L’Encyclopédie/1re édition/COURBE

d’Alembert, Bellin, Eidous

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 4, p. 377-390).

COURBE, adj. pris subst. (Ordre encycl. Entend. Raison, Science, Science de la Nat. Science des quantités abstr. Science de l’étendue, Géométrie, Géométrie des lignes courbes.) est, dit-on, une ligne dont les différens points sont dans différentes directions, ou sont différemment situés les uns par rapport aux autres. C’est du moins la définition que donne Chambers après une foule d’auteurs Voyez Ligne.

Courbe, ajoûte-t-on, pris en ce sens, est opposé à ligne droite, dont les points sont tous situés de la même maniere les uns par rapport aux autres.

On trouvera peut-être chacune de ces deux définitions peu précise ; & on n’aura pas tort. Cependant elles paroissent s’accorder assez avec l’idée que tout le monde a de la ligne droite & de la ligne courbe : d’ailleurs il est très-difficile de donner de ces lignes une notion qui soit plus claire à l’esprit que la notion simple qu’excite en nous le seul mot de droit & de courbe. La définition la plus exacte qu’on puisse donner de l’une & de l’autre, est peut-être celle-ci : La ligne droite est le chemin le plus court d’un point à un autre, & la ligne courbe est une ligne menée d’un point à un autre, & qui n’est pas la plus courte. Mais la premiere de ces définitions renferme plûtôt une propriété secondaire que l’essence de la ligne droite ; & la seconde, outre qu’elle ne renferme qu’une propriété négative, convient aussi-bien à un assemblage de lignes droites qui font angle, qu’à ce qu’on appelle proprement courbe, & qu’on peut regarder comme l’assemblage d’une infinité de petites lignes droites contigues entr’elles à angles infiniment obtus. Voyez plus bas Courbe polygone ; voyez aussi Convexe. Peut-être feroit-on mieux de ne point définir la ligne courbe ni la ligne droite, par la difficulté & peut-être l’impossibilité de réduire ces mots à une idée plus élémentaire que celle qu’ils présentent d’eux-mêmes. Voyez Définition.

Les figures terminées par des lignes courbes sont appellées figures curvilignes, pour les distinguer des figures qui sont terminées par des lignes droites, & qu’on appelle figures rectilignes. Voyez Rectiligne & Figure.

La théorie générale des courbes, des figures qu’elles terminent, & de leurs propriétés, constitue proprement ce qu’on appelle la haute géométrie ou la géométrie transcendante. Voyez Geometrie.

On donne sur-tout le nom de géométrie transcendante à celle qui, dans l’examen des propriétés des courbes, employe le calcul différentiel & intégral. Voyez ces mots ; voyez aussi la suite de cet article.

Il ne s’agit poin tici, comme on peut bien le croire, des lignes courbes que l’on peut tracer au hasard & irrégulierement sur un papier. Ces lignes n’ayant d’autre loi que la main qui les forme, ne peuvent être l’objet de la Géométrie ; elles peuvent l’être seulement de l’art d’écrire. Un géometre moderne a pourtant crû que l’on pouvoit toûjours déterminer la nature d’une courbe tracée sur le papier ; mais il s’est trompé en cela. Nous en donnerons plus bas la preuve.

Nous ne parlerons d’abord ici que des courbes tracées sur un plan, & qu’on appelle courbes à simple courbure. On verra dans la suite la raison de cette dénomination. Pour déterminer la nature d’une courbe, on imagine une ligne droite tirée dans son plan à volonté. Par tous les points de cette ligne droite, on imagine des lignes tirées parallelement & terminées à la courbe. La relation qu’il y a entre chacune de ces lignes paralleles, & la ligne correspondante de l’extrémité de laquelle elle part, étant exprimée par une équation, cette équation s’appelle l’équation de la courbe. Voyez Equation.

Dans une courbe, la ligne AD (Pl. de Géométr. fig. 51.) qui divise en deux également les lignes paralleles MM, est ordinairement appellée diametre. Si le diametre coupe ces lignes à angles droits, il est appellé axe ; & le point A par où l’axe passe est appellé le sommet de la courbe. Voy. Diametre, Axe,&Sommet.

Les lignes paralleles MM sont appellées ordonnées ou appliquées ; & leurs moitiés PM, demi-ordonnées ou ordonnées. Voyez Ordonnée.

La portion du diametre AP, comprise entre le sommet ou un autre point fixe, & l’ordonnée est appellée abscisse. Voyez Abscisse. Le point de concours des diametres se nomme centre. V. Centre ; voyez aussi les remarques que fait sur ce sujet M. l’abbé de Gua dans la premiere section de son ouvrage intitulé, Usages de l’analyse de Descartes. Il appelle plus proprement centre d’une courbe un point de son plan, tel que si on mene par ce point une ligne droite quelconque terminée à la courbe par ses deux extrémités, ce point divise la ligne droite en deux parties égales.

Au reste, on donne aujourd’hui en général le nom d’axe à toute ligne tracée dans le plan de la courbe & à laquelle se rapporte l’équation ; on appelle l’axe des x, ou simplement axe, la ligne sur laquelle se prennent les abscisses ; axe des y, la ligne parallele aux ordonnées, & passant par le point où x est = 0. Ce point est nommé l’origine des coordonnées ou l’origine de la courbe. Voyez Coordonnées.

Descartes est le premier qui ait pensé à exprimer les lignes courbes par des équations. Cette idée sur laquelle est fondée l’application de l’Algebre à la Géométrie (voyez Application & Découverte) est très-heureuse & très-féconde.

Il est visible que l’équation d’une courbe étant résolue, donne une ou plusieurs valeurs de l’ordonnée y pour une même abscisse x, & que par conséquent une courbe tracée n’est autre chose que la solution géométrique d’un problème indéterminé, c’est-à-dire qui a une infinité de solutions : c’est ce que les anciens appelloient lieu géométrique. Car quoiqu’ils n’eussent pas l’idée d’exprimer les courbes par des équations, ils avoient vû pourtant que les courbes géométriques n’étoient autre chose que le lieu, c’est-à-dire la suite d’une infinité de points qui satisfaisoient à la même question ; par exemple, que le cercle étoit le lieu de tous les points qui désignent les sommets des angles droits qu’on peut former sur une même base donnée, laquelle base est le diametre du cercle ; & ainsi des autres.

Les courbes se divisent en algébriques, qu’on appelle souvent avec Descartes courbes géométriques ; & en transcendantes, que le même Descartes nomme méchaniques.

Les courbes algébriques ou géométriques sont celles où la relation des abscisses AP aux ordonnées PM (fig. 52.) est ou peut être exprimée par une équation algébrique. Voyez Equation & Algebrique.

Supposons, par exemple, que dans un cercle on ait AB = a, AP = x, PM = y ; on aura PB = a − x : par conséquent, puisque $\scriptstyle PM^{2}=AP\times PB$, on aura yy = ax − xx ; ou bien si on suppose PC = x, AC = a, PM = y, on aura $\scriptstyle MC^{2}-PC^{2}=PM^{2}$, c’est-à-dire $\scriptstyle a^{2}-x^{2}=y^{2}$.

Il est visible par cet exemple, qu’une même courbe peut être représentée par différentes équations. Ainsi sans changer les axes dans l’équation précédente, si on prend l’origine des x au sommet du cercle, au lieu de les prendre au centre, on trouve, comme on vient de le voir, yy = ax − xx pour l’équation.

Plusieurs auteurs, après Descartes, n’admettent que les courbes géométriques dans la construction des problèmes, & par conséquent dans la Géométrie ; mais M. Newton, & après lui, MM. Leibnitz & Wolf sont d’un autre sentiment, & prétendent avec raison que dans la construction d’un problème, ce n’est point la simplicité de l’équation d’une courbe qui doit la faire préférer à un autre, mais la simplicité & la facilité de la construction de cette courbe. Voyez Construction, Problème, & Geometrique.

Courbe transcendante ou méchanique est celle qui ne peut être déterminée par une équation algébrique. Voyez Transcendant.

Descartes exclud ces courbes de la Géométrie ; mais Newton & Leibnitz sont d’un avis contraire pour la raison que nous venons de dire. En effet une spirale, par exemple, quoique courbe méchanique, est plus aisée à décrire qu’une parabole cubique.

L’équation d’une courbe méchanique ne peut être exprimée que par une équation différentielle entre les dy & les dx. Voyez Differentiel. Entre ces deux genres de courbes, on peut placer, 1° les courbes exponentielles dans l’équation desquelles une des inconnues, ou toutes les deux entrent en exposant, comme une courbe dont l’équation seroit $\scriptstyle y=a^{x}$, ou $\scriptstyle y^{x}=a^{y}$ &c. Voyez Exponentiel. 2° les courbes interscendantes dans l’équation desquelles les exposans sont des radicaux, comme $\scriptstyle x=y^{\sqrt {2}}$. Ces deux especes de courbes ne sont proprement ni géométriques ni méchaniques, parce que leur équation est finie sans être algébrique.

Une courbe algébrique est infinie, lorsqu’elle s’étend à l’infini, comme la parabole & l’hyperbole ; finie, quand elle fait des retours sur elle-même comme l’ellipse ; & mixte, quand une de ses parties est infinie, & que d’autres retournent sur elles-mêmes.

Pour se former l’idée d’une courbe par le moyen de son équation, il faut imaginer que l’équation de la courbe soit résolue, c’est-à-dire qu’on ait la valeur de y en x. Cela posé, on prend toutes les valeurs positives de x depuis 0 jusqu’à l’infini, & toutes les valeurs négatives depuis 0 jusqu’à − l’infini. Les ordonnées correspondantes donneront tous les points de la courbe, les ordonnées positives étant prises toutes du même sens, & les négatives du côté opposé. Voilà ce qu’on trouve dans tous les Algébristes & géometres modernes. Mais aucun n’a donné la raison de cette regle. Nous la donnerons dans la suite de cet article, après avoir parlé auparavant de la transformation des axes d’une courbe.

Il est certain qu’après avoir rapporté l’équation d’une courbe à deux axes quelconques d’abscisses & d’ordonnées, on peut la rapporter à deux autres axes quelconques tirés, comme on voudra, dans le plan de la courbe. De ces deux axes, l’un peut être parallele ou coïncident à l’axe des x, & l’autre parallele ou coïncident à l’axe des y ; ils peuvent aussi n’être point paralleles ni l’un ni l’autre aux deux premiers axes, mais faire avec eux des angles quelconques. Supposons, par exemple, que AP (x) & PM (y) soient (Pl. d’Algeb. fig. 17.) les abscisses & les ordonnées d’une courbe, & qu’on veuille rapporter la courbe aux nouvelles coordonnées quelconques Ap & pM ; on tirera AB & Bq paralleles à y & à x, & on nommera les coordonnées nouvelles Ap (z) & pM (u). Cela posé, il est visible que l’angle apM est donné, comme on le suppose, ainsi que l’angle pBq, & l’angle Bqm ou son égal AmM, & que aB & AB sont aussi donnés de grandeur & de position. Donc si on nomme aB, a, & AB, b, on aura Bp = z − a, Bq ou Am = (z − a) m, m exprimant le rapport connu de Bq à Bp ; Pm = yn, n étant de même un coefficient donné, & par conséquent AP ou x=(z − a)m + yn : de plus Mm = pM − pm = pM − AB − pq = u − b − zq + aq, q étant de même un coefficient donné, & MP ou y = (u − b − zq + aq) × k : donc on aura y = (u − b − zq + aq) k & x = (z − a) m + nk (u − b − zq + aq) ; donc si on met à la place de x & de y leurs valeurs qu’on vient de trouver en z & en u, on aura une nouvelle équation par rapport aux coordonnées z & u. Voyez à l’art. Transformation des axes un plus grand détail.

Il est visible qu’on peut placer non-seulement l’axe des z & l’axe des u, mais aussi l’axe des x & celui des y, par-tout où l’on voudra, sans que la courbe change pour cela de place, & que la position de la courbe est totalement indépendante de la position des axes ; de sorte que les ordonnées u partant de l’axe des z, doivent aboutir aux mêmes points que les ordonnées y, partant de l’axe des x. Cela est évident par les opérations même que l’on fait pour la transformation des axes. D’ailleurs on doit considérer qu’une courbe n’est autre chose que le lieu d’une infinité de points qui servent à résoudre un problème indéterminé, c’est-à-dire un problème qui a une infinité de solutions. Or la situation de ces points est totalement indépendante de la position des axes auxquels on les rapporte, ces axes pouvant être placés partout où l’on voudra. De ces principes, on peut tirer les conséquentes suivantes sur la position des ordonnées.

1°. Les ordonnées positives doivent être prises d’un même côté ; car soit (fig. 36. n°. 3. analys.) AP l’axe des x, & qu’on trouve deux valeurs positives pour y ; soit Pm la plus grande de ces valeurs, je dis que la plus petite PM doit être prise du même côté. Car soit transposé l’axe AP en ap, en sorte que Pp = a, & soit ap = x, & pm = z ; on aura l’équation rapportée aux axes x & z, en mettant z − a pour y dans l’équation de la courbe ; & on aura chaque valeur de z égale aux valeurs correspondantes de y, augmentées chacune de a ; donc au point p, on aura deux valeurs positives de z, savoir a + PM & a + Pm. Or si on ne prenoit pas PM du même côté que Pm, mais de l’autre côté, l’ordonnée pM, au lieu d’être a + PM, seroit a − PM ; la courbe changeroit donc ou d’équation ou de figure, en changeant d’axe ; & tandis qu’une de ses parties resteroit à la même place, l’autre se promeneroit, pour ainsi dire, suivant que l’on changeroit l’axe de place. Or ni l’un ni l’autre ne se peut. Donc il faut que PM & Pm soient pris du même côté, quand ils sont tous deux positifs.

2°. Si on a deux valeurs, l’une positive PM, l’autre négative Pm (fig. 36. n°. 2.), il faudra les prendre de différens côtés. Car soit, par exemple, $\scriptstyle PM={\sqrt {x}}$, & $\scriptstyle Pm=-{\sqrt {x}}$ : transposant l’axe AP en ap, ensorte que pP = a, & mettant z − a pour y, dans l’équation de la courbe, on aura $\scriptstyle z=a+{\sqrt {x}}$ & $\scriptstyle z=a-{\sqrt {x}}$. Si on suppose $\scriptstyle {\sqrt {x}}<a$, ce qui se peut toûjours, puisque a est arbitraire, on trouvera z ou pM = a + PM & z ou pm = a − PM. Donc Pm doit être égale à PM, & prise dans un sens contraire. Tout cela est aisé à voir avec un peu d’attention.

Lorsque les ordonnées sont positives, elles appartiennent toutes également à la courbe, ce qui est évident, puisqu’il n’y a pas de raison pour préférer l’une à l’autre. Mais lorsqu’elles sont négatives, elles n’appartiennent pas moins à la courbe ; car, pour s’en convaincre, il n’y a qu’à reculer l’axe de façon que toutes les ordonnées deviennent positives. Dans cette derniere position de l’axe, toutes les ordonnées appartiendront également à la courbe. Donc il en sera de même dans la premiere position que l’axe avoit.

Donc supposant x positive, toutes les valeurs de y tant positives que négatives, appartiennent à la courbe ; mais au lieu de prendre la ligne des x pour l’axe, on peut prendre la ligne des y, & alors on aura des valeurs tant positives que négatives de x, lesquelles par la même raison appartiendront aussi à la courbe. Donc la courbe renferme toutes les valeurs des y répondantes à une même x, & toutes les valeurs de x répondantes à une même y ; ou ce qui revient au même, elle renferme toutes les valeurs positives & négatives de y répondantes, soit aux x positives, soit aux x négatives. En effet, si dans la valeur de y qui répond aux x positives, on change les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire, on aura la valeur de y correspondante aux x négatives ; & cette équation sera évidemment la même qu’on auroit, en résolvant l’équation en x & en y, après avoir changé d’abord dans cette équation les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire. Or je dis que cette derniere équation appartient également à la courbe ; car ordonnons l’équation primitive par rapport à x, avant d’avoir changé aucun signe, & cherchons les valeurs de x en y ; nous venons de voir que les valeurs, tant positives que négatives de x, appartiennent à la courbe. Or les valeurs négatives sont les mêmes que l’on auroit avec un signe positif, en changeant dans l’équation primitive les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire ; car on sait que dans une équation ordonnée en x, si on change les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire, toutes les racines changent de signe sans changer d’ailleurs de valeur. Voyez Equation. Donc l’équation en x, avec le changement des signes indiqué appartient aussi-bien à la courbe que l’équation en x, sans changer aucun signe. Donc, &c. Il est donc important de changer les signes de x, s’il est nécessaire, pour avoir la partie de la courbe qui s’étend du côté des x négatives. En effet soit, par exemple, $\scriptstyle yy=aa-xx$ l’équation du cercle, on aura, en prenant x positive, $\scriptstyle y=\pm {\sqrt {aa-xx}}$ ; & en faisant x négative, on aura de même $\scriptstyle y=\pm {\sqrt {aa-xx}}$ ce qui donne le cercle entier. Si on prenoit seulement x positive, on n’auroit que le demi-cercle ; & si on ne prenoit y que positive, on n’auroit que le quart du cercle.

Voilà donc une démonstration générale de ce que tous les Géometres n’ont supposé jusqu’à présent que par induction. En effet ils ont vû, par exemple, que si $\scriptstyle y=a-x$, c’est l’équation d’une ligne droite qui coupe son axe au point où $\scriptstyle x=a$, & qui ensuite passe de l’autre côté. Or quand $\scriptstyle x>a$, on a y négative ; ainsi, ont-ils dit, l’ordonnée négative doit être prise du côté opposé à la positive. Ils ont vû encore que $\scriptstyle y=\pm {\sqrt {px}}$ est l’équation de la parabole, & que cette courbe a en effet deux parties égales & semblables, l’une à droite & l’autre à gauche de son axe, ce qui prouve que $\scriptstyle -{\sqrt {px}}$ doit être prise du côté opposé à $\scriptstyle {\sqrt {px}}$. Plusieurs autres exemples pris du cercle, des sections coniques rapportées à tel axe qu’on jugera à propos, ont prouvé la regle de la position des ordonnées & la nécessité de prendre x négative, après l’avoir pris positive. On s’en est tenu là : mais ce n’étoit pas une démonstration rigoureuse.

Les différentes valeurs de y répondantes à x positive & à x négative, donnent les différentes branches de la courbe. Voyez Branche.

Lorsqu’on a ordonné l’équation d’une courbe par rapport à y ou à x, s’il ne se trouve point dans l’équation de terme constant, la courbe passe par l’origine ; car en faisant $\scriptstyle x=0$, & $\scriptstyle y=0$ dans l’équation, tout s’évanoüit. Donc la supposition de $\scriptstyle y=0$ quand $\scriptstyle x=0$, est légitime. Donc la courbe passe par le point où $\scriptstyle x=0$.

En général, si on ordonne l’équation d’une courbe par rapport à y, ensorte que le dernier terme ne contienne que x avec des constantes, & qu’on cherche les valeurs de x propres à rendre ce dernier terme égal à zéro, ces valeurs de x donneront les points où la courbe coupera son axe ; car puisque ces valeurs de x substituées dans le dernier terme le rendront =0, on prouvera par le même raisonnement que ci-dessus, que dans les points qui répondent à ces valeurs de x, on a $\scriptstyle y=0$.

Lorsque la valeur de l’ordonnée y est imaginaire, la courbe manque dans ces endroits-là ; par exemple, lorsque $\scriptstyle x>a$ dans l’équation $\scriptstyle y=\pm {\sqrt {aa-xx}}$ la valeur d’y est imaginaire : aussi le cercle n’existe point dans les endroits où $\scriptstyle x>a$ ; de même si dans l’équation $\scriptstyle y=\pm {\sqrt {px}}$ on fait x négative, on trouvera y imaginaire, ce qui prouve que la parabole ne passe point du côté des x négatives.

On verra aux articles Equation & Imaginaire que toute quantité imaginaire ou racine imaginaire d’une équation peut se réduire à $\scriptstyle A+B{\sqrt {-1}}$, A & B étant des quantités réelles, & que toute équation qui a pour racine $\scriptstyle A+B{\sqrt {-1}}$ a pour racine aussi $\scriptstyle A-B{\sqrt {-1}}$. Or quand une ordonnée passe du réel à l’imaginaire, cela vient de ce qu’une quantité comme C, qui étoit sous un signe radical $\scriptstyle {\sqrt {C}}$, devient négative, en sorte que $\scriptstyle C=B{\sqrt {-1}}$, B étant une quantité réelle. Or pour que C devienne négative, de positive qu’elle étoit, il faut qu’elle passe par le zero, ou par l’infini. Voyez Maximum. Donc au point où l’ordonnée passe à l’imaginaire, on a B nul ou infini ; donc les racines $\scriptstyle A+B{\sqrt {-1}}$ & $\scriptstyle A-B{\sqrt {-1}}$ deviennent égales en ce point-là. Donc la limite qui sépare les ordonnées réelles des ordonnées imaginaires, renferme deux ou plusieurs ordonnées égales, lesquelles seront $\scriptstyle =0$, ou finies ou infinies ; égales à zero, si $\scriptstyle A=0$, & si B est zero ; finies, si A est finie, & B zero ; infinies si A est infinie & B zero, ou si A est finie & B infinie, ou si A & B sont infinies l’une & l’autre.

Par exemple, si $\scriptstyle x=0$, & que l’équation soit $\scriptstyle y=a-x\pm {\sqrt {a-x}}$, on a $\scriptstyle y=0$ ; si l’équation est $\scriptstyle y=a\pm {\sqrt {a-x}}$, y sera $\scriptstyle a$ ; si l’équation est $\scriptstyle y=a\pm {\frac {1}{\sqrt {a-x}}}$, ou $\scriptstyle y={\frac {1}{a-x}}\pm {\sqrt {a-x}}$, y sera infinie ; & si dans tous ces cas on prend $\scriptstyle x>a$, la valeur de y sera imaginaire.

Quand on a l’équation d’une courbe, il faut examiner d’abord si cette équation ne peut pas se diviser en plusieurs équations rationnelles ; car si cela est, l’équation se rapporte, non à une seule & même courbe, mais à des courbes différentes. On en peut voir un exemple à l’article Hyperboles conjuguées au mot Conjugué. Nous ajoûterons ici, 1°. qu’il faut, pour ne point se tromper là-dessus, mettre d’abord tous les termes de l’équation d’un côté, & zero de l’autre, & voir ensuite si l’équation est réductible en d’autres équations rationnelles ; car soit, par exemple, $\scriptstyle yy=aa-xx$, on seroit tenté de croire d’abord que l’équation peut se changer en ces deux-ci $\scriptstyle y=a-x$ & $\scriptstyle y=a+x$, dont le produit donne $\scriptstyle yy=aa-xx$ ; ainsi on pourroit croire que l’équation $\scriptstyle yy=aa-xx$ qui appartient réellement au cercle, appartiendroit au système de deux lignes droites, $\scriptstyle y=a+x$ & $\scriptstyle y=a-x$. Or on se tromperoit en cela ; mais pour connoître son erreur, il n’y a qu’à faire $\scriptstyle yy-aa+xx=0$, & l’on verra alors facilement que cette équation n’est pas le produit des deux équations $\scriptstyle y-a+x=0$ & $\scriptstyle y-a-x=0$ ; en effet, on sent assez que $\scriptstyle yy=aa-xx$ ne donne ni $\scriptstyle y=a-x$, ni $\scriptstyle y=a+x$ ; mais si on avoit l’équation $\scriptstyle yy-2ay+aa-xx=0$, on trouveroit que cette équation viendroit des deux $\scriptstyle y-a-x=0$ & $\scriptstyle y-a+x=0$, & qu’ainsi elle représenteroit non une courbe, mais un système de deux lignes droites.

2°. Les équations dans lesquelles l’équation apparente d’une courbe se divise, n’en seroient pas moins rationnelles quand elles renfermeroient des radicaux, pourvû que la variable x ne se trouvât pas sous ces radicaux ; par exemple, une équation qui seroit formée de ces deux-ci, $\scriptstyle y-{\sqrt {aa+bb}}-x=0$ & $\scriptstyle y-{\sqrt {aa+bb}}+x=0$, représenteroit toûjours le système de deux lignes droites. Il faut seulement remarquer que l’équation $\scriptstyle yy-2y{\sqrt {aa+bb}}+aa+bb-xx=0$ qui résulte de ces deux-là, se change, en faisant évanoüir tout-à-fait le signe radical, en celle-ci $\scriptstyle (yy+aa+bb-xx)^{2}-4yy(aa+bb)=0$, qui est du quatrieme degré, & qui renferme le système de 4 lignes droites $\scriptstyle y-{\sqrt {aa-bb}}-x=0$, $\scriptstyle y-{\sqrt {aa-bb}}+x=0$, $\scriptstyle y+{\sqrt {aa+bb}}-x=0$, $\scriptstyle y+{\sqrt {aa+bb}}+x=0$.

3°. Les équations sont encore rationnelles quand même x se trouveroit sous le signe radical, pourvû qu’on puisse l’en dégager : par exemple, $\scriptstyle y-{\sqrt {aaxx+bbxx}}=0$ & $\scriptstyle y-{\sqrt {ddx^{2}+x^{2}}}=0$ se changent en $\scriptstyle y=\pm x{\sqrt {aa+bb}}$, & $\scriptstyle y=\pm x{\sqrt {dd+dd}}$ qui est le système des quatre lignes droites, où l’on voit que les deux équations radicales en ont fourni chacune deux autres, parce que la racine de xx est également +x & −x. Je m’étends sur ces différens objets, parce qu’ils ne sont point traités ailleurs, ou qu’ils le sont trop succinctement, ou qu’ils le sont mal.

Ceci nous conduit à parler d’une autre maniere d’envisager l’équation des courbes, c’est de déterminer une courbe par l’équation, non entre x & y, mais entre les y qui répondent à une même abscisse.

Exemple. On demande une courbe, dans laquelle la somme de deux ordonnées correspondantes à une même x soit toûjours égale à une quantité constante 2a ; je dis que l’équation de cette courbe sera $\scriptstyle y=a+{\sqrt {X}}$, X désignant une quantité radicale quelconque, composée de x & de constantes. En effet, les deux ordonnées $\scriptstyle y=a+{\sqrt {X}}$ & $\scriptstyle y=a-{\sqrt {X}}$ ajoûtées ensemble, donnent une somme = 2a ; mais il faut bien remarquer que $\scriptstyle {\sqrt {X}}$ doit être une quantité irrationnelle ; car, par exemple, $\scriptstyle y=a+{\frac {x^{3}}{b^{2}}}$ & $\scriptstyle y=a-{\frac {x^{3}}{b^{2}}}$ ne satisferoient pas au problème, parce que ces deux équations ne désigneroient pas le système d’une seule & même courbe. De même si on demande une courbe, dans laquelle le produit des deux ordonnées correspondantes à x soit une quantité Q, qui contienne x avec des constantes, ou qui soit une constante, on fera $\scriptstyle y=P\mp {\sqrt {PP-Q}}$, P étant une quantité quelconque qui contienne x avec des constantes, ou qui soit constante ; car le produit des deux valeurs $\scriptstyle P+{\sqrt {PP-Q}}$ & $\scriptstyle P+{\sqrt {PP-Q}}$ donnera Q. Voyez sur tout cela les journaux de Leipsic de 1697, les mémoires de l’acad. des Sciences de 1734, & l’introductio ad analysim infinitorum, par M. Euler, c. xjv.

Cours d’une courbe. Pour déterminer le cours d’une courbe, on doit d’abord résoudre l’équation de cette courbe, & trouver la valeur de y en x ; ensuite on prend différentes valeurs de x, & on cherche les valeurs de y correspondantes ; on voit par-là les endroits où la courbe coupe son axe, savoir les points où la valeur de y = o ; les endroits où la courbe a une asymptote, c’est à-dire, les points où y est infinie, x restant finie, ou bien où y est infinie, & a un rapport fini avec x supposée aussi infinie ; les points où y est imaginaire, & où par conséquent la courbe ne passe pas, &c. Ensuite on fait les mêmes opérations, en prenant x négative. Par exemple, soit $\scriptstyle {(y-{\frac {aa}{a-x}})}^{2}=xx+aa$ l’équation d’une courbe, on aura donc $\scriptstyle y={\frac {aa}{a-x}}\pm {\sqrt {xx+aa}}$ Ce qui fait voir, 1°. que chaque valeur de x donne deux valeurs de y, à cause du double signe $\scriptstyle \pm$ ; 2°. que si x = o, on a $\scriptstyle y=a+a$, c’est-à-dire y = o & y = 2a ; 3°. que si x = a, y = à l’infini, & que par conséquent la courbe a une asymptote au point où x = a, 4°. que si x = à l’infini, on a $\scriptstyle y=\pm x$  ; ce qui prouve que la courbe a des asymptotes qui font avec son axe un angle de 45 degrés ; en faisant x négative, on trouve $\scriptstyle y={\frac {aa}{x-x}}\pm {\sqrt {xx+aa}}$ équation sur laquelle on fera des raisonnemens semblables. Il en est de même des autres cas. Si l’équation avoit $\scriptstyle {\sqrt {xx-aa}}$ on trouveroit qu’au point où x = o, l’ordonnée devient imaginaire, &c.

On peut tracer à peu-près une courbe par plusieurs points, en prenant plusieurs valeurs de x assez près l’une de l’autre, & cherchant les valeurs de y. Ces méthodes de décrire une courbe par plusieurs points sont plus commodes & en un sens plus exactes que celles de les décrire par un mouvement continu. Voyez Compas elliptique.

Les anciens n’ont guere connu d’autres courbes que le cercle, les sections coniques, la conchoïde, & la cissoïde. Voyez ces mots. La raison en est toute simple, c’est qu’on ne peut guere traiter des courbes sans le secours de l’Algebre, & que l’Algebre paroit avoir été peu connue des anciens. Depuis ce tems on y a ajoûté les paraboles & hyperboles cubiques, & le trident ou parabole de Descartes ; voilà où on en est resté, jusqu’au Traité des lignes du troisieme ordre de M. Newton, dont nous parlerons plus bas. Voyez Parabole, Hyperbole, Trident, &c.

Nous avons dit ci-dessus que les courbes méchaniques sont celles dont l’équation entre les coordonnées n’est & ne peut-être algébrique, c’est-à-dire finie. Nous disons ne peut-être ; car si l’équation différentielle d’une courbe avoit une intégrale finie, cette courbe qui paroîtroit d’abord méchanique, seroit réellement géométrique. Par exemple, si $\scriptstyle dy={\frac {adx}{\sqrt {2ax}}}$, la courbe est géométrique, parce que l’intégrale est $\scriptstyle y={\sqrt {2ax}}+A$ ce qui représente une parabole. Mais l’équation $\scriptstyle dy={\frac {adx}{\pm 2ax-xx}}$ est l’équation d’une courbe méchanique, parce que l’on ne sçauroit trouver l’intégrale de cette équation différentielle. Voyez Différentiel, Integral & Quadrature.

Les anciens ont fait très-peu d’usage des courbes méchaniques ; nous ne leur en connoissons guere que deux, la spirale d’Archimede & la quadratrice de Dinostrate. Voyez ces mots. Ils se servoient de ces courbes pour parvenir d’une maniere plus aisée à la quadrature du cercle. Les modernes ont multiplié à l’infini le nombre des courbes méchaniques ; le calcul différentiel a facilité extrêmement cette multiplication, & les avantages qu’on pouvoit en tirer. V. Mechanique. Revenons aux courbes algébriques ou géométriques, qui sont celles dont il sera principalement mention dans cet article, parce que le caractere de leurs équations qui consiste à être exprimées en termes finis, nous met à portée d’établir sur ces courbes des propositions générales, qui n’ont pas lieu dans les courbes méchaniques. C’est principalement la Géométrie des courbes méchaniques, qu’on appelle Géométrie transcendante, parce qu’elle employe nécessairement le calcul infinitésimal ; au lieu que la Géométrie des courbes algébriques n’employe point, du moins nécessairement, ce calcul pour la découverte des propriétés de ces courbes, si on en excepte leurs rectifications & leurs quadratures ; car on peut déterminer, par exemple, leurs tangentes, leurs asymptotes, leurs branches, &c. & toutes les autres propriétés de cette espece par le secours du seul calcul algébrique ordinaire. Voyez les ouvrages de MM. Euler & de Gua, déja cités, & l’ouvrage de M. Cramer, qui a pour titre introduction à l’analyse des lignes courbes, Genev. 1750. in-4^o.

Nous avons vû ci-dessus comment on transforme les axes x & y d’une courbe par les équations x = Az + B u + C, y = D z + E u + F ; c’est-là la transformation la plus générale, & si on veut faire des transformations plus simples, on n’a qu’à supposer un des coefficiens A, B, C, D, &c. ou plusieurs égaux à zero, pourvû qu’on ne suppose pas, par exemple, A & B ensemble égaux à zero, ni D & E ensemble égaux à zero, car on auroit x = C, & y = F ; ce qui ne se peut, puisque x & y qui sont des indéterminées, ne peuvent être égales à des constantes. On ne doit point non plus supposer en même tems B & E = 0, ni A & D = 0 ; car substituant les valeurs de x & de y, on n’auroit plus dans l’équation de la courbe qu’une seule indéterminée u. Or il faut qu’il y en ait toûjours deux.

Il est visible que si on substitue à la place de x & de y les valeurs ci-dessus dans l’équation de la courbe, l’équation n’augmentera pas de dimension ; car on détermine la dimension & le degré de l’équation d’une courbe par la plus haute dimension à laquelle se trouve l’une ou l’autre des inconnues x, y, ou le produit des inconnues ; par exemple, l’équation d’une courbe est du troisieme degré, lorsqu’elle contient le cube $\scriptstyle y^{3}$, ou le cube $\scriptstyle x^{3}$, ou le produit xyy ou xxy, ou toutes ces quantités à la fois, ou quelques-unes seulement. Or comme dans les équations $\scriptstyle x=Az+Bu+C$, $\scriptstyle y=Dz+Eu+F$ z & u ne montent qu’au premier degré, il est évident que si on substitue ces valeurs dans l’équation en x & en y, la dimension de l’équation & son degré n’augmentera pas. Il est évident, par la même raison, qu’elle ne diminuera pas ; car si elle diminuoit, c’est-à-dire, si l’équation en z & en u étoient de moindre dimension que l’équation en x & en y, alors substituant pour z & pour u leurs valeurs en x & en y, lesquelles sont d’une seule dimension, comme il est aisé de le voir, on retrouveroit l’équation en x & en y, & par conséquent on parviendroit à une équation d’une dimension plus élevée que l’équation en z & en u ; ce qui est contre la premiere proposition.

Donc en général, quelque transformation d’axe que l’on fasse, l’équation de la courbe ne change point de dimension. On peut voir dans l’ouvrage de M. l’abbé de Gua, & dans l’introduction à l’analyse des lignes courbes par M. Cramer, les manieres abrégées de faire le calcul pour la transformation des axes. Mais ce n’est pas de quoi il s’agit ici, cette abréviation de calcul étant indifférente en elle-même aux propriétés de la courbe. Voyez aussi Transformation des axes.

Courbes algébriques du même genre ou du même ordre, ou du même degré, sont celles dont l’équation monte à la même dimension. V. Ordre & Degré.

Les courbes géométriques étant une fois déterminées par la relation des ordonnées aux abscisses, on les distingue en différens genres ou ordres ; ainsi les lignes droites sont les lignes du premier ordre ; les lignes du second ordre sont les sections coniques.

Il faut observer qu’une courbe du premier genre est la même qu’une ligne du second ordre, parce que les lignes droites ne sont point comptées parmi les courbes, & qu’une ligne du troisieme ordre est la même chose qu’une courbe du second genre. Les courbes du premier genre sont donc celles dont l’équation monte à deux dimensions ; dans celles du second genre, l’équation monte à trois dimensions ; à quatre, dans celles du troisieme genre, &c.

Par exemple, l’équation d’un cercle est $\scriptstyle y^{2}=2ax-xx$ ou $\scriptstyle y^{2}=a^{2}-x^{2}$ ; le cercle est donc une courbe du premier genre & une ligne du second ordre.

De même la courbe, dont l’équation est $\scriptstyle ax=y^{2}$, est une courbe du premier genre ; & celle qui a pour équation $\scriptstyle a^{2}x=y^{3}$, est courbe du second genre & ligne du troisieme ordre.

Sur les différentes courbes du premier genre & leurs propriétés, voyez Sections coniques au mot Conique.

On a vû à cet article Conique, quelle est l’équation la plus générale des lignes du second ordre, & on trouve que cette équation a $\scriptstyle 3+2+1$ termes ; on trouvera de même que l’équation la plus générale des lignes du troisieme ordre est $\scriptstyle y^{3}+axy^{2}+bxxy+cx^{3}+ey^{2}+fxy+gxx+hx+iy+l=0$, & qu’elle a $\scriptstyle 4+3+2+1$ termes, c’est-à-dire 10 ; en général, l’équation la plus composée de l’ordre n, aura un nombre de termes $\scriptstyle =(n+2)\times ({\frac {n+1}{2}})$, c’est-à-dire, à la somme d’une progression arithmétique, dont n + 1 est le premier terme & 1 le dernier. Voyez Progression arithmétique.

Il est clair qu’une droite ne peut jamais rencontrer une ligne du n^e ordre qu’en n points tout au plus ; car quelque transformation qu’on donne aux axes, l’ordonnée n’aura jamais que n valeurs réelles tout au plus, puisque l’équation ne peut être que du degré n. On peut voir dans l’ouvrage de M. Cramer, déja cité, plusieurs autres propositions, auxquelles nous renvoyons, sur le nombre des points, où les lignes de différens ordres ou du même ordre peuvent se couper. Nous dirons seulement que l’équation d’une courbe du degré n étant ordonnée, par exemple, par rapport à y, en sorte que $\scriptstyle y^{n}$ n’ait pour coefficient que l’unité, cette équation aura autant de coefficiens qu’il y a de termes, moins un, c’est-à-dire, $\scriptstyle {\frac {nn+3n}{2}}$. Donc si on donne un pareil nombre de points, la courbe du n^e ordre qui doit passer par ces points sera facilement déterminable ; car en prenant un axe quelconque à volonté, & menant des points donnés des ordonnées à cet axe, on aura $\scriptstyle {\frac {nn+3n}{2}}$ ordonnées connues, ainsi que les abscisses correspondantes, & par conséquent on pourra former autant d’équations, dont les inconnues seront les coefficiens de l’équation générale. Ces équations ne donneront jamais que des valeurs linéaires pour les coefficiens, qu’on pourra par conséquent trouver toûjours facilement.

Au reste il peut arriver que quelques-uns des coefficiens soient indéterminés, auquel cas on pourra faire passer plusieurs lignes du même ordre par les points donnés ; ou que les points donnés soient tels que la courbe n’y puisse passer, pour lors l’équation sera réductible en plusieurs autres rationnelles. Par exemple, qu’on propose de faire passer une section conique par cinq points donnés (car n étant = 2, $\scriptstyle {\frac {nn+3n}{2}}$ est = 5) : il est visible que si trois de ces points sont en ligne droite, la section n’y pourra passer ; car une section conique ne peut jamais être coupée qu’en deux points par une ligne droite, puisque son équation n’est jamais que de deux dimensions. Qu’arrivera-t-il donc ? l’équation sera réductible en deux du premier degré, qui représenteront non une section conique, mais le système de deux lignes droites, & ainsi des autres.

On peut remarquer aussi que si quelques coefficiens se trouvent infinis, l’équation se simplifie ; car les autres coefficiens sont nuls par rapport à ceux-là, & on doit par conséquent effacer les termes où se trouvent ces coefficiens nuls.

M. Newton a fait sur les courbes du second genre un traité intitulé, enumeratio linearum tertii ordinis. Les démonstrations des différentes propositions de ce traité se trouvent pour la plûpart dans les ouvrages de MM. Stirling & Maclaurin sur les courbes, & dans les autres ouvrages dont nous avons déjà parlé. Nous allons rapporter sommairement quelques-uns des principaux articles de l’ouvrage de M. Newton. Cet auteur remarque que les courbes du second genre & des genres plus élevés, ont des propriétés analogues à celles des courbes du premier genre : par exemple, les sections coniques ont des diametres & des axes ; les lignes que ces diametres coupent en deux parties égales sont appellées ordonnées ; & le point de la courbe où passe le diametre est nommé sommet ; de même si dans une courbe du second genre on tire deux lignes droites paralleles qui rencontrent la courbe en trois points, une ligne droite qui coupera ces paralleles, de maniere que la somme des deux parties comprises entre la sécante & la courbe d’un même côté, soit égale à l’autre partie comprise entre la sécante & la courbe, coupera, suivant la même loi, toutes les autres lignes qu’on pourra mener parallelement aux deux premieres, & qui seront terminées à la courbe, c’est-à-dire les coupera de maniere que la somme des deux parties d’un même côté sera égale à l’autre partie.

En effet, ayant ordonné l’équation de maniere que $\scriptstyle y^{3}$ sans coefficient soit au premier terme, le second terme sera $\scriptstyle y^{2}(a+bx)$, & ce second terme contiendra la somme des racines, c’est-à-dire des valeurs de y. Voyez Equation. Or par l’hypothese, il y a deux valeurs de x qui rendent ce second terme = 0, puisqu’il y a deux valeurs de x (hyp.) qui donnent la somme des ordonnées positives égale à la somme des négatives. Donc il y a deux valeurs de x, sçavoir A & B, qui donnent $\scriptstyle a+bA=0$, $\scriptstyle a+Bb=0$. Or cela ne peut-être, à moins qu’en général on n’ait $\scriptstyle a=0$, $\scriptstyle b=0$. Donc $\scriptstyle a+bx=$0, quelque valeur qu’on suppose à x. Donc le second terme manque dans l’équation. Donc la somme des ordonnées positives est par-tout égale à la somme des ordonnées négatives.

On peut étendre ce théoreme aux degrés plus élevés. Par exemple, dans le quatrieme ordre, le 2^d terme étant$\scriptstyle y^{3}(a+bx)$, c’est encore la même chose, & si deux valeurs de x donnent la somme des ordonnées nulle, toutes les autres valeurs la donneront.

Outre cela, comme dans les sections coniques non paraboliques, le quarré d’une ordonnée, c’est-à-dire le rectangle des ordonnées situées de deux différens côtés du diametre, est au rectangle des parties du diametre terminées aux sommets de l’ellipse ou de l’hyperbole, comme une ligne donnée appellée latus rectum ou parametre, est à la partie du diametre comprise entre les sommets, & appellée latus transversum ; de même dans les courbes du second genre non paraboliques, le parallelépipede sous trois ordonnées est au parallelépipede sous les trois parties du diametre terminées par les sommets & par la rencontre des ordonnées, dans un rapport constant.

Cela est fondé sur ce que le dernier terme de l’équation, savoir $\scriptstyle hx^{3}+lx^{2}+mx+n$, est le produit de toutes les racines ; que ce dernier terme est outre cela le produit de $\scriptstyle Ax+B$ par $\scriptstyle Dx+E$, & par $\scriptstyle Fx+G$, & que aux points où $\scriptstyle y=0$, c’est-à-dire où le diametre coupe la courbe, points que l’on appelle ici sommets, on a $\scriptstyle x=-{\frac {A}{B}}$, $\scriptstyle x=-{\frac {E}{D}}$, $\scriptstyle x=-{\frac {G}{F}}$ : avec ces propositions on trouvera facilement la démonstration dont il s’agit, ainsi que celle des théorèmes suivans, qui sont aussi tirés de M. Newton.

Comme dans la parabole conique qui n’a qu’un sommet sur un seul & même diametre, le rectangle des ordonnées est égal au produit de la partie du diametre comprise entre le sommet & l’ordonnée, par une ligne constante appellée latus rectum ; de même dans celles des courbes du second genre qui n’ont que deux sommets sur un même & unique diametre, le parallelépipede sous trois ordonnées est égal au parallelépipede sous les deux parties du diametre, comprise entre les sommets & la rencontre de l’ordonnée, & sous une troisieme ligne constante, que l’on peut par conséquent nommer latus rectum. Voyez Parabole.

De plus, dans les sections coniques, si deux lignes paralleles & terminées à la section, sont coupées par deux autres lignes paralleles & terminées à la section, la premiere par la troisieme & la seconde par la quatrieme, le rectangle des parties de la premiere est au rectangle des parties de la troisieme, comme le rectangle des parties de la seconde est au rectangle des parties de la quatrieme ; de même aussi, si on tire dans une courbe du second genre deux lignes paralleles, terminées à la courbe en trois points, & coupées par deux autres paralleles terminées à la même courbe, chacune en trois points, le parallelépipede des trois parties de la premiere ligne sera à celui des trois parties de la troisieme, comme le parallelépipede des trois parties de la seconde est à celui des trois parties de la quatrieme.

Enfin les branches infinies des courbes du premier & du second genre & des genres plus élevés, sont ou du genre hyperbolique ou du genre parabolique : une branche hyperbolique est celle qui a une asymptote, c’est-à-dire qui s’approche continuellement de quelque ligne droite ; une branche parabolique est celle qui n’a point d’asymptote. Voyez Asymptote & Branche.

Ces branches se peuvent distinguer encore mieux par leurs tangentes. En effet, si le point de contact d’une tangente est supposé infiniment éloigné, la tangente de ce point se confond avec l’asymptote dans une branche hyperbolique ; & dans une branche parabolique, elle s’éloigne à l’infini, & disparoît. On peut donc trouver l’asymptote d’une branche, en cherchant sa tangente à un point infiniment éloigné, & on trouve la direction de cette branche, en cherchant la position d’une ligne droite parallele à la tangente, lorsque le point de contact est infiniment éloigné ; car la direction de la branche infinie à son extrémité est parallele à celle de cette ligne droite.

Les lignes d’un ordre impair, par exemple du troisieme, du cinquieme, ont nécessairement quelques branches infinies ; car on peut toûjours par une transformation d’axes, s’il est nécessaire, préparer l’équation, ensorte que l’une au moins des coordonnées se trouve élevée à une puissance impaire dans l’équation ; elle aura donc toûjours au moins une valeur réelle, quelque valeur qu’on suppose à l’autre coordonnée. Donc, &c.

Nous avons dit plus haut que dans une ligne courbe d’un genre quelconque, on peut toûjours imaginer l’axe tellement placé, que la somme des ordonnées d’une part soit égale à la somme des ordonnées de l’autre. L’axe en ce cas s’appelle ordinairement diametre. Il est évident que toute courbe en a une infinité ; car ayant transformé les axes d’une maniere quelconque, on peut toûjours supposer cette transformation telle que le second terme de la transformée manque, & en ce cas l’un des axes sera diametre.

On appelle diametre absolu celui qui divise les ordonnées en deux également ; tels sont ceux des sections coniques.

M. de Bragelongne appelle contre-diametre un axe des abscisses, tel que les abscisses opposées égales ayent des ordonnées opposées égales ; c’est-à-dire, tel que x négative donne y négative, sans changer d’ailleurs de valeur.

Ceci nous conduit naturellement à parler des centres, dont nous avons déja dit un mot plus haut. Pour qu’une courbe ait un centre, il faut qu’en supposant l’origine placée dans ce centre, & prenant deux x opposées & égales, les y correspondantes soient aussi opposées & égales ; c’est-à-dire il faut que faisant x négative dans l’équation, on trouve pour y la même valeur, mais négative. L’équation doit donc être telle par rapport à x & à y, qu’en changeant les signes de x & de y, elle demeure absolument la même ; donc cette équation ne doit contenir que des puissances ou des dimensions impaires de x & de y, sans terme constant, ou des puissances & des dimensions paires de x & de y, avec ou sans terme constant. Car dans le premier cas, tous les signes changeront, en faisant x & y négatives, ce qui est la même chose que si aucun signe ne changeoit ; & dans le second cas aucun signe ne changera. Voulez-vous donc savoir si une courbe a un centre ? L’équation étant ordonnée par rapport à x & à y, imaginez que l’origine soit transportée dans ce centre, ensorte que l’on ait $\scriptstyle x+a=z,y+b=u$ ; & déterminez a & b à être telles, qu’il ne reste plus dans la transformée que des dimensions paires, ou des dimensions impaires sans terme constant ; si la courbe a un centre possible, vous trouverez pour a & b des valeurs réelles. Dans l’extrait du livre de M. l’abbé de Gua, journal des Savans, Mai 1740, extrait dont je suis l’auteur, on a remarqué que l’énoncé de la méthode de cet habile géometre pour déterminer les centres, étoit un peu trop générale.

Nous ne nous étendrons pas ici sur les manieres de déterminer les différentes branches des courbes ; nous renvoyerons sur ce sujet au livre de M. Cramer, qui a pour titre, introduction a l’analyse des lignes courbes. Nous dirons seulement ici que ce problème dépend de la connoissance des séries & de la regle du parallélogramme, dont nous parlerons en leur lieu. Voyez Parallelogramme, Série, &c.

Division des courbes en differens ordres. Nous avons vû à l’article Conique, comment l’équation générale des sections coniques ou lignes du second ordre donne trois courbes differentes. Voyez le troisieme vol. p. 878, col. 1^re ; nous remarquerons seulement ici, 1° qu’il faut $\scriptstyle -Duu$ au lieu de $\scriptstyle Duu$ ; c’est une faute d’impression : 2° que lorsque D est négatif, & par conséquent $\scriptstyle -Duu$ positif, alors l’équation primitive & générale $\scriptstyle yy+pxy+bxx+qy+cx+a=0$ est telle que la portion $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ a ses deux facteurs imaginaires, c’est-à-dire que cette portion $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ supposée égale à zéro, ne donneroit aucune racine réelle. On peut aisément s’en assûrer par le calcul ; car en ce cas on trouvera $\scriptstyle {\frac {pp}{4}}<b$ & la quantité A dans la transformée $\scriptstyle zz+Axx+Bx+C=0$ sera positive, & par consequent $\scriptstyle -D$ positive : 3° dans l’équation $\scriptstyle zz-Duu+Fu+G=0$, on peut réduire les trois termes $\scriptstyle -Duu+Fu+G$ à deux + $\scriptstyle Ktt+H$, lorsque D n’est pas = 0, par la même méthode qu’on employe pour faire évanouir le second terme d’une équation du second degré ; c’est-à-dire en faisant $\scriptstyle u-{\frac {F}{2D}}=t$, & alors l’équation sera $\scriptstyle zz+Ktt+H=0$ ; équation à l’ellipse, si K est positif ; & à l’hyperbole, si K est négatif : 4° si $\scriptstyle D=0$, en ce cas on fera $\scriptstyle Fu+G=kt$, & l’équation sera $\scriptstyle zz+kt=0$, qui est à la parabole : 5° dans le cas où $\scriptstyle D=o,yy+pxy+bxx$ a les deux facteurs égaux ; & dans le cas où D est positif, c’est-à-dire où $\scriptstyle -Duu$ est négatif, $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ a ses deux facteurs réels & inégaux, & l’équation appartient à l’hyperbole, car en ce cas $\scriptstyle {\frac {pp}{4}}>b$, & A est négative. Voyez sur cela, si vous le jugez à propos, le septieme livre des sections coniques de M. de l’Hopital, qui traite des lieux géométriques ; vous y verrez comment l’équation générale des sections coniques se transforme en équation à la parabole, à l’ellipse ou à l’hyperbole, suivant que $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ est un quarré, ou une quantité composée de facteurs imaginaires, ou de facteurs réels inégaux. Passons maintenant aux lignes du troisieme ordre ou courbes du second genre.

Réduction des courbes du second genre. M. Newton réduit toutes les courbes du second genre à quatre especes principales représentées par quatre équations. Dans la premiere, le rapport des ordonnées y aux abscisses x, est représenté par l’équation $\scriptstyle xyy+ey=ax^{3}+bxx+cx+d$ ; dans la seconde, l’équation a cette forme $\scriptstyle xy=ax^{3}+bxx+cx+d$ ; dans la troisieme, l’équation est $\scriptstyle yy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ : enfin la quatrieme a pour équation $\scriptstyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

Pour arriver à ces quatre équations, il faut d’abord prendre l’équation générale la plus composée des lignes du troisieme ordre, & l’écrire ainsi :

$\scriptstyle z^{3}+bz^{2}u+czu^{2}+cu^{3}$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\}$	$\scriptstyle =0$
$\scriptstyle z^{3}$ $\scriptstyle +fzz+gzu+huu$
$\scriptstyle z^{3}+bz^{2}u$ $\scriptstyle +iz+lu$
$\scriptstyle z^{3}+bz^{2}u+czu^{2}$ $\scriptstyle +m$

On remarquera que le plus haut rang $\scriptstyle z^{3}+bzu^{2}+cuz^{2}+cu^{3}$ étant du troisieme degré, il aura au moins un facteur réel ; les deux autres étant, ou égaux entr’eux & inégaux au premier facteur, ou reels & inégaux, tant entr’eux qu’avec le premier facteur, ou imaginaires, ou enfin égaux au premier. Soit $\scriptstyle z+Au$ ce facteur réel, & faisons d’abord abstraction du cas où les trois facteurs sont égaux ; soit supposé $\scriptstyle z+Au=t$, on aura une transformée qui contiendra t³, t², t, t u u, u t t, t u, u u & u, avec un terme constant ; or on fera d’abord disparoître le terme $\scriptstyle uu,$ en supposant $\scriptstyle t+F=s$ ; ensuite en faisant $\scriptstyle u=Ns+p+Q$ (les grandes lettres désignent ici des coefficiens), on fera disparoître les termes $\scriptstyle utt$ & $\scriptstyle ut$, & il ne restera plus que des termes qui représenteront la premiere équation $\scriptstyle xyy+ey=ax^{3}+bxx+cx+d=0$.

En second lieu, si les trois facteurs du plus haut rang sont égaux, on n’aura dans l’équation transformée, en faisant $\scriptstyle z+Au=t$, que les termes t³, t², t, u, t u, u u, & un terme constant. Or on peut faire disparoitre les termes $\scriptstyle tu$ & $\scriptstyle u$, en supposant $\scriptstyle u+Rt+K=s$, & l’on aura une équation de la forme $\scriptstyle yy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Troisieme forme de M. Newton. Nous remarquerons même que cette équation pourroit encore se simplifier ; car en supposant $\scriptstyle x=R+q$, on feroit évanoüir les termes $\scriptstyle bxx$ ou $\scriptstyle d$, & quelquefois le terme $\scriptstyle cx$.

3°. Si les trois facteurs du premier rang sont égaux, & que de plus un de ces facteurs soit aussi facteur du second rang $\scriptstyle fzz+gzu+huu$, alors la transformée aura des termes de cette forme t³, t, t u, t t, u, & un terme constant. Or faisant $\scriptstyle t+R=q$, on fera disparoître le terme $\scriptstyle u$, & on aura une équation de cette forme $\scriptstyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Seconde forme de M. Newton. Cependant on pourroit encore simplifier cette équation, & faire disparoître les deux termes $\scriptstyle bx^{2}+cx$, en supposant $\scriptstyle x=Qp$, & $\scriptstyle y=Np+Rz+M$.

4°. Enfin si les trois facteurs du premier rang étant égaux, ceux du second sont les mêmes, l’équation alors n’aura que des termes de cette forme t³, t t, u & t, avec un terme constant, & elle sera de la quatrieme forme de M. Newton, $\scriptstyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, de laquelle on peut encore faire disparoître les termes $\scriptstyle bx^{2}+cx+d$, en supposant $\scriptstyle x=p+R$, & $\scriptstyle y+Nx+Q=z$. En ce cas l’équation sera de la forme $\scriptstyle y=Ax^{3}$, & représentera la premiere parabole cubique. Voy. les usages de l’analyse de Descartes, par M. l’abbé de Gua, page 437 & suiv.

On voit par ce détail sur quoi est fondée la division générale des lignes du troisieme ordre qu’a donné M. Newton ; on voit de plus que les équations qu’il a données auroient pû encore recevoir toutes une forme plus simple, à l’exception de la premiere.

Enumération des courbes du second genre. L’auteur subdivise ensuite ces quatre especes principales en un grand nombre d’autres particulieres, à qui il donne différens noms.

Le premier cas qui est celui de $\scriptstyle xyy+ex=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$, est celui qui donne le plus grand nombre de subdivisions ; les trois subdivisions principales sont que les deux autres racines du plus haut rang soient ou réelles & inégales, ou imaginaires, ou réelles & égales ; & chacune de ces subdivisions en produit encore d’autres. Voyez l’ouvrage de M. l’abbé de Gua, page 440. & suiv.

Lorsqu’une hyperbole est toute entiere au-dedans de ses asymptotes comme l’hyperbole conique, M. Newton l’appelle hyperbole inscrite : lorsqu’elle coupe chacune de ses asymptotes, pour venir se placer extérieurement par rapport à chacune des parties coupées, il la nomme hyperbole circonscrite ; enfin lorsqu’une de ses branches est inscrite à son asymptote, & l’autre circonscrite à la sienne, il l’appelle hyperbole ambigene : celle dont les branches tendent du même côté, il la nomme hyperbole convergente : celle dont les branches ont des directions contraires, hyperbole divergente : celle dont les branches tournent leur convexité de différens côtés, hyperbole à branches contraires : celle qui a un sommet concave vers l’asymptote, & des branches divergentes, hyperbole conchoïdale : celle qui coupe son asymptote avec des points d’inflexion, & qui s’étend vers deux côtés opposés, hyperbole anguinée ou serpentante : celle qui coupe la branche conjuguée, cruciforme : celle qui retourne sur elle-même & se coupe, hyperbole à nœud : celle dont les deux parties concourent en un angle de contact & s’y terminent, hyperbole à pointe ou à rebroussement : celle dont la conjuguée est une ovale infiniment petite, c’est-à-dire un point, hyperbole pointée ou à point conjugué : celle qui par l’impossibilité de deux racines n’a ni ovale, ni point conjugué, ni point de rebroussement, hyperbole pure ; l’auteur se sert dans le même sens des dénominations de parabole convergente, divergente, cruciforme, &c. Lorsque le nombre des branches hyperboliques surpasse celui des branches de l’hyperbole conique, il appelle l’hyperbole redundante.

M. Newton compte jusqu’à soixante-douze especes inférieures de courbe du second genre : de ces courbes il y en a neuf qui sont des hyperboles redundantes sans diametre, dont les trois asymptotes forment un triangle. De ces hyperboles, la premiere en renferme trois, une inscrite, une circonscrite, & une ambigene, avec une ovale ; la seconde est à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme & la sixieme pures, la septieme & la huitieme cruciformes, la neuvieme anguinée.

Il y a de plus douze hyperboles redundantes qui n’ont qu’un diametre : la premiere a une ovale, la seconde est à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée ; la cinquieme, sixieme, septieme & huitieme, pures ; la neuvieme & la dixieme cruciformes, la onzieme & la douzieme conchoïdales. Il y a deux hyperboles redundantes qui ont trois diametres.

Il y a encore neuf hyperboles redundantes, dont les trois asymptotes convergent en un point commun : la premiere est formée de la cinquieme & de la sixieme hyperbole redundantes, dont les asymptotes renferment un triangle ; la seconde de la septieme & de la huitieme, la troisieme & la quatrieme de la neuvieme ; la cinquieme est formée de la huitieme & de la septieme des hyperboles redundantes, qui n’ont qu’un diametre ; la sixieme de la sixieme & de la septieme, la septieme de la huitieme & de la neuvieme, la huitieme de la dixieme & de la onzieme, la neuvieme de la douzieme & de la treizieme. Tous ces changemens se font en réduisant en un point le triangle compris par les asymptotes.

Il y a encore six hyperboles défectives sans diametre : la premiere a une ovale, la seconde est à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, &c.

Il y a sept hyperboles défectives qui ont des diametres : la premiere & la seconde sont conchoïdales avec une ovale, la troisieme est à nœud, la quatrieme à pointe : c’est la cissoïde des anciens ; la cinquieme & la sixieme sont pointées, la septieme pure.

Il y a sept hyperboles paraboliques qui ont des diametres : la premiere ovale, la seconde à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, la sixieme cruciforme, la septieme anguinée.

Il y a quatre hyperboles paraboliques, quatre hyperbolismes de l’hyperbole, trois hyperbolismes de l’ellipse, deux hyperbolismes de la parabole.

Outre le trident, il y a encore cinq paraboles divergentes : la premiere a une ovale, la seconde est à nœud, la troisieme pointée ; la quatrieme est à pointe (cette derniere est la parabole de Neil, appellée communément seconde parabole cubique) ; la cinquieme est pure. Enfin il y a une derniere courbe appellée communément premiere parabole cubique. Remarquons ici que M. Stirling a déjà fait voir que M. Newton dans son énumération avoit oublié quatre especes particulieres, ce qui fait monter le nombre des courbes du second genre jusqu’à soixante-seize, & que M. l’abbé de Gua y en a encore ajoûté deux autres, observant de plus que la division des lignes du troisieme ordre en especes pourroit être beaucoup plus nombreuse, si on assignoit à ces différentes especes des caracteres distinctifs, autres que ceux que M. Newton leur donne.

On peut voir dans l’ouvrage de M. Newton, & dans l’endroit cité du livre de M. l’abbé de Gua, ainsi que dans M. Stirling, les subdivisions détaillées des courbes du troisieme ordre, qu’il seroit trop long & inutile de donner dans un Dictionnaire. Mais nous ne pouvons nous dispenser de remarquer que les principes sur lesquels ces divisions sont fondées, sont assez arbitraires ; & qu’en suivant un autre plan, on pourroit former d’autres divisions des lignes du troisieme ordre. On pourroit, par exemple, comme MM. Euler & Cramer, distinguer d’abord quatre cas généraux : celui où le plus haut rang n’a qu’une racine réelle, celui où elles sont toutes trois réelles & inégales, celui où deux sont égales, celui où trois sont égales, & subdiviser ensuite ces cas. Cette division générale paroît d’autant plus juste & plus naturelle, qu’elle seroit parfaitement analogue à celle des lignes du second ordre ou sections coniques, dans laquelle on trouve l’ellipse pour le cas où le plus haut rang a ses deux racines imaginaires ; l’hyperbole, pour le cas où le plus haut rang a ses racines réelles & inégales, & la parabole pour le cas où elles sont égales. Au reste il faut encore remarquer que toutes les subdivisions de ces quatre cas, & même la division générale, auront toûjours de l’arbitraire. Cela se voit même dans la division des lignes du second ordre. Car on pourroit à la rigueur, par exemple, regarder la parabole comme une espece d’ellipse dont l’axe est infini (voy. Parabole), & ne faire que deux divisions pour les sections coniques ; & on pourroit même n’en faire qu’une, en regardant l’hyperbole comme une ellipse, telle que dans l’équation $\scriptstyle yy=aa-xx$, le quarré de l’abscisse xx ait le signe +. Il semble qu’en Géometrie comme en Physique, la division en genres & en especes ait toûjours nécessairement quelque chose d’arbitraire ; c’est que dans l’une & dans l’autre il n’y a réellement que des individus, & que les genres n’existent que par abstraction de l’esprit.

M. Cramer trouve quatorze genres de courbes dans le troisieme ordre, & M. Euler seize, ce qui prouve encore l’arbitraire des subdivisions.

On peut par une méthode semblable faire la division des courbes d’un genre supérieur. Voyez ce que M. Cramer a fait par rapport aux lignes du quatrieme ordre dans le chap. jx. de son ouvrage.

Pour rappeller à l’une des quatre formes de M. Newton une ligne quelconque du troisieme ordre, dont l’équation est donnée en z & en u, on transformera d’abord les axes de la maniere la plus générale, en supposant $\scriptstyle a=Az+Bu+C$, & $\scriptstyle y=Dz+Eu+F$  ; substituant ensuite ces valeurs, on déterminera les coefficiens A, B, &c. à être tels que l’équation en x & en y ait une des quatre formes susdites.

Points singuliers & multiples des courbes. On appelle point multiple d’une courbe celui qui est commun à plusieurs branches qui se coupent en ce point, & par opposition point simple celui qui n’appartient qu’à une branche. Il est visible qu’au point multiple l’ordonnée y a plusieurs valeurs égales répondantes à un même x. C’est-là une propriété du point multiple ; mais il ne faut pas croire que le point soit multiple, toutes les fois que l’ordonnée a plusieurs valeurs égales. Car, si une ordonnée touche la courbe, par exemple, il est aisé de voir que l’ordonnée a dans ce point deux valeurs égales, sans que le point soit double. Voyez Tangente. La propriété du point multiple, c’est que l’ordonnée y a plusieurs valeurs égales, quelque situation qu’on lui donne ; au lieu que dans le point simple l’ordonnée qui peut avoir plusieurs valeurs égales dans une certaine situation, n’en a plus qu’une dès que cette situation change, ce qui est évident par la seule inspection d’un point multiple & d’un point simple. Voyez Point.

De-là il s’ensuit que si on transporte l’origine en un point supposé multiple, en faisant $\scriptstyle z+A=x$, $\scriptstyle u+B=y$, il faut qu’en supposant z infiniment petit, on ait plusieurs valeurs nulles de u, quelque direction qu’on lui donne. Ainsi pour trouver les points multiples, il n’y a qu’après avoir transporté l’origine dans le point supposé, donner une direction quelconque à l’ordonnée, & voir si dans cette direction quelconque l’ordonnée aura plusieurs valeurs égales à zéro. Voyez M. l’abbé de Gua, p. 88. & M. Cramer, page 409.

On prouvera par ces principes, que les sections coniques ne peuvent avoir de points multiples, ce qu’on savoit d’ailleurs. On prouvera aussi que les courbes du troisieme ordre ne peuvent avoir de points triples, &c. Mais cette proposition se peut encore prouver d’une maniere plus simple en cette sorte. Imaginons que l’ordonnée soit tangente d’une des branches, elle rencontrera cette branche en deux points. Or si le point est un point double, par exemple, l’ordonnée rencontreroit donc la courbe en trois points, ce qui ne peut être dans une section conique ; car jamais une droite ne peut la rencontrer qu’en deux points, puisque son équation ne passe jamais le second degré ; & qu’ainsi quelque position qu’on donne à l’ordonnée, elle ne peut avoir jamais plus de deux valeurs. On prouvera de même qu’une courbe de second genre, ou ligne du troisieme ordre, ne peut avoir de point triple, parce que la courbe ne peut jamais être coupée qu’en trois points par une ligne droite.

À l’égard des points doubles des courbes, nous avons déjà remarqué que les courbes du second genre peuvent être coupées en trois points par une ligne droite. Or deux de ces points se confondent quelquefois, comme il arrive, par exemple, quand la ligne droite passe par une ovale infiniment petite ; ou par le point de concours de deux parties d’une courbe qui se rencontrent, & s’unissent en une pointe. Quelquefois les lignes droites ne coupent la courbe qu’en un point, comme il arrive aux ordonnées de la parabole de Descartes, & de la premiere parabole cubique ; en ce cas il faut concevoir que ces lignes droites passent par deux autres points de la courbe placés à une distance infinie ou imaginaire. Deux de ces intersections coïncidentes, faites à une distance infinie, ou même imaginaire, constituent une espece de point double.

On appelle points singuliers les points simples qui ont quelque propriété particuliere, comme les points conjugués, les points d’inflexion, les points de serpentement, &c. Voyez Point, Conjugué, Inflexion, Serpentement, &c. Voyez aussi Rebroussement, Nœud, &c. Sur les tangentes des courbes en général, & sur les tangentes des points multiples, voyez Tangente.

Description organique des courbes. 1^o. Si deux angles de grandeur donnée, P A D, P B D (Pl. de Géomet. fig. 53.) tournent autour de deux poles A & B, donnés de position, & que le point de concours P des côtés AP, BP, décrive une ligne droite, le point de concours D des deux autres côtés décrira une section conique qui passera par les poles A & B, à moins que la ligne ne vienne à passer par l’un ou l’autre des poles A & B, ou que les angles BAD & ABD ne s’évanoüissent à la fois, auquel cas le point de concours décrira une ligne droite.

2^o. Si le point de concours P des côtés AP, BP, décrit une section conique passant par l’un des poles A, le point de concours D des deux autres côtés AD, BD, décrira une courbe du second genre qui passera par l’autre pole B, & qui aura un point double dans le premier pole A, à moins que les angles B A D, A B D, ne s’évanoüissent à la fois, auquel cas le point D décrira une autre section conique qui passera par le pole A.

3^o. Si la section conique décrite par le point P ne passe, ni par A ni par B, le point D décrira une courbe du second ou du troisieme genre, qui aura un point double ; & ce point double se trouvera dans le concours des côtés décrivans AD, BD, quand les deux angles B A P, A B P, s’évanoüissent à la fois. La courbe décrite sera du second genre, quand les angles B A D, A B D, s’évanoüiront à la fois, sinon elle sera du troisieme genre, & aura deux points doubles en A & en B.

Les démonstrations de ces propositions, qu’il seroit trop long de donner ici, se trouveront dans l’ouvrage de M. Maclaurin, qui a pour titre, Geometria organica, où il donne des méthodes pour tracer des courbes géométriques par un mouvement continu. Voyez aussi le VIII. livre des sections coniques de M. de l’Hopital.

Génération des courbes du second genre par les ombres. Si les ombres des courbes de différens genres sont projettées sur un plan infini, éclairé par un point lumineux, les ombres des sections coniques seront des sections coniques ; celles des courbes du second genre seront des courbes du second genre ; celles des courbes du troisieme genre seront des courbes du troisieme genre, &c.

Et comme la projection du cercle engendre toutes les sections coniques, de même la projection des cinq paraboles divergentes engendre toutes les autres courbes du second genre ; & il peut y avoir de même dans chaque autre genre une suite de courbes simples, dont la projection sur un plan éclairé par un point lumineux, engendre toutes les autres courbes du même genre. MM. Nicole & Clairaut, dans les mémoires de l’acad. de 1731, ont démontré la propriété des cinq paraboles divergentes dont nous venons de parler ; propriété que M. Newton n’avoit fait qu’énoncer sans démonstration. Voyez aussi sur cette proposition l’ouvrage cité de M. l’abbé de Gua, page 198. & suiv. Voyez aussi Ombre.

Usage des courbes pour la construction des équations. L’usage principal des courbes dans la Géométrie, est de donner par leurs points d’intersection la solution des problèmes. Voyez Construction.

Supposons, par exemple, qu’on ait à construire une équation de neuf dimensions, comme $\scriptstyle x^{9}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}$$\scriptstyle +(m+f)x^{3}+gx^{2}+hx+k=0$, dans laquelle b, c, d, &c. signifient des quantités quelconques données, affectées des signes + ou - ; on prendra l’équation à la parabole cubique $\scriptstyle x^{3}=y$, & mettant $\scriptstyle y$ pour $\scriptstyle x^{3}$ dans la premiere équation, elle se changera en $\scriptstyle y^{3}+bxy^{2}+cy^{2}+dx^{2}y$$\scriptstyle +exy+my+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0$, équation à une autre courbe du second genre dans laquelle m ou f peuvent être supposés $\scriptstyle =0$. Si on décrit chacune de ces courbes, leurs points d’intersection donneront les racines de l’équation proposée. Il suffit de décrire une fois la parabole cubique. Si l’équation à construire se réduit à 7 dimensions par le manquement des termes $\scriptstyle hx$ & $\scriptstyle k$, l’autre courbe aura, en effaçant m, un point double à l’origine des abscisses, & pourra être décrite par différentes méthodes. Si l’équation est réduite à six dimensions par le manquement des trois termes $\scriptstyle gx^{2}+hx+k$, l’autre courbe, en effaçant f, deviendra une section conique ; & si par le manquement des six derniers termes l’équation est réduite à trois dimensions, on retombera dans la construction que Wallis en a donnée par le moyen d’une parabole cubique & d’une ligne droite. Voyez Construction, & l’ouvrage de M. Cramer, chap. jv.

Courbe polygone. On appelle ainsi une courbe considérée non comme rigoureusement courbe, mais comme un polygone d’une infinité de côtés. C’est ainsi que dans la géométrie de l’infini on considere les courbes ; ce qui ne signifie autre chose, rigoureusement parlant, sinon qu’une courbe est la limite des polygones, tant inscrits que circonscrits. Voyez Limite, Exhaustion, Infini, Différentiel, &c. & Polygone.

Il faut distinguer, quand on traite une courbe comme polygone ou comme rigoureuse ; cette attention est sur-tout nécessaire dans la théorie des forces centrales & centrifuges ; car quand on traite la courbe comme polvgone, l’effet de la force centrale, c’est-à-dite la petite ligne qu’elle fait parcourir, est égale à la base de l’angle extérieur de la courbe ; & quand on traite la courbe comme rigoureuse, l’effet de la force centrale est égale à la petite ligne, qui est la base de l’angle curviligne formé par la courbe & par sa tangente. Or il est aisé de voir que cette petite ligne n’est que la moitié de la premiere, parce que la tangente rigoureuse de la courbe divise en deux également l’angle extérieur que le petit côté prolongé fait avec le côté suivant. La premiere de ces lignes est égale au quarré du petit côté divisé par le rayon du cercle osculateur, voyez  ; la seconde au quarré du petit côté divisé par le diametre du même cercle. La premiere est censée parcourue d’un mouvement uniforme, la seconde d’un mouvement uniformément accéléré : dans la premiere, la force centrale est supposée n’agir que par une impulsion unique, mais grande ; dans la seconde, elle est supposée agir, comme la pesanteur, par une somme de petits corps égaux ; & ces deux suppositions reviennent à une même ; car l’on sait qu’un corps mû d’un mouvement accéléré parcourroit uniformément avec sa vîtesse finale le double de l’espace qu’il a parcouru d’un mouvement uniformément accéléré, pour acquérir cette vîtesse. Voyez les articles Acceleration, Central, & Descente. Voyez aussi l’hist. de l’acad. 1722. & mon traité de Dynamique, page 20. article 20. & page 30. article 26.

Rectification d’une courbe, est une opération qui consiste à trouver une ligne droite égale en longueur à cette courbe. Voyez Rectification.

Inflexion d’une courbe. Voyez Inflexion.

Quadrature d’une courbe, est une opération qui consiste à trouver l’aire ou l’espace renfermé par cette courbe, c’est-à-dire à assigner un quarré dont la surface soit égale à un espace curviligne. Voyez Quadrature.

Famille de courbes, est un assemblage de plusieurs courbes de différens genres, représentées toutes par la même équation d’un degré indéterminé, mais différent, selon la diversité du genre des courbes. Voyez Famille.

Par exemple, supposons qu’on ait l’équation d’un degré indéterminé $\scriptstyle a^{m}-1x=y^{m}$ : si $\scriptstyle m=2$, on aura $\scriptstyle ax=y^{2}$ ; si $\scriptstyle m=3$, on aura $\scriptstyle a^{2}x=y^{3}$ ; si $\scriptstyle m=4$, $\scriptstyle a^{3}x=y^{4}$. Toutes les courbes auxquelles ces équations appartiennent sont dites de la même famille par quelques géometres.

Les équations qui représentent des familles de courbes, ne doivent pas être confondues avec les équations exponentielles ; car quoique l’exposant soit indéterminé, par rapport à toute une famille de courbes, il est déterminé & constant par rapport à chacune des courbes qui la composent ; au lieu que dans les équations exponentielles l’exposant est variable & indeterminé pour une seule & même courbe. Voyez Exponentiel.

Toutes les courbes algébriques composent, pour ainsi dire, une certaine famille, qui se subdivise en une infinité d’autres, dont chacune contient une infinité de genres. En effet dans les équations par lesquelles les courbes sont déterminées, il n’entre que des produits, soit des puissances des abscisses & des ordonnées par des coefficiens constans, soit des puissances des abscisses par des puissances des ordonnées, soit de quantités constantes pures & simples, les unes par les autres. De plus chaque équation d’une courbe peut toûjours avoir zéro pour un de ses membres, par exemple, $\scriptstyle ax=y^{2}$ se change en $\scriptstyle ax-y^{2}=0$. Donc l’équation générale qui représentera toutes les courbes algébriques sera

$\scriptstyle ay^{m}+bxy^{m-1}+nx^{2}y^{m-2}...+fy^{m}$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	$\scriptstyle =0$
$\scriptstyle ay^{m}$ $\scriptstyle +fy^{m-1}+kxy^{m-2}$
$\scriptstyle ay^{m}+bxy^{m-1}$ =$\scriptstyle qy^{m-2}$

Nous devons remarquer ici que le P. Reyneau s’est trompé dans le second volume de son analyse démontrée, lorsque voulant déterminer les tangentes de toutes les courbes géométriques en général, il prend pour l’équation générale de toutes ces courbes $\scriptstyle y^{m}+bx^{n}y^{q}+cx^{q}=0$, équation qui n’a que trois termes. Il est visible que cette équation est insuffisante, & qu’on doit lui substituer celle que nous venons de donner.

Courbe caustique. Voyez Caustique.

Courbe diacaustique. Voyez Diacaustique.

Les meilleurs ouvrages dans lesquels on puisse s’instruire de la théorie des courbes, sont, 1° l’enumeratio linearum tertii ordinis de M. Newton, d’où une partie de cet article Courbe est tirée : 2° l’ouvrage de M. Stirling sur le même sujet, & Geometria organica de M. Maclaurin, dont nous avons parlé : 3° les usages de l’analyse de Descartes par M. l’abbé de Gua, déjà cités ; ouvrage original & plein d’excellentes choses, mais qu’il faut lire avec précaution (Voyez Branche & Rebroussement.) : 4° l’introduction à l’analyse des lignes courbes, par M. Cramer ; ouvrage très-complet, très-clair & très-instructif, & dans lequel on trouve d’ailleurs plusieurs méthodes nouvelles : 5° l’ouvrage de M. Euler, qui a pour titre, introductio in analys. infinitorum, Lausan. 1748.

Sur les propriétés, la génération, &c. des différentes courbes méchaniques particulieres ; par exemple, de la cycloïde, de la logarithmique, de la spirale, de la quadratrice, &c. Voy. les articles Cycloïde, Logarithmique, &c.

On peut voir aussi la derniere section de l’application de l’Algebre à la Géométrie, de M. Guisnée, où l’on trouvera quelques principes généraux sur les courbes méchaniques. Voyez aussi Mechanique & Transcendant.

On peut faire passer une courbe géométrique & réguliere, par tant de points qu’on voudra d’une courbe quelconque irréguliere, tracée sur le papier ; car ayant imaginé dans le plan de cette courbe une ligne droite quelconque, qu’on prendra pour la ligne des abscisses, & ayant abaissé des points donnés de la courbe irréguliere des perpendiculaires à la ligne des x, on nommera a la premiere ordonnée, & b l’abscisse qui lui répond ; c la seconde ordonnée, & e l’abscisse correspondante ; f la troisieme ordonnée, & g l’abscisse correspondante. Ensuite on supposera une courbe dont l’équation soit $\scriptstyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+$ &c. & faisant successivement y = a, x = b ; y = c, x = e ; y = f, x = g, &c. on déterminera les coefficiens A, B, C, &c. en tel nombre qu’on voudra ; & la courbe réguliere dont l’équation est $\scriptstyle y=A+Bx+Cx^{2}$, &c. passera par tous les points donnés. S’il y a n points donnés, il faudra supposer n coefficiens A, B, C, D, &c. On peut donc faire approcher aussi près qu’on voudra une courbe irréguliere d’une courbe réguliere ; mais jamais on ne parviendra à faire coïncider l’un avec l’autre ; & il ne faut pas s’imaginer qu’on puisse jamais, à la vûe simple, déterminer l’équation d’une courbe, comme l’a crû le géometre dont nous avons parlé au commencement de cet article.

Les courbes dont l’équation $\scriptstyle y=A+Bx+Cx^{2}$ &c. s’appellent courbes de genre parabolique. Voyez Parabolique. Elles servent à rendre une courbe quelconque irréguliere ou méchanique, le plus géométrique qu’il est possible. Elles servent aussi à l’équarrer par approximation. Voyez Quadrature. Au reste, il y a des courbes, par exemple, les courbes ovales ou rentrant en elles-mêmes, par lesquelles on ne peut jamais faire passer une courbe de genre parabolique ; parce que dans cette derniere courbe l’ordonnée n’a jamais qu’une valeur, & que dans les courbes ovales, elle en a toûjours au moins deux. Mais on pourroit, par exemple, rapporter ces courbes, lorsqu’elles ont un axe qui les divise en deux également, à l’équation $\scriptstyle y=A+Bx+Cx^{2}+$ &c. Voyez Méthode différentielle.

Courbe à double courbure. On appelle ainsi une courbe dont tous les points ne sauroient être supposés dans un même plan, & qui par conséquent est doublement courbe, & par elle-même, & par la surface sur laquelle on peut la supposer appliquée. On distingue par cette dénomination les courbes dont il s’agit, d’avec les courbes à simple courbure ou courbes ordinaires. M. Clairaut a donné un traité de ces courbes à double courbure ; c’est le premier ouvrage qu’il ait publié.

Une courbe quelconque a double courbure étant supposée tracée ; on peut projetter cette courbe sur deux plans différens perpendiculaires l’un à l’autre, & les projections seront deux courbes ordinaires qui auront un axe commun & des ordonnées différentes. L’équation d’une de ces courbes sera, par exemple, en x & en y, l’autre en x & en z. Ainsi l’équation d’une courbe à double courbure sera composée de deux équations à deux variables chacune, qui ont chacune une même variable commune. Il est à remarquer que quand on a l’équation en x & en y, & l’équation en x & en z, on peut avoir par les regles connues (Voyez Equation & Division) une autre équation en y & en z ; & ce sera l’équation d’une troisieme courbe, qui est la projection de la courbe à double courbure sur un troisieme plan perpendiculaire aux deux premiers.

On peut regarder, si l’on veut, une des courbes de projection, par exemple, celle qui a pour coordonnées x & y, comme l’axe curviligne de la courbe à double courbure. Si on veut avoir la tangente de cette derniere courbe en un point quelconque, on menera d’abord la tangente de la courbe de projection au point correspondant, c’est-à-dire au point qui est la projection de celui dont on demande la tangente ; & sur cette tangente prolongée autant qu’il sera nécessaire, on prendra une partie $\scriptstyle ={\frac {zds}{dz}}$ ds exprimant le petit arc de la courbe de projection : on a le rapport de ds à dx par l’équation de la courbe en x & en y (Voyez Tangente & Differentiel) ; on a celui de dx à dz par l’équation de la courbe en x & en z. Donc $\scriptstyle {\frac {zds}{dz}}$ pourra toûjours être exprimé par une quantité finie, d’où les différentielles disparoîtront. Une courbe à double courbure est algébrique, quand les deux courbes de projection le sont ; elle est méchanique, quand l’une des courbes de projection est méchanique, ou quand elles le sont toutes deux. Mais dans ce dernier cas on n’en trouvera pas moins les tangentes ; car par l’équation différentielle des courbes de projection, on aura toûjours la valeur de ds en dx & celle de dz en dx.

Surfaces courbes. Une surface courbe est représentée en Géométrie par une équation à trois variables, par exemple, x, y & z. En effet, si on prend une ligne quelconque au-dedans ou au-dehors de la surface courbe pour la ligne des x, & qu’on imagine à cette ligne une infinité de plans perpendiculaires qui coupent la surface courbe, ces plans formeront autant de courbes, dont l’équation sera en y & en z, & dont le parametre sera la distance variable x du plan coupant à l’origine des x. Ainsi, zz = xx − yy, est l’équation d’un cone droit & rectangle, dont l’axe est la ligne des x. M. Descartes est le premier qui ait déterminé les surfaces courbes par des équations à trois variables, comme les lignes courbes par des équations à deux.

Une surface courbe est géométrique, quand son équation est algébrique & exprimée en termes finis. Elle est méchanique, quand son équation est différentielle & non algébrique ; dans ce cas on peut représenter l’équation de la surface courbe par dz = αdx + αdy, α & β étant des fonctions de x, de y & de z. Il semble d’abord qu’on aura cette surface courbe, en menant à chaque point de la ligne des x un plan perpendiculaire à cette ligne, & en traçant ensuite sur ce plan la courbe dont l’équation est dz = βdy, x étant regardée comme un parametre constant, & dx étant supposée = 0. Cette construction donneroit à la vérité une surface courbe ; mais il faut que la surface courbe satisfasse encore à l’équation dz = adx, y étant regardé comme constant ; c’est-à-dire il faut que les sections de la surface courbe, par un plan parallele à la ligne des x, soient représentées par l’équation dz = adx. Or cela ne peut avoir lieu que lorsqu’il y a une certaine condition entre les quantités α & β ; condition que M. Fontaine, de l’académie des Sciences, a découvert le premier. On trouvera aussi dans les mémoires de l’académie de Petersbourg, tome III. des recherches sur la ligne la plus courte que l’on puisse tracer sur une surface courbe entre deux points donnés. Sur une surface plane, la ligne la plus courte est une ligne droite. Sur une surface sphérique, la ligne la plus courte est un arc de grand cercle passant par les deux points donnés. Et en effet il est aisé de voir, par les principes de la Géométrie ordinaire, que cet arc est plus petit que tout autre ayant la même corde ; car, à cordes égales, les plus petits arcs sont ceux qui ont un plus grand rayon. Voyez aussi les œuvres de Bernoulli, tome IV. page 108. La ligne dont il s’agit a cette propriété, que tout plan passant par trois points infiniment proches, ou deux côtés contigus de la courbe, doit être perpendiculaire au plan qui touche la courbe en cet endroit. En voici la preuve. Toute courbe qui passe par deux points infiniment proches d’une surface sphérique, & qu’on peut toûjours regarder comme un arc de cercle, est évidemment la ligne la plus courte, lorsqu’elle est un arc de grand cercle ; & cet arc de grand cercle est perpendiculaire au plan touchant, comme on peut le démontrer aisément par les élémens de Géométrie. Or toute portion de surface courbe infiniment petite peut être regardée comme une portion de surface sphérique, & toute partie de courbe infiniment petite comme un arc de cercle. Donc, &c. La perpendiculaire à la méridienne de la France tracée par M. Cassini, est une courbe à double courbure, & est la plus courte qu’on puisse tracer sur la surface de la terre regardée comme un sphéroïde applati. Voyez les mémoires de l’acad. de 1732 & 1733. Voilà tout ce que nous pouvons dire sur cette matiere, dans un ouvrage de l’espece de celui-ci.

Des courbes méchaniques, & de leur usage pour la construction d s équations différentielles Nous avons expliqué plus haut ce que c’est que ces courbes. Il ne s’agit que d’expliquer ici comment on les construit, ou en général comment on construit une équation différentielle. Soit, par exemple, $\scriptstyle dy={\frac {adx}{\sqrt {2ax-xx}}}$ une équation à construire, on aura $\scriptstyle dy=\int {\frac {adx}{\sqrt {2ax-xx}}}+C$, C étant une constante qu’on ajoûte, parce que $\scriptstyle dy=\int {\frac {adx}{\sqrt {2ax-xx}}}$ est supposée = 0 lorsque x = c, & qu’on suppose que x = 0 rend y = C. Voyez Constante. On construira d’abord une courbe géométrique dont les ordonnées soient $\scriptstyle {\frac {aa}{\sqrt {2ax-xx}}}$ les abscisses étant x, l’aire de cette courbe (Voyez Quadrature. ) sera $\scriptstyle \int {\frac {aadx}{\sqrt {2ax-xx}}}$ ainsi en supposant cette courbe quarrable, si on fait un quarré $\scriptstyle zz=\int {\frac {aadx}{\sqrt {2ax-xx}}}$, on aura $\scriptstyle y={\frac {zz}{a}}+C$ & on construira la courbe dont l’ordonnée est y.

Cette méthode suppose, comme on voit, que les indéterminées soient séparées dans l’équation différentielle (Voyez Calcul intégral) ; elle suppose de plus les quadratures, sans cela elle ne pourroit réussir.

Soit en général Xdx = Y d y, X étant une fonction de x (Voyez Fonction), & Y une fonction de y. On construira d’abord par la méthode précédente une courbe dont les abscisses soient x, & dont les ordonnées z soient $\scriptstyle =\int {Xdx}$ divisé par une constante convenable, c’est-à-dire par une constante m qui ait autant de dimensions qu’il y en a dans X ; ensorte que $\scriptstyle \int {\frac {Xdx}{m}}$ soit d’une dimension, pour pouvoir être égale à une ligne z. Ensuite on construira de même une courbe dont les abscisses soient y, & dont les ordonnées u soient = $\scriptstyle \int {\frac {Ydy}{m}}$ ; prenant ensuite u dans la derniere courbe = z dans l’autre, on aura l’x & l’y correspondantes ; & ces x & y joints à angles droits, si les coordonnées doivent faire un angle droit, donneront la courbe qu’on cherche.

Voyez dans la derniere section de l’application de l’Algebre à la géométrie de M. Guisnée, & dans l’analyse des infiniment petits de M. de l’Hopital, plusieurs exemples de construction des équations différentielles par des courbes méchaniques. (O)

Courbe des arcs, voyez Trochoïde.

Courbe des sinus, voyez Sinus.

Courbes, s. f. (Mar.) Ce sont des pieces de bois beaucoup plus fortes & plus grosses que les courbatons, dont elles ont la figure : leur usage est de lier les membres des côtés du vaisseau aux baux, & de gros membres à d’autres. Voyez Courbatons.

Sur chaque bout des baux on met une courbe ou courbaton, pour le soûtenir & lier le vaisseau. Pour former une courbe on prend ordinairement un pié d’arbre, au haut duquel il y a deux branches qui fourchent, & l’on coupe ce pié en deux, y laissant une branche fourchue de chaque côté. Aux grands gabarits & sous toute l’embelle, où le vaisseau a le plus à souffrir, on ne peut mettre les courbes trop fortes ; mais comme de si grosses pieces de bois diminuent l’espace pour l’arimage, on fait quelquefois des courbes de fer de trois à quatre pouces de large, & d’un quart de pouce d’épais, qu’on applique sur les côtés des courbes qui sont les plus foibles, & la branche supérieure s’applique aux baux avec des clous & des chevilles de fer. Voy. Marine, Pl. V. fig. 1. n°. 121. les courbes de fer du second pont, & Pl. IV. fig. 1. même n°. 12. & celles du premier pont, mêmes Planches, n°. 70.

A l’égard des courbes ou courbatons qui se posent en-travers dans les angles de l’avant & de l’arriere du vaisseau, on leur laisse toûjours toute la grosseur que le bois peut fournir, & l’on tâche d’en avoir d’un pié d’arbre entier où il n’y ait qu’une fourche, & qui n’ait point été scié, parce que celles qui sont sciées sont bien plus foibles ; & pour le mieux on tâche que les courbes qui se posent en travers, ayent à l’endroit de bas des serrebauquieres, autant d’épaisseur que le bau auquel elles sont jointes.

Courbes d’arcasse, ce sont des pieces de liaison assemblées dans chacun des angles de la poupe, d’un bout contre la lisse de hourdi, & de l’autre contre les membres du vaisseau. Voyez leur figure, Marine, Pl. VI. n°. 69.

Courbe de contre-arcasse ou contre-lisses ; ce sont des pieces de bois posées en fond de cale, arcboutées par en-haut contre l’arcasse, & attachées du bout d’en-bas sur les membres du vaisseau.

Courbe d’étambord, c’est une piece de bois courbe, qui pose sur la quille du vaisseau d’un côté, & de l’autre contre l’étambord. Voyez Marine, Pl. IV. fig. 1. n°. 8.

Courbes du premier pont, doivent avoir les deux tiers de l’épaisseur de l’étrave. Voy. leur fig. Marine, Pl. VI. n°. 68.

Courbe de la poulaine, c’est une piece de bois située entre la gorgere ou taille-mer, l’étrave & l’aiguille de l’éperon. Voyez Pl. IV. fig. 1. cette courbe cottée 194. la gorgere, cottée 193. l’étrave, n°. 3. & l’aiguille de l’éperon, 184. (Z)

Courbe, se dit en Charpenterie & Menuiserie, de toute piece de bois ceintrée.

Courbe d’escalier, (Charpent.) c’est celle qui forme le quartier tournant, autrement dit le noyant recreusé. Voyez Pl. I. fig. 2. du Charpentier.

Courbes rallongées, sont celles dont les parties ceintrées ont différens points de centres.

Courbe, (Maréchallerie.) Les Maréchaux appellent ainsi une tumeur dure & calleuse qui vient en longueur au-dedans du jarret du cheval ; c’est-à-dire à la partie du jarret opposée à l’une des jambes, de côté. (V)

Courbe, se dit dans l’écriture, des rondeurs supérieures & inférieures des lettres o, c, d, &c.

Courbe, terme de Riviere, piece de bois arrondie, placée des deux côtés d’un bateau foncet, tant derriere que devant, sur lesquelles on ferme les cordes du bateau : il y en a quatre dans un bateau. Voyez Foncet. Dans le pays d’amont on l’appelle la courbe bouletant.

On appelle encore sur les rivieres courbes de chevaux, deux chevaux accouplés qui tirent les bateaux avec une corde pour les remonter. Il faut quelquefois jusqu’à douze courbes de chevaux, que l’on nomme rhum.