L’Encyclopédie/1re édition/INDÉTERMINÉ

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Briasson, David l’aîné, Le Breton, Durand (Tome 8p. 672).
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INDÉTERMINÉ, adj. (Mathémat.) se dit d’une quantité ou chose qui n’a point de bornes certaines & prescrites.

On appelle, en Mathématiques, quantités indéterminées ou variables, celles qui peuvent changer de grandeur, par opposition aux quantités données & constantes, dont la grandeur reste toûjours la même ; dans une parabole, par exemple, les co-ordonnées x & y sont des indéterminées, & le parametre est une quantité constante. (O)

Un problème indéterminé est celui dont on peut donner un nombre infini de solutions différentes. Voyez Problème, Courbe, Lieu, &c.

On demande, par exemple, un nombre qui soit multiple de 4 & de 5 ; ce nombre peut être 20, 40, 60, &c. à l’infini, & ainsi du reste.

On regarde ordinairement un problème comme indéterminé, lorsqu’il renferme plus d’inconnues que d’équations, parce qu’alors on ne peut jamais réduire les équations à une seule qui ne contienne qu’une inconnue. Cependant il est certains problèmes qui par leur nature sont déterminés, quoiqu’ils renferment moins d’équations que d’inconnues. Un exemple éclaircira & prouvera en même tems ce que nous avançons. Supposons que l’on partage 40 sols à 20 personnes, hommes, femmes, & enfans, en donnant aux hommes 4 sols, aux femmes 2 sols, aux enfans 1 sol. On demande combien il y avoit d’hommes, de femmes & d’enfans. Il est certain qu’il y a ici trois inconnues, x, y, z, & que l’on ne peut trouver que ces deux équations x + y + z = 20 ; & 4x + 2y + z = 40. La premiere donne z = 20 − xy, & 4x + 2y + 20-xy = 40, ou 3x + y = 20, & . Or il semble d’abord que l’on puisse prendre pour y tout ce qu’on veut ; mais on fera réflexion que comme y exprime un certain nombre de personnes, aussi bien que x, il faut que y & x soient chacun des nombres entiers positifs. D’où il s’ensuit que y doit être un nombre entier plus petit que 20, & que 20 − y doit être divisible exactement par 3. On fera donc successivement 20 − y égal à tous les multiples de 3 ; sçavoir 20 − y = 3, 20 − y = 6, 20 − y = 9, 20 − y = 12, 20 − y = 15, 20 − y = 18 ; & l’on ne sauroit aller plus loin, parce que si on prenoit 20 − y = 21, on auroit y = −1 : c’est pourquoi on aura toutes les solutions possibles de ce problème dans la table suivante.

y = 17. x = 1. z = 2.
y = 14. x = 2. z = 4.
y = 11. x = 3. z = 6.
y = 8. x = 4. z = 8.
y = 5. x = 5. z = 10.
y = 2. x = 6. z = 12.

ce qui fait en tout six solutions possibles. (O)