L’Algèbre d’Omar Alkhayyami/Équations trinômes du second degré

Omar Khayyám

L’Algèbre d’Omar Alkhayyami

Traduction par F. Woepcke.
Benjamin Duprat, 1851 (p. 17-28).

Après avoir terminé la discussion des équations simples, passons maintenant à celle des trois premières des douze équations trinômes.

Première espèce. « Un carré et dix racines sont égaux à trente-neuf en nombre (**^[1]). » Multipliez la moitié (du nombre) des racines par elle-même. Ajoutez le produit au nombre, et retranchez de la racine de la somme la moitié (du nombre) des racines. Le reste est la racine du carré.

Si le problème est arithmétique, deux conditions doivent être remplies ; la première : que le nombre des racines soit pair, de sorte qu’il ait une moitié (entière) ; la seconde : que le carré de la moitié (du nombre) des racines et le nombre, ajoutés ensemble, produisent un nombre carré. Sinon, le problème, considéré comme arithmétique, est impossible(*^[2]). Géométriquement, cette espèce ne comprend pas de problèmes impossibles du tout.

La démonstration arithmétique est facile, et conforme à la démonstration géométrique. Voici cette dernière (**^[3]). Nous supposons le carré AC (fig. 4) ensemble avec dix de ses racines égal à trente-neuf en nombre. Supposons encore que dix de ses racines soient représentées par le rectangle CE. La ligne 12DE sera donc égale à dix. Divisons-la, au point Z, en deux parties égales. Alors, parce que la ligne DE a été divisée en deux parties égales au point Z, et qu’on lui a ajouté en ligne droite la partie AD, le produit de EA en AD, qui est égal au rectangle EB, ajouté au carré de DZ, sera égal au carré de ZA. Mais le carré de DZ, qui est la moitié (du nombre) des racines, est connu, et le rectangle BE, qui est le nombre donné, est également connu. Par conséquent, le carré de ZA et la ligne ZA seront connus ; et lorsque nous retranchons ZD de ZA, le reste AD sera connu.

Autre démonstration(*^[4]). Supposons que ABCD (fig. 5) soit un carré ; prolongeons BA jusqu’à E, et faisons EA égale à un quart (du nombre) des racines, c’est-à-dire à deux et demi. Prolongeons DA jusqu’à Z, en faisant ZA égale à un quart (du nombre) des racines. Menons d’une manière semblable des lignes de tous les sommets du carré, et complétons la figure HT. Elle sera un carré, parce que ZE, AC et CT sont des carrés, vu ce qui se trouve exposé dans le sixième livre des Éléments (**^[5]). Les quatre carrés situés dans les coins du grand carré sont égaux chacun au carré de deux et demi ; conséquemment leur somme sera égale à vingt-cinq, c’est- à-dire au carré de la moitié (du nombre) des racines. Le rectangle ZB est égal à deux et demie des racines du carré AC, parce que ZA est égale à deux et demi. Les quatre rectangles seront donc ensemble égaux à dix racines du carré AC. Mais on avait supposé le carré AC ensemble avec dix de ses racines égal à trente-neuf en nombre. Conséquemment le carré HT est égal à-soixante-quatre. Prenons-en la racine, et retranchons d’elle cinq. Il reste AB.

Supposons encore (*^[6]) qu’une ligne AB (fig. 6) soit donnée égale à dix, et que l’on demande le carré qui, ajouté au produit de son côté en AB, soit égal au nombre donné. Représentons le nombre donné par la figure E, laquelle soit un parallélogramme à angles droits, ainsi que nous l’avons dit précédemment (**^[7]), Appliquons à la ligne AB un parallélogramme égal au rectangle E et excédant d’un carré, ainsi qu’Euclide l’a expliqué dans le sixième livre des Éléments. Que ce soit le rectangle BD, et que le carré 13excédant soit AD ; le côté AC de ce carré sera connu, conformément à ce qui se trouve établi dans les Données (***^[8]).

Seconde espèce. « Un carré et un nombre sont égaux à des racines (****^[9]). » Il est nécessaire, dans cette espèce, que le nombre ne soit pas plus grand que le carré de la moitié (du nombre) des racines. Sinon, le problème est impossible. Lorsque le nombre est égal au carré de la moitié (du nombre) des racines, la moitié (du nombre) des racines est elle-même la racine du carré. Lorsque le nombre est plus petit, on le retranche du carré de la moitié ( du nombre) des racines, on prend la racine du reste et on l’ajoute à la moitié (du nombre) des racines, ou la retranche de cette dernière. Le résultat, tant de l’addition que de la soustraction, est la racine du carré.

La démonstration arithmétique est conforme à la démonstration géométrique (*^[10]) (qui suit). Supposons un carré ABCD (fig. 7), et supposons (le rectangle) ED, égal au nombre, joint à ce carré du côté de AD. Le rectangle (produit) EC sera donc égal à dix (**^[11]) côtés du carré AC, et conséquemment EB sera égale à dix. Que dans la première figure(7, 1) AB soit égale à la moitié de EB, dans la seconde(7, 2) plus grande, et dans la troisième (7, a) plus petite que la moitié de EB. Alors, dans la première figure, AB sera égale à cinq. Dans la seconde et dans la troisième figure, divisons EB au point Z, en sorte que la ligne EB soit divisée en deux parties égales au point Z, et en deux parties inégales au point A. Donc, le rectangle EA en AB, ajouté au carré de ZA, sera égal au carré de ZB, ainsi qu’il est expliqué au second livre des Éléments. Le rectangle EA en AB, étant égal au nombre, est connu ; conséquemment, lorsqu’on le retranche du carré de ZB, qui est la moitié ( du nombre) des racines, le carré de ZA, qui reste, sera connu. En retranchant dans la troisième figure ZA de ZB, et dans la seconde figure en ajoutant ZA à ZB, on obtient pour reste ou pour somme la ligne AB. Et c’est ce qu’il s’agissait de trouver.

On peut, si l’on veut, démontrer cela encore d’autres manières (*^[12]) ; mais nous nous bornons à ceci, de peur d’être prolixe. Supposons (**^[13]) qu’une ligne AB (fig. 8) soit donnée égale à dix, et qu’on demande à retrancher d’elle une ligne telle que, lorsqu’on la multiplie par AB, ce produit soit égal au carré de cette même ligne, plus un autre rectangle, lequel ne soit pas plus grand que le carré de la moitié de AB, c’est-à-dire plus le nombre donné qui soit représenté par le rectangle E. Nous nous proposons donc de retrancher de AB une ligne dont 14le carré plus le rectangle E soit égal au produit de AB en cette ligne. Or, appliquons à la ligne connue AB un rectangle égal au rectangle connu E et défaillant d’un carré, ce qui est possible (*^[14]), parce que le rectangle E n’est pas plus grand que le carré de la moitié de AB. Que ce soit le rectangle AZ, et que le carré défaillant soit CD, conformément à ce qui est exposé par Euclide dans le sixième livre des Éléments. Le côté CB sera alors connu, ainsi qu’il est expliqué dans les Données (**^[15]). Mais c’est ce qu’il s’agissait de montrer.

Il est évident que cette espèce comprend différents cas (***^[16]), et qu’elle donne lieu à des problèmes impossibles (****^[17]). Quant aux conditions de sa solubilité en nombres entiers, elles peuvent être déduites de ce que nous en avons dit à l’occasion de la première espèce (*****^[18]).

Troisième espèce. « Un nombre et des racines sont égaux à un carré (******^[19]). » On ajoute le carré de la moitié (du nombre) des racines au nombre, puis on prend la racine de la somme, et l’ajoute à la moitié (du nombre) des racines. Ce qui résulte est la racine du carré. Démonstration (*^[20]). Que le carré ABCH (fig. 9) soit égal à cinq de ses racines plus six en nombre. Retranchons-en le nombre qui soit représenté par le rectangle AD. Il reste le rectangle EC, égal au nombre de racines, lequel est cinq. La ligne EB sera donc égale à cinq. Nous la divisons en deux parties égales au point Z. La ligne EB sera donc divisée en deux parties égales au point Z, et en même temps on lui a ajouté la partie EA, d’où il suit (**^[21]) que le rectangle BA en AE, c’est-à-dire le rectangle connu AD, plus le carré connu de EZ, est égal au carré de ZA. Le carré de ZA et ZA seront donc connus. Mais ZB est connue ; conséquemment AB est connue.

Il existe encore d’autres démonstrations de ce théorème (***^[22]), la recherche desquelles peut servir d’exercice au lecteur.

Supposons encore (*^[23]) que la ligne BE (fig. 10) soit égale au nombre des racines, et qu’on demande un carré et son côté, en sorte que ce carré soit égal au nombre (donné) de ses côtés plus le nombre donné. Que le nombre donné soit représenté par le rectangle T, et que H soit un carré égal à ce rectangle. Construisons un carré égal à la somme du carré H15et du carré de EK, ligne qui est égale à la moitié du nombre des racines. Que le carré construit soit Z. Faisons KC égale au côté de Z, et complétons le carré ABCD. Celui-ci sera le carré qu’il s’agissait de trouver.

Il est évident que ni cette troisième espèce ni la première ne donnent lieu à rien d’impossible, tandis que c’est le cas pour la seconde espèce, laquelle en même temps comprend différents cas, ce qui n’arrive pas dans les deux autres.

Démontrons maintenant que les espèces de la seconde triade de ces équations sont proportionnelles à celles de la première.

Première espèce. « Un cube et des carrés sont égaux à des racines (**^[24]). » Supposons un cube ABCDE (fig. 11), prolongeons AB en ligne droite jusqu’à Z, faisons AZ égale au nombre des carrés, et complétons le solide AZHTCD en guise de prolongement du cubé AE, comme cela se fait habituellement. Le solide AT sera égal au nombre de carrés, et le solide BT, qui est égal au cube plus le nombre donné de carrés, sera égal au nombre donné de racines. Construisons un rectangle K égal au nombre donné des racines ; la racine, c’est le côté du cube, c’est-à-dire AD. Donc le rectangle K, multiplié par AD, sera égal au nombre donné de côtés. D’un autre côté, le rectangle HB, multiplié par AD, produit le cube plus le nombre donné de carrés. Mais ces deux solides sont égaux ; c’est-à-dire le solide BT et le solide construit sur K et ayant pour hauteur AD. Conséquemment, leurs bases seront réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs. Or, leurs 16hauteurs étant égales, leurs bases nécessairement le seront aussi. Mais la base HB est égale au carré CB plus le rectangle HA qui est égal à ce nombre de racines (de CB) qui avait été donné pour les carrée. Donc K, qui est le nombre donné pour les racines, est égal an carré plus le nombre de racines donné pour les carrés. Mais c’est ce que nous nous proposions de démontrer.

Voici un exemple de cette espèce. Un cube et trois carrés sont égaux à dix racines ; cela équivaut à : un carré et trois racines sont égaux à dix en nombre.

Seconde espèce. « Un cube et deux racines sont égaux à trois carrés (*^[25]). » Cela équivaut à : un carré plus deux est égal à trois racines.

Démonstration. Supposons un cube ABCDE (fig. 12), lequel, ajouté à deux de ses racines, soit égal à trois carrés. Supposons de plus un carré H égal à CB, et une droite K égale à trois. Le produit de H en K sera alors égal à trois carrés du cube AE. Construisons sur AC un rectangle égal à deux, et complétons le solide AZCTD ; il sera égal au nombre de racines. Mais lorsqu’on multiplie la ligne ZB par le carré de AC, il résulte le solide BT, et le solide AT est égal au nombre de côtés ; conséquemment, le solide BT sera égal au cube plus une quantité égale au nombre de ses côtés. Le solide BT sera donc égal au nombre de carrés. Il en suit, d’une manière analogue à ce qui a été expliqué dans le théorème précédent (*^[26]), que la ligne ZB est égale à trois. En même temps le rectangle BL est égal à un carré et deux. Conséquemment, un carré et deux sera égal à trois racines, parce que le rectangle BL est formé par le produit de AB en trois. Mais c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.

Troisième espèce. « Un cube est égal à un carré et trois racines (**^[27]). » Cela équivaut à : un carré est égal à une racine et trois en nombre.

Supposons un cube ABCDE (fig. 13) égal à son carré, plus trois de ses côtés. Retranchons de la ligne AB, qui est le côté du cube, la ligne AZ égale au nombre des carrés, lequel est17un, et complétons le solide AZTHC. Alors ce solide AZTHC sera égal au nombre donné de carrés. Il reste donc le solide ZE égal au nombre donné de côtés ; et l’un des deux solides sera à l’autre comme la base ZC à la base ZL, ainsi que c’est démontré dans le onzième livre des Éléments (***^[28]), puisque leurs hauteurs sont égales. Mais le rectangle ZC est égal à une fois la racine du carré CB, et le rectangle ZL est le nombre des racines, à savoir, trois. Conséquemment, le carré CB sera égal à une racine plus trois en nombre, et c’est ce que nous nous proposions de démontrer.

Tant que ces démonstrations (des équations 10, 11, 12) ne sont pas entendues de cette manière (géométrique ; tandis qu’auparavant on ne les avait envisagées que du point de vue purement arithmétique, voir pg. 11, lg. 10), l’art de l’algèbre n’est pas véritablement scientifique, bien que cette méthode de démonstration exige qu’on aborde quelques difficultés.

Or, après avoir traité précédemment ces espèces d’équations qui peuvent être démontrées au moyen des propriétés du cercle, c’est-à-dire au moyen de l’ouvrage d’Euclide, occupons-nous à présent de la discussion de celles dont la démonstration ne peut être donnée qu’au moyen des propriétés des sections coniques. Ces dernières espèces sont au nombre de quatorze, comprenant 1^o une équation simple, à savoir l’équation : « un nombre est égal à un cube ; » 2^o six équations trinômes qui restent (encore à être discutées, des douze équations trinômes proposées dans le tableau général des équations algébriques) ; 3^o sept équations quadrinômes.

1. **) vii, $x^{2}+bx=a(x^{2}+10x=39)$ ; $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}=$ - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$
   Je fais observer que Mohammed Ben Moûçà énonce cette équation sous la même forme spéciale, qu’Alkhayyâmi a gardée peut-être comme consacrée par l’usage.
2. *) Ici l’auteur se trompe ; aucune des deux conditions n’est nécessaire pour que $x$ soit entier. Désignons par $\sigma$ un nombre positif et irrationnel, par $\alpha$ un nombre positif et entier ; supposons $\sigma >\alpha$ et $a=\sigma .\alpha ,\ b=\sigma -\alpha .$ Certainement $\sigma -\alpha$ ne sera pas alors un nombre pair, ni $\sigma .\alpha +\left(\textstyle {\frac {\sigma -\alpha }{2}}\right)^{2}=\left(\textstyle {\frac {\sigma +\alpha }{2}}\right)^{2}$ un nombre carré, vu que sa racine $(\textstyle {\tfrac {\sigma +\alpha }{2}})$ est irrationnelle ; toutefois $x={\sqrt {\sigma .\alpha +\left({\frac {\sigma -\alpha }{2}}\right)^{2}}}-{\frac {\sigma -\alpha }{2}}=\alpha$ sera un nombre entier.
3. **) AD = AB = x, DE = 10, BE= 39, DZ = ZE = $(\textstyle {\tfrac {DE}{2}})$ ;

   ${\text{EA . AD}}+{\overline {\text{DZ}}}^{2}={\overline {\text{ZA}}}^{2}$ (Euclide, Éléments, ii, 6) ou BE + DZ = ZA ;

   BE et DZ étant connus, il en sera de même pour ZA et pour (ZA — ZD) = AD = x. Voici le principe de cette démonstration : la proposition d’Euclide exprime que $(b+x)x+\textstyle {\tfrac {b}{2}}^{2}=\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}+x\right)^{2}\ ;$ mais on avait $(b+x)x=x^{2}+bx=a,$ donc $a+\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}\right)^{2}=\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}+x\right)^{2}$ ou $\textstyle {\sqrt {a+\left({\tfrac {b}{2}}\right)^{2}}}-\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$.

4. *) AB = BC = x, EA = ZA = $\textstyle {\tfrac {10}{4}}$ = 2 $\textstyle {\tfrac {1}{2}}$, EZ = $\textstyle {\tfrac {25}{4}}$, 4 EZ = 25 ;
   ZB = ZA . AB = 2 $\textstyle {\tfrac {1}{2}}$, AB 4 ZB = 10 AB ; AB + 10 AB = 39, AB + 4 ZB = 39 ;
   HT = AB + 4 ZB + 4 EZ = 39 + 25 = 64 ;
   x = AB = EM - (EA + BM) = côté de HT — 2 EA =$\textstyle {\sqrt[{}]{64}}$ - $\textstyle {\tfrac {10}{2}}$ = 3.
   Le principe de cette démonstration consiste à compléter le carré ; en effet, nous avons
   $HT=x^{2}+4({\tfrac {b}{4}}x)+4({\tfrac {b}{4}})^{2}=(x+{\tfrac {b}{2}})^{2}$, et en même temps, parceque $x^{2}+bx=a$,
   $HT=x^{2}+4({\tfrac {b}{4}}x)+4({\tfrac {b}{4}})^{2}=a+({\tfrac {b}{2}})^{2}$, donc $a+({\tfrac {b}{2}})^{2}=(x+{\tfrac {b}{2}})^{2}$ ou ${\sqrt[{}]{a+({\tfrac {b}{2}})^{2}}}-{\tfrac {b}{2}}=x$.
   Cette démonstration est essentiellement la même que celle donnée par Mohammed Ben Moûçâ ; voyez l’édition de Rosen, pages 13 et A. Mohammed Ben Moûçà en ajoute une seconde, dont voici l’exposé (voir fig. 5, a) :
   Équation proposée, x² + 10 x = 39.
   Démonstr. : AB = x² ; G = D = ($\textstyle {\tfrac {10}{2}}$ x ;
   AB + (G + D) = x² + 2 ($\textstyle {\tfrac {10}{2}}$)² = 39 . — ... a
   SH - | AB + (G + D) = x2 + 2 SH - 39 = ($\textstyle {\tfrac {10}{2}}$)2 . — ... ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$)²
   SH = 39 + 5$\textstyle {\tfrac {10}{2}}$2 = 64 ; … a + $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$
   côté de SH = $\textstyle {\sqrt[{}]{64}}$ - = 8 ; … $\textstyle {\sqrt[{}]{a+(b/2)2}}$
   x = côté de AB = 8 — $\textstyle {\tfrac {10}{2}}$ 3 . - ... $\textstyle {\sqrt[{}]{a+(b/2)2}}$ - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$
5. **) Euclide, Éléments, VI, 24.
6. *) AB = 10, E = 39. La construction d’Euclide, Éléments VI, 29, implique la détermination d’une ligne AC telle que BD = ${\overline {\text{AB}}}$² + AC. AB = E ; donc X = AC.
7. **) Pag. 14, lig. 12.
8. ***) Prop. 59, éd. d'Oxford, 1703, fol., p. 497.
9. ****) VIII, x2 + a = bx (b = 10).
   Condition : a $\textstyle {\tfrac {=}{<}}$ ($\textstyle {\tfrac {b}{2}})$² (sans cela en effet x est imaginaire)
   (1) a = ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$)² ... x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ 2) a < ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$)² ... x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$² $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ $\textstyle {\sqrt[{}]{{\tfrac {b}{2}})2-a}}$
10. *) AB = AD = x, ED = a, EC = 10 . AB = bx, EB = 10 = b ;
    1) x = AB = $\textstyle {\tfrac {EB}{2}}=x$ = 5 ;
    $\textstyle {\tfrac {2)}{3)}}$ AB $\textstyle {\tfrac {>}{<}}$ $\textstyle {\tfrac {EB}{2)}}$, EZ = ZB, EA . AB + ${\overline {\text{AZ}}}$² = ${\overline {\text{BZ}}}$² (Euclide, Éléments, ii, b) ;
    EA . AB = ED = a et BZ = $\textstyle {\tfrac {BE}{2}}$ = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ étant connus, on connaîtra donc
    ${\overline {\text{AZ}}}$² et AZ, ainsi que $\textstyle {\tfrac {2)}{3)}}$ ZB $\textstyle {\tfrac {+}{-}}AZ=AB=x$. —
    Voici le principe de cette démonstration : la proposition d’Euclide implique pour les cas 2) et 3) que x (b — x) + [ $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ (x = - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ]² = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$², mais xb - x² = a, donc $\textstyle {\tfrac {+}{-}}$ (x = - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ = $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}2-a$ ou x = $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}2-a$. Au cas 1. le radical disparaît, parce que a = ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$², donc x = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$.
11. **) La valeur spéciale adoptée ici, rappelle encore l’énoncé donné de cette équation par Moh. Ben Moûçâ.
12. *) Voici l’exposé de la démonatration que Mohammed Ben Moûçâ (édition de Rosen, page 18 et \\> donne de cette espèce (voyez fig. 7, a) :
    Équation proposée : x2 + 2l = 10 x.
    Démonstration : AD = x2 ; HB = 21 ; HD = HN . HC = x .10 ;
    CG = HG = $\textstyle {\tfrac {HC}{2}}$ = 5 ; GK = CG - GT = 5 - x ;
    TK = GK + GT = CG = 5 ; NT = HG =CG = 5 ;
    MT = 25 = ($\textstyle {\tfrac {10}{2}}=x$² - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$²
    KL = KG ; ML = KM - KL = KT - KG =TG
    LR = KG = CG - GT = CG - CA = GA ;
    ML. LR = TG . GA, MR = TA ;
    HT + MR = HT + TA = HB = 21 ; … a
    $KR=MT-(HT+MR)=25-21=4$ ; ... ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$)² = a
    RG = $\textstyle {\sqrt[{}]{4}}=2$ ; ... $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}2}}-a$
    $x=AC=CG-GA=CG-RG=5-2=3$. — ... $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ - $\textstyle {\sqrt[{}]{{\tfrac {b}{2}}2}}-a$ ;
    puis Mohammed Ben Moûçâ ajoute seulement que 5 + 2 satisfera aussi à l’équation proposée, sans le démontrer.
13. **) AB = 10 = b, E = a. La construction d’Euclide, Éléments VI, 28, implique la détermination d’une ligne BC telle que E = AZ = AB . BC — ${\overline {\text{BC}}}$² ou ${\overline {\text{BC}}}$² + a = b . BC donc BC = x.
14. *) Voir Euclide, Éléments, VI, 27, 28.
15. **) Prop. 58.
16. ***) A savoir les cas x > = < b/2
17. ****) A savoir lorsque a > (b/2)².
18. *****) En ce cas-ci, une des deux valeurs pourra être entière sans qu’aucune des deux conditions dont veut parler l’auteur soit remplie ; on n’a qu’à supposer a = σ . α , b = σ + α, une des deux solutions sera α. Mais, même afin de les rendre entières toutes les deux, la première condition, que b soit pair, n’est pas nécessaire ; et quant à la seconde, que ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$) 2 — a doit être un nombre carré, il est nécessaire seulement que cette expression soit de la forme ($\textstyle {\tfrac {p}{2}}$)², p désignant un nombre entier pair ou impair. Pour s’en convaincre, il suffit de supposer a = α . β, b = α + β en désignant par α un nombre positif, entier et pair, par β un nombre positif, entier et impair.
19. ******) ix, bx + a = x² ; $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}=$ = x.
20. *) ${\overline {\text{AB}}}^{2}=5AB+6$ ; $AB=AH=x$, $AD=6$, $EC=5AB$, $EB=6$, $EZ=ZB={\tfrac {EB}{2}}$ ;
    $BA.EA$ + ${\overline {\text{EZ}}}$ = ${\overline {\text{ZA}}}$ ou $AD$ + ${\overline {\text{EZ}}}$ = ${\overline {\text{ZA}}}$ ;
    mais AD et EZ étant connus, ${\overline {\text{ZA}}}$, $ZA$ et $ZA+ZB=AB=x$ seront également connus. La proposition citée d’Euclide implique en ce cas-ci que
    $x(x-b)+({\tfrac {EB}{2}})^{2}=(x-{\tfrac {EB}{2}})$ ; mais on a $x(x-b)=x^{2}-bx=a$,
    donc $a+({\tfrac {b}{2}})^{2}=(x-{\tfrac {b}{2}})^{2}$ ou \tfrac{b}{2} + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}2}}=x$
21. **) Euclide, Éléments, II, 6.
22. ***) Voici l’exposé de celle donnée par Mohammed Ben Moûçà (édition de Rosen, p. 19 et \r — voir fig. 9, a).
    Équation proposée : $3x+4=x^{2}$.
    Démonstration : $AD=x^{2}$ ; $HC=3$, $HD=3x$ ; $HB=AD-HD=x^{2}-3x=4$. — ...$a$
    $CG=GH={\tfrac {HC}{2}}={\tfrac {3}{2}}$ ; $HT={\overline {\text{HG}}}^{2}=({\tfrac {3}{2}})^{2}=2{\tfrac {1}{4}}$. — ... $({\tfrac {b}{2}})^{2}$
    TL = AH ; GT = GH ; GT + TL = GH + HA, GL = GA ; MA = GL = GA ;
    donc 1) AB — MA = AC — GA, BM = CG = GH = LN
    2) GL — GT = GA — GH, TL = AH = MN ;
    BM. MN = TL. LN, BN = TN ;
    4 = HB = AN + BN = AN + TN ;
    GM = HT + (AN + TN) = 2 $\textstyle {\tfrac {1}{4}}$ + 4 ; ··· ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$² + a
    AG = $\textstyle {\sqrt[{}]{2{\tfrac {1}{4}}+4}}=2{\tfrac {1}{2}}$ ; ... $\textstyle {\sqrt[{}]{({\tfrac {b}{2}})^{2}+a}}$
    $x=AG+CG=2$ $\textstyle {\tfrac {1}{2}}$ + $\textstyle {\tfrac {3}{2}}$ = 4. —… $\textstyle {\sqrt[{}]{({\tfrac {b}{2}})^{2}+a}}+{\tfrac {b}{2}}$
23. *) EB = b, T = H = a, EK = $\textstyle {\tfrac {EB}{2}}$ = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ;
    Z = H + ${\overline {\text{EK}}}$ = a + $\textstyle {\tfrac {b}{2}}^{2}$ ^{; KC = côté de Z = $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}$ ;
    BC = BK + KC = $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ + $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}}}²=x$ Je remarque qu’ici l’auteur ne construit pas l’équation carrée proposée, ainsi que c’était le cas dans ce qui précède, mais la racine de cette équation qu’il prend toute résolue.}
24. **) x, x² . cx² = bx. Démonstr. : cube ABCDE = x³, AZ = c, AZHTC = cx², BT = x² + cx² = bx ;
    K = b, AD = x, K . AD = b . x ; HB. AD = BT = bx ; donc
    K . AD = HB . AD et K = HB = BC + HA ou b = x² + cx.
25. *) xi, $x^{2}+bx=cx^{2}(x^{2}+2x=3x^{2})$.
    Démonstr. : cube $ABCDE=x^{2},H=CB.$ ${\overline {\text{AC}}}^{2}$ $=ZB.x^{2};BT=AE+AT=x^{2}+2x=3x^{2};doncZB=3$ ;
    $BL=BC+AL=x^{2}+2;BL=ZB.AB=3x;doncx^{2}+2=3x$.
26. *) c’est-à-dire, les deux solides ZB. ${\overline {\text{AC}}}$² et $3x^{2}$ étant égaux, leurs bases doivent être réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs ; or, leurs bases étant égales (${\overline {\text{AC}}}=x^{2}$), leurs hauteurs seront égales, ZB = 3. Dans le théorème précédent les hauteurs étaient égales, et on en déduisait l’égalité des bases.
27. ***) xii, $cx^{2}+bx=x^{3}(x^{3}=1.x^{2}+3x$).
    

    Démonstr. : cube $ABCDE=x^{3}=1.x^{2}+3x;AZ=c=1,TC=1.x^{2}$ ;
    $TL=AE-TC=X^{3}-1.x^{2}=ax;ZC=AZ.AC=l.x;$
    $TL:TC=ZL:ZC$ ou $3x:x^{2}=ZL:x,doncZL=3$ ;
    $CB=ZC+ZLoux^{2}=1.x+3$.

28. ***) Euclide, Éléments, XI, 32.