L’Algèbre d’Omar Alkhayyami/Tableau des équations

Traduction par F. Woepcke.
Benjamin Duprat, 1851 (p. 9-12).

bookL’Algèbre d’Omar AlkhayyamiOmar KhayyámF. WoepckeBenjamin Duprat1851ParisVTableau des équationsL’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvuL’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/89-12

Les équations ayant lieu entre ces quatre degrés sont, ou simples, ou composées. Des équations simples, il y a six espèces (****^[1]) :

1^o Un nombre est égal à une racine ;

2^o Un nombre est égal à un carré ;

3^o Un nombre est égal à un cube ;

4^o Des racines sont égales à un carré ;

5^o Des carrés sont égaux à un cube ;

6^o Des racines sont égales à un cube.

Trois de ces espèces se trouvent mentionnées dans les traités des algébristes (*^[2]). Ils disent : La chose est au carré comme le carré au cube ; il suit donc nécessairement que l’égalité entre le carré et le cube soit équivalente à celle entre la chose et le carré (**^[3]), et de même le nombre est au carré comme la racine au cube (***^[4]) ; mais ils n’avaient pas démontré cela géo7métriquement. Quant au nombre qui est égal au cube, il n’y a de moyen, pour trouver le côté de ce dernier, que par la connaissance préalable de la suite des nombres cubiques (****^[5]) lorsque le problème est numérique ; lorsqu’il est géométrique, il n’est résoluble que par les sections coniques.

Les équations composées sont en partie trinomes, en partie quadrinomes. Les espèces des équations trinomes sont au nombre de douze. Les trois premières sont (*****^[6]) :

1^o Un carré et des racines sont égaux à un nombre ;

2^o Un carré et un nombre sont égaux à des racines ;

3^o Des racines et un nombre sont égaux à un carré.

Ces trois espèces se trouvent mentionnées dans les traités des algébristes, et y sont démontrées géométriquement, mais pas numériquement.

Les trois espèces suivantes sont (*^[7]) :

1^o Un cube et des carrés sont égaux à des racines ;

2^o Un cube et des racines sont égaux à des carrés ;

3^o Des racines et des carrés sont égaux à un cube.

Les algébristes disent que ces trois secondes espèces sont proportionnelles aux trois premières, chacune à sa correspondante, c’est-à-dire que l’équation : « un cube et des racines sont égaux à des carrés » est équivalente à celle-ci : « un carré et un nombre sont égaux à des racines (**^[8]), » et de même relativement aux deux autres. Mais ils ne l’avaient pas démontré, lorsque les objets des problèmes sont des quantités mesurables. Pour le cas où l’objet des problèmes est un nombre, c’est une conséquence immédiate du traité des Éléments (***^[9]). Or, j’en démontrerai aussi le cas géométrique.

Les six espèces qui restent des douze, ce sont (****^[10]) :

1^o Un cube et des racines sont égaux à un nombre ;

2^o Un cube et un nombre sont égaux à des racines ;

3^o Un nombre et des racines sont égaux à un cube ;

5^o Un cube et des carrés sont égaux à un nombre ;

5^o Un cube et un nombre sont égaux à des carrés ;

6^o Un nombre et des carrés sont égaux à un cube.

De ces six espèces rien n’a paru dans les traités d’algèbre, excepté la discussion isolée d’une d’entre elles (*****^[11]). Moi, je les 8discuterai et les démontrerai géométriquement, pas numériquement. La démonstration de ces six espèces n’est possible qu’au moyen des propriétés des sections coniques.

Quant aux équations composées quadrinomes, il y en a deux classes : premièrement, celles dans lesquelles trois degrés sont égalés à un degré. Ce sont quatre espèces (*^[12]) :

1^o Un cube, des carrés et des racines sont égaux à un nombre ;

2^o Un cube, des carrés et un nombre sont égaux à des racines ;

3^o Un cube, des racines et un nombre sont égaux à des carrés ;

4^o Un cube est égal à des racines, des carrés et un nombre.

La seconde classe comprend celles dans lesquelles deux degrés sont égalés à deux degrés. Il y en a trois espèces (**^[13]) :

1^o Un cube et des carrés sont égaux à des racines et un nombre ;

2^o Un cube et des racines sont égaux à des carrés et un nombre ;

3^o Un cube et un nombre sont égaux à des racines et des carrés.

Ce sont là les sept espèces quadrinomes : aucune desquelles nous n’avons réussi à résoudre que géométriquement. Un de nos prédécesseurs avait besoin d’un cas particulier d’une de ces espèces, que je ne manquerai pas de faire remarquer (***^[14]). La démonstration de ces espèces ne peut être effectuée qu’à l’aide des propriétés des sections coniques.

Maintenant je vais discuter et démontrer, une à une, toutes ces vingt-cinq espèces ; et j’implore l’assistance de Dieu : quiconque se confie sincèrement à lui, Dieu le dirige et lui suffit.

↑ ****) 1° $a=x\ ;$ 2° $a=x^{2}\ ;$ 3° $a=x^{3}\ ;$
4° $bx=x^{2}\ ;$ 5° $bx=x^{3}\ ;$ 6° $cx^{2}=x^{3}.$ J’échange ici les numéros 5 et 6 l’un contre l’autre ; c’est l’ordre suivi plus tard par l’auteur lorsqu’il discute des équations une à une.
↑ A savoir, les numéros 1, 2, 4.
↑ **) $x:x^{2}=x^{2}:x^{3}$ donc $ax^{2}=x^{3}$ lorsque $ax=x^{2}$ .
↑ ***) $a:x^{2}=ax:x^{3}$ (donc $ax=x^{3}$ lorsque $a=x^{2}$ ).
↑ ****) Le mot « istikrd » désigne proprement l’action d’aller de place en place ; ensuite il indique un jugement par induction, fondé sur la connaissance des cas particuliers qu’on obtient en les parcourant l’un après l’autre (Voir Notices et Extraits, tome x, p. 42). En partant toujours de cette signification fondamentale bien établie, il faudra rendre ce terme de différentes manières, selon les circonstances. Voir p. 8 ult. sqq., p. 10, lig. 7, p. 33 passim, p. 48, lig. 5 du texte arabe, — et addition C, à peu près à la fin, où il est question du cas ${\frac {C'}{C}}={\frac {2}{1}}.$
↑ *****) 7^o $x^{2}+bx=a$ ; 8^o $x^{2}+a=bx$ ; 9^o $bx+a=x^{2}.$
↑ *) 10^o $x^{3}+cx^{2}=bx\ ;$ 11^o $x^{3}+bx=cx^{2}\ ;$ 12^o $cx^{2}+bx=x^{3}\ ;$
↑ **) $x^{3}+bx=cx^{2},$ divisé par $x,$ donne $x^{2}+b=cx.$
↑ ***) Vu la proportionnalité qui a lieu entre ces équations et les trois précédentes. Voir page 6, ult.
↑ ****) 13^o $x^{3}+bx=a\ ;$ 14^o $x^{3}+a=bx\ ;$ 15^o $bx+a=x^{3}.$
16^o $x^{3}+cx^{2}=a\ ;$ 17^o $x^{3}+a=cx^{2}\ ;$ 18^o $cx^{2}+a=x^{3}.$
↑ *****) Voir la discussion de l’équation n^o 17.
↑ *) 19^o $x^{3}+cx^{2}+bx=a\ ;$ 20^o $x^{3}+cx^{2}+a=bx\ ;$
21^o $x^{3}+bx+a=cx^{2}\ ;$ 22^o $cx^{2}+bx+a=x^{3}\ ;$
↑ **) 23^o $x^{3}+cx^{2}=bx+a\ ;$ 24^o $x^{3}+bx=cx^{2}+a\ ;$ 25^o $x^{3}+a=cx^{2}+bx.$
↑ ***) Voir la discussion de l’équation n^o 21.

[1] ****) 1° $a=x\ ;$ 2° $a=x^{2}\ ;$ 3° $a=x^{3}\ ;$
4° $bx=x^{2}\ ;$ 5° $bx=x^{3}\ ;$ 6° $cx^{2}=x^{3}.$ J’échange ici les numéros 5 et 6 l’un contre l’autre ; c’est l’ordre suivi plus tard par l’auteur lorsqu’il discute des équations une à une.

[2] A savoir, les numéros 1, 2, 4.

[3] **) $x:x^{2}=x^{2}:x^{3}$ donc $ax^{2}=x^{3}$ lorsque $ax=x^{2}$ .

[4] ***) $a:x^{2}=ax:x^{3}$ (donc $ax=x^{3}$ lorsque $a=x^{2}$ ).

[5] ****) Le mot « istikrd » désigne proprement l’action d’aller de place en place ; ensuite il indique un jugement par induction, fondé sur la connaissance des cas particuliers qu’on obtient en les parcourant l’un après l’autre (Voir Notices et Extraits, tome x, p. 42). En partant toujours de cette signification fondamentale bien établie, il faudra rendre ce terme de différentes manières, selon les circonstances. Voir p. 8 ult. sqq., p. 10, lig. 7, p. 33 passim, p. 48, lig. 5 du texte arabe, — et addition C, à peu près à la fin, où il est question du cas ${\frac {C'}{C}}={\frac {2}{1}}.$

[6] *****) 7^o $x^{2}+bx=a$ ; 8^o $x^{2}+a=bx$ ; 9^o $bx+a=x^{2}.$

[7] *) 10^o $x^{3}+cx^{2}=bx\ ;$ 11^o $x^{3}+bx=cx^{2}\ ;$ 12^o $cx^{2}+bx=x^{3}\ ;$

[8] **) $x^{3}+bx=cx^{2},$ divisé par $x,$ donne $x^{2}+b=cx.$

[9] ***) Vu la proportionnalité qui a lieu entre ces équations et les trois précédentes. Voir page 6, ult.

[10] ****) 13^o $x^{3}+bx=a\ ;$ 14^o $x^{3}+a=bx\ ;$ 15^o $bx+a=x^{3}.$
16^o $x^{3}+cx^{2}=a\ ;$ 17^o $x^{3}+a=cx^{2}\ ;$ 18^o $cx^{2}+a=x^{3}.$

[11] *****) Voir la discussion de l’équation n^o 17.

[12] *) 19^o $x^{3}+cx^{2}+bx=a\ ;$ 20^o $x^{3}+cx^{2}+a=bx\ ;$
21^o $x^{3}+bx+a=cx^{2}\ ;$ 22^o $cx^{2}+bx+a=x^{3}\ ;$

[13] **) 23^o $x^{3}+cx^{2}=bx+a\ ;$ 24^o $x^{3}+bx=cx^{2}+a\ ;$ 25^o $x^{3}+a=cx^{2}+bx.$

[14] ***) Voir la discussion de l’équation n^o 21.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]