L’Encyclopédie/1re édition/LINÉAIRE

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1765 (Tome 9, p. 554).

LINÉAIRE, adj. (Mathémat.) Un problème linéaire est celui qui n’admet qu’une solution, ou qui ne peut être résolu que d’une seule façon. Voyez Problème, & Déterminé.

On peut définir plus exactement encore le problème linéaire, celui qui est résolu par une équation qui ne monte qu’au premier degré ; comme si l’on demande de trouver une quantité x qui soit égale à $\scriptstyle a+b$, on aura l’équation linéaire ou du premier degré, $\scriptstyle x=a+b$, & le probleme linéaire. Comme toutes les équations qui ne montent qu’au premier degré n’ont qu’une solution, & que toutes les autres en ont plusieurs, on voit que cette seconde définition revient assez à la premiere. Il faut cependant y mettre cette restriction, qu’un problème linéaire n’a véritablement qu’une solution possible ou imaginaire ; au lieu qu’il y a des problèmes qui n’ont réellement qu’une solution possible, quoiqu’elles en ayent plusieurs imaginaires ; ce qui arrive si l’équation qui donne la solution du problème est d’un degré plus élevé que l’unité, & qu’elle n’ait qu’une racine réelle & les autres imaginaires. Voyez Equation & Racine. Par exemple, cette équation $\scriptstyle x^{3}=a^{3}$, n’a qu’une solution possible, savoir x = a, mais elle en a deux imaginaires, savoir $\scriptstyle -{\frac {4}{2}}^{p}m{\sqrt {\frac {-3aa}{4}}}$ Ainsi le problème n’est pas proprement linéaire. Equation linéaire est celle dans laquelle l’inconnue n’est élevée qu’au premier degré. Voyez Dimension.

Les quantités linéraires sont celles qui n’ont qu’une dimension : on les appelle linéraires par les rapports qu’elles ont aux simples lignes, & pour les distinguer des quantités de plusieurs dimensions qui représentent des surfaces ou des solides. Ainsi a est une quantité linéraire, au lieu que le produit ab est une quantité de deux dimensions qui représente le produit de deux lignes ab, c’est-à-dire un parallélogramme dont a seroit la hauteur & b la base. Cependant l’expression ab est quelquefois linéraire, par exemple quand elle désigne une quatrieme proportionnelle aux trois quantités 1, a, b ; car l’on a en ce cas 1, $\scriptstyle a{\text{ :: }}b$, $\scriptstyle {\frac {ab}{1}}=ab$ ; ainsi ab exprime alors une simple ligne, ce qu’il faut bien observer, le dénominateur 1 étant sous entendu. Voyez Division & Multiplication. (O)