L’Encyclopédie/1re édition/ENGENDRER

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 5, p. 682-683).

ENGENDRER, v. act. (Physiq.) désigne l’action de produire son semblable par voie de génération. Voyez Génération.

Ce terme s’applique aussi à d’autres productions de la nature ; c’est ainsi qu’on dit que les météores sont engendrés dans la moyenne région de l’air. Voyez Météores, &c. Voyez aussi Corruption.

En Géométrie on se sert du mot engendré, pour désigner une ligne produite par le mouvement d’un point, une surface produite par le mouvement d’une ligne, un solide produit par le mouvement d’une surface, ou bien encore pour désigner une ligne courbe produite dans une surface courbe par la section d’un plan. Ainsi on dit que les sections coniques sont engendrées dans le cone. Voyez Coniques & Génération.

On dit aussi qu’une courbe est engendrée par le développement d’une autre. Voyez Développée. On a proposé à cette occasion de trouver les courbes qui s’engendrent elles-mêmes par leur développement. Voici une solution bien simple de ce problème. 1°. Soit que la courbe développée s’engendre elle-même dans une situation directe ou dans une situation renversée, il est évident que la développée de la développée sera précisément située de la même maniere que la développante. 2°. Le petit côté de la développante sera parallele au petit côté qui lui correspond dans la développée de la développée (que j’appelle sous-développée) ; une figure très-simple peut aisément le faire voir. Donc, puisque la développante & la sous-développée sont semblables & égales (hyp.), & qu’outre cela leurs petits côtés correspondans sont paralleles, il est aisé d’en conclure que ces petits côtés sont égaux ; or nommant ds le petit côté de la développante ou courbe cherchée, & R le rayon de la développée, il est aisé de voir que le rayon osculateur de cette développée sera $\scriptstyle \mp {\frac {RdR}{ds}}$ $\scriptstyle -$ : savoir-si la courbe se développe dans une situation renversée, & $\scriptstyle +$ si elle se développe dans une situation directe. Donc, puisque le petit côté de la sous-développée est égal à $\scriptstyle ds$, & que ce petit côté est égal à la différence du rayon osculateur, on aura $\scriptstyle d(\mp {\frac {RdR}{ds)}}=ds$, & $\scriptstyle \mp RdR=sds\pm ads$ & $\scriptstyle \mp RR==ss\pm 2as\pm bb$ ; c’est l’équation générale des courbes qui s’engendrent elles-mêmes par leur développement. Voyez le reste au mot Osculateur.

Si l’on vouloit que la courbe génératrice fût non pas égale, mais semblable à la courbe engendrée, en ce cas la différence de $\scriptstyle \mp {\frac {RdR}{ds}}$ devroit être en raison constante avec $\scriptstyle ds$. Cela se prouve comme dans le cas précédent. On aura donc $\scriptstyle \mp RR=mss\pm cs\pm F$. (O)