L’Encyclopédie/1re édition/FOLIUM

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FOLIUM de Descartes, ou simplement FOLIUM, s. m. (Géométrie.) nom latin, & qui signifie feuille. On appelle ainsi une courbe du second genre ou ligne du troisieme ordre KAODR, représentée fig. 45. Analys. & dont la partie AOD ressemble à-peu-près à une feuille, ce qui lui a fait donner le nom de folium.

Soient les coordonnées AB, x, BC ou BD, y, l’équation de cette courbe sera  ; les axes AB, AF, touchant la courbe en A. Pour donner à cette équation une forme plus commode, qui fasse découvrir aisément la figure de la courbe, je divise en deux également l’angle FAB par la ligne AO, & j’imagine les nouvelles coordonnées rectangles AP, z & PC, u, j’aurai, comme il est très aisé de le prouver, , & (voyez Transformation des Axes) ; & faisant la substitution, il vient pour l’équation de la courbe rapportée aux axes AO, GAM perpendiculaires l’un à l’autre. D’où l’on voit, 1°. que si z est infiniment petite, on a & qu’ainsi la courbe coupe de part & d’autre l’axe AO sous un angle de 45d. 2°. que u a toûjours deux valeurs égales, & qu’ainsi les deux parties de la courbe sont égales & semblables des deux côtés de l’axe AO : 3°. que si , on a  ; & que si , on a u imaginaire ; qu’ainsi faisant , la courbe ne va pas au-delà du point O, du côté des z positives : 4°. que si , u est infinie ; & que si z est , u est imaginaire. Donc prenant , & menant KNR perpendiculaire à AN, cette ligne KNR sera asymptote de la courbe. Voyez Asymptote.

Cette courbe est aussi quarrable. Pour le prouver de la maniere la plus simple, je reprends l’équation , & je fais , j’aurai ydx élément de l’aire de la courbe = xzdx, dont l’intégrale est . Or y=xz donne & , dont l’intégrale est aisée à trouver. Car soit , on aura  ; & , dont l’intégrale est fort simple. Voy. Integral & Transformation. Donc, &c.

M. de l’Hopital, analyse des infiniment petits, sect. 2. donne une méthode de trouver les asymptotes de cette courbe par les tangentes. Voyez Tangente, &c. (O)