L’Algèbre d’Omar Alkhayyami/Équations trinômes du troisième degré

Traduction par F. Woepcke.
Benjamin Duprat, 1851 (p. 32-45).

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Équations quadrinômes du troisième degré ►

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Après cela, occupons-nous des six équations trinômes qui restent à être discutées.

Première espèce. « Un cube et des côtés sont égaux à un nombre (****^[1]). » Faisons la ligne AB (fig. 17) égale au côté d’un carré égal au nombre des racines, lequel côté sera donné. _onstruisons ensuite un solide dont la base soit égale au carré de AB, dont la hauteur soit égale à BC, et lequel soit égal au nombre donné, construction que nous avons enseignée dans ce qui précède(*^[2]), et faisons BC perpendiculaire à AB. On sait d’ailleurs (**^[3]) ce qu’il faut 21entendre dans notre traité par le nombre solide : c’est un solide dont la hase est le carré de l’unité, et dont la hauteur est égale au nombre donné, c’est-à-dire à une ligne dont le rapport au côté de la base du solide est égal au rapport du nombre donné à l’unité. Prolongeons AB jusqu’à Z, et construisons une parabole dont le sommet soit B, l’axe BZ, et le paramètre AB ; ce sera la conique HBD. Elle sera connue de position, comme nous l’avons expliqué dès la première de ces constructions (***^[4]), et touchera la ligne BC. Décrivons sur BC un demi-cercle : il coupera nécessairement la conique. Que le point d’intersection soit D. Abaissons de D, qui, comme on sait, sera connu de position, deux perpendiculaires DZ, DE, sur BZ, BC. Elles seront connues de position et de grandeur. La ligne DZ étant ordonnée de la conique, son carré sera égal au produit de BZ en AB ; conséquemment AB sera à DZ, qui est égale à BE, comme BE à ED, qui est égale à ZB. Mais BE est à ED comme ED à EC. Les quatre lignes suivantes sont donc en proportion continue AB, BE, ED, ËC ; et conséquemment le carré de la première AB est au carré de la seconde BE comme la seconde BE à la quatrième EC. Il suit de là que le solide dont la base est le cané de AB, et la hauteur EC est égale au cube de BE, puisque leurs hauteurs sont réciproquement proportionnelles à leurs bases. Ajoutons à tous les deux le solide, dont la base est le carré de AB, et la hauteur EB. Le cube de BE, plus ce solide, sera égal au solide, dont la base est le carré de AB, et la hauteur BC, lequel solide nous avons posé égal au nombre donné. Mais le solide dont la base est le carré de AB, qui est égal au nombre des racines, et la hauteur EB, qui est le côté du cube, sera égal au nombre donné de côtés du cube de EB. Conséquemment le cube de EB, plus le nombre donné de côtéd du même, est égal au nombre donné ; et c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.

Cette espèce ne présente ni variété de cas, ni problèmes impossibles (*^[5]). Elle a été résolue au moyen des propriétés du cercle combinées avec celles de la parabole.

22Seconde espèce des six équations trinômes. « Un cube et un nombre sont égaux à des côtés (**^[6]). » Faisons la ligne AB (fig. 18) égale au côté d’un carré égal au nombre des racines, et construisons un solide ayant pour base le carré de AB, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit BC, et placée perpendiculairement à AB. Décrivons une parabole dont le sommet soit situé au point B, et l’axe dans la direction de AB, et dont le paramètre soit AB. Ce sera la courbe DBE, connue de position. Puis construisons une seconde conique, à savoir une hyperbole, dont le sommet soit situé au point C, et l’axe dans la direction de BC, et dont le paramètre et le grand axe soient tous les deux égaux à BC ; que ce soit la courbe ECZ. Cette hyperbole sera connue de position, ainsi qu’il est démontré par Apollonius dans la cinquante-huitième proposition du premier livre (*^[7]). Les deux coniques se rencontrent ou ne se rencontrent pas. Si elles ne se rencontrent pas, le problème est impossible. Mais si elles se rencontrent, soit par contact en un point, soit par intersection en deux points, le point de rencontre sera connu de position. Que les deux coniques aient une intersection au point E : abaissons de E deux perpendiculaires ET, EH, sur les deux lignes BT, BH. Les deux perpendiculaires sont infailliblement connues de position et de grandeur. La ligne ET est ordonnée (de l’hyperbole) ; conséquemment le carré de ET sera au produit de BT en TC comme le paramètre au grand axe, comme cela est démontré par Apollonius dans la vingtième proposition du premier livre(**^[8]). Mais le paramètre et le grand axe sont égaux ; le carré de ET sera donc égal au produit de BT en TC. Il suit de là que BT est à TE comme TE à TC. D’un autre côté, le carré de EH, qui est égal à BT, est égal au produit de BH en BA, comme cela se trouve démontré dans la douzième proposition du premier livre du Traité des Coniques (***^[9]) ; conséquemment AB est à BT comme BT à BH, et comme BH, qui est égale à ET, à TC. Les quatre lignes sont donc en proportion continue, et le carré de la première AB sera au carré de la seconde BT comme la seconde BT à la quatrième TC. Il suit de là que le cube de BT est égal au solide dont la base est le carré de AB, et la hauteur CT. Ajoutons à tous les deux le solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BC, lequel nous avons fait égal au nombre donné. Alors le 23cube de BT, plus le nombre donné, sera égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BT, lequel représente le nombre de côtés du cube.

Il est évident que cette espèce comprend différents cas, et que certains, parmi les problèmes qui dépendent de cette espèce, sont impossibles(*^[10]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux coniques, d’une parabole et d’une hyperbole.

Troisième espèce. « Un cube est égal à des côtés, plus un nombre (**^[11]). » Faisons la ligne AB (fig. 19) égale au côté d’un carré égal au nombre des côtés, et construisons un solide ayant pour hase le carré de AB, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit BC, et qu’elle soit perpendiculaire à AB. Puis prolongeons AB et BC, et décrivons une parabole dont le sommet soit situé au point B, l’axe sur le prolongement de AB, et dont le paramètre soit AB. Que cette parabole soit DBE ; elle sera connue de position, et touchera la ligne BH, conformément à ce qui est démontré par Apollonius dans la trente-troisième proposition du premier livre (*^[12]). Puis décrivons une seconde conique, une hyperbole dont le sommet soit situé au point B, l’axe sur le prolongement de BC, et dont le paramètre et le grand axe soient tous les deux égaux à BC. Que ce soit l’hyperbole ZBE. Elle sera connue de position, et touchera la ligne AB. Les deux coniques s’entrecouperont nécessairement. Que leur intersection ait lieu au point E. Ce point sera alors connu de position. Abaissons du point E deux perpendiculaires ET, EH. Elles seront connues de position et de grandeur. La ligne EH sera ordonnée (de l’hyperbole), et, conformément à ce que nous avons expliqué ci-dessus (**^[13]), son carré sera égal au produit de CH en BH. Conséquemment CH sera à EH comme EH à HB. Mais EH, qui est égale à BT, est à HB — qui est égale à ET, qui de son côté est ordonnée de l’autre conique — comme ET à AB qui est le paramètre de la parabole. Les quatre lignes sont donc en proportion continue : AB est à HB comme HB à BT, et comme BT à CH ; et le carré de la première AB sera au carré de la seconde HB comme la seconde HB à la quatrième CH. Conséquemment, le cube de HB sera égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur CH, parce que leurs hauteurs sont réciproquement proportionnelles à leurs bases. Mais ce dernier solide est égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BC, lequel nous avons 24fait égal au nombre donné ; plus le solide contenu sous une base égale au carré de AB et sous la hauteur BH, lequel solide est égal au nombre donné de côtés du cube de BH. Le cube de BH est donc égal au nombre donné, plus le nombre donné de ses côtés, et c'est ce qu'il s'agissait d'obtenir.

Il est évident que cette espèce n’admet pu une variété de cas, et que cette espèce, c'est-à-dire que les problèmes en dépendent, ne renferment rien d’impossible (*^[14]). Elle a été résolue par les propriétés d’une parabole combinées avec celle d’une hyperbole.

Quatrième espèce des six espèces d’équations trinômes. « Un cube et des carrés sont égaux à un nombre (**^[15]). » Représentons le nombre des carrés par la ligne AB (fig. 20), et construisons un cube égal au nombre donné. Que le côté de ce cube soit H. Prolongeons AB en ligne droite, et faisons BT égale à B. Complétons le carré BTOC, et faisons passer par le point D une hyperbole ayant pour asymptotes BC et BT ; à savoir l’hyperbole EDN, ainsi que cela est connu en vertu des propositions quatrième et cinquième du second livre, et de la cinquante-neuvième proposition du premier livre (***^[16]). la conique EDN sera connue de position, parce que le point D est connu de position, et que les deux lignes BC, BT, sont connues de position. Décrivons ensuite une parabole ayant pour sommet A, pour axe AT, et pour paramètre BC. Que ce soit la conique AK ; elle sera connue de position. Les deux. coniques s’entrecouperont nécessairement. Que le point d’intersection soit E. Alors E sera connu de position. Abaissons de ce point les deux perpendiculaires EZ, EL, sur les deux lignes AT, BC. Elles seront connues de position et de grandeur. Maintenant, je dis qu’il est impossible que la conique AEK coupe la conique EON dans un point tel, que la perpendiculaire abaissée de ce point sur la ligne AT tombe sur T ou au delà de T (*^[17]). Car supposons qu’elle tombe sur T, s’il est possible ; alors son carré sera égal au produit de AT en TB, qui est égal à RC ; mais cette perpendiculaire est égale à la perpendiculaire DT ; donc le carré de TD sera égal au produit de AT en TB ; mais, 25d’un autre côté, le carré de TD serait égal au produit de BT en lui-même, ce qui est absurde ; en sorte que la perpendiculaire ne peut pas tomber sur T. Et de même elle ne peut pas tomber au delà de T, puisqu’alors cette perpendiculaire serait plus petite que TD, et que l’absurde aurait lieu à plus forte raison. La perpendiculaire tombe donc nécessairement sur un point situé entre A et T, ainsi que le fait EZ.

Le carré de EZ est égal au produit de AZ en BC, donc AZ à EZ comme EZ à BC ; et le rectangle EB est égal au rectangle DB, comme il est démontré dans la huitième proposition du second livre des Coniques (**^[18]) ; donc EZ à BC comme BC à BZ. Il suit que les quatre lignes AZ, EZ, BC, BZ, sont en proportion continue. Conséquemment, le carré de la quatrième BZ est au carré de la troisième BC comme la troisième BC à la première AZ. Le cube de BC, que nous avons fait égal au nombre donné, sera donc égal au solide, dont la base est le carré de BZ et la hauteur AZ. Mais ce solide, qui a pour base le carré de BZ et pour hauteur AZ, est égal au cube de BZ, plus le solide dont la base est le carré de BZ et la hauteur AB. Cependant, ce solide, ayant pour base le carré de BZ et pour hauteur AB, est égal au nombre donné de carrés. En sorte que le cube de BZ, plus le nombre donné de carrés du même, est égal au nombre donné ; et c’est ce que nous nous proposions de montrer.

Cette espèce ne comprend ni variété de cas ni problèmes impossibles (*^[19]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de la parabole combinées avec celles de l’hyperbole.

Cinquième espèce des six espèces d’équations trinômes qui restaient à être discutées. « Un cube et un nombre sont égaux à des carrés (**^[20]). »

Représentons par la ligne AC (fig. 2.1) le nombre des carrés, et décrivons un cube égal au nombre donné. Que le côté de ce cube soit H. La ligne H ne pourra qu’être ou égale à la ligne AC, ou plus grande que AC, ou plus petite. Si H est égale à AC, le problème est impossible, parce qu’alors le côté du cube cherché sera nécessairement ou égal à H, ou plus petit, ou plus grand que H. Or, si le côté du cube cherché est égal à H, le produit du carré de ce côté en AC sera égal au cube de H, en sorte que le nombre sera égal au nombre de carrés, sans qu’on ait besoin d’ajouter à celui-là le cube (cherché). Si le côté du (cube) cherché 26est plus petit que H, le produit du carré de ce côté en AC sera plus petit que le nombre donné, en sorte que le nombre de carrés sera plus petit que le nombre donné, sans qu’on ajoute encore quelque chose à ce dernier. Enfin, si le côté cherché est plus grand que H, le cube de ce côté sera plus grand que le produit de son carré en AC, sans qu’on ajoute encore le nombre à ce cube.

Puis si H est plus grande que AC, l’impossibilité a lieu dans les trois cas à plus forte raison. Il est donc nécessaire que H soit plus petite que AC ; sinon le problème sera impossible.

Retranchons donc de AC la partie BC égale à H. La ligne BC sera ou égale à AB, ou plus grande que AB, ou plus petite. Qu’elle soit dans la première figure (fig. 21, 1) égale ; dans la seconde (fig. 21, 2), plus grande ; et dans la troisième (fig. 21, 3), plus petite. Complétons dans les trois figures le carré DC, et faisons passer par le point D une hyperbole ayant pour asymptotes les lignes AC, CE. Ce sera dans la première figure la courbe DZ, dans la seconde et dans la troisième DT. Décrivons ensuite une parabole dont le sommet soit situé au point A, dont l’axe soit AC et le paramètre BC. Ce sera dans la première figure AT, dans la seconde AL, et dans la troisième AK. Les deux coniques seront connues de position. Dans la première figure, la parabole passera par le point D, parce que le carré de DB est égal au produit de AB en BC, d’où il suit que D est situé sur la circonférence de la parabole. Celle-ci rencontrera (l’hyperbole) encore dans un autre point, ce qu’on peut reconnaître, par la moindre réflexion. Dans la seconde figure, le point D sera situé en dehors de la circonférence de la parabole, parce que le carré de DB y sera plus grand que le produit de AB en BC ; alors, si les deux coniques se rencontrent dans un autre point par contact ou par intersection, auquel cas la perpendiculaire abaissée de ce point (sur AC) tombe infailliblement sur le segment compris entre les deux points A et B, le problème est possible ; sinon, il est impossible. Ce contact, ou cette intersection, ont échappé à l’excellent géomètre Ahoûl Djoûd (*^[21]), en sorte qu’il déclara que si BC est plus grande que AB, le problème est impossible ; en quoi il s’est trompé. Cette espèce est aussi celle parmi les six espèces dont avait besoin Almâhânî ; de sorte qu’elle est connue. Dans la troisième figure, le point D est situé dans 27l’intérieur de la parabole, en sorte que les deux coniques se coupent en deux points.

Dans tous les cas (**^[22]), abaissons du point de rencontre une perpendiculaire sur AB. Que ce soit dans la seconde figure TZ. De même, abaissons de ce point une seconde perpendiculaire sur CE ; ce sera TK. Le rectangle TC sera égal au rectangle DC, et conséquemment ZC sera à BC comme BC à TZ. Or, TZ est ordonnée de la conique ATL, d’où il suit que son carré est égal au produit de AZ en BC ; donc BC à TZ comme TZ à ZA. Il en résulte que les quatre lignes sont en proportion continue, à savoir : ZC à CB comme CB à TZ, et comme TZ à ZA. Le carré de la première ZC sera donc au carré de la seconde BC comme la seconde BC à la quatrième ZA ; et conséquemment le cube de BC, qui est égal au nombre donné, sera égal au solide dont la base est le carré de ZC et la hauteur ZA. Ajoutons à tous les deux le cube de ZC. Alors le cube de ZC, plus le nombre donné, sera égal au solide dont la base est le carré de ZC et la hauteur AC, lequel solide est égal au nombre donné de carrés ; et c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir. On discutera d’une manière analogue les deux autres cas, en observant que le troisième donnera nécessairement deux cubes comme solution du problème, parce que chacune des (deux) perpendiculaires (abaissées des deux points de rencontre que les deux coniques ont en ce cas) coupera de CA un côté d’un cube (qui satisfait à l’équation proposée), ainsi qu’on vient de le démontrer.

Il résulte de ce qui précède que cette espèce comprend une variété de cas, et qu’elle renferme des problèmes impossibles (*^[23]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux sections coniques combinées d’une parabole et d’une hyperbole.

Sixième espèce des six espèces d’équations trinômes qui restaient à être discutées : « Un cube est égal à des carrés, plus des nombres (**^[24]). »

Représentons le nombre des carrés par la ligne AB (fig. 2.2.), et construisons un solide ayant pour hauteur AB et pour base un carré, et qui soit égal au nombre donné. Que le côté de sa base soit BC et perpendiculaire à AB. Complétons le rectangle DB, et faisons passer par le point C, qui est connu de position, une hyperbole ayant pour asymptotes les droites AB, AD, à savoir la conique CEZ. Puis décrivons une seconde conique, une parabole ayant son sommet au point B, et son axe sur le prolongement de AB, et dont le paramètre soit AB. Ce sera la courbe BEH. Or ces deux coniques s’entrecoupent nécessairement. Que 28leur point d’intersection soit E. Alors E sera connu de position. Abaissons de ce point deux perpendiculaires ET, EK, sur AB, AD. Le rectangle EA sera égal au rectangle CA, et AK sera à BC comme AB à EK. Les carrés de ces côtés seront donc également proportionnels. Mais le carré de EK est égal au produit de K.B en AB, parce que EK est ordonnée de la conique BEH ; et conséquemment le carré de AB sera au carré de EK comme AB à BK. Le carré de BC sera donc au carré de AK comme BK à AB ; d’où il suit que le solide dont la base est le carré de BC et la hauteur AB, est égal au solide dont la base est le carré de AK et la hauteur KB, à cause de la proportionnalité réciproque des hauteurs et des bases des deux solides. En ajoutant à tous les deux le solide dont la base est le carré de AK et la hauteur AB, le cube de AK sera égal au solide dont la base est lt, carré de BC et la hauteur AB, que nous avons fait égal au nombre donné ; plus le solide dont la base est le carré de AK et la hauteur AB, lequel est égal au nombre donné de carrés. Le cube de AK sera donc égal au nombre donné <le carrés du même, plus le nombre donné.

Cette espèce ne renferme ni variété de cas, ni problèmes impossibles (*^[25]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux sections coniques combinées, d’une parabole et d’une hyperbole.

↑ ****) xiii, $x^{2}+bx=a$ . ${\overline {\text{AB}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BC=a$
B sommet, BZ axe, AB paramètre de la parabole HBD.
BC diamètre du cercle CDB. Parab. : ${\overline {\text{DZ}}}^{2}=AB.BZ$ , $DZ=BE$ , $BZ=DE$ ... $AB:BE=BE:DE$
Cercle : $BE:DE=DE:EC$
________________________________________
${\overline {\text{AB}}}^{2}+<{\overline {\text{BE}}}^{2}=BE:EC$ , ${\overline {\text{BE}}}^{2}=<{\overline {\text{AB}}}^{2}.EC$
${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{AB}}}^{2}.EB={\overline {\text{AB}}}^{2}.EC+{\overline {\text{AB}}}^{2}.EB={\overline {\text{AB}}}^{2}.BC$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE=a$ , $x=BE$ .
↑ *) Voir pag. 30.
↑ **) Voir pag. 16.
↑ ***) Voir pag. 29.
↑ *) L’équation x2 + bx - a n'admet qu'une racine réelle, laquelle est toujours positive.
↑ **) XIV. x2 + a = bx ${\overline {\text{AB}}}$ = b, ${\overline {\text{AB}}}$ . BC = a
B sommet, BH axe, AB paramètre de la parabole DBE.
C sommet, CT axe, BC paramètre de l'hyperbole équilatère ECZ.
Hyperb. ... ${\overline {\text{ET}}}$ = BT . CT ... BT = BT = ET + TC
Parab. ${\overline {\text{EB}}}$ = BH . AB, EH = BT, BH = ET ... AB : BT = BT : ET
___________________
${\overline {\text{AB}}}$ : ${\overline {\text{BT}}}$ = BT : TC, ${\overline {\text{BT}}}$ = ${\overline {\text{AB}}}$ . TC
${\overline {\text{BT}}}$ + ${\overline {\text{AB}}}$ / BC = ${\overline {\text{AB}}}$ . TC + ${\overline {\text{AB}}}$ . BC = ${\overline {\text{AB}}}$ . BT ou ${\overline {\text{BT}}}$ + a = b . BT, x = BT
↑ *) Éd. d’Oxf. p. 89, Prop. 53. — Les deux Mss. portent bien tous les deux , tandis que 53 aurait été écrit ; semblablement la 52^e prop. était citée par l’auteur comme la 56^e. (Voir pag. 29.) Il semble donc que l’auteur avait sous les yeux une rédaction des Coniques un peu différente de la nôtre.
↑ **) Éd. d’Oxf. p. 46, Prop. 21.
↑ ***) Éd. d’Oxf. p. 31, Prop. 11.
↑ *) L’équation $x^{2}-bx+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’algébriste arabe ne tient pas compte ; les deux autres racines sont, ou imaginaires (et en ce cas le problème est « impossible »), ou positives et égales ( $\textstyle x={\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}$ ), ou positives et inégales — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l’auteur.
↑ **) : xv, $bx+a=x^{2}$ . ${\overline {\text{AB}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BC=a$ .
B sommet, BT axe, AB paramètre de la parabole DBE.
E sommet, BE axe, BC paramètre de l’hyperbole équilatère ZBE.
Hyperb. : ${\overline {\text{EH}}}^{2}=CH.BH$ , $EH=BT$ ... $BH:BT=BT/CH$
Parab. : ${\overline {\text{ET}}}^{2}=AB.BT$ , $ET=BH$ ...
$AB:BH=BH:BT$
____________________________________
${\overline {\text{AB}}}^{2}:{\overline {\text{BH}}}^{2}=BH.CH$
${\overline {\text{BH}}}^{2}={\overline {\text{AB}}}^{2}.CH={\overline {\text{AB}}}^{2}.BH+{\overline {\text{AB}}}^{2}.BC$ ou ${\overline {\text{BH}}}^{2}=b.BH+a$ , $x=BH$ .
↑ *) Voir pag. 29.
↑ **) Voir pag. 35.
↑ *) Une des racines de l'équation x2 - bx - a = 0 est toujours réelle et positive ; les deux autres sont toujours négatives ou imaginaires, et en aucun de ces cas l'algébriste arabe n'en tient compte.
↑ **) XVI, x2 + cx2 = a. AB = c, ${\overline {\text{H}}}$ ³ = a, H = BC =BT.
BC, BT asymptotes de l'hyperbole équilatère EDN, qui passe par le point D.
A sommet, AT axe, BC paramètre de la parabole AFK.
Parabole ... BC : EZ = EZ : AX
Hyperbole ... BZ : BC = BC : EZ
__________________________
${\overline {\text{AB}}}$ = ${\overline {\text{AB}}}$ = BC : AZ
${\overline {\text{BC}}}$ = ${\overline {\text{BZ}}}$ . AZ = ${\overline {\text{BZ}}}$ + ${\overline {\text{BZ}}}$ . AB ou a = ${\overline {\text{BZ}}}$ . c . ${\overline {\text{BE}}}$ . x = BZ.
↑ ***) Voir éd. d'Oxf. II, 4, p. 109.
↑ *) Le point d’intersection des deux coniques ne peut être ni D, ni un point de la partie DN de l’hyperbole. 1° Si c’était D, on aurait dans la parabole ${\overline {\text{DT}}}^{2}=AT.BC$ = AT. BC ; mais $BC=DT=BT$ ; donc ${\overline {\text{PQ}}}^{2}<{\overline {\text{DT}}}^{2}$ ; et puis ${\overline {\text{PQ}}}^{2}=AQ.BC$ , donc ${\overline {\text{DT}}}^{2}>AQ.BC$ , ou ${\overline {\text{BT}}}^{2}>AQ.BT$ , ou $BT>AQ$ , c’est-à-dire $BT>AB+BT+TQ$ , ce qui est absurde. — La même chose peut être démontrée immédiatement comme suit : Puisque a, c, x ; sont considérés par l’algébriste arabe comme des quantités positives, de l’équation $x^{2}+cx^{2}=a$ il suit x = V a - cx^2 < Vëi ; donc, puisque $x$ est représenté par $BZ$ , et Va par BT, BZ < BT ; c. q. f. d.
↑ **) Éd. d’Oxf., p. 114, Prop. 12.
↑ *) L’équation $x^{2}+cx^{2}-a=0$ a toujours une racine réelle et positive, tandis que ses deux autres racines sont négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’algébriste arabe.
↑ **) xvii, $x^{3}+a=cx^{2}$ . $AC=c$ , ${\overline {\text{H}}}^{3}=a$ .
a, c, x sont considérés comme des quantités positives.
H = > < AC. I, H = AC ... x = > < H
l) $x=H$ … $AC.x^{2}={\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}=a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
2) $x<H$ … $AC.x^{2}<{\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}<a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
3) $x>H$ … $AC.x^{2}>AC.x^{2}$ ou $x^{2}>cx^{2}$ , donc $x^{3}+a>cx^{2}$
II, $H>AC$ ... impossible par des raisons tout à fait analogues.
III, $H<AC,BC=H$ ... BC = > < AB ou $\textstyle {\sqrt[{3}]{a}}=><{\tfrac {c}{2}}$ : carré $BCDE={\overline {\text{H}}}^{3}=a^{\tfrac {a}{3}}$ .
CA, CE asymptotes de l’hyperbole équilatère DZ ( fig. 21, 1), DT (fig. 21, 2, 3), qui passe par le point D.
A sommet, AC axe, BC paramètre de la parabole AT (fig. 21, 1), AL (fig. 21, 2), AK (fig. 21, 3). 1) $BC=AB$ (fig, 21, 1)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}=AB.BC$ ; donc D un point situé sur la circonférence de la parabole ; l’autre point dont parle l’auteur aura pour abscisse (en prenant C pour origine) $x={\tfrac {1}{4}}c|{\sqrt[{}]{5}}+1|$ et pour ordonnée $y={\tfrac {1}{4}}c|{\sqrt[{}]{5}}-1|$
2) $BC>AB$ (fig.21, 2)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}>AB.BC$ ; d’où il suit que la parabole passe en deçà du point D. — L’auteur dit encore que lorsque ${\sqrt[{}]{a}}>{\tfrac {1}{2}}c$ , $x$ doit être compris entre $c$ et ${\sqrt[{3}]{a}}$ ; de l’équation proposée $x^{2}+a=cx^{2}$ il suit immédiatement $cx^{2}>x^{2}$ ou $x<c$ ; il reste donc à prouver que $x>{\sqrt[{3}]{a}}$ . Observons d’abord qu’il ne pourra être question d’une rencontre des deux sections coniques que tant que ${\sqrt[{3}]{a}}<{\tfrac {2}{3}}c$ , parce que de ${\sqrt[{3}]{a}}{\tfrac {=}{>}}{\tfrac {2}{3}}c$ il suit $27a{\tfrac {=}{>}}8c^{3}>4c^{3}$ , ce qui rendrait l’intersection imaginaire. Or on a ${\tfrac {d(c^{2}-x^{3}}{dx}}=3x|{\tfrac {2}{3}}c-x|$ , d’où il suit que, pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et ${\tfrac {2}{3}}c$ , $cx^{2}-x^{3}$ décroîtra avec $x$ . Pour $x={\sqrt[{3}]{a}}$ , puisque en même temps $c<2{\sqrt[{3}]{a}}$ , on trouve $cx^{2}-x^{3}<a$ ; donc pour toutes les valeurs de $x$ plus petites que ${\sqrt[{3}]{a}}$ , $cx^{2}-x^{3}<a$ , ce qu’il s’agissait de prouver. — Le cas du contact donne deux racines égales et positives $x={\tfrac {2}{3}}c$ .
3) $BC<AB$ (fig.21, s)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}>AB.BC$ ; la parabole passe au-delà du point D, et rencontre nécessairement l’hyperbole en deux points ; ce qui suit aussi de ce que de ${\sqrt[{3}]{a}}<{\tfrac {1}{2}}c$ on tire $4c^{3}>32a>27a$ .
↑ *) ce géomètre était contemporain d’Alblroûni. Voir l’addition D, premier problème.
↑ **) Hyperbole : $ZC:BC=BC:TZ$
Parabole : $BC:TZ=TZ:ZA$
_________________________________
${\overline {\text{ZC}}}^{2}:{\overline {\text{BC}}}^{3}=BC:ZA$ , ${\overline {\text{BC}}}^{3}={\overline {\text{ZC}}}^{2}.ZA$ ${\overline {\text{ZC}}}^{3}+{\overline {\text{BC}}}^{3}={\overline {\text{ZC}}}^{3}+{\overline {\text{ZC}}}^{2}.AC$ ou ${\overline {\text{ZC}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{ZC}}}^{2}$ , $x=ZC$ .
↑ *) L’équation $x^{2}-cx^{2}+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’auteur ne tient donc aucun compte. Les deux autres racines sont positives ou imaginaires. Dès qu’elles ne sont pas positives, le problème est « impossible ». Quant aux différents cas mentionnés par l’auteur, ils ont été distingués dans la note précédente.
↑ **) xviii, $cx^{2}+a=x^{2}$ . $AB=c$ , $AB.{\overline {\text{BC}}}^{3}=a$ .
AB, AD asymptotes de l’hyperbole équilatère CEZ qui passe par le point C.
B sommet, BK axe, AB paramètre de la parabole BEH.
Hyperbole : $BC:AK=EK:AB$ , ${\overline {\text{BC}}}^{2}:{\overline {\text{AK}}}^{2}={\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{2}$
Parabole : $AB:EK=EK:BK$ , ${\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{3}=BK:AB$
_________________________________________
${\overline {\text{BC}}}^{3}:{\overline {\text{AK}}}^{2}=BK:AB$ , ${\overline {\text{AK}}}^{2}.BK=AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+{\overline {\text{AK}}}^{2}.BK={\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{3}=c.{\overline {\text{AK}}}^{2}+a$ , $x=AK$
↑ *) L’équation $x^{2}-cx^{2}-a=0$ admet toujours une racine réelle et positive ; les deux autres racines sont toujours imaginaires.

[p63-1] ****) xiii, $x^{2}+bx=a$ . ${\overline {\text{AB}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BC=a$
B sommet, BZ axe, AB paramètre de la parabole HBD.
BC diamètre du cercle CDB. Parab. : ${\overline {\text{DZ}}}^{2}=AB.BZ$ , $DZ=BE$ , $BZ=DE$ ... $AB:BE=BE:DE$
Cercle : $BE:DE=DE:EC$
________________________________________
${\overline {\text{AB}}}^{2}+<{\overline {\text{BE}}}^{2}=BE:EC$ , ${\overline {\text{BE}}}^{2}=<{\overline {\text{AB}}}^{2}.EC$
${\overline {\text{BE}}}^{2}+{\overline {\text{AB}}}^{2}.EB={\overline {\text{AB}}}^{2}.EC+{\overline {\text{AB}}}^{2}.EB={\overline {\text{AB}}}^{2}.BC$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE=a$ , $x=BE$ .

[2] *) Voir pag. 30.

[3] **) Voir pag. 16.

[4] ***) Voir pag. 29.

[5] *) L’équation x2 + bx - a n'admet qu'une racine réelle, laquelle est toujours positive.

[6] **) XIV. x2 + a = bx ${\overline {\text{AB}}}$ = b, ${\overline {\text{AB}}}$ . BC = a
B sommet, BH axe, AB paramètre de la parabole DBE.
C sommet, CT axe, BC paramètre de l'hyperbole équilatère ECZ.
Hyperb. ... ${\overline {\text{ET}}}$ = BT . CT ... BT = BT = ET + TC
Parab. ${\overline {\text{EB}}}$ = BH . AB, EH = BT, BH = ET ... AB : BT = BT : ET
___________________
${\overline {\text{AB}}}$ : ${\overline {\text{BT}}}$ = BT : TC, ${\overline {\text{BT}}}$ = ${\overline {\text{AB}}}$ . TC
${\overline {\text{BT}}}$ + ${\overline {\text{AB}}}$ / BC = ${\overline {\text{AB}}}$ . TC + ${\overline {\text{AB}}}$ . BC = ${\overline {\text{AB}}}$ . BT ou ${\overline {\text{BT}}}$ + a = b . BT, x = BT

[7] *) Éd. d’Oxf. p. 89, Prop. 53. — Les deux Mss. portent bien tous les deux , tandis que 53 aurait été écrit ; semblablement la 52^e prop. était citée par l’auteur comme la 56^e. (Voir pag. 29.) Il semble donc que l’auteur avait sous les yeux une rédaction des Coniques un peu différente de la nôtre.

[8] **) Éd. d’Oxf. p. 46, Prop. 21.

[9] ***) Éd. d’Oxf. p. 31, Prop. 11.

[10] *) L’équation $x^{2}-bx+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’algébriste arabe ne tient pas compte ; les deux autres racines sont, ou imaginaires (et en ce cas le problème est « impossible »), ou positives et égales ( $\textstyle x={\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}$ ), ou positives et inégales — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l’auteur.

[11] **) : xv, $bx+a=x^{2}$ . ${\overline {\text{AB}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BC=a$ .
B sommet, BT axe, AB paramètre de la parabole DBE.
E sommet, BE axe, BC paramètre de l’hyperbole équilatère ZBE.
Hyperb. : ${\overline {\text{EH}}}^{2}=CH.BH$ , $EH=BT$ ... $BH:BT=BT/CH$
Parab. : ${\overline {\text{ET}}}^{2}=AB.BT$ , $ET=BH$ ...
$AB:BH=BH:BT$
____________________________________
${\overline {\text{AB}}}^{2}:{\overline {\text{BH}}}^{2}=BH.CH$
${\overline {\text{BH}}}^{2}={\overline {\text{AB}}}^{2}.CH={\overline {\text{AB}}}^{2}.BH+{\overline {\text{AB}}}^{2}.BC$ ou ${\overline {\text{BH}}}^{2}=b.BH+a$ , $x=BH$ .

[12] *) Voir pag. 29.

[13] **) Voir pag. 35.

[14] *) Une des racines de l'équation x2 - bx - a = 0 est toujours réelle et positive ; les deux autres sont toujours négatives ou imaginaires, et en aucun de ces cas l'algébriste arabe n'en tient compte.

[15] **) XVI, x2 + cx2 = a. AB = c, ${\overline {\text{H}}}$ ³ = a, H = BC =BT.
BC, BT asymptotes de l'hyperbole équilatère EDN, qui passe par le point D.
A sommet, AT axe, BC paramètre de la parabole AFK.
Parabole ... BC : EZ = EZ : AX
Hyperbole ... BZ : BC = BC : EZ
__________________________
${\overline {\text{AB}}}$ = ${\overline {\text{AB}}}$ = BC : AZ
${\overline {\text{BC}}}$ = ${\overline {\text{BZ}}}$ . AZ = ${\overline {\text{BZ}}}$ + ${\overline {\text{BZ}}}$ . AB ou a = ${\overline {\text{BZ}}}$ . c . ${\overline {\text{BE}}}$ . x = BZ.

[16] ***) Voir éd. d'Oxf. II, 4, p. 109.

[17] *) Le point d’intersection des deux coniques ne peut être ni D, ni un point de la partie DN de l’hyperbole. 1° Si c’était D, on aurait dans la parabole ${\overline {\text{DT}}}^{2}=AT.BC$ = AT. BC ; mais $BC=DT=BT$ ; donc ${\overline {\text{PQ}}}^{2}<{\overline {\text{DT}}}^{2}$ ; et puis ${\overline {\text{PQ}}}^{2}=AQ.BC$ , donc ${\overline {\text{DT}}}^{2}>AQ.BC$ , ou ${\overline {\text{BT}}}^{2}>AQ.BT$ , ou $BT>AQ$ , c’est-à-dire $BT>AB+BT+TQ$ , ce qui est absurde. — La même chose peut être démontrée immédiatement comme suit : Puisque a, c, x ; sont considérés par l’algébriste arabe comme des quantités positives, de l’équation $x^{2}+cx^{2}=a$ il suit x = V a - cx^2 < Vëi ; donc, puisque $x$ est représenté par $BZ$ , et Va par BT, BZ < BT ; c. q. f. d.

[18] **) Éd. d’Oxf., p. 114, Prop. 12.

[19] *) L’équation $x^{2}+cx^{2}-a=0$ a toujours une racine réelle et positive, tandis que ses deux autres racines sont négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’algébriste arabe.

[p71-20] **) xvii, $x^{3}+a=cx^{2}$ . $AC=c$ , ${\overline {\text{H}}}^{3}=a$ .
a, c, x sont considérés comme des quantités positives.
H = > < AC. I, H = AC ... x = > < H
l) $x=H$ … $AC.x^{2}={\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}=a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
2) $x<H$ … $AC.x^{2}<{\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}<a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
3) $x>H$ … $AC.x^{2}>AC.x^{2}$ ou $x^{2}>cx^{2}$ , donc $x^{3}+a>cx^{2}$
II, $H>AC$ ... impossible par des raisons tout à fait analogues.
III, $H<AC,BC=H$ ... BC = > < AB ou $\textstyle {\sqrt[{3}]{a}}=><{\tfrac {c}{2}}$ : carré $BCDE={\overline {\text{H}}}^{3}=a^{\tfrac {a}{3}}$ .
CA, CE asymptotes de l’hyperbole équilatère DZ ( fig. 21, 1), DT (fig. 21, 2, 3), qui passe par le point D.
A sommet, AC axe, BC paramètre de la parabole AT (fig. 21, 1), AL (fig. 21, 2), AK (fig. 21, 3). 1) $BC=AB$ (fig, 21, 1)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}=AB.BC$ ; donc D un point situé sur la circonférence de la parabole ; l’autre point dont parle l’auteur aura pour abscisse (en prenant C pour origine) $x={\tfrac {1}{4}}c|{\sqrt[{}]{5}}+1|$ et pour ordonnée $y={\tfrac {1}{4}}c|{\sqrt[{}]{5}}-1|$
2) $BC>AB$ (fig.21, 2)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}>AB.BC$ ; d’où il suit que la parabole passe en deçà du point D. — L’auteur dit encore que lorsque ${\sqrt[{}]{a}}>{\tfrac {1}{2}}c$ , $x$ doit être compris entre $c$ et ${\sqrt[{3}]{a}}$ ; de l’équation proposée $x^{2}+a=cx^{2}$ il suit immédiatement $cx^{2}>x^{2}$ ou $x<c$ ; il reste donc à prouver que $x>{\sqrt[{3}]{a}}$ . Observons d’abord qu’il ne pourra être question d’une rencontre des deux sections coniques que tant que ${\sqrt[{3}]{a}}<{\tfrac {2}{3}}c$ , parce que de ${\sqrt[{3}]{a}}{\tfrac {=}{>}}{\tfrac {2}{3}}c$ il suit $27a{\tfrac {=}{>}}8c^{3}>4c^{3}$ , ce qui rendrait l’intersection imaginaire. Or on a ${\tfrac {d(c^{2}-x^{3}}{dx}}=3x|{\tfrac {2}{3}}c-x|$ , d’où il suit que, pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et ${\tfrac {2}{3}}c$ , $cx^{2}-x^{3}$ décroîtra avec $x$ . Pour $x={\sqrt[{3}]{a}}$ , puisque en même temps $c<2{\sqrt[{3}]{a}}$ , on trouve $cx^{2}-x^{3}<a$ ; donc pour toutes les valeurs de $x$ plus petites que ${\sqrt[{3}]{a}}$ , $cx^{2}-x^{3}<a$ , ce qu’il s’agissait de prouver. — Le cas du contact donne deux racines égales et positives $x={\tfrac {2}{3}}c$ .
3) $BC<AB$ (fig.21, s)… ${\overline {\text{BD}}}^{2}>AB.BC$ ; la parabole passe au-delà du point D, et rencontre nécessairement l’hyperbole en deux points ; ce qui suit aussi de ce que de ${\sqrt[{3}]{a}}<{\tfrac {1}{2}}c$ on tire $4c^{3}>32a>27a$ .

[21] *) ce géomètre était contemporain d’Alblroûni. Voir l’addition D, premier problème.

[22] **) Hyperbole : $ZC:BC=BC:TZ$
Parabole : $BC:TZ=TZ:ZA$
_________________________________
${\overline {\text{ZC}}}^{2}:{\overline {\text{BC}}}^{3}=BC:ZA$ , ${\overline {\text{BC}}}^{3}={\overline {\text{ZC}}}^{2}.ZA$ ${\overline {\text{ZC}}}^{3}+{\overline {\text{BC}}}^{3}={\overline {\text{ZC}}}^{3}+{\overline {\text{ZC}}}^{2}.AC$ ou ${\overline {\text{ZC}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{ZC}}}^{2}$ , $x=ZC$ .

[23] *) L’équation $x^{2}-cx^{2}+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’auteur ne tient donc aucun compte. Les deux autres racines sont positives ou imaginaires. Dès qu’elles ne sont pas positives, le problème est « impossible ». Quant aux différents cas mentionnés par l’auteur, ils ont été distingués dans la note précédente.

[24] **) xviii, $cx^{2}+a=x^{2}$ . $AB=c$ , $AB.{\overline {\text{BC}}}^{3}=a$ .
AB, AD asymptotes de l’hyperbole équilatère CEZ qui passe par le point C.
B sommet, BK axe, AB paramètre de la parabole BEH.
Hyperbole : $BC:AK=EK:AB$ , ${\overline {\text{BC}}}^{2}:{\overline {\text{AK}}}^{2}={\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{2}$
Parabole : $AB:EK=EK:BK$ , ${\overline {\text{EK}}}^{2}:{\overline {\text{AB}}}^{3}=BK:AB$
_________________________________________
${\overline {\text{BC}}}^{3}:{\overline {\text{AK}}}^{2}=BK:AB$ , ${\overline {\text{AK}}}^{2}.BK=AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+{\overline {\text{AK}}}^{2}.BK={\overline {\text{AK}}}^{2}.AB+AB.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{3}=c.{\overline {\text{AK}}}^{2}+a$ , $x=AK$

[25] *) L’équation $x^{2}-cx^{2}-a=0$ admet toujours une racine réelle et positive ; les deux autres racines sont toujours imaginaires.

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