirectement, elles ne peuvent avoir aucune partie cômune outre le poinct leur rencontre.


14. Deux lignes droictes se rencontrans à un poinct indirectement, si elles sont toutes deux prolongees, elles s’entrecoupperont necessairement en iceluy poinct.

Cet axiome depend aussi de la nature de la ligne droicte, & toutesfois Clauius le demonstre ainsi. Que deux lignes droictes AB, CB se rencontrent indirectement au poinct B : ie dis qu’icelles lignes estās prolongees s’entrecoupperont à iceluy poinct B, sçauoir est que
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CB prolongee tombera, comme en E, au dessus de AB prolongee. Car si CB continuee ne tomboit au dessus de AB prolongée, ou elle conviendroit avec icelle AB continuée, de sorte qu'elle passeroit par D, & par ainsi les deux lignes droictes ABD, CBD auroient un mesme segment BD commun, contre le precedent axiome : ou bien elle tomberoit au dessoubs de AB prolongee comme en F, tellement que CBF feroit une ligne droicte : Donc du centre B, & de quelconque intervalle soit descrit un cercle ACFD, couppant les lignes droictes AB, CB prolongees en D, F. Or puis que l'une & l’autre ligne droicte ABD, CBF, passe par le centre B, tant ACD que CF sera demy cercle par la 18 def. & consequemment les circonferences ABD & CF seront egales entr’elles, le tout & la partie : ce qui est absurde.


15. Si à choses egales on adjouste choses inégales, lexcez des toutes sera le mesme que l’excez des adioustees.

Aux grandeurs egales AB, CD, estans
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adioustés les inégales BE, DF, desquelles la difference ou excés est G E ; il est manifeste que la toute AE excedera la toute CF du mesme excez GE,

16. Si à choses inégales on adiouste choses egales, l’excez des toutes sera le mesme que l’excez de celles qui estoient au commencement.

Comme si (en la figure precedente) aux grandeurs inegales BE, DF, dont l’excez ou difference est GE, on adiouste les grandeurs inegales AB, CD : il est manifeste que la toute AE excedera la toute CF du mesme excez GE.


17. Si de chofes egalés on retranche choses inegales, l’excez des restantes sera le mesme que l’excés des retranchees.

Des grandeurs égales AB, CD estans re-
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tranchees les inegales, BE, DF dont l’excez est EG, il est evident que le reste CF excedera le reste AE du mesme excez EG.


18. Si de choses inegales on oste choses egales, l’excez des reliantes sera le mesme que l’excez des toutes.

Comme si des grandeurs inegales AB, CD,
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dont l’excez est BE, on retranche les grandeurs egales AF, CG, il est manifeste que le reste FB excedera le reste GD du mesme excez BE.


19. Le tout est egal à toutes ses parties prises ensemble.


20. Si un tout est doublé d’un tout, & le retranché du retranché ; le reste sera aussi double du reste.

Comme par exemple, le nombre total 24, estant double du nombre total 12 ; & 18, retranché de celuy-là, double de 5, retranché de cestuy-cy ; 14, reste du premier tout, sera aussi double de 7, reste du second tout.
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ELEMENT


PREMIER


PROBL. I. PROP. I.


Sur une ligne droicte donnee & terminee, descrire un triangle équilatéral.

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Soit la ligne droicte donnee AB, sur laquelle il faut faire un triangle equilateral.

Du centre A, & de l'intervale de AB, soit descrit le cercle BCD : Item, du centre B, & de i’intervalle de la mesme AB, soit descrit un autre cercle A C D, couppant le premier ès poincts C & D, de l'un desquels, sçavoir de G, soient menees les deux lignes droictes CA, & CB : ie dis que le triangle ABC, construit sur la ligne droicte donnee AB, est equilateral.

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Car le costé AB, est egal au costé AC, par la 15. deff. d’autant qu’ils procedent de mesme centre vers mesme circonference ; & par la mesme raison, le costé BA est égal au coste BC. Doc par la 1. composent. les costés CA, & CB seront égaux, chacun estant égal à AB : & partant le triangle A B C decrit sur AB, est equilateral qui est ce qu’il falloit faite.
SCHOLIE

Quelques interpretes ont icy enseigné à descrire aussi sur une ligne droicte donnee un triangle isocelle, & un scalent, ce que nous serons aussi en cette maniere, soit une ligne droicte donnee AB, à l'entour de laquelle des centres A & B, soient descrits deux cercles, ainsi que dessus. En apres soit prolongee icelle AB, de part & d'autre

vers les circonférences iusques en C & D : puis du centre A, & intervale AD, soit descrit ie, cercle DEF : Item, du centre B, & intervale EC, le cercle CEF, couppant le premier és poincts E & F, de l’un ou l’autre desquels, sçavoir de E, soient memes aux poincts A & B, les
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deux lignes EA, EB : Ie dis que le triangle AEB, fait sur la ligne donnee AB, est isocelle, qui est que les deux costez AE, EB, sont egaux entr’eux, & plusgrands que AE. Car d’autant que par la 15 def. AE, est egale à la ligne droicte AD, & icelle AD est double de AB, veu que BA, & DB, sont egales entr’elles ; aussi AE sera double de AB. Derechef, parce que BE est egale à BC, & icelle BC est double de AB aussi BE, sera double d’icelle AB. Veu donc que l’un & l’autre costé AE & BE est double de la mesme AB, ils seront egaux entr’eux par la 6.com, sent. & partant plus grands que la ligne AB. Donc le triangle AEB est isocelle. Maintenant, si du poinct A on tire la ligne droicte AG a la circonference EGF, qui ne sont la mesme que AE, ou AD, couppant la circonference EHD en H, & de G on mene à B la ligne droicte GB, sera constitué le triangle AGB sur la ligne AB, lequel ie dis estre scalene,. Car par la 15.def.tant AH, AD, que BG, BC sont egales. Mais AD, BC sont doubles de AB : d’icelle seront donc aussi doubles AH, BG : & partant plus grandes qu’icelle AB. Veu donc que AG est plus grande que AH, ou que BG : fe triangle AGB sera scalene : ce qu’il falloit faire.

Or est icy à noter que pour, briefucté nous mettons souventesfois ce mot ligne au lieu de ligne droicte : & quelquesfois aussi nous posons simplement, ou bien deux lettres capitales : comme par exemple AB au lieu de dire la ligne droicte AB, c’est pourquoy quand on trouvera ledit mot ligne posé simplement, ou bien deux lettres capitales de suite, il faudra entendre une ligne droite. Semblablement quand on trouvera ce mot angle, où trois lettres capitales posees simplement de suite sans aucune explication, il faudra entendre un angle rectiligne, le lieu duquel sera toujours denotté par la lettre du milieu, ainsi que nous avons desia remarqué à la 11. Def.

Et d’autant qu’en la constraction & demonstration de la plus part des problemes de ces Elements-cy, Euclide employe beaucoup de paroles, & tire plusieurs lignes qui ne sont necessaires pour pratiquer lesdits problemes, nous enseignerons en suitte de leurs demonstrations comme on peut facilement & briefvement construire lesdits problemes, & principalement ceux qui sont les plus envsage ckez les Mathematiciens, & en la pratique desquels on peut apporter quelque briefvete.

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Premierement donc, pour descrire un triangle equilateral sur une ligne droicte donnee AB, des centres A & B, mais de l’intervalle d’icelle AB, soient descrits deux arcs de cercle s’entrecouppans en C, puis à iceluy poinct C, soient tirees les lignes droictes AC, BC, & sera fait le triangle equilateral ACB, Mais pour descrire un triangle isoscelle sur ladite ligne AB : des centres A & B, mais d’un infernale plus grand qu’icelle AB, fi on veut les costés plus grands que la ligne donnée, ou moindre (& toutesfois plus grand que la moitié d’icelle AB) si on veut les costez moindres : & soient descrits deux arcs s’entrecouppans en C,

puis tirées les deux lignes AC, BC, lesquelles seront sur AB le triangle isoscelle ACB.

Et pour construire un triangle scalene sur ladite AB du centre B, & d’un intervalle plus grand que BA soit descrit un arc, puis du centre A, & d’un intervalle encore plus grand que le precedent, soit descrit un autre arc qui couppe le premier en C, auquel poinct soient memes les deux lignes droictes AC, BC, & sera fait le triangle scalene ACB.

Voila donc comme il faut descrire sur une ligne donnée un triangle ou equilateral, ou isoscelle, ou scalene, & sur la 22. prop. de ce livre nous enseignerons comme il faut construire quelconque triangle ayant les trois costez egaux à trois lignes droictes donnees.

PROB. 2. PROP. II.

D’un poinct donné, mener une ligne droicte egale à une ligne droicte donnee.

Soit le poinct donné A, & la ligne droicte donnee BC ; & il faut du poinct A mener une ligne droicte egale à icelle donnée BC.

De l’un ou l’autre extreme de la ligne donnee BC, sçavoir est de B, comme centre, & de l’intervalle d’icelle BC, soit descrit le cercle CG : puis du poinct donné A, au centre B, soit menee la ligne droicte AB (sinon que le poinct A fut donné en la ligne BC, comme en la 2. fig.) sur laquelle ligne AB par la precedente proposition soit descrit le triangle equilateral ADB, & soit continué le costé DB, iusques à ce qu’il renconrencontre la circonference en G : mais le costé DA tant qu’on voudra en E. En apres, du centre D, & de l’intervalle de la ligne droicte DG, soit descrit le cercle GKL couppant la ligne DE en L : Ie dis que la ligne AL, qui est menee du poinct donné A, est egale à la ligne droicte donnee BC.

Cari les lignes droictes DG & DL sont egales, d’autant qu’elles procedent de mesme centre vers une mesme circonference, desquelles lignes si on oste DA & DB,qui sont egales, estant DAB triangle equilateral ; les restantes BG & AL seront aussi egales par la 3. com. sent. Mais BG est egale à BC, parce qu’elle procede de mesme centre vers mesme circonference. Donc AL sera egale à BC, parce que les choses egales à une mesme sont egales entr‘elles. Nous avons donc un poinct donné A mené la ligne droicte AL egale à la ligne droicte donnee BC. Ce qu’il falloit faire.

SCHOLIE.

Ce problème peut avoir divers cas : car où le poinct donné est posé en la mesme ligne droicte donnée, ou hors icelle : & selon chacune de ces positions il y peust encor avoir divers cas, deux desquels seulement nous avons rapporté icy, d'autant qu'en tous les autres cas il y a tousiours une mesme construction & demonstration.

Que si en la construction on fait sur la ligne droifcte AB le triangle ABD isoscelle au lieu qu'il a esté fait equilateral, on demonstrera en la mesme maniere la ligne droicte AL estre egale a la ligne droicte BC.

Quant a la pratique de ce probleme, elle est fort facile : car il n'y a qu'à prendre la ligne donnee BC, & de son intervalle descrire un arc du centre A, & quelconque ligne droicte menée d’iceluy centre a cet arc, sera egale à la ligne droict donnee BC.

PROB. 5. PROP. III.

Deux lignes droictes inegales estans donnees, oster de la plus grande, une ligne droicte egale à la plus petite.

Soient les deux lignes droictes inegales AB & C, desquelles AB est la plus grande : & d’icelle il faut oster une ligne egale à C.

A l’un ou l’autre des extremes de la plus grande ligne AB, sçauoir est au poinct A, soit posee par la precedente prop. la ligne drocite AD egale à la moindre C : puis du centre A, & de l’intervalle AD soit descrit un cercle couppant AB en E, Ie dis que la ligne AE est egale à C. Car d’autant que par la 15. def. les lignes droictes AD, AE sont egales : & par la construction AD, est egale à C ; par la 1. com. sent. AE sera aussi egale à C. Nous avons donc osté de AB, la ligne AE egale à C, ainsi qu’il falloit faire.

SCHOLIE.

Il y peut bien avoir divers cas en ce problème, à cause des diverses positions ausquelles se peuvent rencontrer les deux lignes donnees, mais en tous ces cas-là on peut tousiours faire la mesme construction & demonstation que cy-dessus, comme Proclus a fort bien remarqué fur ceste prop.

Quant à la pratique de ce probleme, elle est tres-aisee, veu qu’il n’y a qu’à prendre la moindre ligne donnee, & de l’intervalle d’icelle, descrire de l'un ou l'autre extreme de la plus grande ligne un petit arc, qui couppera d’icelle, une ligne egale a la moindre donnée.

THEOREME I. PROP. IV.

Si deux triangles ont deux costez egaux à deux costez, chacun au sien, & l’angle contenu d'iceux, egal a l'angle : la base sera egale à la base, & les autres angles egaux aux autres angles, chacun au sien, & le triangle egal au triangle.

Soient les deux triangles ABC & DEF, desquels le costé AB soit egal au costé DE, & AC à DF, & l’angle A egal à l’angle D : Ie dis que la base BC sera egale à la bafe EF, & l’angle B egal à l’angle E, & l'angle C à l’angle F, & le triangle ABC egal au triangle DEF.

Qu ’il ne soit ainsi ; si on entend le triangle DEF, estre posé sur le triangle ABC, en sorte que le poinct D soit sur le poinct A, & que DE tombe sur AB, aussi DF tombera sur AC : autrement l’angle A ne seroit pas egal à l’angle D. Et d’autant que les costez AB & AC sont egaux aux costez DE & DF, chacun au sien, ils conviendront par la 8. com. sent. convertie, & partant les extremitez E & F tomberont sur les extremitez B & C ; ainsi la base EF conviendra auec la base BC : car si elle ne convenoit, elle tomberoit ou au dessus d’icelle BC, comme BGC, ou au dessous, comme BHC : ce qui est impossible, attendu que deux lignes droictes ne peuvent enclore une espace par la 12. com. sent. Donc les deux bases BC, & EF conviendront, & partant seront egales entr’elles par la susdite 8. com. sent. Et par ainsi tout le triangle DEF conviendra avec tout le triangle ABC, consequemment egal à iceluy, & l'angle B convienndra aussi avec l'angle E, & l'angle C avec l'angle F, partant égaux. Si donc deux triangles ont deux costez egaux à deux costez, chacun au sien, &c. Ce qu'il falloit demontrer.
SCHOLIE.


Euclide met deux conditions en ce theoreme qui y ſont du tout neceſſaires, la Premiere deſquelles eſt que deux coſtez d’un triangle ſoient egaux aux deux coſtez de l’autre chacun au ſien : & la ſeconde, que les deux angles contenus d'iceux coſtez egaux, ſoient auſſi egaux Car defaillant l'une ou l’antre de ſes deux conditions, ny les baſes, ny les autres angles ne pourroient iamais eſtre egaux : & la derniere defaillant, les triangles peuuent bien eſtre quelquefois egaux, mais le plus souuent ils ſont inegaux : ce que nous pourrions facilement demonſter : icy n'eſtoit que pluſieurs choſes à ce requiſes n’ont encore eſté demonſtrees : neantmoins afin de rendre aucunement euidente la neceßité des ſuſdites conditions nous rapporterons icy ce qu'en dit Proclus ſur ceſte propoſition, & Clauius apres luy.

Pour la premiere condition de ce theoreme, ſoient deux triangles ABC, DEF, ayans les angles A & D egaux aux deux coſtez DE, DF, non cha-
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cun au ſien, mais ces deux-là pris enſemble egaux à ces deux-cy außi pris enſemble : & ſoit AB3 & AC4, qui adiouſtez enſemble font 7, mais DE ſoit 2, & DF 5, qui Vont außi enVemble 7. Ce qu'eſtant ainſi, la baſe BC BC ſera 5, & la baſe EF, racine quarree de ce nombre 29, laquelle eſt plus grande que 5, mais moindre que 6, & l'aire ou ſuperficie du triangle ABC ſera 6 : mais l'aire du triangle DEF ne Vera que 5. Finalement les angles ſur la baſe BC ne ſeront pas egaux aux angles de deſſus la baſe EF, chacun au ſien. Toutes leſquelles inegalitez adviennent à cauſe de ce que les coſtez AB, AC ne ſont pas egaux aux coſtez DE, DF chacun au ſien. Quant a la ſeconde condition : les coſtez AB, AC du triangle ABC ſoient égaux aux coſtez DE, DF du triangle

DEF, chacun au ſien, & chacun d’iceux ſoit 5, mais les angles A & D contenus d’iceux coſtez ſoient inégaux, & ſoit plus grand que D. Toutes leſquelles choſes eſtans ainſi, la baſe B C ſera plus grande que la baſe EF, comme il ſera demonſtré en la 14. prop, de ce liure.

Que ſi nous poſons la baſe IC eſtre 8, & la baſe EF 4, l'aire du triangle ABC, ſera 12 ; mais l'aire du triangle DEF ſera la racine quarree de ce nombre 84, laquelle eſt plus grande que 9, mais moindre que 10. Ce qui eſt très-bien cogneu des Geometres.

Et afin qu'on n’eſtime pas que ceſte inégalité aduienne a raifon de ce que tous les quatre coſtez des triangles ſont egaux, & rendre tant plus manifeſte la neceßité de

la ſeconde condition de ce theoreme, ſont vn triangle ABC duquel le coſté AB ſoit moindre que le coſté AC, & außi que la baſe BC. Du centre : A & de l’interualle du petit coſté AB, ſoit deſcrit vn cercle BDE qui couppera tant le plus grand coſté AC, que la baſe BC ; Car autrement il paſſeroit ou par ie poinct C, ou au-delà d’iceluy ; ce qui eſt abſurde, veu que toutes les lignes droites tirées du centre A à la circonférence du cercle BDE, doiuent eſtre. égales entr’elles par la 15. def. Qu’il couppe donc la baſe BC en D, & ſoit tirée la ligne AD. Par la meſme 15. def ? AB eſt égalé a AD & à AC eſt commun à tous les deux triangles ABC, ADC, & partant iceux triangles auront les deux coſtez, AB, AC égaux aux deux coſtez AD, AC, chacun au ſien ; mais l’angle DAC, contenu des deux coſtez AD & AC n’eſt que partie de l*angle BAC, contenu des coſtez egaux à ceux-là ; & partant la baſe DC ne fera außi que partie de la baſe BC 21, le coſté AD ſera außi 13, & la baſe DC 11 ; mais l’aire ou contenu du triangle ABC ſera 126, & celuy du triangle DAC ne ſera que 66. Donc afin que de deux triangles les baſes ſoient égales entr’elles, & leurs angles außi égaux entr’eux, & pareillement les trian-
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gles égaux ; il eſt du tout neceſſaire que non ſeulement chaque coſté de l’vn ſoit égal a chaque coſté de l’autre, mais außi que les angles contenus d’iceux coſtez ſoient égaux entr’euxt comme a fort bien dit Euclide.

Finallement, nous remarquerons vne fois pour toutes qu’Euclide n’entend parler en ces Elemens cy que des triangles rectilignes, car combien que cette propoſition & pluſieurs autres ſi puiſſent faire generales eſtans ueritables, tant au regard des triangles rectilignes que des ſpheriques, ſi eſt-ce toutefois que celà n’aduient pas en toutes propoſitions, comme on peut voir en noſtre traité des triangles ſpheriques, c’eſt pourquoy nous eſtendrons toutes ſes propoſitions ſeulement aux triangles rectilignes, encores qu’Euclide ne les ſpecifie pas.


PROP V TH. II


Les triangles Iſoſceles, ont les angles ſur la baſe égaux : & les coſtez égaux eſtans continuez, les angles extérieurs ſous la baſe ſont egaux.

Soit le triangle iſoſcele ABC : Ie dis premièrement que les angles ABC, & ACB, ſur la baſe BÇ, ſont egaux.

Qu’il ne ſoit ainſi. Soient prolongez AB & AC, coſtez égaux iuſques en D & G ; & ſoit fait AF egale à AG par la 3. prop. & Voient menees les lignes BG & C. Les deux triangles ABG, & ACF, ayans l’ang]é A commun, ont les deux coſtez AB & AG égaux aux deux coſtez AC & AF, chacun au ſien ; & par 4. propoſition, la baſe BG ſera egale à la baſe CF, & l’angle ABG egal à l’angle ACF, & l’angle C egal à l’angle F. Item les triangles GCB