L’Encyclopédie/1re édition/EQUATION

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EQUATION, s. f. en Algebre, signifie une expression de la même quantité présentée sous deux dénominations différentes. Voyez Egalité.

Ainsi quand on dit  ; cela veut dire qu’il y a équation entre deux fois trois & quatre plus deux.

On peut définir l’équation un rapport d’égalité entre deux quantités de différente dénomination, comme quand on dit 60 sous=3 liv. ou 20 sous=1 liv. ou , ou , &c.

Ainsi mettre des quantités en équation, c’est représenter par une double expression des quantités réellement égales & identiques.

Le caractere ou le signe d’équation est = ou ∝ ; ce dernier est plus fréquent dans les anciens algébristes, & l’autre dans les modernes. Voyez Caractere.

La résolution des problèmes par le moyen de leurs équations, est l’objet de l’Algebre. Voyez Algebre.

Membres d’une équation, ce sont les deux quantités qui sont séparées par le signe = ou ∝ ; & termes d’une équation, ce sont les différentes quantités ou parties, dont chaque membre de l’équation est composé, & qui sont jointes entr’elles par les signes + & -. Ainsi dans l’équation est un membre, & d l’autre ; & b, c, d, sont les termes ; & l’équation signifie que la seule quantité d est égale aux deux b & c prises ensemble. Voyez Terme, Membre.

Racine d’une équation, est la valeur de la quantité inconnue de l’équation. Ainsi dans l’équation , la racine est . Voyez Racine.

Les équations, eu égard à la puissance plus ou moins grande à laquelle l’inconnue y monte, se divisent en équations simples, quarrées, cubiques, &c.

Equation simple ou du premier degré, est celle dans laquelle l’inconnue ne monte qu’à la premiere puissance ou au premier degré, comme .

Equation quarrée ou du second degré, est celle où la plus haute puissance de l’inconnue est de deux dimensions, comme ou . Voyez Quarré & Degré.

Equation cubique ou du troisieme degré, est celle où la plus haute puissance de l’inconnue est de trois dimensions, comme ou . Voyez Cubique.

Si la quantité inconnue est de quatre dimensions, comme ou , l’équation est appellée biquadratique ou quarrée quarrée, ou plus communément du quatrieme degré ; si l’inconnue a cinq dimensions, l’équation est nommée sur-de-solide ou du cinquieme degré, &c. V. Puissance.

On peut considérer les équations sous deux points de vûe, ou comme les dernieres conclusions auxquelles on arrive dans la solution des problemes, ou comme les moyens par lesquels on parvient à la solution finale. Voyez Solution & Problème.

Lés équations de la premiere espece ne renferment qu’une quantité inconnue mêlée avec d’autres quantités données ou connues ; celles de la seconde espece renferment différentes quantités inconnues qui doivent être comparées & combinées ensemble, jusqu’à ce que l’on arrive à une nouvelle équation qui ne renferme plus qu’une inconnue mêlée avec des connues.

Pour trouver la valeur de cette inconnue, on prépare & on transforme l’équation de différentes manieres, qui servent à l’abaisser au moindre degré, & à la rendre la plus simple qu’il est possible.

La théorie & la pratique des équations, c’est-à dire la solution des questions par les équations, a plusieurs branches ou parties. 1°. La dénomination qu’on doit donner aux différentes quantités en les exprimant par les signes ou symboles convenables. 2°. La réduction du problème en équation. 3°. La réduction de l’équation même au degré le plus bas & à la forme la plus simple. 4°. On y peut ajoûter la solution de l’équation ou la représentation de ses racines par des nombres ou des lignes. Nous allons donner d’abord les regles particulieres aux deux premiers articles, c’est-à-dire en général la méthode de mettre en équation une question proposée.

Une question ou un probleme étant proposé, on suppose que les choses cherchées ou demandées sont déjà trouvées, & on les marque ordinairement par les dernieres lettres x, y, z, &c. de l’alphabet, marquant en même tems les quantités connues par les premieres lettres de l’alphabet, comme b, c, d, &c. Voyez Quantité, Caractere, &c.

Toutes les quantités qui doivent entrer dans la question, étant ainsi nommées, on examine si la question est sujette à restriction, ou non, c’est-à-dire si elle est déterminée ou indéterminée. Voici les regles par lesquelles on peut le savoir.

1°. S’il y a plus de quantités inconnues qu’il n’y a d’équations données ou renfermées dans la question, le problème est indéterminé, & peut avoir une infinité de solutions. Quand les équations ne sont pas expressément contenues dans le problème, on les trouve par le moyen des théorèmes sur l’égalité des grandeurs. Voyez Egal.

2°. Si les équations données ou renfermées dans le problème sont précisément en même nombre que les quantités inconnues, le problème est déterminé, c’est-à-dire n’admet qu’un nombre de solutions limité.

3°. S’il y a moins d’inconnues que d’équations, le problème est plus que déterminé, & on découvre quelquefois qu’il est impossible par les contradictions qui se trouvent dans les équations. Voyez Déterminé.

Maintenant, pour mettre une question en équation, c’est-à-dire pour la réduire en différentes équations médiates par le moyen desquelles on puisse parvenir à une équation finale, la principale chose à laquelle on doit faire attention, c’est d’exprimer toutes les conditions de la question par autant d’équations. Pour y parvenir, il faut examiner si les propositions ou mots dans lesquels la question est exprimée, peuvent être rendus par des termes algébriques, comme nous rendons nos idées ordinaires en caracteres grecs, latins ou françois, &c. Si cela est ainsi, comme il arrive généralement ; dans toutes les questions que l’on fait sur les nombres ou sur les quantités abstraites, en ce cas il faut donner des noms aux quantités inconnues & connues, autant que la question le demande, & traduire ainsi en langage algébrique le sens de la question. Ces conditions ainsi traduites donneront autant d’équations que le problème peut en fournir. On a déjà donné au mot Arithmétique universelle un exemple de cette traduction d’une question en langage algébrique.

Donnons encore un autre exemple. Un marchand augmente tous les ans son bien d’un tiers, en ôtant 100 liv. qu’il dépense par an dans sa famille, au bout de trois ans il trouve son bien doublé. On demande combien ce marchand avoit de bien au commencement de ces trois ans. Pour résoudre cette question, il faut bien prendre garde aux différentes propositions qu’elle renferme, & qui fourniront les équations suivantes.

En langage ordinaire un marchand a un bien dont il dépense la premiere année 100 liv.
Algébriquement



Et augmente le reste d’un tiers ou
La seconde année il dépense 100 liv. ou
Et augmente le reste d’un tiers ou
La troisieme année il dépense 100 liv. ou
Et augmente le reste d’un tiers ou
Et au bout des trois ans il est deux fois plus riche qu’il n’étoit.

La question se réduit donc à résoudre cette équation , par le moyen de laquelle on trouvera la valeur de x de la maniere suivante.

On multipliera l’équation par 27, & on aura  ; on ôtera de part & d’autre , & on aura , ou  ; divisant par 10, il viendra . Ainsi ce marchand avoit 1480 liv. de bien.

Il résulte de ce que nous venons de dire, que pour résoudre les questions qu’on propose sur les nombres ou sur les quantités abstraites, il ne faut presque que les traduire du langage ordinaire en langage algébrique, c’est-à-dire en caracteres propres à exprimer nos idées sur les rapports des quantités. Il est vrai qu’il peut arriver quelquefois que le discours dans lequel l’équation est proposée, ne puisse être rendu algebriquement ; mais en y faisant quelques petits changemens, & ayant principalement égard au sens, plûtôt qu’aux mots, la traduction deviendra assez facile ; la difficulté qui peut se rencontrer dans cette traduction vient uniquement de la différence des idiomes, comme dans les traductions ordinaires. Cependant pour faciliter la solution de ces sortes de problemes, nous allons en donner un exemple ou deux.

1°. Etant donné la somme de deux nombres a, & la différence de leurs quarrés b, trouver les nombres ; supposons que le plus petit de ces nombres soit x, l’autre sera , & les quarrés seront xx, & , dont la différence est , qui doit être égale à b ; donc  ; donc & .

Supposons, par exemple, que la somme des nombres ou la quantité a soit = 8, & que la différence des quarrés soit 16, alors ou sera , & on aura  ; donc les nombres cherchés sont 3 & 5. Voyez Diophante.

2°. Trouver trois quantités x, y, z, dont on connoisse la somme, étant prises deux à deux. Supposons que la somme de x & de y soit a, que celle de x & de z soit b, & que celle de y & de z soit c, on aura les trois équations , ,  ; pour chasser maintenant deux des trois quantités x, y, z, par exemple, z & y, on aura par la premiere & par la seconde équation &  ; on substituera dans la troisieme équation ces valeurs au lieu de y & de z, & l’on aura , &  ; x étant trouvée, on aura y & z par le moyen des équations & .

Par exemple, si la somme de x & de y est 9, celle de x & de z, 10, & celle de y & de z, 13 ; dans les valeurs de x, y & z, on écrira 9 pour a, 10 pour b, & 13 pour c, & on aura , par conséquent x ou  ; y ou & z ou .

3°. Diviser une quantité donnée en un nombre quelconque de parties, telles que les différences des plus grandes sur les plus petites, soient égales à des quantités données. Supposons que a soit une quantité que l’on propose de diviser en quatre parties, telles que la premiere & la plus petite soit x ; que l’excès de la seconde sur la premiere soit b, celui de la troisieme soit c, & celui de la quatrieme d, sera la seconde partie, la troisieme, la quatrieme ; & la somme de toutes ces parties sera égale à a. Retranchant de part & d’autre, on aura & .

Imaginons, par exemple, qu’on propose de diviser une ligne de vingt piés en quatre parties, de maniere que l’excès de la seconde partie sur la premiere soit de 2 piés, celui de la troisieme de 3 piés, & celui de la quatrieme de 7 piés, on aura x ou , , , & . On peut se servir de la même méthode pour diviser une quantité donnée en un nombre quelconque de parties avec des conditions pareilles.

4°. Une personne voulant distribuer trois sous à un certain nombre de pauvres, trouve qu’il lui manque huit sous ; ainsi elle ne leur donne à chacun que deux sous, & elle a trois sous de reste. On demande combien cette personne avoit d’argent, & combien il y avoit de pauvres ? Soit x le nombre des pauvres ; & comme il s’en faut huit sous qu’ils ne puissent avoir trois sous chacun, l’argent est donc , dont il faut ôter 2x, & il doit rester 3 ; donc ou .

5°. Le pouvoir ou l’intensité d’un agent étant donnés, déterminer combien il faut d’agens semblables pour produire un effet donné a dans un tems donné b. Supposons que l’agent puisse produire dans le tems d l’effet c, on dira comme le tems d est au tems b, ainsi l’effet c que l’agent peut produire dans le tems d, est à l’effet qu’il peut produire dans le tems b, qui sera par conséquent . Ensuite on dira, comme l’effet est à l’effet a, ainsi un des agens est à tous les agens ; donc le nombre des agens sera Regle de trois.

Par exemple, si un clerc ou secrétaire transcrit quinze feuilles en huit jours de tems, on demande combien il faudra de clercs pour transcrire 405 feuilles en neuf jours ? Rép. 24. Car si on substitue 8 pour d, 15 pour c, 405 pour a, & 9 pour b, le nombre deviendra , c’est-à-dire ou 24.

6°. Les puissances de différens agens étant données, déterminer le tems x dans lequel ils produiroient un effet donné d, étant jointes ensemble. Supposons que les puissances des agens A, B, C, soient telles que dans les tems e, f, g, ils produisent les effets a, b, c, ces agens dans le tems x produiront les effets , , , on aura donc , & .

Imaginons, par exemple, que trois ouvriers finissent un certain ouvrage en différens tems. Par exemple, A une fois en trois semaines, B trois fois en huit semaines, & c cinq fois en douze semaines, on demande combien il leur faudra de tems pour finir le même ouvrage, en y travaillant tous ensemble ; les puissances des agens sont telles que dans les tems 3, 8, 12, ils produisent les effets 1, 3, 5, & on veut savoir en combien de tems ils produiroient l’effet 1, étant réunis. Au lieu de a, b, c, d, e, f, g, on écrira 1, 3, 5, 1, 3, 8, 12, & il viendra ou de semaine, c’est-à-dire six jours cinq heures & d’heure pour le tems qu’ils mettroient à finir l’ouvrage proposé.

7°. Etant données les pesanteurs spécifiques de plusieurs choses mêlées ensemble, & la pesanteur spécifique de leur mélange, trouver la proportion des ingrédiens dont le mélange est composé. Supposons que e soit la gravité spécifique du mélange A+B, a celle de A, & b celle de B ; comme la gravité absolue ou le poids d’un corps est en raison composée de son volume & de sa pesanteur spécifique (voy. Densité) aA sera le poids de a, & bB celui de B, & sera  ; donc , & .

Supposons, par exemple, que la pesanteur spécifique de l’or soit 19, celle de l’argent 10 , & celle d’une couronne composée d’or & d’argent 17, on aura  ; ce sera le rapport du volume de l’or de la couronne au volume de l’argent : &  ; ce sera le rapport du poids de l’or de la couronne au poids de l’argent : enfin 221 :31, comme le poids de la couronne est au poids de l’argent. Voyez Alliage.

Pour réduire en équations les problèmes géométriques, on remarquera d’abord que les questions géométriques ou celles qui ont pour objet la quantité continue, se mettent en équations de la même maniere que les questions arithmétiques. Ainsi la premiere regle que nous devons donner ici, est de suivre pour ces sortes de problèmes les mêmes regles que pour les problèmes numériques.

Supposons, par exemple, qu’on demande de couper une ligne droite AB (Planche d’Algeb. fig. 6.) en moyenne & extrème raison en C ; c’est-à-dire de trouver un point C, tel que BE quarré de la plus grande partie soit égal au rectangle BD fait de la ligne entiere & de sa plus petite partie.

Supposant & , on aura , & par  ; équation du second degré, qui étant résolue, comme on l’enseignera plus bas, donnera .

Mais il est rare que les problèmes géométriques se réduisent si facilement en équations ; leur solution dépend presque toûjours de différentes positions & relations de lignes : de sorte qu’il faut souvent un art particulier & de certaines regles pour traduire ces questions en langage algébrique. Il est vrai que ces regles sont fort difficiles à donner ; le génie est la meilleure & la plus sûre qu’on ait à suivre dans ces cas-là.

On peut cependant en donner quelques-unes, mais fort générales, pour aider ceux qui ne sont pas versés dans ces opérations : celles que nous allons donner sont principalement tirées de M. Newton.

Observons donc, 1°. que les problemes concernant les lignes qui doivent avoir un certain rapport les unes aux autres, peuvent être différemment envisagés, en supposant telles ou telles choses connues & données, & telles ou telles autres inconnues ; cependant quelles que soient les quantités que l’on prend pour connues & celles qu’on prend pour inconnues, les équations que l’on aura seront les mêmes quant au fond, & ne différeront entr’elles que par les noms qui serviront à distinguer les grandeurs connues d’avec les inconnues.

Supposons, par exemple, qu’on propose de comparer les côtés BC, BD, & la base CD (figure 7. d’Algebre) d’un triangle isoscele inscrit dans un cercle, avec le diametre de ce même cercle. On peut se proposer la question, ou en regardant le diametre comme donné, avec les côtés, & cherchant ensuite la base, ou en cherchant le diametre par le moyen de la base & des côtés supposés donnés, ou enfin en cherchant les côtés par le moyen de la base & du diametre. Or sous quelque forme qu’on se propose ce problème, les équations qui serviront à le résoudre auront toûjours la même forme.

Ainsi, supposons que l’on cherche le diametre, on nommera AB, x, CD, a, & BC ou BD, b ; ensuite tirant AC, on remarquera que les triangles ABC & CBE sont semblables, & qu’ainsi AB:BC∷BC:BE, ou x:b∷b:BE ; donc & ou  ; & comme l’angle CEB est un angle droit, , c’est-à-dire . Cette équation étant résolue donnera le diametre cherché x. Si c’est la base qu’on demande, on fera AB=c, CD=x, & BC ou BD=b ; ensuite on tirera AC, & les triangles semblables ABC & CBE donneront AB:BC∷BC:BE, ou c b∷b:BE.

Donc & ou  ; & comme l’angle CBE est droit, on aura  ; donc . D’où l’on tirera la valeur de la base cherchée x.

Enfin si les côtés BC & BD sont supposés inconnus, on fera AB=c, CO=a, & BC ou BD=x, on tirera ensuite AC ; & à cause des triangles semblables ABC & CBE, on aura AB:BC∷BC:BE ou c:x∷x:BE ; donc , ou , & l’angle droit CBE donnera , c’est-à-dire  ; équation qui étant résolue donnera la valeur x d’un des côtés cherchés.

On voit par-là que le calcul pour arriver à l’équation, & l’équation elle-même, sont semblables dans tous les cas, excepté que les mêmes lignes y sont désignées par des lettres différentes selon les données & les inconnues que l’on suppose. Il est vrai que la différence des données fait que la résolution des équations est différente ; mais elle ne produit point de changement dans l’équation même. Ainsi on n’est point absolument obligé de prendre telle ou telle quantité pour inconnue ; mais on est le maître de choisir pour données & pour inconnues les quantités qu’on croit les plus propres à faciliter la solution de la question.

3°. Un problème étant donc proposé, il faut commencer par comparer entr’elles les quantités qu’il renferme, & sans faire aucune distinction entre les connues & les inconnues, examiner le rapport qu’elles ont ensemble, afin de connoître quelles sont celles d’entr’elles qui peuvent faire trouver plus facilement les autres. Dans cet examen il n’est pas nécessaire de s’assûrer par un calcul algébrique exprès, que telles ou telles quantités peuvent être déduites de telles ou telles autres ; il suffit de remarquer en général qu’on peut les en tirer par le moyen de quelque connexion directe qui est entr’elles.

Par exemple, si on donne un cercle dont le diametre soit AD (fig. 8. algébr.) & dans lequel soient inscrites trois lignes AB, BC, CD, desquelles on demande BC, les autres étant connues, il est évident au premier coup-d’œil que le diametre AD détermine le demi-cercle, & que les lignes AB & CD, qu’on suppose inscrites dans le cercle, déterminent aussi les points B & C, & que par conséquent la ligne cherchée BC a une connexion directe avec les lignes données. Voilà dequoi il suffit de s’assûrer d’abord, sans examiner par quel calcul analytique la valeur de la ligne BC peut être réellement déduite de la valeur des trois lignes données.

4°. Après avoir examiné les différentes manieres dont on peut composer & décomposer les termes de la question, il faut se servir de quelque méthode synthétique, en prenant pour données certaines lignes, par le moyen desquelles on puisse arriver à la connoissance des autres, de maniere que le retour de celles-ci aux premieres soit plus difficile ; car quoiqu’on puisse suivre dans le calcul différentes routes, cependant il faut le commencer par bien choisir ses données ; & une question est souvent plus facile à résoudre, en choisissant des données qui rendent les inconnues plus faciles à trouver, qu’en considérant le problème sous la forme actuelle sous laquelle il est proposé.

Ainsi, dans l’exemple que nous venons de donner, si on propose de trouver AD, les trois autres lignes étant connues, je vois d’abord que ce problème est difficile à résoudre synthétiquement ; mais que cependant s’il étoit ainsi résolu, je pourrois facilement appercevoir la connexion directe qui est entre cette ligne & les autres. Je prends donc AD pour donnée, & je commence à faire mon calcul comme si elle étoit en effet connue, & que quelqu’une des autres quantités AB, BC ou CD, fût inconnue ; combinant ensuite les quantités données avec les autres, j’aurai toûjours une équation en comparant entr’elles deux valeurs de la même quantité : soit que l’une de ces valeurs soit une lettre par laquelle cette quantité aura été marquée, en commençant le calcul ; & l’autre, une expression de cette quantité qu’on aura trouvée par le calcul même, soit que les deux valeurs ayent été trouvées chacune par deux différens calculs.

5°. Ayant ainsi comparé en général les termes de la question entr’eux, il faut encore de l’art & de l’adresse pour trouver parmi les connexions ou relations particulieres des lignes, celles qui sont les plus propres pour le calcul ; car il arrive souvent que tel rapport qui paroît facile à exprimer algébriquement, quand on l’envisage au premier coup-d’œil, ne peut être trouvé que par un long circuit ; de maniere qu’on est quelquefois obligé de recommencer une nouvelle figure, & de faire son calcul pas-à-pas, comme on pourra s’en assûrer en cherchant BC par le moyen de AD, AB & CD. Car on ne peut y parvenir que par des propositions dont l’énoncé soit tel, qu’elles puissent être rendues en langage algébrique, & dont quelques-unes peuvent se tirer d’Euclide. Ax. 19. proposit. 4. L. VI. & proposit. 47. L. I. element.

Pour parvenir plus aisément à connoître les rapports des lignes qui entrent dans une figure, on peut employer différens moyens : en premier lieu, l’addition & la soustraction des lignes ; car par les valeurs des parties on peut trouver celles du tout, ou par la valeur du tout & par celle d’une des parties, on peut connoître la valeur de l’autre partie : en second lieu, par la proportionnalité des lignes ; car, comme nous l’avons déjà supposé dans quelques exemples ci-dessus, le rectangle des termes moyens d’une proportion, divisé par un des extrèmes, donne l’autre, ou ce qui est la même chose, si les valeurs de quatre quantités sont en proportion, le produit des extrèmes est égal au produit des moyens. Voyez Proportion. La meilleure maniere de trouver la proportionnalité des lignes, est de se servir des triangles semblables ; & comme la similitude des triangles se connoît par l’égalité de leurs angles, l’analyste doit principalement se rendre ce point familier. Pour cela il doit posséder les proposit. 5, 13, 15, 29. 32 du premier livre d’Euclide ; les proposit. 4, 5, 6, 7, 8, du livre VI. & les 20, 21, 22, 27 & 31 du livre III. On peut y ajoûter la troisieme proposit. du livre VI. ou les proposit. 35 & 36 du livre III. Troisiemement, on fait aussi beaucoup d’usage de l’addition & de la soustraction des quarrés, sur-tout lorsqu’il se trouve des triangles rectangles dans la figure. On ajoûte ensemble les quarrés des deux petits côtés pour avoir le quarré du grand, ou du quarré du plus grand côté on ôte le quarré d’un des côtés, pour avoir le quarré de l’autre. C’est sur ce petit nombre de principes qu’est établi tout l’art analytique, au moins pour ce qui regarde la géométrie rectiligne, en y ajoûtant seulement la proposit. 1re du VI. livre d’Euclide, lorsque la question proposée regarde des surfaces, & aussi quelques propositions des XI. & XII. livres. En effet toutes les difficultés des problèmes de la géométrie rectiligne peuvent se réduire à la seule composition des lignes & à la similitude des triangles ; de sorte qu’il ne se rencontre jamais d’occasion de faire usage d’autres théorèmes, parce que tous les autres théorèmes dont on pourroit se servir, peuvent se réduire à ces deux-là, & que par conséquent ces derniers peuvent leur être substitués dans quelque solution que ce puisse être.

6°. Pour accommoder ces théorèmes à la construction des problèmes, il est souvent nécessaire d’augmenter la figure, soit en prolongeant certaines lignes jusqu’à ce qu’elles en coupent d’autres, ou qu’elles deviennent d’une certaine longueur ; soit en tirant des paralleles ou des perpendiculaires de quelque point remarquable ; soit en joignant quelques points remarquables ; soit enfin comme cela arrive quelquefois, en construisant une nouvelle figure suivant d’autres méthodes, selon que le demandent les problèmes & les théorèmes dont on veut faire usage pour la résoudre.

Par exemple, si deux lignes qui ne se rencontrent point l’une & l’autre, font des angles donnés avec une certaine autre ligne, on peut les prolonger jusqu’à ce qu’elles se rencontrent ; de maniere qu’on aura un triangle dont on connoîtra tous les angles, & par conséquent le rapport des côtés ; ou bien si un angle est donné, ou doit être égal à un angle quelconque, souvent on peut completer la figure, & en former un triangle donné d’espece, ou semblable à quelqu’autre : ce qui se fait, soit en prolongeant quelques-unes des lignes de la figure, soit en tirant une ligne qui soustende un angle. Si un triangle proposé est obliquangle, souvent on le résoud en deux triangles rectangles, en abaissant une perpendiculaire d’un des angles sur le côté opposé. Si la question regarde des figures de plusieurs côtés, on les résoud en triangles par des lignes diagonales, & ainsi des autres : mais il faut toûjours avoir attention que par ces divisions la figure se trouve partagée, on en triangles donnés, ou en triangles semblables, ou en triangles rectangles

Ainsi, dans l’exemple proposé, on tirera la diagonale BD, afin que le trapèse ABCD puisse se résoudre en deux triangles, l’un rectangle ABD, & l’autre obliquangle BCD (fig. 8.). On résoudra ensuite le triangle obliquangle en deux triangles rectangles, en abaissant une perpendiculaire de quelqu’un des angles B, C, D, sur le côté opposé ; par exemple, du point B sur la ligne CD, qu’on prolongera en E, afin que BE puisse la rencontrer perpendiculairement. Or comme les angles BAD & BCD pris ensemble font deux droits (par la prop. 22 du III. Eucl.), aussi-bien que BCE & BCD, il s’ensuit que les angles BAD & BCE sont égaux ; par conséquent les triangles BCE & DAB sont semblables. Ainsi prenant AD, AB & BC pour données, & cherchant CD, on peut faire le calcul de la maniere suivante. AD & AB donnent BD à cause du triangle rectangle ABD. AD, AB, BD BC, à cause des triangles semblables ABD & CEB, donnent BE & CE. BD & BE donnent ED, à cause du triangle rectangle BED, & ED−EC donne CD. Ainsi on aura une équation entre la valeur de la ligne CD trouvée par ce calcul, & la valeur de cette même ligne exprimée par une lettre algébrique. On peut aussi (& souvent il vaut mieux suivre cette méthode, que de pousser trop loin un seul & même calcul) ; on peut, dis-je, commencer le calcul par différens principes, ou au moins le continuer par diverses méthodes, pour arriver à une seule & même conclusion, afin de pouvoir trouver deux valeurs différemment exprimées de la même quantité, lesquelles valeurs puissent être ensuite faites égales l’une à l’autre. Ainsi AD, AB & BC, donnent BD, BE & CE, comme ci-devant, ensuite CD+CE donne ED, enfin DB & ED donnent BE, à cause du triangle rectangle BED.

7°. Ayant choisi & déterminé la méthode suivant laquelle on doit procéder, & fait sa figure, on donne d’abord des noms aux quantités qui doivent entrer dans le calcul, c’est-à-dire desquelles on doit tirer la valeur des autres jusqu’à ce qu’on arrive à une équation ; pour cela on aura soin de choisir celles qui renferment toutes les conditions du problème, & qui paroissent, autant qu’on peut en juger, les plus propres à rendre la conclusion simple & facile, de maniere cependant qu’elle ne soit pas plus simple que le sujet & le dessein du calculateur ne le demandent. Ainsi il ne faut point donner de nouveaux noms aux quantités dont on peut exprimer la valeur par celle des quantités à qui on a déjà donné des noms. Par exemple, si une ligne donnée est divisée en parties, ou si on a un triangle rectangle, on doit laisser sans nom quelqu’une des parties de la ligne ou toute la ligne entiere, ou un des côtés du triangle, parce que les valeurs de ces quantités peuvent se déduire de la valeur des données, comme dans l’exemple déjà proposé. Si on fait AD=x & BA=a, on ne marquera BD par aucune lettre, parce qu’elle est le troisieme côté du triangle rectangle ABD, & que par conséquent sa valeur est . Si on nomme ensuite BC, b, on verra que les triangles semblables DAB & BCE donnent AD : AB ∷ BC : CE. Or de ces quatre lignes les trois premieres sont déjà données ; ainsi on ne donnera point de nom à la quatrieme CE, dont la valeur se trouvera être par le moyen de la proportion précédente. Si donc on nomme DC, c, on ne donnera point de nom à DE, parce que ses parties DC & CE, étant l’une c, l’autre , leur somme est la valeur de DE.

8°. Par les différentes opérations qu’on fait pour exprimer les lignes auxquelles on n’a point donné de noms, le problème est déjà presque réduit à une équation ; car après qu’on a exprimé ainsi les différentes lignes qui doivent entrer dans la solution de la question proposée, il ne faut plus que faire attention aux conditions du problème, pour découvrir une équation.

Par exemple, dans le problème dont nous avons déjà parlé, il ne faut que trouver par le moyen des triangles rectangles BCE & BDE, deux valeurs de BE ; en effet on aura ou & , ou . Egalant ensemble ces deux valeurs de , & ôtant , on aura l’équation , qui délivrée des fraction, donne .

9°. A l’égard de la géométrie des lignes courbes, on a coûtume de déterminer ces lignes, ou en les supposant décrites par le mouvement local de quelques lignes droites, ou en les représentant par des équations qui expriment indéfiniment le rapport de certaines lignes droites disposées entr’elles dans un certain ordre & suivant une certaine loi, & terminées à la courbe par une de leurs extrémités. Voyez Courbe & Lieu.

Les anciens déterminoient les courbes, ou par le mouvement continu de quelque point, ou par les sections des solides, mais moins commodément qu’on ne les détermine par la seconde des deux manieres dont nous venons de parler. Les calculs qui regardent les courbes, lorsqu’on les décrit de la premiere maniere, se font par une méthode semblable à celle que nous avons donnée jusqu’ici. Supposons, par exemple, que AKC (fig. 9.) soit une ligne courbe décrite par le point vertical K d’un angle droit AKφ, dont un côté AK puisse se mouvoir librement, en passant toûjours par le point A donné de position, tandis que l’autre côté Kφ d’une longueur déterminée coule ou glisse le long d’une ligne droite AD, aussi donnée de position. On demande de trouver le point C, dans lequel une ligne droite CD aussi donnée de position doit couper cette courbe : pour cela on tirera les lignes AC, CF, qui peuvent représenter l’angle droit dans la position qu’on cherche ; on menera la perpendiculaire CB sur AF ; on s’appliquera ensuite à trouver le rapport des lignes, sans examiner celles qui sont données ou celles qui ne le sont pas, & on verra que toutes dépendent de CF, & de l’une des quatre lignes BC, BF, AF & AC ; supposant donc CF=a, & CB=x, on aura d’abord , &  ; car à cause des triangles rectangles ACF, CBF, on a BF : BC ∷ BC : AB. De plus, comme CD est donnée de position, AD est donnée ; ainsi on apellera AD, b ; on connoît aussi la raison de BC à BD, qu’on supposera comme d à e, & on aura &  : donc . Si on quarre les deux membres de cette équation, & qu’on les multiplie ensuite par , on réduira l’équation à cette forme  ; & par le moyen des quantités données a, b, d, e, on tirera de cette équation la valeur de x. Cette valeur de x ou de BC étant connue, on tirera à la distance BC une ligne droite parallele à AD, qui coupera la courbe, & CD au point cherché C.

Si, au lieu de descriptions géométriques, on se sert d’équations pour désigner les lignes courbes, les calculs deviendront encore plus simples & plus faciles, puisqu’on aura moins d’équations à trouver ; ainsi supposons que l’on cherche le point d’intersection C de l’ellipse donnée ACE (fig. 10.) avec la ligne droite CD donnée de position ; pour désigner l’ellipse, on prendra une des équation ; qui la déterminent, comme , dans laquelle x marque une partie indéterminée AB ou Ab de l’axe prise depuis le sommet A, & y une perpendiculaire BC, terminée à la courbe, & où r & q sont données par l’espece donnée de l’ellipse. Or, puisque CD est donnée de position, AD sera aussi donnée ; on la nommera A, & BD sera  ; l’angle ABC sera aussi donné, & par conséquent le rapport de BD à BC, qu’on supposera être celui de 1 à e ; & BC(y) sera , dont le quarré doit être égal à . Cette équation étant réduite, donnera ou .


On remarquera que lors même que l’on détermine les courbes par des descriptions géométriques ou par des sections de solides, on peut toûjours les désigner par des équations, & que par conséquent toutes les difficultés des problèmes qu’on peut proposer sur les courbes, se réduisent au cas où on envisageroit les courbes sous ce dernier point de vûe. Ainsi dans le premier exemple (fig. 9.), si AB est appellé x, & BC, y, la troisieme proportionnelle BF sera , dont le quarré joint au quarré BC est égal à , c’est-à-dire que ou . Par cette équation on peut déterminer tous les points C de la courbe AKC, en trouvant la longueur de chaque ligne BC qui répond à chaque partie de l’axe AB ; & cette équation peut être fort utile dans la solution des problèmes qu’on aura à résoudre sur cette courbe.

Quand une courbe n’est point donnée d’espece, mais qu’on propose de la déterminer, on peut supposer une équation à volonté qui exprime sa nature d’une maniere générale ; on prendra cette équation pour la véritable équation de la courbe, afin de pouvoir par ce moyen arriver à des équations, par le moyen desquelles on déterminera la valeur des quantités qu’on a prises pour données.

Jusqu’ici nous n’avons fait que traduire l’article équation à-peu-près tel qu’il se trouve dans l’Encyclopédie angloise. Cet article est tiré presque en entier de l’Arithmétique universelle de M. Newton ; il est aisé d’y reconnoître en effet la main d’un grand maître, & nous avons crû devoir le donner tel qu’il est par cette raison, l’Arithmétique universelle n’ayant point d’ailleurs été traduite jusqu’ici en notre langue. Mais il reste encore sur la théorie des équations beaucoup de choses à dire pour rendre cet article complet dans un ouvrage tel que l’Encyclopédie. Nous allons tâcher de satisfaire à cet objet ; & quoique la matiere ait déjà été fort maniée dans un grand nombre d’ouvrages, nous espérons montrer qu’elle a été traités d’une maniere insuffisante à plusieurs égards, & la présenter d’une maniere presque entierement nouvelle.

Je ne parlerai point ici de la maniere de préparer une équation, en faisant évanoüir les fractions, les radicaux, & toutes les inconnues, excepté une seule, &c. Ces opérations seront détaillées au mot Evanouir.

Je ne parlerai point non plus de l’abaissement des équations. Voyez Abaissement & Réduction.

Je ne parlerai point enfin des équations du premier degré, c’est-à-dire de celles où l’inconnue ne monte qu’à une dimension : leur solution est sans difficulté. V. Transposition. J’entrerai donc en matiere par les équations d’un degré plus élevé que l’unité ; je les suppose abaissées au plus petit degré possible, & délivrés de radicaux & de fractions, enfin ordonnées suivant les dimensions de l’inconnue x, c’est-à-dire de maniere que le premier terme contienne x élevée au plus haut degré, que le second terme contienne x élevée au plus haut degré suivant, & ainsi de suite jusqu’au dernier terme, qui ne contiendra point x ; je suppose enfin que le premier terme n’ait d’autre coefficient que l’unité (nous enseignerons au mot Transformation cette maniere de préparer l’équation), & que le second membre de l’équation soit zéro.

Soit donc , l’équation à résoudre, dans laquelle il faut trouver la valeur de x.

Il est évident, par l’énoncé même de la question, qu’il faut trouver une quantité a, positive ou négative, réelle ou imaginaire, qui étant substituée à la place de x dans &c. tout se détruise. Je suppose qu’on ait trouvé cette quantité a, je dis que la quantité (en faisant, si l’on veut, abstraction de son égalité à zéro, & en la regardant comme une quantité algébrique réelle) sera divisible exactement par . Car il est évident, 1°. que x ne montant qu’au premier degré dans le diviseur, on pourra par les regles de la division algébrique ordinaire (voyez Division), pousser l’opération jusqu’à ce qu’on arrive à un reste que j’appelle R, & dans lequel x ne se trouvera pas. Soit donc Q le quotient, il est évident que si au produit du quotient Q par le diviseur , on ajoûte le reste R, on aura une quantité égale & identique au dividende. Or, en faisant dans le dividende , tout s’évanoüit par l’hypothese ; donc tout doit s’évanoüir aussi, en faisant dans la quantité , & cette quantité doit alors se réduire à zéro ; mais en faisant , cette quantité est . Donc, puisque , on a . Donc la division se fait sans reste. Donc se divise exactement par .

Je fais un raisonnement semblable sur le quotient provenu de la division : je suppose que b substitué à la place de x, fasse évanoüir tous les termes de ce quotient, je dis qu’il est divisible par  ; & il est évident que si b substitué à la place de x, fait évanoüir le quotient Q, il fera évanoüir aussi le dividende : car le dividende est ; donc toute supposition qui réduira Q à zéro, y réduira aussi le dividende. Donc divise aussi exactement le dividende.

On trouvera de même, qu’en supposant une quantité c, qui substituée à la place de x, fasse évanoüir le quotient de Q divisé par , ce nouveau quotient, & par conséquent le dividende, sera divisible par .

Ainsi on aura autant de quantités simples , qu’il y a d’unités dans m, lesquelles quantités simples donneront par leur multiplication le dividende ou équation proposée.

On pourra donc, au lieu de l’équation donnée, supposer  : mais il faut bien se garder d’en conclure, comme font tous les auteurs d’Algebre, qu’on aura , &c. car, pourra dire un commençant, comment se peut-il faire qu’une même quantité x soit égale à plusieurs grandeurs différentes a, b, c ? Si vous dites que x, dans ces équations, ne désigne qu’en apparence la même grandeur, & désigne en effet des grandeurs différentes, en ce cas vous vous rejettez dans une autre difficulté ; car si cela étoit, dans une équation du second degré, par exemple, comme ne seroit plus un quarré, cependant tous les Algébristes le traitent comme tel ? Voici la réponse à cette difficulté, qui, comme je le sai par expérience, peut embarrasser bien des commençans. La quantité proposée est le produit de par , par , &c. Or la quantité proposée est supposée égale à zéro, & quand une quantité est égale à zéro, il faut qu’un de ses facteurs le soit ; ainsi la quantité ou équation proposée est le produit de par & par , &c. ou de par & par , &c. ou de par & par , &c. Dans chacun de ces cas on ne suppose à la fois qu’une des équations partielles égale à zéro ; x est la même quantité dans chacun des cas, & elle est différente dans les différens cas. Ainsi est par , ou par  ; cette équation représente ces deux-ci ; l’une (en mettant a pour x), & l’autre (en mettant b pour x).

Dans l’un des cas, x & ses puissances représentent a & ses puissances ; dans l’autre, x & ses puissances représentent b & ses puissances. Ainsi une équation d’un degré quelconque représente réellement autant d’équations particulieres qu’il y a d’unités dans son degré ; équations dans chacune desquelles x a une valeur différente. Poursuivons & approfondissons cette matiere, qui, je le répete, est fort mal développée par-tout.

La démonstration précédente, dira-t-on, suppose qu’il y a toûjours une quantité a possible, qui substituée à la place de x dans une quantité algébrique, , &c. fera évanoüir tous les termes. Sans doute : mais cette supposition est légitime. J’ai démontré le premier, Mém. de l’ac. de Berlin, 1746, qu’il y avoit toûjours en effet une telle quantité, laquelle sera ou réelle, ou égale à , m & n étant réelles, & m pouvant être =0. Cette proposition fondamentale de l’Algebre & même du calcul intégral (Voyez Fraction rationnelle & Intégral) n’avoit été démontrée par personne avant moi : j’y renvoye le lecteur, il la trouvera encore plus développée, & mise à la portée des commençans dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, premiere partie. Voyez Imaginaire.

De-là il s’ensuit qu’une équation est le produit d’autant de quantités simples, , &c qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation ; quelques-unes des quantités a, b, c, ou toutes, peuvent marquer des quantités réelles, égales ou inégales, imaginaires simples comme , ou mixtes imaginaires comme .

On remarquera maintenant que le produit de par ne peut être égal à un autre produit par  ; car si cela étoit, on auroit . Il faudroit donc ou que fût divisible exactement par , ainsi que par , ce qui ne se peut, ou que & eussent un diviseur commun, ainsi que & , ce qui ne se peut encore. Tout cela est évident par soi-même.

Donc une quantité quelconque , où x monte au second degré, ne peut être le produit que de deux facteurs simples , & il ne peut y en avoir d’autres que ces deux-là. Donc dans une équation du second degré, x ne peut avoir que deux valeurs différentes a, b, & jamais davantage. C’est une suite des propositions précédentes.

De même on ne sauroit supposer par par , égal à par par  ; car on auroit . Donc les dénominateurs de ces fractions devroient avoir un diviseur commun, & par conséquent aussi leurs numérateurs , ce qui ne se peut Donc dans une équation du troisieme degré, & par la même raison dans toute équation, l’inconnue ne peut avoir qu’autant de valeurs, soit réelles, soit imaginaires, qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation. Voilà encore une proposition qu’aucun auteur n’avoit suffisamment prouvée. On appelle racines, les différentes valeurs de l’inconnue. Voyez Racine.

Il pourroit se présenter aux commençans une difficulté sur la démonstration précédente. Soit, diront-ils, , & , on aura  ; on peut donc avoir, continueront-ils, . La réponse à cette objection est bien simple ; il est vrai qu’il peut y avoir des cas où, en donnant à x une certaine valeur, on ait  ; mais il faudroit, pour renverser la démonstration précédente, que quelque valeur qu’on donnât à x, on eût toûjours cette derniere équation, x marquant ici une quantité générale & indéterminée : or cela est impossible. En effet, si cela étoit, supposons , on auroit donc, à cause de l’égalité supposée, , c’est-à-dire  ; ce qui ne se peut, puisque c & e sont différentes de a & de b. De-là on tire une autre démonstration de la proposition dont il s’agit, & qu’on peut appliquer aux degrés plus composés ; par exemple, si pouvoit être égal à , on auroit , ce qui ne se peut ; & ainsi du reste.

Je passe un grand nombre de propositions qu’on trouvera suffisamment démontrées par-tout, par exemple celles qui sont indiquées au mot Coefficient : c’est principalement à des choses nouvelles, ou du moins présentées d’une maniere nouvelle & rigoureuse, que je destine cet article. J’observerai seulement que les propositions connues sur les coefficiens des équations, servent quelquefois à démontrer d’une maniere simple & élégante des propositions de Géométrie ; M. de l’Hopital, dans le liv. X. de ses sections coniques, s’en est heureusement servi pour démontrer certaines propriétés des cordes du cercle.

Si une des racines de l’équation est un nombre entier a, positif ou négatif, ce nombre a sera un des diviseurs du dernier terme r ; car on a , donc , donc . Or le premier membre de cette équation est un entier, puisqu’il est composé d’entiers ; donc est un entier, donc a est un des diviseurs de r. La démonstration ordinaire de cette proposition me paroît sujette à difficulté ; c’est par cette raison que j’en ai substitué une autre.

Si toutes les racines d’une équation sont réelles, & que tous les termes de l’équation ayent le signe +, toutes ces racines seront négatives ; car, puisque tous les termes ont le signe +, il est évident qu’il ne peut y avoir de quantité positive, qui étant substituée à la place de x, rende l’équation égale à zéro.

Dans une équation, les racines imaginaires vont toûjours deux à deux ; ensorte que si est racine d’une équation, en sera une autre. J’ai démontré le premier cette proposition dans les mém. de l’acad. de Berlin 1746. Voyez aussi l’ouvrage de M. de Bougainville déjà cité, & l’art. Imaginaire.

Donc puisque les racines imaginaires sont toûjours en nombre pair, il s’ensuit que dans les équations d’un degré impair il y a du moins une racine réelle ; ce qu’on peut encore démontrer en cette sorte. Soit, par exemple, , en donnant à x toutes les valeurs positives possibles depuis 0 jusqu’à l’infini, on a toûjours un résultat réel, & ce résultat devient infini & positif quand , c’est-à-dire  ; de même en donnant à x toutes les valeurs négatives possibles depuis 0 jusqu’à l’infini, on aura toûjours un résultat réel, & le dernier résultat est infini & négatif quand , c’est-à-dire  ; donc puisqu’on a une suite de résultats tous réels & sans interruption, dont les deux extrèmes sont de différens signes, il s’ensuit qu’il y a un de ces résultats égal à zéro. Donc il y a une valeur réelle de x qui rend . Donc x a au moins une valeur réelle dans cette équation. Il en est de même des autres cas.

Dans une équation délivrée de fractions, & dont le premier terme n’a d’autre coefficient que l’unité, la racine ne sauroit être une fraction , dont le dénominateur & le numérateur soient des nombres entiers & rationnels. Voilà encore une proposition bien mal prouvée dans presque tous les auteurs. En voici une meilleure démonstration. Soit  ; & supposons que soit racine de l’équation, on aura donc , & . Donc, suivant la théorie des équations donnée ci-dessus, le nombre entier a doit être diviseur du dernier terme  ; or comme a & b n’ont aucun diviseur commun, car la fraction est supposée, comme de raison, réduite à ses moindres termes (Voy. Diviseur, Fraction, & l’addition à l’article Diviseur dans l’errata de ce volume), il s’ensuit que a & b3 n’ont aucun diviseur commun : donc a doit être diviseur de r ; donc r=na, n étant un nombre entier. Donc on aura  ; donc . Donc, par la même raison que ci-dessus, a doit être un diviseur du dernier terme , & par conséquent de  ; donc  ; donc  ; donc  ; donc . Donc n’étoit point une fraction, ce qui est contre l’hypothese. On démontrera de la même maniere dans tous les autres cas, la proposition dont il s’agit. Donc, &c.

Il est évident, par la nature de cette démonstration, qu’elle ne s’étend qu’aux fractions rationnelles. Une équation sans fractions & sans radicaux peut en effet avoir pour racines des fractions irrationnelles ; par exemple, , & une infinité d’autres.

Voyez au mot Transformation, ce qui regarde la maniere de transformer une équation en une autre, matiere qui n’a d’ailleurs aucune difficulté, & qui est assez bien traitée dans presque tous les Algébristes ; par exemple, dans l’Analyse démontré du P. Reyneau, &c.

On trouvera au mot Racine, le fameux théorème de Descartes sur les racines des équations, démontré par M. l’abbé de Gua dans les mém. de l’acad. de 1741, auxquels le lecteur peut avoir recours. Nous nous bornerons ici à quelques réflexions générales sur les racines des équations.

Les racines d’une équation sont les différentes valeurs de l’inconnue ; il semble donc qu’un problème doive avoir autant de solutions qu’une équation a de racines ; & cela est vrai en effet dans un certain sens, mais ceci a pourtant besoin d’une plus ample explication.

1°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que le quarré de ce nombre plus 15 fût égal à 8 fois le nombre cherché, c’est-à-dire tel que fût =0, on trouveroit que cette équation auroit deux racines réelles & positives x=3, x=5 ; & en effet, le quarré de 3 qui est 9 augmenté de 15, donne 24 égal à 8 fois 3 ; & le quarré 25, augmenté de 15, donne 40, égal à 8 fois 5. Ainsi les deux racines de l’équation satisfont en ce cas au problème, sans rien changer à son énoncé. Il y a donc des cas où toutes les racines d’une équation résolvent chacune le problème dans le sens le plus direct & le plus immédiat que son énoncé présente.

2°. Si on proposoit de trouver un nombre x plus petit que 1, & tel que le quarré de fût égal à , on auroit , &  ; donc & . Voilà deux racines réelles & positives, cependant il n’y a proprement que la racine qui satisfasse au problème, car la racine donne , quantité négative. Or l’on suppose dans l’énoncé que x est plus petit que 1 ; pourquoi donc trouve-t-on une autre racine réelle & positive ? le voici. Si on eût proposé ce problème : trouver un nombre x plus grand que 1, & tel que , soit égal à , on auroit eu précisément la même équation que celle qui est donnée par la solution du problème précédent ; & en ce cas auroit été la vraie valeur de l’inconnue, ainsi l’équation représente réellement ces deux-ci, & , qui sont la traduction algébrique de deux questions, très-différentes dans leur énoncé. La premiere de ces questions a pour réponse , la seconde . Donc, quoique les racines d’une équation soient toutes deux réelles & positives, il ne s’ensuit pas toûjours qu’elles résolvent toutes exactement & rigoureusement la question ; mais elles la résolvent, en la présentant en deux sens différens, dont l’Algebre ne peut exprimer la différence ; par exemple, dans le cas dont il s’agit, l’énoncé devroit être : trouver une grandeur x telle que la retranchant de l’unité, ou retranchant l’unité d’elle, le quarré du reste soit égal à . La traduction algébrique du premier énoncé est par sa nature plus générale que ce premier énoncé ; c’est donc le second qu’il faut y substituer pour répondre à toute l’étendue de la traduction. Plusieurs algébristes regardent cette généralité comme une richesse de l’Algebre, qui, disent-ils, répond non seulement à ce qu’on lui demande, mais encore à ce qu’on ne lui demandoit pas, & qu’on ne songeoit pas à lui demander. Pour moi, je ne puis m’empêcher d’avoüer que cette richesse prétendue me paroît un inconvénient. Souvent il en résulte qu’une équation monte à un degré beaucoup plus haut qu’elle ne monteroit, si elle ne renfermoit que les seules racines propres à la vraie solution de la question, telle qu’elle est proposée. Il est vrai que cet inconvénient seroit beaucoup moindre, & seroit même en un sens une véritable richesse, si on avoit une méthode générale pour résoudre les équations de tous les degrés ; il ne s’agiroit plus que de démêler parmi les racines celles dont on auroit vraiment besoin : mais malheureusement on se trouve arrêté dès le troisieme degré. Il seroit donc à souhaiter, puisqu’on ne peut résoudre toute équation, qu’on pût au moins l’abaisser au degré de la question, c’est-à-dire à n’avoir qu’autant d’unités dans l’exposant de son degré que la question a de solutions vraies & directes, mais la nature de l’Algebre ne paroît pas le permettre.

3°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que retranchant l’unité de ce nombre, le quarré du reste fût égal à quatre, on trouveroit , & . La premiere racine , qui est réelle & positive, résout la question ; à l’égard de , elle ne résout point la question proposée, elle résout celle-ci : trouver un nombre, auquel ajoûtant l’unité, le quarré de la somme soit égal à quatre. On voit que dans cet énoncé, ajoûter se trouve au lieu de retrancher, & somme au lieu de reste. En effet donne & , qui sont précisément les racines de l’équation précédente prises avec des signes contraires. D’où l’on voit que les racines négatives satisfont à la question, non telle qu’elle est proposée, mais avec de legers changemens qui consistent à ajoûter ce qu’on devoit retrancher, ou à retrancher ce qu’on devoit ajoûter. Le signe − qui précede ces racines indique une fausse supposition qui a été faite dans l’énoncé, d’addition au lieu de soustraction, &c. & ce signe − redresse cette fausse supposition. En veut-on un exemple plus simple ? qu’on propose de trouver un nombre x, qui étant ajoûté à 20, la somme soit égale à 10, on aura & , ce qui signifie qu’il falloit énoncer ainsi la question : trouver un nombre qui étant retranché de 20, le reste soit égal à 10, & ce nombre est 10.

4°. Si on proposoit cette question, trouver un nombre x, tel que, ajoûtant l’unité à ce nombre, le quarré du tout soit égal à , on auroit  : voilà deux racines négatives, ce qui signifie qu’il falloit changer ainsi la question ; trouver un nombre tel, que retranchant l’unité de ce nombre, s’il est plus grand, ou le retranchant de l’unité, s’il est plus petit, le quarré du reste soit égal à . C’est précisément le cas du n°. 1 précédent, dont les racines sont les mêmes que de ce cas-ci, avec des signes contraires.

5°. Tout nous prouve donc que les racines négatives ne sont destinées qu’à indiquer de fausses suppositions faites dans l’énoncé, & que le calcul redresse. C’est pour cela que les racines négatives ont été appellées fausses par plusieurs auteurs, & les racines positives, vraies, parce que les premieres ne satisfont, pour ainsi dire, qu’à un faux énoncé de la question. Au reste je dois encore remarquer ici que quand toutes les racines sont négatives, comme dans le cas précédent, l’inconvénient est leger ; ces racines négatives indiquent que la solution avoit un énoncé absolument faux : redressez l’énoncé, toutes les racines deviendront positives. Mais quand elles sont en partie positives, & en partie négatives, l’inconvénient que cause la solution algébrique est, ce me semble, alors plus grand ; elles indiquent que l’énoncé de la question est, pour ainsi dire, en partie vrai & en partie faux ; elles mêlent, malgré nous, une question étrangere avec la question proposée, sans qu’il soit possible de l’en séparer, en rectifiant même l’énoncé ; car qu’on change dans l’énoncé les mots ajoûter & somme, en ôter & reste, la racine négative devient à la vérité positive ; mais la positive devient négative, & on se trouve toûjours dans le même embarras, sans pouvoir réduire la question à un énoncé qui ne donne que des racines réelles positives. Il en est de même dans le cas du n°. 1 précédent, où, quoique les racines soient toutes réelles & positives, cependant elles ne résolvent pas toutes la question ; néanmoins il y a encore cette différence entre ce cas & celui du n°. 3, que dans celui-ci, pour changer les racines négatives en positives, il ne faut changer qu’en partie les signes de , c’est-à-dire écrire ou  ; au lieu que dans le cas du n°. 1, il faut changer tout-à-la-fois les deux signes de , & écrire dans l’énoncé, pour employer la racine positive inutile à la question.

6°. Les racines négatives, je le répete, sont un inconvénient, sur-tout lorsqu’elles sont mêlées avec les positives ; mais il y a bien de l’apparence qu’on ne parviendra jamais à lever cet inconvénient ; peut-être pourroit-on le diminuer, si on avoit une bonne méthode de résoudre les équations. C’est ce que nous tâcherons plus bas de faire sentir, ou plûtôt entrevoir, en parlant des équations du second degré. Mais ce qui prouve que les racines négatives ne sont pas tout-à-fait inutiles à la solution d’un problème, c’est l’application de l’Algebre à la Géométrie. Les ordonnées négatives d’une courbe sont aussi réelles que les positives, & appartiennent aussi essentiellement à la courbe ; nous l’avons prouvé au mot Courbe d’une maniere aussi rigoureuse que nouvelle, en faisant voir que les ordonnées négatives deviennent positives, en transposant seulement l’axe. De même en transformant une équation algébrique, on peut rendre toutes les racines réelles positives ; car soit b la plus grande des racines négatives, & soit fait x=z−A, A étant une quantité plus grande que b ou égale à b ; alors les facteurs, au lieu d’être, par exemple, x−a, x+b, seront z−A−a, z−A+b, toutes deux positives. Voy. encore sur cet article ce que nous dirons plus bas, en parlant des équations appliquées à la Géométrie.

7°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que fût =0, on auroit  ; &  ; valeurs imaginaires qui indiquent que l’énoncé de la question est absurde, & qu’il n’est pas possible de la résoudre. Mais, dira-t-on, pourquoi deux racines imaginaires ? une seule suffiroit pour avertir de l’absurdité. Je réponds que les deux imaginaires avertissent que la question est absurde non-seulement dans son énoncé, mais même dans tout autre qu’on lui substitueroit, c’est-à-dire en mettant ou à la place de . En effet , ou , donne &  ; racines imaginaires & de signe contraire aux précédentes, parce que l’énoncé de la question, quoique changé, demeure impossible.

8°. Ainsi, quand une équation n’a que des racines négatives ou fausses, cela indique que le problème est impossible dans le sens direct, mais non pas dans un autre sens ; au lieu que quand elle n’a que des racines imaginaires, cela indique que le problème est impossible dans quelque sens qu’on le présente. Quand les racines sont réelles & incommensurables, cela indique que le problème n’a point de solution numérique exacte, mais qu’on peut trouver un nombre qui approche aussi près qu’on voudra des conditions proposées ; donc les racines négatives, imaginaires & incommensurables, désignent différentes especes d’impossibilité dans la solution, mais d’impossibilité plus ou moins entiere, plus ou moins absolue.

9°. Mais quand les racines imaginaires sont mêlées avec des racines réelles, qu’est-ce qu’indiquent alors ces racines imaginaires ? Par exemple, , a pour racine réelle , & deux autres racines imaginaires qui sont celles de l’équation , comme on l’a vû au mot Cas irréductible. Ces deux racines imaginaires, dira-t-on, paroissent ici bien inutiles. Je réponds que ces deux imaginaires ne sont point de trop ; elles indiquent que s’il y avoit une quantité u, telle que pût être égal à zéro, le cube de cette quantité u seroit égal à . Voilà, ce me semble, tout ce qui regarde les racines des équations suffisamment éclairci ; passons à d’autres observations.

Il y a quelques remarques à faire sur la maniere dont on résoud ordinairement les équations du 2d degré : soit , on en conclud tout de suite  ; mais, dira-t-on, pourquoi fait-on positif égal à la quantité négative  ? il est bien vrai que deux quarrés égaux donnent des racines égales ; mais ce doit être des racines de même signe : cela est évident ; car de ce que , en conclura-t-on que  ? D’ailleurs est aussi-bien que la racine de  ; on devroit donc avoir . Je réponds, 1°. que cette derniere équation donne les quatre suivantes , , ,  : or les deux dernieres sont évidemment les mêmes que les deux premieres ; il suffit donc de prendre le double signe ± dans un des membres, & non dans les deux à la fois. 2°. J’aimerois mieux résoudre l’équation en raisonnant de cette sorte : La racine quarrée de est , si  ; & , si  : dans le premier cas, on a  ; dans le second, on a  : ce sont ces deux cas très-distincts & très-clairement énoncés de cette maniere, qu’on énonce tous les deux ensemble implicitement, & si je l’ose dire, obscurément, en écrivant . Les inventeurs de l’Algebre ont imaginé cette expression pour abréger ; & cette expression commode rend la métaphysique plus obscure. Voyez sur cela ce qui a été dit au mot Elémens des Sciences.

Si on avoit , alors on trouveroit, en suivant le raisonnement précédent, , ce qui ne donneroit que la racine positive ; à l’égard de la racine négative ou fausse, on n’en a que faire, puisqu’elle ne résout pas le probleme ; cependant on auroit cette racine, si on vouloit, en changeant l’énoncé de la question suivant les regles données ci-dessus ; ce qui donneroit & , ou .

On voit donc que par cette maniere que je propose de résoudre les équations du second degré, on sépareroit les raoines positives nécessaires d’avec les inutiles, les vraies d’avec les fausses, &c. cette méthode s’appliqueroit aux autres degrés, si on avoit une regle générale pour résoudre toute équation : mais la regle dont il s’agit est encore à trouver.

J’ai donné au mot Cas irréductible une théorie suffisante & neuve presque à tous égards de la résolution des équations du troisieme degré ; j’y renvoye le lecteur. Je n’y ai supposé qu’une proposition, c’est que si le second terme d’une équation du troisieme degré est nul, & que les trois racines soient réelles, le troisieme terme a toûjours le signe −. La question se réduit à prouver que si a+b+c=0, a, b, c, étant de tel signe qu’on voudra, & réelles, (voyez Coefficient), on aura ab+ac+bc négative, c’est-à-dire −aa−ac−cc négative, ce qui est évident ; donc si le troisieme terme est positif, il y a deux racines imaginaires. Nous rappellerons ici ce qui a été remarqué dans l’errata du troisieme volume, qu’à l’article Cas irréductible, l’imprimeur a mis par-tout 2y pour 27 ; cette faute d’impression ne peut embarrasser que les premiers commençans. Du reste on trouvera dans cet article, ou explicitement, ou implicitement, toute la théorie des équations du troisieme degré. Passons au quatrieme degré. Soit , une équation à résoudre, on suppose qu’elle soit le produit de , &  ; & on trouve, en multipliant ces deux équations l’une par l’autre, & comparant le produit terme à terme avec la proposée, les équations suivantes :

, ou


L’équation , &c. =0, étant du sixieme degré a six racines ; & les équations , en donnant chacune deux pour chaque valeur de y ; voilà donc, dira-t-on, vingt-quatre racines, quoique, suivant la théorie connue, l’équation , &c. ne doive avoir que quatre racines possibles. Je vais montrer que ces vingt-quatre racines se réduisent à quatre.

1°. Dans l’équation , &c. =0, où tous les termes pairs manquent, il est évident que chaque racine positive a sa pareille négative. Cela est évident ; car faisant , l’équation est du troisieme degré. Voy. Abaissement. Or soient A, B, C, les valeurs de z, on aura donc  ; donc  : de même . Cela posé.

Soit a une des valeurs de y, −a en sera une autre ; & l’équation donnera

.

L’équation , donnera

.

Ces deux dernieres équations reviennent au même que les deux précédentes ; donc voilà déjà quatre équations réduites à deux, & vingt-quatre à douze.

Je dis maintenant que , donnera les mêmes racines que , en supposant +b, −b deux autres racines de l’équation , &c. =0. Car soit yy−aa, yy−bb, yy−cc, les trois racines, on aura  ; & les deux équations précédentes deviendront , & , dont les racines sont aisées à trouver, & sont les mêmes. On trouvera de même que , donne encore les mêmes racines ; donc en général les douze racines se réduisent à quatre, & ces quatre seront

.

.

.

.


Car il faut remarquer que le signe − de répond à +ax, & que le signe + répond à −ax ; il ne faut pas prendre +ax avec +bc, ni −ax avec −bc.

Si on fait quatre équations simples des quatre valeurs précédentes de x, on formera par le produit une équation du quatrieme degré qui sera la même que la proposée, en mettant pour q, s, r, leurs valeurs , , & abc. Ainsi tout s’accorde parfaitement, comme on le voit. Il y a quelques auteurs qui ont traité ce dernier article des équations du quatrieme degré avec assez de soin ; mais, ce me semble, d’une maniere moins simple que nous ne venons de faire.

En résolvant d’une certaine façon quelques équations du quatrieme degré, on tomberoit dans un inconvénient semblable à celui du cas irréductible, c’est-à-dire qu’on trouveroit des quantités réelles sous une forme imaginaire. Soit, par exemple, , on a deux racines réelles x=a, x=−a, & deux autres imaginaires  ; cependant si on supposoit que l’équation , fût venue de ces deux-ci , on trouveroit  : ainsi on auroit pour les deux équations, dont la multiplication produit , ces deux-ci :

,

 ;


équations d’où l’on ne tirera que des valeurs de x sous une forme imaginaire ; néanmoins de ces différentes valeurs une sera =a, & une autre =−a. Voyez sur cela l’article Imaginaire. Voyez aussi les mémoires de l’acad. de Berlin, 1746, & l’ouvrage cité de M. de Bougainville.

Il est aisé de voir par tout ce qui a été dit, qu’il n’y a jusqu’à présent que les équations du second degré dont on ait une solution complete ; car 1°. les équations du troisieme degré tombent souvent dans le cas irréductible. 2°. Si une équation du troisieme degré a une racine réelle & commensurable, cette racine commensurable se présente sous une forme incommensurable, & il faut du travail pour la dégager de cette forme. Voy. Racine & Extraction. 3°. Les équations du quatrieme degré se réduisent, comme on vient de le voir, au troisieme, & sont par conséquent sujettes aux mêmes inconvéniens.

Lorsqu’une équation du troisieme degré a une racine commensurable, le plus court moyen de la déterminer, est d’essayer tous les diviseurs du dernier terme ; M. Newton, dans son arithmétique universelle, a donné une méthode pour abréger considérablement cet essai. Nous ne dirons rien de cette méthode, qui a été suffisamment expliquée & développée par MM. Gravesande & Clairaut, dans leurs élémens d’Algebre.

Passé le quatrieme degré, on n’a plus de méthode, même imparfaite & tronquée, pour résoudre les équations. Si la racine est réelle, il faut essayer les diviseurs du dernier terme ; si elle est incommensurable, il faut tâcher de connoître à-peu-près cette racine en nombres entiers, & se servir ensuite de la méthode expliquée au mot Approximation, pour approcher de plus en plus de la vraie valeur. La difficulté est d’avoir d’abord la racine cherchée exprimée à-peu-près en nombres entiers ou rompus ; on n’a point de méthode générale pour cela ; on n’a que des tentatives & des essais ; la méthode des cascades expliquée à l’article Cascade, est très-limitée, & par conséquent très-fautive. Cette méthode suppose, 1°. que la proposée ait toutes ses racines réelles ; 2°. que l’équation du maximum des y ait aussi toutes ses racines réelles ; 3°. que l’on puisse connoître toutes les racines de cette derniere équation du maximum, ou du moins qu’on les puisse connoître à-peu-près, ce qui revient à la même difficulté.

Si on trouve deux quantités a, b, peu différentes l’une de l’autre, qui étant substituées à la place de x dans une équation, donnent l’une un résultat positif, l’autre un résultat négatif, il s’ensuit que la valeur qui donne le résultat =0, & qui est la vraie racine de l’équation, sera entre a & b. En effet construisons une courbe de genre parabolique, nous verrons clairement que si une valeur de x donne l’ordonnée positive, & qu’une autre valeur de x donne l’ordonnée négative, la valeur de x qui donnera l’ordonnée =0, sera entre ces deux-là : mais il n’en faut pas conclure, que si on diminue, ou qu’on augmente tant soit peu cette valeur de x, qui donne le résultat =0, on aura deux résultats de signe différent ; car il est évident qu’une courbe parabolique peut atteindre son axe sans le couper, mais en le touchant seulement ; & en général pour qu’une quantité passe par le zéro, il n’est point nécessaire que les deux états voisins de cette quantité, l’un avant, l’autre après l’égalité à zéro, soient des états opposés. Cela est clair par les tangentes paralleles au diametre du cercle, où l’ordonnée positive devient zéro, & redevient ensuite positive, & par une infinité d’autres cas semblables.

Dans les mémoires de l’académie des Sciences pour l’année 1747, page 665, on trouve un savant mémoire de M. Fontaine sur la résolution des équations. L’auteur annonce qu’il donne ce mémoire pour l’analyse en entier, telle qu’on la cherche, dit-il, si inutilement depuis l’origine de l’Algebre. Il se propose en effet de donner dans cet ouvrage des regles pour déterminer, dans une équation quelconque proposée, 1°. la nature & le nombre des racines, c’est-à-dire si elles sont réelles, égales ou inégales, toutes positives, toutes négatives, ou en partie positives & négatives, ou enfin imaginaires en tout ou en partie. L’auteur suppose dans cet ouvrage la vérité d’un théorème que j’ai démontré le premier, & dont il a déjà été fait mention plus haut : savoir que toute racine imaginaire d’une équation peut toûjours être exprimée par , a & b étant deux quantités réelles, & qu’il y a en ce cas encore une autre racine exprimée par . Nous n’entrerons point ici dans le détail de la méthode donnée par M. Fontaine ; elle est si bien expliquée dans le mémoire cité, & présentée avec tant de précision, que nous ne pourrions absolument que la transcrire ici ; nous y renvoyons donc le lecteur. Nous ferons seulement les remarques suivantes, dans lesquelles nous supposerons qu’il ait le mémoire sous les yeux.

1°. La quantité ou fonction formée des coefficiens m, n, p, &c. (qui est égale à zéro dans certains cas, plus grande que zéro dans d’autres, & plus petite dans d’autres) se trouve, en faisant égales entr’elles, quelques quantités parmi les racines de l’équation ; car il y a toûjours autant de quantités a, b, c, d, &c. dans les racines de l’équation qu’il y a de coefficiens m, n, p, q, &c. on a donc autant d’équations entre a, b, c, d, &c. & m, n, p, q, &c. qu’il y a de coefficiens m, n, p, q ; & on ne peut arriver à une quantité ou équation finale, de laquelle a, b, c, d, &c. ayent disparu, que dans le cas où quelques-unes des quantités a, b, c, d, &c. seront égales ; autrement, après toutes les opérations ordinaires destinées à faire évanoüir les inconnues a, b, c, d, (voy. Evanouir) &c. il en resteroit toûjours une, puisqu’il y auroit autant d’équations que d’inconnues. Prenons, par exemple, un des cas que M. Fontaine a proposés, , ou  ; on trouve que ou ou peuvent être les trois systèmes de facteurs de cette formule. Or pour que les deux premiers systèmes de facteurs deviennent les mêmes, il faut que dans le premier système b=a, & que dans le second b=0 ; d’où l’on tire  ; donc  ; donc dans le cas de a=b, on a . Maintenant pour que le second & le troisieme système de facteurs deviennent le même, il faut que b=a dans les deux systèmes ; ainsi on aura  ; donc  ; donc  ; ainsi & sont les deux quantités égales, plus grandes ou plus petites que zéro, qui doivent déterminer ici les racines égales ou les racines réelles, ou les racines imaginaires, & de plus le signe & la forme des racines.

2°. On voit assez par la nature de la méthode de M. Fontaine, qu’un système de facteurs étant donné dans le second, ou même dans le troisieme degré, on trouvera la nature de la formule d’équation qui en résulte, c’est-à-dire le signe de chaque coefficient de cette formule ; mais on ne voit pas, ce me semble, avec la même clarté comment on déterminera la formule qui résulte d’un système de facteurs, dans les équations plus composées que le troisieme degré ; ni s’il sera toûjours possible d’assigner exactement toutes les formules qui résultent d’un même système de facteurs, en cas que ce système puisse produire plusieurs formules. Il seroit à souhaiter que ceux qui travailleront dans la suite d’après la méthode de M. Fontaine, s’appliquassent à développer ce dernier objet.

3°. M. Fontaine suppose que la quantité qui est =0 dans le cas de la coïncidence de deux systèmes de facteurs, est nécessairement plus grande que zéro pour l’un de ces systèmes de facteurs, & plus petite pour l’autre. Il est vrai qu’il arrive le plus souvent qu’une quantité égale à zéro dans l’hypothèse de deux quantités qui coïncident, est positive & négative dans les deux cas immédiatement voisins ; mais cela n’arrive pas toûjours. Par exemple, lorsqu’une courbe de genre parabolique touche son axe, & que par conséquent l’abscisse x répondante à l’ordonnée y=0, a deux racines égales, il arrive souvent qu’en faisant x plus grande ou plus petite qu’une de ces racines, on a y positive dans les deux cas. Ce n’est pas tout. Il pourroit arriver que dans les cas infiniment voisins, ou extrèmement voisins de celui qui a donné l’égalité à zéro, la quantité formée de m, n, p, q, &c. fût plus grande que zéro pour un de ces cas, & plus petite pour l’autre ; mais est-il bien certain que dans les cas qui ne seront pas fort voisins de celui qui a donné l’égalité à zéro, il y en aura toûjours un qui donnera la fonction > 0, & que l’autre donnera la même fonction < 0 ? Une courbe qui coupe son axe en un point, a près de ce point en-dessus & en-dessous des ordonnées de différens signes ; mais il est très-possible que toutes les ordonnées au-dessus & au-dessous ne soient pas nécessairement de différens signes, parce que la courbe peut encore couper son axe ailleurs. M. Fontaine dit que s’il y a plusieurs fonctions =0, il sera toûjours facile de reconnoître laquelle de ces fonctions est toûjours plus grande que zéro dans l’un des deux systèmes, & toûjours moindre dans l’autre ; il semble que, suivant son principe, dès qu’une fonction est égale à zéro dans le cas de la coïncidence de deux systèmes de facteurs, elle est toûjours plus grande que zero dans un de ces systèmes, & moindre dans l’autre. S’il y a des cas où cela puisse n’avoir pas lieu (comme M. Fontaine semble l’insinuer), pourquoi, dira-t-on, n’arriveroit-il pas quelquefois que cela n’auroit lieu dans aucun cas ?

Enfin M. Fontaine détermine par le calcul d’un seul cas numérique particulier d’un des deux systèmes, celui où la fonction est > 0, & celui où la fonction est plus petite. Cela peut être encore sujet à difficulté ; car cela suppose que la formule est toûjours > 0 dans un des cas, & toûjours < 0 dans l’autre. Or, dira-t-on, ne pourroit-il pas arriver que la formule fût à la vérité toûjours > ou < 0, dans les deux cas pris ensemble ; mais qu’après avoir été plus grande que zéro dans l’un de ces cas, jusqu’à une certaine valeur des quantités a, b, c, d, &c. & plus petite dans l’autre cas, elle devînt ensuite plus petite que zéro dans le premier cas, & plus grande dans le second ?

Nous ne prétendons point par ces difficultés attaquer, ni encore moins renverser la méthode de M. Fontaine ; elle nous paroît pleine de sagacité & de finesse, & digne de toute l’attention des savans ; nous la regardons comme une nouvelle preuve du génie supérieur que l’auteur a déjà montré dans d’autres ouvrages (voyez Intégral & Tautochrone) ; nous desirons seulement que M. Fontaine trouve ces difficultés assez capables d’arrêter les géometres, pour daigner les lever entierement dans un autre écrit, & mettre sa méthode à l’abri même de toute chicane. Afin de l’y engager, voici à quoi nous réduisons la question. La formule est =0 dans le cas de l’égalité de certaines racines ; soit cette formule appellée P. Supposons maintenant les racines inégales, en sorte que 2t soit leur différence (c’est-à-dire que +t doive être ajoûté à l’une, & − t à l’autre), en ce cas la formule deviendra , &c. R, S, Q, désignant des quantités connues : or, pour que la méthode de M. Fontaine ait lieu dans tous les cas, il faut, 1°. que R ne soit jamais =0, ou du moins que si R=0, S le soit aussi, en un mot que t se trouve toûjours à une puissance impaire dans le premier des coefficiens ; autrement t étant supposé très-petit, les deux formules seroient l’une & l’autre > ou < 0, t étant positif ou négatif : 2°. qu’en supposant t positif, , &c. soit toûjours du même signe, t ayant telle valeur qu’on voudra : 3°. qu’en supposant t négatif, , &c. soit toûjours de signe contraire au précédent, t ayant telle valeur qu’on voudra. Ces trois propositions démontrées, il ne restera plus de doute sur la généralité & la certitude de la méthode proposée par M. Fontaine.

Il seroit encore à souhaiter que l’auteur donnât une démonstration de la méthode qu’il propose, pour approcher, aussi près qu’on veut, des racines des équations ; il semble supposer encore dans l’exposé de cette méthode, que quand une certaine valeur de φ rend =0 une quantité ou fonction de φ, deux autres valeurs de φ, l’une plus grande, l’autre plus petite, donneront l’une moins ou plus que zéro, l’autre plus ou moins que zéro. Cela n’est pas vrai en général, mais cela pourroit l’être dans le cas particulier de M. Fontaine ; & c’est ce qu’il seroit bon de prouver. Voyez l’article Racine.

Il nous reste à faire quelques réflexions sur les équations appliquées à la Géométrie. Nous avons indiqué au mot Découverte, par quel raisonnement Descartes est parvenu à appliquer les équations indéterminées aux courbes ; les mots Courbe, Différentiel, Tangente, &c. & autres semblables, font voir en détail les applications & les conséquences de ce principe. On a vû aussi au mot Construction, comment on construit les équations par la Géométrie. Il ne nous reste ici qu’un mot à dire sur la multiplicité des racines des équations en Géométrie. Les observations que nous avons à faire sur ce sujet, sont une suite de celles que nous avons déjà faites sur les racines multiples des équations algébriques.

Supposons, par exemple, qu’on propose de diviser une ligne a en moyenne & extrème raison, nommant x la partie cherchée de cette ligne, on aura a : x ∷ x : a−x ; d’où l’on tire , &  ; la racine négative de cette équation ne sauroit servir ici, mais elle serviroit à la solution de ce problème, trouver dans le prolongement de la ligne donnée a une ligne x, telle que a : x ∷ x : a+x ; dans ce cas la racine négative devient positive, & la positive négative ; & l’équation est .

Si on propose de tirer du point A une ligne AE (fig. 11. d’Algeb.) dans un cercle, telle que BO étant perpendiculaire au diametre AD, & donnée de position, on ait FE= à une ligne donnée a, on aura en nommant BF, x, une équation du quatrieme degré qui n’aura ni second, ni quatrieme terme ; cette équation aura deux racines positives BF & Bf, telles que FE d’une part, & fe de l’autre, seront égales à a ; & deux autres racines égales aux deux précédentes & de signes contraires, parce qu’en achevant le cercle, & prolongeant OB en-dessous, le problème aura deux solutions pareilles ; si a étoit plus grand que BD, les racines seroient imaginaires.

Si on nommoit AF, x, BO, b, AC, r, AB, c, on auroit ou  ; la racine positive est AF, & la négative Af, parce que cette racine négative, si on la traitoit comme positive, donneroit , & non pas . Voilà un cas où deux racines de différens signes n’indiquent pas des positions diamétralement opposées dans les lignes AF, Af, qui représentent ces racines, mais seulement le changement de signe du second terme ax dans l’équation du problème.

Dans ce dernier cas, c’est-à-dire en prenant AF pour l’inconnue, l’équation n’est que du second degré, au lieu qu’en prenant BF pour inconnue, elle monte au quatrieme ; d’où l’on voit comment par le bon choix des inconnues on peut simplifier un problème en plusieurs occasions. Mais, dira-t-on, pourquoi le problème a-t-il quatre solutions dans un cas, & deux seulement dans un autre ? Je réponds que dans le dernier cas il a aussi quatre solutions comme dans le premier ; ou pour parler plus exactement, que BF a quatre valeurs dans les deux cas ; car , ce qui donne deux valeurs égales de différent signe pour chaque valeur de AF. Voyez encore d’autres observations sur un problème de ce genre à l’article Situation.

Autre question. On propose d’inscrire dans un rectangle donné ABDE (fig. 11. alg. n. 2.) un rectangle abde, dont les côtés soient également éloignés des côtés du grand, & qui soit à ce grand rectangle comme m est à n : soit AB=a, AD=b, AC=x, on aura , & on trouvera par la résolution de cette équation, qu’en supposant m < n, x a deux valeurs réelles & positives ; cependant le problème n’a évidemment qu’une solution, mais il renferme une condition que l’Algebre ne peut pas énoncer, savoir que le rectangle abde soit au-dedans de l’autre : si on avoit on trouveroit la même équation, & cependant ce ne seroit plus le même problème. Le parallélogramme rectangle qui satisferoit à cette question, seroit alors celui qu’on voit, fig. 11. n. 3. dans lequel AC est égal à la plus grande valeur positive de x, & AC=Ca ; le côté ad est éloigné de AD comme le côté ca de AB, & ainsi du reste ; mais le rectangle abcd n’est pas au-dedans de l’autre ; condition que l’Algebre ne peut exprimer. Voyez Situation.

Sur les équations différentielles, exponentielles, &c. voy. Différentiel, Exposant, Exponentiel, Intégral, Construction, &c.

On appelle quelquefois équation, en Géométrie & en Méchanique, ce qui n’est qu’une simple proportionnalité indiquée d’une maniere abrégée ; par exemple, quand on dit qu’un rectangle est égal au produit de sa base par sa hauteur, cela signifie explicitement : si on a deux rectangles, & qu’on prenne une quantité quelconque linéaire a pour la mesure commune de leur base & de leur hauteur ; que B soit le nombre de fois (entier ou rompu, rationnel ou irrationnel) que la base de l’un contient a ; que H soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a ; que b soit le nombre de fois que la base de l’autre contient a ; que h soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a, les aires de ces deux rectangles seront entr’elles comme le produit des nombres B, H, est au produit des nombres b, h. De même, quand on dit que la vîtesse d’un corps qui se meut uniformément, est égale à l’espace divisé par le tems, cela veut dire explicitement : si deux corps se meuvent uniformément, & parcourent, l’un l’espace E pendant le tems T, l’autre l’espace e pendant le tems t ; qu’on prenne une ligne a pour commune mesure des espaces E, e, & un tems θ pour communes mesures des tems T, t, les vîtesses seront comme le nombre divisé par le nombre , est au nombre divisé par le nombre . Voyez Mesure, Vitesse, &c. (O)

Equation de l’Horloge, est la même chose que l’équation du tems. Voyez l’article suivant.

Equation du Tems, en Astronomie, est la différence entre le tems vrai ou apparent, & le tems moyen ; c’est-à-dire la réduction du tems inégal apparent, ou du mouvement inégal, soit du Soleil, soit d’une planete, à un tems ou à un mouvement moyen, égal & uniforme. Voyez Tems & Mouvement.

Le tems ne se mesure que par le mouvement ; & comme le tems en lui-même coule toûjours uniformément, on se sert, pour le mesurer, d’un mouvement qu’on suppose égal & uniforme, ou qui conserve toûjours la même vîtesse.

Le mouvement du Soleil est celui dont on se sert communément pour cela, parce que ce mouvement est celui qu’on observe le plus facilement : cependant il manque de la principale qualité nécessaire pour mesurer le tems, c’est-à-dire de l’uniformité. En effet les Astronomes ont remarqué que le mouvement apparent du Soleil n’est pas toûjours égal & uniforme ; mais que ce mouvement tantôt s’accélere, tantôt se rallentit : il ne peut donc servir à mesurer le tems, qui est uniforme par sa nature. Voyez Soleil.

Ainsi le tems mesuré par le mouvement du Soleil, & qu’on appelle le tems vrai ou apparent, est différent du tems moyen & uniforme, suivant lequel on mesure & on calcule tous les mouvemens des corps célestes.

Voici comment on explique cette inégalité. Le jour naturel ou solaire n’est pas proprement mesuré par une révolution entiere de l’équateur, ou par vingt-quatre heures équinoxiales, mais par le tems qui s’écoule, tandis que le plan d’un méridien qui a passé sous le Soleil, vient à y repasser une seconde fois par la rotation de la Terre ; & ce tems est la distance qu’il y a entre le midi d’un jour & le midi du jour suivant. Voyez Jour & Méridien.

Or si la Terre n’avoit point d’autre mouvement que celui de sa rotation autour de son axe, tous les jours seroient exactement égaux les uns aux autres, & auroient tous pour mesure le tems de la révolution de l’équateur : mais cela n’est pas tout-à-fait ainsi ; car tandis que la Terre tourne autour de son axe, elle avance en même tems dans son orbite : de sorte que quand un méridien qui a passé sous le centre du Soleil a fait une révolution entiere, ce méridien ne revient pas sous le Soleil précisément, comme il paroît par la figure.

Soit S le Soleil (Pl. Astr. fig. 50) & soit AB une portion de l’écliptique ; supposons que la ligne MD représente un méridien quelconque, dont le plan prolongé passe par le centre du Soleil lorsque la Terre est en A ; imaginons ensuite que la Terre avance dans son orbite, & qu’en faisant une révolution autour de son axe elle arrive en B, le méridien MD se trouvera dans une position md parallele à la premiere : par conséquent le méridien, dans ce nouvel état, ne passera pas par le centre du Soleil, & les peuples qui l’habitent n’auront point encore midi. il faut pour cela que le méridien dm fasse encore un mouvement angulaire, & décrive l’angle dBf, afin que son plan puisse passer par le Soleil. Voyez Terre.

De-là il s’ensuit que les jours solaires sont plus longs que le tems d’une révolution de la Terre autour de son axe.

Cependant si les plans de tous les méridiens étoient perpendiculaires au plan de l’orbite terrestre, & que la terre parcourût son orbite avec un mouvement uniforme, l’angle dBF seroit égal à l’angle BSA, & les arcs df & AB seroient semblables : par conséquent l’intervalle d’un midi à l’autre seroit toûjours le même, puisque l’arc AB & l’angle dBF seroient toûjours de la même quantité de degrés. Tous les jours solaires seroient donc égaux, & le tems moyen seroit le même que le tems vrai.

Mais les choses sont bien autrement, car la Terre n’a point un mouvement uniforme dans son orbite ; elle décrit, lorsqu’elle est aphélie, un plus petit arc, & lorsqu’elle est périhélie, un plus grand arc dans le même tems. Voyez plus bas Equation du centre. D’ailleurs les plans des méridiens ne sont point perpendiculaires à l’écliptique, mais à l’équateur ; & cette seule raison, indépendamment de l’inégalité du mouvement de la Terre, doit rendre les jours inégaux, car l’écliptique fait avec l’équateur un angle d’environ 23 degrés  : & si on divise l’écliptique en plusieurs petits arcs égaux qui représentent le chemin (supposé uniforme) du Soleil pendant chaque jour, & que par les poles du monde & par chacun des points de division on fasse passer des méridiens célestes, les arcs de l’équateur, compris entre ces méridiens, ne seront point égaux entr’eux comme les arcs de l’écliptique ; par conséquent la distance entre le moment où le Soleil passe par un méridien, & le moment du jour suivant où il retourne à ce même méridien, ne sera pas la même pour tous les jours. Nous substituons ici au mouvement réel de la Terre, le mouvement apparent du Soleil, qui produit le même effet, & rend la chose un peu plus facile à entendre.

Ainsi en supposant même que le Soleil eût un mouvement uniforme dans l’écliptique, le tems qui coule uniformément ne pourroit être représenté par la distance entre le midi d’un jour & le midi d’un autre : les Astronomes ont donc été obligés d’inventer, pour la commodité de leurs calculs, des jours fictifs, tous égaux entr’eux, & moyens entre le plus long & le plus court des jours inégaux.

Pour déterminer ces jours, on a pris d’abord le nombre d’heures de la révolution totale du Soleil dans l’écliptique, & on a divisé le tems total en autant de parties qu’il y a d’heures, dont vingt-quatre composent un jour.

De plus, comme nous ne connoissons point dans la nature de corps dont le mouvement soit uniforme, & que cependant un tel mouvement est la seule vraie mesure du tems, on imagine un corps fictif, par ex. une étoile qui se meut uniformément dans l’équateur d’occident en orient, & qui, sans accélérer ni retarder jamais son mouvement, parcourt l’équateur, précisément dans le même tems que le Soleil fait sa révolution dans l’écliptique : le mouvement de cette étoile représente le tems égal ou moyen, & son mouvement diurne dans l’équateur est de 59′ 8″, c’est-à-dire le même que le mouvement moyen du Soleil dans l’écliptique : par conséquent le jour égal & moyen se détermine par l’arrivée de cette étoile au méridien, & il est égal au tems que les 360 degrés de la circonférence de l’équateur mettent à faire une révolution entiere, & a 59′ 8″ de plus. Comme cette addition de 59′ 8″ est toûjours la même, les jours moyens sont constamment égaux entr’eux.

Puis donc que le Soleil va vers l’orient inégalement, par rapport à l’équateur, il arrivera au méridien quelquefois plûtôt que cet astre imaginaire, & quelquefois plus tard : de-là vient la différence qu’il y a entre le tems vrai & le tems moyen. On connoît cette différence quand on sait le lieu de l’astre imaginaire dans l’équateur, & le point de l’équateur qui vient au méridien avec le Soleil ; car l’arc compris entr’eux étant converti en tems, fait voir la différence qu’il y a entre le tems vrai & le tems moyen : c’est cette différence qu’on appelle équation du tems.

On peut donc définir l’équation du tems, le tems qui s’écoule tandis que l’arc de l’équateur, compris entre le point qui détermine l’ascension droite du Soleil, & le lieu de l’astre imaginaire, passe par le méridien : ou, comme Tycho l’explique, & après lui Street, la différence entre la vraie longitude du Soleil & son ascension droite.

Trouver l’équation des jours solaires, c’est-à-dire convertir le tems vrai en tems moyen, & le tems moyen en tems vrai. 1°. Si l’ascension droite du Soleil est égale à son mouvement moyen, le Soleil imaginaire & le vrai passeront par le méridien dans le même tems ; & par conséquent le tems vrai est confondu avec le tems moyen.

2°. Si l’ascension droite est plus grande que le mouvement moyen, il faut soustraire le dernier du premier ; & changeant cette différence en tems solaire, la retrancher du tems vrai pour trouver le tems moyen, ou l’ajoûter au tems moyen pour trouver le tems vrai.

3°. Enfin si l’ascension droite est moindre que le mouvement moyen, ôtez le premier du dernier ; & changeant la différence en tems solaire, ajoûtez-la au tems vrai pour trouver le tems moyen, ou ôtez-la du tems moyen pour trouver le tems vrai.

Cette théorie de l’inégalité & de l’équation des jours naturels est en usage, non seulement dans les calculs astronomiques, mais aussi pour régler les horloges, les montres, & autres instrumens qui mesurent le tems. Par-là nous connoissons pourquoi une pendule, ou autre mouvement qui mesure le tems moyen, ne s’accorde point avec le Soleil qui mesure le tems vrai, mais va quelquefois avant, & quelquefois après lui : c’est pour cela que les cadrans solaires & les horloges ne sont jamais parfaitement d’accord. Voyez Horloge & Cadran.

Ainsi quand on dit, par exemple, à midi de tems moyen, on parle du midi mesuré sur le mouvement de l’horloge ; mouvement qui est uniforme & semblable à celui de l’astre imaginaire, que nous avons supposé plus haut : & quand on dit à midi de tems vrai, il s’agit du moment où le Soleil est arrivé au méridien du lieu ; moment souvent différent de celui où l’horloge marque midi. De même quand on dit à 2 heures 15 minutes après midi tems moyen, on entend à deux heures 15 minutes marquées par la pendule après le midi moyen : & quand on dit 2 heures 15 minutes tems vrai, on entend 2 heures 15 minutes après l’instant du midi vrai.

On a souvent besoin en Astronomie de réduire le tems moyen en tems vrai, parce que les mouvemens des planetes sont calculés dans les tables, par rapport au tems uniforme ou moyen, & qu’il est ensuite nécessaire, pour se conformer à l’usage civil, de connoître ces mouvemens, par rapport au tems estimé selon le mouvement du Soleil : de même on a besoin de réduire le tems vrai en tems moyen, lorsqu’il s’agit de comparer aux tables astronomiques l’observation de quelque phénomene.

C’est l’équation du tems qui a produit l’équation de l’horloge, qui n’est autre chose que la quantité de tems dont une pendule bien réglée doit avancer ou retarder sur une bonne méridienne, cette méridienne donnant toujours le midi vrai. On trouve dans presque tous les almanachs astronomiques, comme dans la connoissance des tems, dans l’état du ciel de M. Pingré, &c. l’équation de l’horloge pour chaque jour. Nous renvoyons à ces ouvrages & à ces tables, & plus bas à l’article Equation, Horlogerie, ceux qui auront besoin de régler leurs pendules sur le mouvement du Soleil. Il nous suffit d’avoir expliqué ici clairement, d’après les Astronomes modernes, en quoi consiste principalement l’équation du tems : nous disons principalement, car nous n’avons eu égard jusqu’ici qu’à une des causes de l’inégalité des jours naturels, à celle qui vient de l’obliquité de l’écliptique : nous n’avons touché qu’en passant une autre cause de cette inégalité, celle qui vient de l’inégalité réelle du mouvement du Soleil dans l’écliptique. Pour avoir exactement l’équation du tems ou de l’horloge, il faut avoir égard à cette seconde inégalité, & il faut que la table de l’équation de l’horloge, quand elle est exacte, renferme cette inégalité & la précédente. Cette table ne sauroit être perpétuelle, à cause de la précession des équinoxes & du changement de l’apogée du Soleil, qui fait que l’inégalité de son mouvement n’est pas exactement la même à la fin de l’année révolue : mais comme le mouvement de précession des équinoxes, & celui de l’apogée du Soleil sont fort lents, la table de l’équation de l’horloge peut servir sans erreur sensible pendant plusieurs années consécutives.

Il ne nous reste plus qu’à expliquer en quoi consiste la seconde inégalité du mouvement du Soleil, qu’on appelle équation du centre ; c’est l’objet de l’article suivant.

Equation du Centre. Pour faire entendre bien clairement ce que c’est que cette équation, il est nécessaire de comparer le mouvement d’une planete dans les divers points de son orbite, avec le mouvement d’un corps qui parcourroit la circonférence d’un cercle d’un mouvement toûjours égal & uniforme. On se ressouviendra d’abord de ces deux principes ; 1°. que les planetes décrivent autour du Soleil des ellipses ; 2°. que les aires décrites par les planetes sont proportionnelles aux tems. Voyez Planete & Képler. Cela posé, soit AEBF (fig. 51. n°. 2. Astronom.) l’orbite d’une planete, au foyer de laquelle se trouve le Soleil en S ; soit AB le grand axe, OQ le petit axe, on décrira du centre S & de l’intervalle SE (que je suppose moyen proportionnel entre AK & OK, c’est-à-dire entre les deux demi-axes) le cercle CEGF, dont la surface sera par conséquent égale à celle de l’ellipse, comme cela est démontré dans les sections coniques. Supposons présentement qu’un corps céleste parcoure la circonférence CEGF d’un mouvement toûjours égal, mais de telle sorte qu’il acheve sa révolution précisément dans le tems que la planete parcourt la circonférence entiere de son ellipse : dans cette supposition, lorsque la planete sera à son aphélie au point A, le corps céleste, que nous supposons emporté d’un mouvement toûjours égal & uniforme, se trouvera pour lors dans la ligne des apsides au point C, & partant son mouvement représentera le mouvement égal, ou le moyen mouvement de la planete, puisqu’il décrira autour du point S des secteurs de cercles proportionnels aux tems, lesquels seront égaux aux aires elliptiques que la planete a dû décrire dans le même tems.

Supposons présentement que le secteur de cercle CSM représente le mouvement moyen de ce corps, ou l’angle proportionnel au tems qu’il a dû décrire autour du point S, on prendra sur l’ellipse l’aire ASP, égale à l’aire CSM ; & le lieu de la planete dans son orbite sera par conséquent au point P, & l’angle MSD, qui est la différence entre le mouvement vrai & le mouvement moyen de la planete, est ce qu’on appelle l’équation du centre ou la prosthaphérese (voyez Prosthaphérese) : mais l’aire ACDP sera égale au secteur DSM ; c’est pourquoi l’aire ACDP est toûjours proportionnelle à l’équation du centre. Au point R, l’équation du centre sera égale à l’aire ACEPA moins l’aire EmR, & ainsi de suite : d’où il est aisé de voir, 1°. que l’équation du centre est la plus grande aux points E, F ; 2°. qu’elle est nulle aux points A, B de l’aphélie ou du périhélie ; 3°. que depuis A jusqu’en B l’équation du centre est soustractive, c’est-à-dire doit se retrancher du mouvement moyen, & que depuis B jusqu’en A elle est additive, c’est-à-dire doit être ajoûtée à ce mouvement.

Les Astronomes ont calculé des tables de l’équation du centre, & c’est par le moyen de ces tables qu’ils déterminent le lieu vrai du Soleil & des planetes pour chaque jour : nous avons donné au mot Ellipse la formule pour l’équation du centre, & indiqué la maniere de trouver cette formule.

L’anomalie étant la distance du lieu d’une planete à son aphélie, il s’ensuit que si, depuis l’aphélie jusqu’au périhélie, on retranche l’équation du centre de l’anomalie moyenne, c’est-à-dire de la distance entre le lieu moyen & l’aphélie, & si on ajoûte cette même équation à l’anomalie moyenne, depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, on aura l’anomalie vraie, ou égalée, c’est-à-dire la distance du lieu vrai de la planete à l’aphélie.

Pendant ce xviij. siecle, lorsque le Soleil est au 10 degré du Scorpion, ou la Terre au 10 degré du Taureau, alors l’équation de l’horloge, formée des deux inégalités ci-dessus expliquées, est la plus grande qu’il est possible, étant de 16′ 11″ : c’est ce qui arrive le 3 Novembre ; la pendule retarde alors de cette quantité. Dès ce moment la pendule retarde de moins en moins jusqu’au 23 Décembre à midi, qu’elle s’accorde très-exactement, ou à très-peu près avec le Soleil. De-là jusqu’au 15 Avril elle avance sur le Soleil ; du 15 Avril jusqu’au 17 Juin elle retarde, du 17 Juin jusqu’au 31 Août elle avance, & du 31 Août jusqu’au 23 Décembre elle retarde.

En effet, supposant le 23 Décembre à midi un astre placé dans l’écliptique qui la décrive non uniformément, mais avec l’inégalité de mouvement que donne l’équation du centre du Soleil, & supposant en ce même instant un astre imaginaire qui ait la même ascension droite, & qui décrive uniformément l’équateur, on verra, par les méthodes indiquées ci-dessus, que jusqu’au 15 Avril l’astre imaginaire passera au méridien avant le Soleil, qu’ensuite il y passera plus tard jusqu’au 17 Juin, &c.

Equation du mouvement des Planetes. L’équation du centre n’est pas la seule inégalité à laquelle le mouvement des planetes soit sujet ; il est encore d’autres inégalités qui viennent principalement de l’action mutuelle que les planetes exercent les unes sur les autres, ou de celle que le Soleil exerce sur les Satellites.

C’est principalement dans la Lune que ces équations sont sensibles ; elles le sont aussi dans Jupiter & dans Saturne, mais la quantité n’en est pas si bien déterminée. Sur quoi voyez les articles Lune, Saturne, Jupiter. Je me contenterai de faire ici les observations suivantes à l’égard de la Lune.

1°. Depuis la publication de mon ouvrage, qui a pour titre, recherches sur les différens points importans du système du monde, Paris 1754, j’ai trouvé moyen de simplifier à certains égards, & de rendre encore plus exactes à d’autres, les tables du mouvement de la Lune données dans cet ouvrage. Dans les tables de correction qui se trouvent à la page 147 de la premiere partie, on doit supprimer entierement la I. table de la page 149 : dans la XIII. table, page 153, l’équation doit être 1′ 21″, au lieu de 1′ : & dans la XVI. table, page 155, l’équation doit être 39″, au lieu de 1′ 39″.

2°. Outre les équations du mouvement du nœud, qu’on trouve dans les tables des Inst. astronomiques, on a encore ces deux-ci : 4′ 45″ multipliées par le sinus du double de la distance de l’apogée de la Lune au nœud ascendant : plus 8′ 22″ multipliées par le sinus du double de la distance de la Lune au nœud, moins le sinus du double de la distance de la Lune au Soleil. Toutes les autres tables de l’équation du nœud peuvent être supprimées : ainsi on peut simplifier beaucoup nos tables des pages 190, 191, 195 de l’ouvrage cité ; on les réduira à deux de la forme suivante.

I. Table. Distance de l’apogée de la Lune au nœud, ajoûtez en descendant, &c.

II. Table. Distance de là Lune au nœud, ajoûtez en descendant, &c.

Distance de la Lune au Soleil, ôtez en descendant, &c.

Dans la premiere de ces tables, la plus grande équation sera de 4′ 45″, comme dans la seconde colonne de la page 191 de mon ouvrage : dans la seconde table, la plus grande équation sera de 8′ 22″, comme dans la seconde colonne de la page 190.

3°. Dans les tables pour corriger l’inclinaison, page 102 du même ouvrage, on peut supprimer encore la seconde table de la page 103, & la premiere de la page 104.

Les raisons de ces différentes corrections aux tables publiées dans mon ouvrage, seront expliquées dans la troisieme partie de ce même ouvrage, que j’espere publier bien-tôt, & qui contiendra beaucoup d’autres remarques importantes sur les tables de la Lune.

Sur la construction & la forme des tables d’équation des planetes, voyez l’article Tables Astronomiques.

Equation Lunaire, en Chronologie, est la même chose que la proemptose, ou anticipation de la nouvelle Lune. Voyez Proemptose.

Equation Solaire, en Chronologie, est la même chose que la métemptose, ou retardement de la nouvelle Lune. Voyez Métemptose.

Equation, (Horlogerie, &c.) L’équation est cette partie de l’Horlogerie qui indique les variations du Soleil, ou la différence de son retour au méridien.

Ayant parlé des deux tems vrai & moyen (voyez ci-dessus Equation du tems), & donné une idée de leurs causes, il faut passer à la description des machines qu’on a employées pour les indiquer.

Les premieres horloges qui ont été faites, ont indiqué le tems moyen : la disposition de ces machines ne pouvoit marquer les parties du tems que par des intervalles égaux.

Ce ne fut que lorsqu’on eut déterminé la quantité de variation apparente du Soleil par le moyen des observations astronomiques, que l’on chercha les moyens de faire suivre aux horloges ces mêmes variations du Soleil ; ce qui donna lieu aux pendules à équation.

Les différentes especes de construction que l’on a mises en usage pour faire marquer le tems vrai & moyen, peuvent se réduire en général aux suivantes. 1°. Aux pendules à équation qui marquoient les deux tems par le moyen de deux aiguilles : telle est celle dont parle le P. Alexandre dans son traité des Horloges, page 343. Cette piece étoit dans le cabinet de Philippe II. roi d’Espagne ; elle fut la premiere pendule à équation connue.

Voici ce que dit M. de Sully, regle artificielle du tems, dans sa réponse au P. Kefra sur les premieres équations. « Il y a, dit-il, deux manieres de produire à-peu-près la même chose (de marquer l’équation) ; l’une est par une pendule dont les vibrations sont réglées sur le tems égal ou moyen, & dont la réduction du tems égal à l’apparent, est faite par le mouvement particulier d’une seconde aiguille de minutes sur le cadran ; & c’est de cette maniere qu’est faite la pendule du roi d’Espagne, & toutes les autres qu’on a faites jusqu’ici, & que l’on appelle pendules d’équation.

» La seconde maniere, qui est celle que j’entends, & qui n’a pas encore été exécutée, que je sache, est par une pendule dont les vibrations seroient réglées sur le tems apparent, & qui par conséquent seroient inégales entr’elles. Cette pendule ayant son cadran à l’ordinaire, ses aiguilles d’heures, de minutes, de secondes, seroient toûjours d’accord, & montreroient uniquement & précisément le tems apparent, comme il nous est mesuré par le Soleil ». Cette derniere construction d’équation appartient au P. Alexandre : c’est la même dont je parlerai bientôt.

Celles que l’on construisit en Angleterre, étoient aussi sur le même principe : j’ignore quelle étoit la disposition intérieure de ces premiers ouvrages ; mais je suppléerai à cela en faisant la description de celle de M. Julien le Roi, qui est aussi à deux aiguilles, & qui a été une des premieres pendules à équation.

La seconde est celle du P. Alexandre, dont il a fait la description dans son traité des Horloges. Cette construction, toute simple & ingénieuse qu’elle est, a trop de défauts pour que je m’arrête à la décrire en entier, j’en donnerai simplement l’idée ci-après ; ceux qui seront curieux de la connoître mieux, pourront recourir au traité de l’Horlogerie de cet auteur : je ne crois pas qu’elle ait été exécutée ; elle ne pourroit d’ailleurs marquer le tems moyen.

Je puis comprendre dans ce second genre une construction de M. de Rivaz, qui ne marque que les heures & minutes du tems vrai ; mais elle est exempte des défauts de celle du P. Alexandre : j’en ferai la description, & on en verra le plan dans la fig. 38. A.

La troisieme est celle du sieur le Bon : cette construction marque les heures, minutes & secondes du tems vrai, & les heures & minutes du tems moyen ; c’est par le moyen de plusieurs cadrans qu’il a produit ces effets. Je ne connois cet ouvrage que par l’extrait de la lettre de M. le Bon à l’abbé de Hautefeuille, indiqué dans le livre du P. Alexandre, page 342.

Les pendules d’équation à cercles mobiles sont aussi de ce genre. La pendule à équation que j’ai construite, ainsi que la montre, peuvent y être comprises ; la description que j’en donne ci-après, suppléera à celle que j’aurois donnée de celle de M. le Bon, si j’avois eu la facilité de le faire.

Une derniere espece de pendules à équation, est celle dont une aiguille marque les minutes du tems moyen ; & une autre la différence ou le nombre de minutes dont le tems vrai en differe. Cette derniere aiguille ne fait qu’une demi-révolution environ, pour répondre à 30′ 53″. Cette quantité est la somme des variations du Soleil ; car on voit par la table d’équation ci-après, que le Soleil avance de 16′ 9″ le premier Novembre sur le tems moyen ; & qu’au contraire il retarde de 14′ 44″ sur le même tems le 11 Février, & la somme de ces variations est de 30′ 53″.

On peut voir la description de la pendule dont il s’agit, dans le traité de M. Thiout, ainsi que plusieurs constructions d’équations qui y sont décrites, dont une partie sont en usage parmi les Horlogers, telle que celle de l’invention du sieur Enderlin, savant artiste, que l’Horlogerie regrettera long-tems ; une de M. Thiout, auteur du traité ; une du sieur Regnaud, de Châlons. Je ne m’arrêterai sur aucune de ces pieces, qui sont d’ailleurs connues ; mon but étant d’exposer ici ce qu’on a trouvé depuis l’impression des traités de M. Thiout & du P. Alexandre, ou qui n’a pas encore été donné au public.

Avant de faire la description des différentes équations, on me permettra quelques remarques sur le choix des constructions d’équation, & sur ce qu’exige l’exécution de cette partie de l’Horlogerie.

Il y a trois sortes de personnes qui travaillent, ou se mêlent de travailler à l’Horlogerie ; les premiers, dont le nombre est le plus considérable, sont ceux qui ont pris cet état sans goût, sans disposition ni talent, & qui le professent sans application, & sans chercher à sortir de leur ignorance : ils travaillent simplement pour gagner de l’argent, & le hasard a décidé du choix.

Les seconds sont ceux qui, par une envie de s’élever fort loüable, cherchent à acquérir quelques connoissances & principes de l’art, mais aux efforts desquels la nature ingrate se refuse.

Enfin le petit nombre renferme ces artistes intelligens, qui nés avec des dispositions particulieres, ont l’amour du travail & de l’art, & s’appliquent à découvrir de nouveaux principes, & à approfondir ceux qui ont déjà été trouvés.

Pour être un artiste de ce genre, il ne suffit pas d’avoir un peu de théorie & quelques principes généraux des Méchaniques, & d’y joindre l’habitude de travailler ; il faut une disposition particuliere donnée par la Nature. Cette disposition seule tient lieu de tout ; lorsqu’on est né avec elle, on ne tarde pas à acquérir les autres parties. Si on veut faire usage de ce don précieux, le tems donne bientôt la pratique, & un tel artiste n’exécute rien dont il ne sente les effets, ou qu’il ne cherche à les analyser : enfin rien n’échappe à ses observations ; & quel chemin ne fera-t-il pas dans son art, s’il joint à ces dispositions l’étude de ce que l’on a découvert jusqu’à lui ? Il est sans doute rare de trouver des génies heureux qui réunissent toutes ces parties nécessaires ; mais on en trouve qui ont toutes les dispositions naturelles, il ne leur manque que d’en faire l’application ; ce qu’ils feroient sans doute, s’ils avoient plus de motifs pour les porter à se livrer tout entiers à la perfection de leur art. Il ne faudroit, pour rendre un service essentiel à l’Horlogerie & à la société, que piquer leur amour-propre, faire une distinction de ceux qui sont horlogers de nom, ou qui le sont en effet ; enfin confier l’administration du corps de l’Horlogerie aux plus intelligens ; faciliter l’entrée à ceux qui ont du talent, & la fermer à jamais à ces misérables ouvriers qui ne peuvent que retarder le progrès de l’art, qu’ils ne tendent même qu’à détruire ; ou, si l’on veut que cette communauté subsiste telle qu’elle est, que l’on érige du moins une société particuliere, composée des plus fameux artistes qui seront juges du talent de ceux qui devront en être reçûs, & qui décideront du mérite de toutes les nouvelles productions. Cette digression, si c’en est une, doit être pardonnée à mon zele pour le progrès de l’art.

On peut réduire à deux points essentiels ou généraux, toutes les parties de l’Horlogerie ; la construction, c’est-à-dire la disposition des différens méchanismes, & l’exécution. L’une & l’autre sont également nécessaires pour rendre les effets que l’on s’est proposé ; sans l’intelligence de l’artiste, l’exécution la plus belle ne forme que des parties séparées, qui n’ont point d’ame, & ne peuvent rendre que très-mal des effets ; & sans la pratique le théoricien ne peut mettre en exécution ses idées. D’ailleurs la pratique nous instruit de bien des phénomenes qu’on n’apperçoit qu’en exécutant.

La construction des ouvrages d’équations été jusqu’à présent trop composée, & les êtres multipliés sans raison, inconvénient ordinaire aux nouvelles productions. Enderlin avoit employé six roues de plus qu’aux pendules ordinaires, pour son équation. On verra par celle que je décrirai ci-après, que l’on est parvenu à les retrancher toutes dans certaines constructions, & à n’en employer que trois ou quatre dans d’autres.

Ce nombre de roues que l’on employoit, a produit non-seulement une augmentation d’ouvrage, mais encore un obstacle assez grand pour la justesse de l’équation. J’ai observé qu’une pendule construite avec six roues de cadrature, malgré tous les soins apportés à l’exécution de ces roues, tant pour les arrondir que pour les fendre ; j’ai observé, dis-je, que les aiguilles du tems vrai & moyen s’éloignent & se rapprochent à chaque révolution qu’elles font. La pendule qui m’a donné lieu de faire cette remarque ; étoit exécutée avec soin, & les aiguilles s’éloignoient de trente secondes. On conçoit que c’est l’inégalité des roues qui produit cet effet. Il ne faut pas qu’elle soit sensible, pour ne donner que cette quantité ; il ne faut que faire attention à leur nombre : ainsi s’il y en a six, comme à celle en question, c’est l’inégalité de six roues qui est multipliée par la différence de la longueur des aiguilles au rayon des roues.

La conduite de la roue annuelle n’étoit pas moins composée ; on s’étoit attaché à la faire mouvoir continuellement, afin d’imiter par-là la progression insensible de l’augmentation ou diminution d’équation. Il me paroît que cette précision étoit assez superflue, si on envisage l’équation, non comme un simple objet de curiosité, mais comme une chose utile.

Si une pendule à équation ne sert simplement qu’à contenter un curieux, on a raison de ne lui rien laisser à desirer ; car dès-lors l’augmentation de l’ouvrage ne doit plus faire un obstacle ; mais si ces sortes de pieces sont destinées à un usage réel, il faut en faciliter l’exécution aux ouvriers ordinaires, produire les effets avec le moins de pieces possible, & reserver pour des artistes choisis les opérations délicates qui échappent au général.

La plus grande variation du Soleil en vingt quatre heures, est de 30 secondes (voyez la table ci-après) ; or si le changement d’équation ne se fait qu’une fois par jour (& en quelques heures, comme de minuit à deux heures, par exemple), au lieu de se faire insensiblement & par un mouvement continuel, il s’ensuivra de-là qu’à six heures du matin l’aiguille du tems vrai marquera 7 secondes de plus qu’elle ne devroit, en suivant la progression naturelle de la variation du Soleil ; à midi elle marquera juste l’équation, & à six heures du soir elle marquera 7 secondes de moins : ainsi dans la plus grande variation journaliere du Soleil, l’erreur qui résultera d’une construction d’équation dont le changement ne se fera pas insensiblement, sera de 7  ; quantité même qui ne pourra être remarquée dans un cadran de 10 piés de diametre : mais d’ailleurs à midi elle sera juste, ainsi on pourra voir le méridien & régler la pendule en se réglant sur l’aiguille du tems vrai, comme avec les constructions composées.

Description de la pendule à équation de M. Julien le Roy, figures 37. 38. 39. 40. & 41. La roue A (fig. 41.) fait sa révolution en 365 jours. Sur cette roue sont gravés les mois de l’année & les quantiemes du mois, qui paroissent par une ouverture faite au cadran à l’endroit de 6 heures. Cette roue A est concentrique au cadran, & mûe par le mouvement, dont la premiere roue porte quarrément du côté de la cadrature, un pignon d (figure 37.) de 15 dents, qui fait, ainsi que la roue, un tour en 10 heures ; il engrene dans la roue de champ A (fig. 39.) de 30 dents ; elle est rivée sur une tige qui porte la piece B, qui est une vis sans fin, simple, laquelle engrene dans la roue C de 30 dents. La tige de cette roue passe à-travers la plaque, & porte quarrément le pignon D (fig. 40.). Ce pignon est de 15 ; il engrene dans la roue annuelle A de 219 dents. Le prolongement du quarré du pignon D passe au-travers du cadran ; il sert à faire tourner le pignon D séparément de la roue C (figure 39.) il tourne à frotement sur cette tige, par le moyen d’un ressort qui presse la roue C contre l’assiete de ce pignon.

Les secondes sont concentriques au cadran. La tige du rochet des secondes porte un pignon C de 12 dents (fig. 37.), lequel passe au-travers de la piece AB, qui a le même centre de mouvement que le rochet. Cette piece AB se meut sur un pont, & peut faire une demi-révolution qui produit la variation de l’aiguille du tems vrai. La roue D, de 90 dents, engrene dans le pignon C fixé sur la tige du rochet des secondes. Cette roue est portée par la piece AB, & par un petit point E attaché à cette piece. La roue D porte un pignon F de 12 dents, qui engrene dans la roue O du tems vrai (figure 38.) qui a 96 dents. Cette derniere porte à frotement la roue I fixée sur le canon qui porte l’aiguille du tems vrai ; ensorte qu’on peut faire tourner cette roue I indépendamment de celle O. La roue I engrene dans celle de renvoi F : ces deux roues sont de même nombre. La roue F porte un pignon p, qui fait mouvoir la roue H du cadran : ainsi en faisant tourner l’aiguille du tems vrai, celle du cadran se meut aussi, mais celle du tems moyen reste immobile ; & en la faisant tourner, elle ne fait point mouvoir celle du tems vrai, ce qui a obligé de faire graver sur la roue annuelle la différence du tems vrai au tems moyen pour tous les jours de l’année, afin de remettre les aiguilles à l’équation, lorsque la pendule a été arrêtée. La roue F porte 4 chevilles qui servent à lever la détente M de la sonnerie qui sonne les heures & quarts du tems vrai.

La tige de la troisieme roue du mouvement porte un pignon gg, de 9 dents, qui fait mouvoir la roue G du tems moyen, de 72 dents. Le coq E (fig. 37. ou 38.) porte une broche n qui passe à-travers la fausse plaque par l’ouverture Z. Cette broche est conduite par une fourchette que porte la roue T, qui engrene dans le rateau R, lequel appuie sur l’ellipse ou courbe. Les différens diametres de l’ellipse font avancer ou retarder l’aiguille du tems vrai, ce qui se fait par le mouvement que ce rateau imprime à la piece AB (fig. 3.), laquelle peut parcourir un peu plus d’une demi-circonférence. Cette piece ou chassis AB entraîne avec elle la roue D, qui engrene dans celle du tems vrai. Le plus petit rayon de la courbe répond au 11 Février, tems où le Soleil retarde de 14′ 44″ ; & le plus grand au premier Novembre, où au contraire il avance de 16′ 9″. La somme de ces deux excès du tems vrai sur le moyen, donne l’espace que doit parcourir la roue du tems vrai, sans que celle du tems moyen se meuve ; ce que l’on verra mieux dans la partie où je parle de l’exécution des pendules à équation, qui terminera cet article.

Le ressort gg (fig. 37 ou 38.) appuie sur un levier mis en-dedans de la cage, lequel porte à son extrémité un bout de corde à boyau qui s’enveloppe sur une petite poulie fixée sur la piece AB. L’effet de ce ressort est de faire presser continuellement le rateau sur la courbe.

Description d’une cadrature d’équation construite par M. Dauthiau, horloger. La figure 35 A représente cette cadrature vûe de profil. Les secondes sont concentriques ; la tige du rochet passe à-travers le pont marqué pp, fixé sur la platine des piliers. Ce pont porte les deux roues des tems vrai & moyen, & celle de cadran. La roue m du tems moyen est menée par le pignon C, que porte la tige de la roue qui engrene dans le rochet d’échappement.

La tige h est celle de la roue du mouvement qui fait sa révolution en une heure. Cette tige passe à la cadrature, & porte quarrément un canon sur lequel est rivée une roue de champ e, qui fait mouvoir le pignon a, dont l’axe est parallele au plan de la platine. Ce pignon est posé & tourne entre deux petits ponts fixés sur la roue xx, d’un nombre de dents à volonté. Cette roue xx engrene dans un rateau, dont un bout appuie sur l’ellipse. Ce rateau n’est point ici représenté ; sa position dépend de celle de la roue annuelle, que l’on peut faire concentrique au cadran, ou on peut également la placer hors du centre.

Quoique la position de la roue annuelle ne doive pourtant pas être arbitraire, puisqu’à tous égards celle qui sera excentrique au cadran est préférable, non-seulement pour les frotemens qu’elle évite, mais encore pour la facilité de tailler la courbe, &c. cependant la disposition des boîtes, ou la construction d’une piece ne permet pas toujours de la placer de cette sorte.

Le pignon a engrene dans une roue de champ v de même nombre que celle qui fait mouvoir le pignon ; elle est d’un diametre plus petit que celle c, pour que le pignon qui est mené ait la grosseur requise pour faire mouvoir lui-même. Voyez Engrenage.

La roue de champ v pourroit ne former qu’une seule roue avec celle b qui engrene dans la roue R du tems vrai ; mais si cela étoit, en tournant l’aiguille des minutes du tems vrai, celle des heures resteroit immobile ; ce qui seroit un défaut d’autant plus grand, que par celle du tems moyen, on ne peut faire tourner ni l’une ni l’autre aiguille du tems vrai ; ainsi il faudroit les faire tourner séparément l’une de l’autre, & faire des divisions des quarts pour l’aiguille des heures, afin de pouvoir toujours la remettre à des parties d’heures correspondantes à celles des minutes : il faut donc que la roue b tourne à frotement sur la roue de champ v, & que le pignon o qui mene la roue q de cadran soit rivé sur la roue b, l’un & l’autre tournant sur le prolongement de la tige h.

La roue x est concentrique à l’axe de la roue de champ, & peut faire plus d’une demi-révolution en emportant avec soi le pignon a, sans que la roue de champ e tourne ; c’est cette demi-révolution qui fait la variation de l’aiguille du tems vrai ; cet effet est produit comme dans celle de M. Julien le Roy & autres, par les différens diametres de la courbe, qui font parcourir une espace au rateau, & par conséquent à la roue dans lequel il engrene.

Les tiges, c, h, telles qu’elles sont vûes dans la figure, paroissent éloignées l’une de l’autre ; cependant elles ne doivent l’être en effet que de la longueur du rayon de la roue du mouvement fixée sur la tige h. Cette roue fait son tour en une heure, elle engrene dans un pignon que porte la tige C en-dedans de la cage ; ce qui se verroit aisément, si j’eusse donné le calibre du mouvement qui est à l’ordinaire ; j’ai pû par cette raison me dispenser de le faire, en renvoyant les plans de pendules à secondes, à l’article pendule à secondes. Voyez Pendule à Secondes.

Construction d’une équation de M. de Rivaz, à deux cadrans & deux aiguilles, figure 36 A. Je donne le plan de cette équation d’après une pendule où l’auteur l’a appliquée, ainsi que son pendule.

Cette pendule a deux cadrans, dont un excentrique sert pour faire marquer par une aiguille le tems vrai, & l’autre est à l’ordinaire pour les heures & minutes du tems moyen ; la tige de la roue de minutes porte un pignon P mis sous la roue de chaussée, qui ainsi que la roue de renvoi & de cadran ne sont pas ici représentés ; étant à l’ordinaire, elles sont mues par la roue de chaussée, portée par la tige qui porte le pignon P, centre du grand cadran ou du tems moyen. Le pignon P engrene dans la roue M ; la piece CCD est posée sur la platine & mobile au point S, centre du pignon B. Elle porte une têtine tournée sur le trou même du pivot du pignon B. Cette têtine roule dans un trou fait à la platine, ainsi la piece CCD se meut circulairement sur le centre du pignon B ; les petites pieces pp sont faites pour contenir la piece CCD contre la platine, Le pignon B se meut entre un pont pp & la piece CD, ainsi que la roue M, ce qui forme une petite cage pour la roue M & le pignon B. Le pivot de ce pignon traverse ce pont, il est de longueur suffisante pour porter l’aiguille du tems vrai, la piece CD porte un levier E qui est pour appuyer sur la courbe x portée par la roue annuelle AA que fait mouvoir le pignon F, ce levier E se meut suivant les différens diametres de la courbe, & par conséquent la partie o de la roue m décrit une portion de cercle nn, qui oblige la roue M à faire une partie de révolution ; cette même roue M engrene dans les deux pignons PB d’égale nombre & même diametre ; (à cela près que celui qui mene doit être plus gros que l’autre ;) mais le pignon P étant immobile & fixe sur sa tige, la roue M faisant une partie de révolution, le pignon B dans lequel elle engrene doit tourner aussi, il fera donc un demi-tour passé pour répondre à la variation apparente du Soleil ; & l’on voit que c’est la courbe qui détermine la quantité de son mouvement, ainsi qu’à toutes les constructions de cadrature d’équation.

Comme cette variation ne peut être produite que par la différence du point du mouvement de la piece CD à celui de la roue M, lesquels different entr’eux de la longueur du rayon de la roue M ; le point O ne peut s’éloigner de la ligne des centres, sans que l’engrenage de cette roue avec le pignon P change & devienne fort ou foible, & par conséquent que l’aiguille du tems vrai acquierre du jeu ; cette équation, d’ailleurs très-simple, a un défaut, puisque, comme je l’ai remarqué dans cette piece, à 2 ou 3 minutes près, on n’est pas assuré de la justesse de l’équation du jour, il faudroit donc faire ensorte d’y adapter un ressort spiral, foible, qui presse le pignon B toujours du même côté.

Le nombre des dents de la roue M paroît d’abord assez arbitraire ; cependant, c’est de la nature de l’engrenage de cette roue avec les pignons P & B que dépend en partie le balotage de l’aiguille du tems vrai. Les pignons pour cet effet doivent être au moins de douze & faire douze tours, pendant que la roue en fera un, l’espace que le point o parcourra devenant d’autant plus petit, que le nombre des tours du pignon sera grand, par rapport à ceux de la roue M.

Equation présentée en 1752 à l’académie des sciences, par Ferdinand Berthoud, figure 37 A. Cette pendule marque aussi l’année bissextile, ce qui évite de retoucher aux quantiemes, &c.

La roue de barillet de sonnerie engrene dans un pignon qui fait un tour en 24 heures. La tige de ce pignon passe à la cadrature, & porte quarrément une assiette sur laquelle est rivée la piece aa. Sur le prolongement de cette tige est ajustée la piece Son qui porte une dent partagée en deux parties, dont l’une est plus saillante que l’autre. Ce cylindre ou piece So peut monter & descendre sur cette tige, dont la partie qui passe à-travers le cylindre est ronde.

La partie o de la piece Son a une petite tige cylindrique, qui passe à-travers la piece aa, qui par ce moyen en tournant entraîne avec elle la piece Son. C’est la partie n ou dent qui fait tourner la roue annuelle B fendue à rochet de 366 dents ; elle est maintenue par un sautoir ; aux années bissextiles la partie la moins saillante de la dent de la piece Son fait passer à chaque tour de la piece aa une dent de la roue annuelle, & lui fait faire un tour en 366 jours.

Dans les années de 365 jours, la partie la moins saillante de la dent fait passer 364 dents de la roue annuelle, & les deux dents de cette roue qui restent encore sont prises en un seul tour de la piece aa par la partie la plus saillante de la dent ; ensorte que les 366 dents de la roue annuelle sont prises en 365 fois qui répondent à autant de jours. Il reste à voir comment la piece Son change de position & monte pour présenter à la roue annuelle trois fois en quatre ans la partie la plus large de sa dent. L’étoile L divisée en huit parties est mue par deux chevilles que porte la roue annuelle, dont une fait passer une dent de l’étoile le 31 Décembre à minuit, & l’autre le 29 Février à la même heure. Cette étoile porte une plaque qui passe entre la roue annuelle & le cadran ; où est gravé premiere, deuxieme, troisieme année, & année bissextile, lesquelles paroissent alternativement à-travers une ouverture faite pour cet effet au cadran. Cette étoile porte les trois parties ppp, qui sont des plans inclinés, qui servent à éloigner de la piece aa trois fois en quatre ans la piece Son, & lui font présenter la partie n de la palette pour faire passer deux dents de la roue annuelle. Le ressort m est pour faire redescendre la piece Son aussi-tôt que le plan incliné lui en donne la liberté, ce qui se fait à l’instant que la palette fait passer la dent de la roue annuelle qui répond au premier Mars.

La dent de l’étoile parvenue à l’angle du sautoir g est obligée de parcourir un espace qui éloigne en même tems le plan S de la piece So, laquelle a un intervalle creusé dans la longueur du cylindre S. C’est dans cette partie que le plan incliné vient agir pour faire monter la piece oSn.

Cette méthode de marquer les années bissextiles & de faire mouvoir la roue annuelle, quoique plus simple que celle qu’on avoit suivie jusqu’au tems que je construisis cette pendule, ne m’ayant pas encore satisfait, j’ai cherché depuis un nouveau moyen, qui étant plus simple conserve toute la solidité possible ; ce que je compte avoir trouvé, ainsi qu’on le verra à la suite de la description que je donne d’une pendule à équation où je l’ai appliquée ; la comparaison de ces deux constructions m’a persuadé que l’on ne parvient pas sûrement à faire des machines simples, sans avoir vû ou passé par les composées.

La roue A est celle du tems moyen qui engrene à l’ordinaire dans celle C de renvoi, dont le pignon engrene dans celle de cadran : sur cette roue A est attachée une partie IL de cuivre, laquelle porte un petit pont R qui fait une espece de cage pour l’étoile E fendue en 20 parties. Cette étoile porte un pignon à lanterne de quatre dents qui engrenent dans la roue b du tems vrai ; c’est en faisant tourner l’étoile de l’un ou de l’autre côté, que l’on fait avancer ou retarder la roue du tems vrai, sans que celle du tems moyen se meuve. Le levier FT mobile au point Z sert à produire cette variation. La partie T de ce levier porte deux chevilles, celle de la partie supérieure sert à faire retarder l’aiguille du tems vrai, & l’autre au contraire à le faire avancer ; ce sont les différents diametres de la piece O taillée en limaçon, qui déterminent la quantité de dents qu’une des chevilles doit faire passer, & dans quel sens elle doit le faire. Ces pas de limaçons sont déterminés par l’équation du jour, chaque pas de la piece o comme q sert pendant que l’équation est constante (puisqu’ils sont tous formés par des portions de cercle concentrique à la roue annuelle, & par conséquent à la piece O fixée sur la roue annuelle), & ils changent lorsque l’équation varie.

Le levier FT peut se mouvoir non-seulement en tournant sur ses pivots, mais encore monter & baisser, suivant leur longueur ; l’assiette de ce levier repose sur la piece aa ; cette piece a une entaille x, qui se présente à l’assiette à chaque 24 heures à 11 du soir, & lui permet de s’y enfoncer ; alors le levier présente l’une ou l’autre de ses chevilles à l’étoile E, qui emportée par la roue des minutes du tems moyen, rencontre une des chevilles du levier T, laquelle s’engage entre les rayons de l’étoile, & la fait tourner plus ou moins, suivant que la cheville se présente loin ou près du centre ; c’est cette quantité qui représente l’équation diurne : à minuit, l’entaille dans laquelle l’assiette étoit descendue, continuant à se mouvoir, fait remonter le levier par un plan incliné fait à l’entaille. Le levier reste élevé jusqu’à 11 heures du soir suivant, ce qui empêche les chevilles qu’il porte de s’engager pendant tout ce tems dans les dents de l’étoile, quoique l’étoile fasse la même révolution, & soit toûjours emportée par la roue des minutes.

La piece D que porte cette roue est pour faire équilibre, non-seulement avec l’étoile & sa petite cage, mais encore avec l’aiguille des minutes du tems moyen ; l’aiguille du tems vrai est d’équilibre par elle-même.

Pour que les enfoncemens des portions de limaçon puissent être plus grands, & par-là ôter toutes les erreurs qui en pourroient résulter (comme, par exemple, qu’une des chevilles qui fait tourner l’étoile ne se présente pour faire passer trois dents au lieu de deux, &c.) ; la piece aa porte une cheville qui, pendant que la dent de la piece osn en fait passer une de la roue annuelle, éloigne la partie F du levier FT des pas de limaçon les plus élevés de la piece O ; en sorte que ces pas de limaçon n’exigent point de plans inclinés pour faire passer le levier FT à un pas plus élevé.

Lorsque la palette de la piece onS a fait passer une dent de la roue annuelle, la piece aa continuant à se mouvoir, lorsque la sonnerie frappe telle heure ; l’entaille y du levier FT, sert à y laisser entrer la cheville, & permet au levier de reprendre sa situation naturelle, & par conséquent à la partie F du levier de poser sur la portion de cercle qui se présente ; c’est après ces changemens que l’entaille x se présente à l’assiette du levier FT, & que se fait, comme on l’a vû, le changement d’équation.

J’ai fait graver sur la roue annuelle, dans une partie au-dessous de celle des mois, & de leurs quantiemes, la différence du tems vrai au tems moyen ; afin que si on laissoit la pendule arrêtée, on la puisse remettre à l’équation, sans le secours d’une table ; il n’y a que ce cas particulier qui oblige de retoucher à cette équation, puisqu’en faisant tourner l’aiguille des minutes du tems moyen, celles du tems vrai & de cadran tournent aussi.

Je joins ici une table particuliere que j’ai dressée pour tailler la courbe ou piece o : elle sert à déterminer l’espace qui doit être compris depuis chaque pas de limaçon jusqu’à l’autre ; & pour ne rien laisser à desirer, & éviter l’embarras où pourroient se jetter ceux qui voudroient exécuter ces sortes de pendules, je marquerai les moyens que j’ai mis en usage pour plusieurs de ces ouvrages que j’ai exécuté sur ce principe avec beaucoup de facilité. J’aurois dû remettre ce qui regarde l’exécution pour la fin de cet article, que je terminerai par la partie de l’exécution ; mais comme les moyens d’opérer pour cette construction-ci lui sont particuliers, & ne peuvent servir à d’autres, il me paroît plus naturel de les placer immédiatement après la description.

J’ai ajusté sur la plaque du cadran la piece ponctuée ll, qui passe sous le levier F, qui peut parcourir un certain espace dessus cette piece ll. Elle a une entaille au-travers de laquelle passe une vis taraudée dans un morceau de cuivre i ; de sorte que par la pression de cette vis, je puis rendre le levier immobile au point que je veux.

Je fixe d’abord le levier, en sorte que ni l’une ni l’autre cheville de la partie T ne puissent s’engager dans l’étoile E ; & là je trace sur le plan 2 de la piece l un trait qui soit fin, & près du levier qui me sert de regle, je marque zéro sur ce trait qui me servira pour tracer les parties de la courbe, où d’un jour à l’autre l’équation n’est ni augmentée, ni diminuée : je fais changer le levier de position, & le place de sorte que la cheville supérieure puisse s’engager pour faire tourner une dent de l’étoile ; ce qui répond à cinq secondes, & marque 1 sur ce trait, & continuant les mêmes opérations en marquant successivement 1 dent, 2, 3, &c. jusqu’à ce que le levier s’engage assez avant dans l’étoile pour faire changer six dents, lesquelles feront 30 secondes, qui est la plus grande quantité dont le Soleil varie en 24 heures. Sur ce côté je marque retarde, afin de me souvenir que c’est pour faire retarder l’aiguille du tems vrai ; ensuite je fais passer mon levier de l’autre côté du trait de zéro, & je marque quatre traits, avec les soins que j’avois pris pour les autres, c’est-à-dire que l’un réponde à l’enfoncement qu’exige la cheville inférieure pour faire tourner l’étoile d’une dent, & ensuite de 2, 3 jusqu’à 4 qui feront 20 s. & marquer de ce côté avance. Ceci détermine donc tous les enfoncemens des pas de limaçon ; il n’est plus question que de leur longueur qui est marquée dans la table ci-après.

La roue annuelle, l’ellipse, & le levier étant ainsi en place, je fixe le levier sur le trait de zéro, & fais tourner la roue annuelle, & la mets au 18 de Mai ; & par un trou percé au point F du levier FT, je marque un point sur la courbe ; il faut ensuite faire passer une dent de la roue annuelle, ce qui donnera le 19 Mai, & mettre le levier sur le trait 1, côté du retard, marquer un point sur la courbe avec le foret ; ensuite faire passer la roue annuelle au 30 Mai, marquer encore un point, & suivre ainsi la table jusqu’à ce que la révolution annuelle soit faite : enfin percer des trous fins pour tous les points marqués, & tirer des traits de compas par tous les trous qui se trouvent à la même distance du centre ; les pas formés, il ne s’agira plus, l’ayant limée, que d’égaler la piece O ; la piece ll servira encore pour cela. Cette opération faite, les pieces ponctuées ill2 deviendront inutiles, & ne doivent pas rester attachées à la plaque ; elles peuvent servir au contraire pour tracer d’autres courbes semblables.

Table pour tracer la courbe de la pendule ci-dessus calculée, pour les années bissextiles & communes.

Soleil
retarde
.
Du 12 Mai, le levier sera sur 0 jusqu’au 18 dudit mois ; du 19, une dent du côté retard, jusqu’au 30 ; du 31 Mai, 2 dents jusqu’au 11 Juin ; du 12 dudit, 3 dents jusqu’au 18 ; du 19, 2 dents jusqu’au 23 ; du 24, 3 dents jusqu’au 28 ; du 29 dudit, 2 dents jusqu’au 12 Juillet ; du 13 dudit, 1 dent jusqu’au 22 ; du 23, 0 jusqu’au 30.
Soleil avance. Du 31 Juillet, 1 dent du côté avance, jusqu’au 7 Août ; du 8 dud. 2 dents jusqu’au 17 ; du 18 dud. 3 dents jusqu’au 28 ; du 29 Août, 4 dents jusqu’au 4 Octobre, du 5 dud. 3 dents jusqu’au 15 ; du 16, 2 dents jusqu’au 23 ; du 24 dud. 1 dent jusqu’au 30 ; du 31 Octobre, 0 jusqu’au 5 Novembre.
Soleil
retarde
.
Du 6 Novembre, 1 dent du côté du retard, jusqu’au 11 ; du 12, 2 dents jusqu’au 17 ; du 18, 3 dents jusqu’au 22 ; du 23, 4 dents jusqu’au 30 ; du 1 Décembre, 5 dents jus qu’au 11 ; du 12, 6 dents jusqu’au 3 Janvier ; du 4 dudit, 5 dents jusqu’au 12 ; du 13 dud. 4 dents jusqu’au 21 ; du 22, 3 dents jusqu’au 27 ; du 28 Janvier, 2 dents jusqu’au 1 Février ; du 2 dudit, 1 dent jusqu’au 8 ; du 9, 0 jusqu’au 14 Février.
Soleil avance. Du 15 Février, 1 dent du côté avance, jusqu’au 21 ; du 22, 2 dents jusqu’au 1 Mars ; du 2, 3 dents jusqu’au 16 ; du 17, 4 dents jusqu’au 27 ; du 28, 3 dents jusqu’au 1 Avril ; du 2 dudit, 4 dents jusqu’au 8 ; du 9 Avril, 3 dents jusqu’au 22 ; du 23, 2 dents jusqu’au 29 ; du 30, 1 dent jusqu’au 11 Mai ; du 12, 0 jusqu’au 18.

Des pendules à heures & minutes du Soleil, lesquelles ne marquent point le tems moyen. De celle du pere Alexandre. La roue annuelle fait sa révolution en 365 jours 5 heures 48 minutes 58 secondes de secondes.

Je dois joindre ici les nombres des roues & pignons que le pere Alexandre a employés pour cette révolution annuelle astronomique. Les voici pour tout le roüage comme il l’a donné.

Rochet 30, pignon 88.
Roue moyenne 60.
Pignon 10.
Roue des minutes ou d’une heure 80.
La roue de douze heures 96.
Pignon 7.
Roue suivante 50.
Pignon 7.
Roue pénultieme 69.
Pignon 8.
Derniere roue, ou annuelle 83.

Cette révolution astronomique est fort exacte, & est sans contredit une des meilleures que l’on ait employées. Ceux qui voudront faire mouvoir différentes planetes, doivent consulter le pere Alexandre pour les calculs. M. Camus dans son Traité de méchanique statique, III. part. a donné les calculs de différens roüages ; il y a joint celui d’une révolution annuelle, qui ne differe de la révolution annuelle moyenne du Soleil, que d’une seconde 14 tierces. En voici les nombres : une roue de 12 heures porte un pignon 4, qui engrene dans une roue de 25 ; celle-ci porte un pignon 7, qui engrene dans une roue de 69 ; celle-ci porte un pignon 7, qui fait mouvoir la roue annuelle de 83, qui fait la révolution en 365 jours 5 heures 48 minutes 48 secondes 46 tierces : une révolution de la Lune termine ce qu’il a écrit du calcul des planetes.

La roue annuelle du pere Alexandre porte une ellipse sur lequel appuie un levier qui porte le pendule suspendu par un ressort qui passe bien juste dans une fente d’un coq, fait comme ceux des pendules à seconde ordinaires, le ressort peut monter & descendre dans cette fente ; c’est le coq qui donne le centre d’oscillation du pendule : ce coq est fixé sur la cage du mouvement. Pour produire les variations apparentes du Soleil, le pere Alexandre fait allonger & racourcir le pendule ; effet qui est produit par l’ellipse, dont les diametres sont donnés en raison de l’allongement ou racourcissement qu’exige le pendule pour faire avancer ou retarder de telle quantité en 24 heures ; il est entré la-dessus dans des détails fort étendus, qu’on peut voir dans son livre, page 147. Sa théorie a sans doute le mérite de la simplicité ; mais pour l’approuver, il ne faut pas faire attention aux inconvéniens que la pratique entraîne ; une seule erreur détruit tout l’édifice : l’erreur la moins sensible que puisse avoir la courbe, produira une variation sensible aux aiguilles ; car je suppose que le pendule soit trop court par l’inégalité de l’ellipse de la douzieme partie d’une ligne, le pendule avancera de 12 secondes en 24 heures, &c. toutes les vibrations qu’elle fera pendant ce tems, se feront en moins de tems qu’elles ne devroient ; & cette erreur multipliée par leurs nombres, donnera les 12 secondes pour 1 point seulement, & chaque jour même difficulté ; & d’ailleurs cette méthode n’est pas pratiquable avec les pendules pesans, tels qu’on les fait aujourd’hui, & dont les propriétés ont été bien démontrées de nos jours par M. de Rivaz ; & enfin, je ne sens pas trop l’avantage d’un pendule, qui divise le tems en des parties inégales seulement : il étoit cependant à propos de donner une idée de cette construction, pour l’intelligence de tout ce qui a rapport à l’équation ; & de plus, je suis persuadé que la connoissance de toutes sortes de méchanismes aide beaucoup à d’autres constructions, pour produire certains effets ; quoiqu’ils n’ayent cependant pas de relations apparentes avec ce qui en a fait naître la premiere idée ; ainsi il n’y a rien à négliger de ce qui regarde les arts méchaniques ; il faut cependant toûjours supposer de l’intelligence dans celui qui en fait une nouvelle application à d’autres objets.

Description d’une cadrature d’équation à heures & minutes du tems vrai, par M. de Rivaz, fig. 38 A. L’ellipse Q est portée par une roue qui fait un tour en un an, laquelle est menée par un pignon du mouvement qui passe à la cadrature ; la partie E du levier DEF, porte un rouleau qui appuie sur l’ellipse : ce levier est mobile au point D, & tient à la piece BC par une vis à assiette n ; en sorte que la courbe en faisant monter & descendre, le levier fait nécessairement monter & descendre cette piece BC, qui est une plaque de cuivre qui pose sur la platine du mouvement ; la plaque BC a une entaille formée par une portion du cercle ox, dont le centre est celui r de la roue a ; m est une vis à assiette, qui tient à la platine, & donne la liberté à la piece BC de se mouvoir, suivant l’entaille ox ; sur la plaque BC est attaché le pont P, par le moyen de deux vis. Le pont P & la plaque BC forment une cage, dans laquelle se meuvent la roue d de cadran & le pignon e, l’un & l’autre ayant un centre commun. La tige de ce pignon est de grosseur & de longueur nécessaires, pour que sur la prolongueur qui passe à-travers le canon de la roue de cadran, soit fait un quarré pour porter l’aiguille des minutes.

Le pignon e engrene dans la roue R de renvoi, qui se meut sur une tige ou tenon, fixée sur la plaque BC : cette roue porte un pignon qui engrene dans la roue de cadran, & lui fait faire un tour en douze heures. Le pignon e engrene dans la roue a, rivée sur la tige d’une roue du mouvement qui passe à la cadrature, & est portée par le petit pont p : la roue a fait donc mouvoir le pignon, & par conséquent la roue R, & celle de cadran, qui toutes sont portées par le pont P & la piece BC, excepté la roue a. Or, si on suppose que l’ellipse tourne, la piece BC ainsi que toutes celles qu’elle porte, monteront & descendront suivant la portion du cercle op : ainsi le pignon e parcourra un espace autour du centre de la roue a, ce qu’il ne peut faire sans tourner en même tems sur lui-même ; c’est ce dernier mouvement qui produit les variations apparentes du Soleil. L’espace que le pignon e doit parcourir autour du point r, sera environ la moitié de la circonférence de ce même pignon, quantité qui répondra aux 30′ 53″ de variations du Soleil. Si donc on suppose que le diametre du pignon e soit de six lignes, son centre montera ou descendra de 10 à 11 lignes environ ; espace qu’il parcourra autour du point R, suivant la ligne Su.

Quoique l’on puisse diminuer ce diametre, on ne pourra le faire assez pour que le centre des aiguilles ne differe sensiblement de celui du cadran ; ce qui causeroit une variation : d’ailleurs, de cette diminution de diametre il en résulteroit un plus grand balotage à l’aiguille des minutes ; c’est ce qui a obligé M. de Rivaz à faire porter le cadran par le pont P ; ainsi il monte & baisse dans la boîte, suivant l’espace que parcourt la piece BC, ou le pignon e.

On pourroit peut-être croire que la pesanteur du cadran doit causer une résistance, qui exigera que le mouvement ait un ressort plus fort, ou un poids plus pesant ; mais si on fait attention à la lenteur du mouvement de l’ellipse, & au peu d’espace parcouru, l’objection sera réduite à rien.

Des constructions d’équation par une seule aiguille, & à cadran mobile.

Description d’une montre d’équation à secondes concentriques, marquant les quantiemes du mois & mois de l’année, par Ferdinand Berthoud, fig. 39 A, 40 A, & 41 A. La figure 39 A représente le cadran de cette montre ; l’aiguille des secondes est entre celle des minutes & celle des heures ; l’aiguille des minutes est de deux parties diamétralement opposées, dont la plus grande marque les minutes du tems moyen sur le grand cadran, & l’autre où est gravé un soleil, marque les minutes du tems vrai sur le cadran A qui est au centre du premier. L’ouverture C faite dans le grand cadran, est pour laisser paroître les mois de l’année gravés sur la roue annuelle, ainsi que les quantiemes qui le sont de cinq en cinq ; l’usage de ces quantiemes est principalement pour remettre la montre lorsqu’elle a été arrêtée, ensorte que l’équation réponde exactement à celle du jour où l’on est.

Figure 41 A. L’étoile e dont un des rayons passe toûjours par une entaille faite à la fausse plaque, donne la liberté en la faisant tourner, de faire mouvoir la roue annuelle.

La montre se remonte par-dessous ; ce qui m’a fait appliquer àu fond de la boîte un cercle de quantieme, construit comme ceux dont parle M. Thiout, traité d’Horlogerie, tome II. pag. 387.

Figure 40 A. Cette figure représente l’intérieur de la fausse plaque, qui porte en-dehors le grand cadran qui est fixé contre cette plaque, & dessous sont ajustées les pieces qui forment l’équation, où donnent les variations du Soleil. A est la roue annuelle de 146 dents fendues à rochet, mise immédiatement sous le cadran, & tourne sur un canon que porte la fausse plaque, sur laquelle elle s’appuie par son plan. L’ellipse B est attachée sur la roue annuelle ; cette ellipse fait mouvoir le rateau m, qui engrene dans le pignon n, lequel est porté par un canon qui passe dans l’intérieur de celui de la fausse plaque. Sur le canon où est fixé le pignon n, est attaché en dehors le cadran A du tems vrai : on voit qu’en faisant mouvoir la roue annuelle & l’ellipse, ce cadran doit nécessairement se mouvoir, tantôt en avançant, & ensuite en rétrogradant, suivant qu’il y est obligé par les différens diametres de l’ellipse ; ce qui produit naturellement les variations du Soleil. Venons au moyen dont je me sers pour faire mouvoir la roue annuelle ; c’est en remontant la montre à chaque 24 heures, que l’étoile e par le moyen de deux palettes opposées qu’elle porte, fait tourner la roue annuelle, & lui fait faire une 365e partie de sa révolution.

Figure 41 A. Le garde-chaîne de la montre est fixé sur une tige, dont les pivots se meuvent dans les deux platines, & peut y décrire un petit arc de cercle ; un de ces pivots porte un quarré, sur lequel est ajusté dans la cadrature le levier d à pié de biche.

Lorsqu’on remonte la montre, le garde-chaîne ec ponctué, fixé sur la tige & mis entre les deux platines, est soûlevé par la chaîne jusqu’à ce qu’il soit à la hauteur du crochet de la fusée : ce crochet lui donne un petit mouvement circulaire, qu’il communique au pié de biche d, dont l’extrémité s’engage dans l’étoile e qui est à cinq rayons, & fait passer un de ces rayons toutes les fois que le crochet de la fusée pousse le garde-chaîne.

L’étoile est assujettie par un valet ou sautoir, qui lui fait faire sûrement la cinquieme partie d’un tour, & l’empêche de revenir en sens contraire lorsque le pié de biche se dégage. L’axe de cette même étoile porte, comme je l’ai dit, deux palettes opposées pour conduire la roue annuelle, ensorte que deux dents de cette roue passent nécessairement en cinq jours ; ce qui lui fait faire sa révolution en 365 jours. Sur la fausse plaque, fig. 41 A, est attaché un ressort qui sert de sautoir pour maintenir la roue annuelle ; ensorte que les palettes que porte l’étoile ne puissent lui faire passer ni plus ni moins de deux dents pendant une des révolutions de cette étoile.

D’une pendule à équation à secondes concentriques, marquant les mois & quantiemes des mois, les années bissextiles, & va treize mois sans être montée, par Ferdinand Berthoud. La suspension du pendule est à ressort ; l’échappement est celui de Graham renversé, disposé pour faire décrire au pendule d’aussi petits arcs que l’on veut.

Le roüage du mouvement est composé d’une roue plus que les pendules à 15 jours. La premiere roue du mouvement engrene dans un pignon, qui fait un tour en trois jours ; la tige de ce pignon porte trois palettes ou dents, qui engrenent successivement dans la roue annuelle, fendue sur 366 à rochet, & maintenue par un sautoir. Cette roue porte, comme celle de la montre, une ellipse qui agit sur un rateau, dont le mouvement alternatif se transmet au cadran d’équation, par le moyen d’un pignon placé sur le canon du cadran concentrique à celui des heures & minutes du tems moyen. La construction de cette partie de la pendule est absolument semblable à celle de la montre ; ainsi je ne m’y arrêterai pas. Je passe donc à la construction d’année bissextile, dont j’ai parlé ci-devant.

Figure 42 A. Les années communes & bissextiles sont marquées par la révolution d’un petit cadran C, tel que celui de la pendule que j’ai décrit ci-devant, lequel reçoit son mouvement de la roue annuelle A, de 366 dents fendues à rochet, & maintenues par un sautoir ; des chevilles posées sur cette roue, agissent sur l’étoile B de huit rayons, & déterminent les positions de ce petit cadran divisé en quatre années.

Pour que la roue annuelle marque exactement les jours du mois, il faut que pendant trois années consécutives les dents de cette roue, qui répondent au 29 Février & premier Mars, passent le même jour ; tandis qu’à l’année bissextile, ces deux mêmes dents passent en deux jours. Venons actuellement au moyen que j’ai employé. Une des chevilles de la roue annuelle qui répond au premier Janvier, fait tourner l’étoile A de huit rayons d’un huitieme de sa révolution, & fait indiquer au cadran C que porte l’étoile, la premiere, seconde, troisieme année, ou l’année bissextile ; une autre cheville qui répond au 28 Février, fait encore tourner cette étoile d’un autre huitieme. La palette S qui fait mouvoir la roue annuelle, ayant fait passer la dent qui répond au 29 Février, le rayon de l’étoile qui se trouve actuellement en action avec le valet, est parvenu à l’angle de ce valet, lequel acheve de faire parcourir un espace à l’étoile A, dont un rayon vient poser sur une troisieme cheville que porte la roue annuelle ; ce qui oblige celle-ci de se mouvoir de la quantité d’une dent qui répond au premier Mars : ainsi la dent que fait passer la palette, & celle que le valet & l’étoile ont obligé de se mouvoir, font les deux dents qui passent en un seul jour, ce qui donne les années communes qui se succedent trois fois de suite ; & comme la quatrieme doit avoir un jour de plus, le rayon de l’étoile qui y répond est entaillé, de sorte qu’il n’a point d’action sur la cheville du premier Mars : ainsi les deux dents du 29 Février & premier Mars passent en deux jours.

Je fais marcher cette pendule pendant treize mois avec deux poids égaux de dix livres, qui agissent alternativement sur le roüage, & ne descendent que de 15 pouces. J’ai réduit la chûte à cette quantité, pour éviter les inconvéniens qui résultent de l’approche des poids contre la lentille qui parcourt de très petits arcs.

Le cylindre où s’enveloppe la corde qui porte le poids, est un mois à faire sa révolution ; son diametre est d’environ deux pouces, ensorte que pour 15 pouces de chûte d’un poids mouflé, il fait six tours . Pour doubler ce tems, j’ai fixé au milieu de la borte au-haut une poulie où passe la corde du mouvement, laquelle passe encore par une poulie mobile du second poids ; le bout de cette corde est enfin fixé au côté de la boîte, opposé à celui par où descend la corde depuis le cylindre : cette même corde porte donc deux poids à-peu-près d’égale pesanteur, à cela près que le second doit être plus pesant de la quantité qu’il faut pour vaincre le frotement des pivots des poulies. Lorsque le premier poids descend de quinze pouces, la corde qui mene le mouvement se développe de trente pouces ; & ce poids étant alors arrêté sur une planche qui l’y oblige, le second commence à descendre, jusqu’à ce que descendu au même point, il ait développé la corde d’une même quantité. Ce développement de soixante pouces répond à treize révolutions du cylindre, qui font mouvoir la pendule pendant treize mois.

De l’exécution des pendules à équation. La difficulté de l’exécution de ces sortes de machines dépend en partie de la construction que l’on a adoptée ; en général la plus grande difficulté naît de la courbe : c’est aussi à la façon de la tailler que je m’arrêterai ; les autres parties sont des engrenages. Or pour exécuter le moindre ouvrage d’Horlogerie, il faut savoir faire des engrenages de même que des ajustemens avec intelligence ; ainsi je puis me dispenser d’entrer dans les détails où m’entraîneroient ces différens objets : d’ailleurs ceux qui n’ont qu’une foible connoissance de l’engrenage, doivent recourir à l’article Engrenage. Voyez Engrenage.

Pour tailler une courbe ou ellipse, il faut commencer par remonter la cadrature d’équation, former des repairs ; si c’est une construction qui en exige, attacher le cadran, mettre la roue annuelle en place, ainsi que l’ellipse, & le levier qui doit appuyer dessus ; percer un trou à ce levier : ce trou doit d’abord servir 1° à tracer la courbe, 2° à porter une fraise ou lime circulaire dont je parlerai bien-tôt, & enfin il doit porter un cylindre pour appuyer sur l’ellipse lorsqu’elle est finie ; ce trou doit être percé de sorte que dans les différens points où l’ellipse le pousse, il fasse à-peu-près une tangente de cette courbe.

Il faut après que cela est ainsi disposé, mettre en place les aiguilles du tems vrai & moyen, & fixer cette derniere à 60 minutes précises.

Alors faisant mouvoir celle du tems vrai, & par son moyen le levier ou rateau, on mettra la roue annuelle au premier Janvier, par exemple, & voir dans une table d’équation, soit celle de la connoissance des tems qui a pour titre, table du tems moyen au midi vrai, ou autres, la quantité dont le Soleil avance ou retardé le premier Janvier par rapport au tems moyen ; & conduisant l’aiguille du tems vrai au nombre de minutes & secondes indiquées, prendre le foret avec lequel on a percé le trou du levier ou rateau, & marquer un point sur la plaque qui doit former la courbe. Cette opération faite, il faut faire passer cinq divisions de la roue annuelle qui répondent à cinq jours, ce qui par conséquent donnera le cinq Janvier : on verra dans la table l’équation dudit jour, & l’on conduira l’aiguille du tems vrai à la quantité que marque la table ; & comme au premier Janvier on marquera un point sur la plaque, ainsi de cinq jours en cinq jours on fera de même, jusqu’à ce que la révolution annuelle soit achevée. Les points marqués par le foret détermineront donc la figure de la courbe, il ne s’agira plus que de la tailler ; lorsque l’on aura percé un trou à chaque point marqué, on pourra avec une petite scie couper cette courbe, en ne faisant qu’effleurer les trous, & reservant pour les emporter à le faire avec une lime.

Une courbe taillée avec les soins que je viens d’indiquer, pourroit être assez juste ; cependant pour y donner un plus grand degré de perfection, il faut l’egalir avec une fraise ou lime circulaire d’environ 3 lignes de diametre ; cette fraise porte deux pivots, dont un roule dans le trou qui a servi à marquer la courbe, & l’autre est porté par un petit pont attaché sur le rateau.

La fraise mise dans cette espece de cage porte un cuivrot où poulie, dans laquelle on fait passer une corde d’archet, par le moyen duquel faisant tourner la fraise, on emporte la matiere qu’il y a de trop à certaine partie de la courbe.

Pour cet effet on verra la table d’équation, & de quelle quantité l’aiguille du tems vrai differe du nombre des minutes & secondes données pour tel jour ; mais il faut observer avant de rien limer à la courbe, que le diametre de la fraise, que j’ai supposé de 3 lignes, éloigne par conséquent d’une ligne & demie le rateau de la courbe de plus qu’il ne l’étoit lorsqu’il a servi à la tracer, ce qui changera nécessairement la situation de l’aiguille du tems vrai : ainsi pour faire reprendre à cette aiguille la place que détermine la table d’équation, il faudroit emporter tout-auteur de la courbe la grandeur du rayon de la fraise, ce qui seroit un ouvrage inutile, pénible, & qui rendroit la courbe plus petite qu’elle ne doit être. Pour parer cette difficulté, je fais le levier de deux pieces ; celle qui agit & pose sur la courbe, peut se mouvoir séparement de l’autre partie du rateau ; de sorte qu’on éloigne & approche la partie qui touche la courbe, jusqu’à ce qu’appuyant sur cette courbe au point où elle est trop enfoncée, l’aiguille marque l’équation répondant audit jour. Alors ayant fixé ensemble les deux parties du rateau, on emportera d’abord de cinq jours toutes les parties de la courbe où il y a trop de matiere, & on limera les intervalles lorsque l’on aura fait la révolution.

Enfin on peut après cela y toucher à chaque jour, & l’égalir jusqu’à ce que l’aiguille marque exactement l’équation ; il ne sera plus question que de substituer en place de la fraise un rouleau de même diametre qui tournera dans les mêmes trous, lequel appuyera sur l’ellipse.

Pour tailler une courbe avec beaucoup de précision, il ne suffit pas de diviser par la simple vûe chaque division des minutes du cadran, en des parties que l’on suppose être de 30 secondes, de 15, de 10, de 5, &c.

Il faut de plus les diviser en effet avec un compas, de sorte que chaque division de minutes soit divisée en douze autres parties, plus ou moins, suivant la précision que l’on voudra donner à sa courbe.

Je joins ici une table d’équation, qui pourra servir à tracer les courbes, & à faire connoître la variation du soleil. Je la dressai il y a quelques années d’après celle de la connoissance des tems ; j’y fis quelques changemens, qui m’ont paru en rendre l’usage plus facile.

Il y a dans la connoissance des tems deux tables différentes pour l’équation du tems ; je dirai dans la suite de cet article la raison qui m’a fait préférer celle-ci.

M. Pingré chanoine régulier de sainte Génevieve, & correspondant de l’académie royale des Sciences, dans son état du ciel, pour les années 1754 & 1755, dont il a été parlé au mot Ephémérides, donne aussi une table de l’équation de l’horloge à la derniere colonne de la premiere page de chaque mois : cette table est différente de celle qu’on trouve dans la connoissance des tems à la derniere colonne de la seconde page de chaque mois. Nous ne faisons ici usage ni de l’une ni de l’autre ; mais celle de M. Pingré étant tantôt en avance, tantôt en retard, nous paroît plus commode que celle de la connoissance des tems, par la raison qu’on verra plus bas, & qui nous fait préférer la seconde table de la connoissance des tems à la premiere.

Dans la table que je donne ici, la premiere colonne indique le jour du mois, la seconde marque de combien le Soleil retarde ou avance sur la pendule : par exemple, au premier Janvier le Soleil retarde de 3′ 59″, c’est-à-dire qu’il est midi vrai, quand la pendule marque midi 3′ 59″, la troisieme colonne marque la différence d’un jour à l’autre : ainsi du premier au 2 Janvier le Soleil retarde de 29″ de plus, &c.


TABLE de la différence du tems vrai au tems moyen pour le Midi de chaque jour, au Meridien de Paris.


Jours
No image.svg JANVIER. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Retarde de    3    59 Sec. 29 qui
augmentent
le
retard
du
soleil.
2 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
R. 4 28 29
3 R. 4 56 28
4 R. 5 23 27
5 R. 5 50 27
6 R. 6 17 27
7 R. 6 43 26
8 R. 7 9 26
9 R. 7 34 25
10 R. 7 59 25
11 R. 8 23 24
12 R. 8 46 23
13 R. 9 9 23
14 R. 9 31 22
15 R. 9 53 22
16 R. 10 14 21
17 R. 10 34 20
18 R. 10 53 19
19 R. 11 12 19
20 R. 11 30 18
21 R. 11 47 17
22 R. 12 4 17
23 R. 12 20 16
24 R. 12 35 15
25 R. 12 49 14
26 R. 13 2 13
27 R. 13 15 13
28 R. 13 26 11
29 R. 13 37 11
30 R. 13 47 10
31 R. 13 56 9



Jours
No image.svg FEVRIER. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Retarde de    14    5 Sec. 9 qui
augmentent
le
retard.
2 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
R. 14 12 7
3 R. 14 19 7
4 R. 14 25 6
5 R. 14 30 5
6 R. 14 34 4
7 R. 14 38 4
8 R. 14 40 2
9 R. 14 42 2
10 R. 14 43 1
11 R. 14 44 1

12 R. 14 43 1 qui
diminuent
le
retard
du
soleil.
13 R. 14 42 1
14 R. 14 40 2
15 R. 14 37 3
16 R. 14 33 4
17 R. 14 29 4
18 R. 14 24 5
19 R. 14 19 5
20 R. 14 13 6
21 R. 14 6 47
22 R. 13 58 8
23 R. 13 50 8
24 R. 13 41 9
25 R. 13 32 9
26 R. 13 22 10
27 R. 13 11 11
28 R. 13 0 11
29 R. 12 48 12




Jours
No image.svg MARS. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Retarde de    12    36 Sec. 12 qui
diminuent
le
retard.
2 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
R. 12 23 13
3 R. 12 10 13
4 R. 11 56 14
5 R. 11 42 14
6 R. 11 28 14
7 R. 11 13 15
8 R. 10 58 15
9 R. 10 26 16
10 R. 10 26 16
11 R. 10 26 16
12 R. 9 53 17
13 R. 9 36 17
14 R. 9 19 17
15 R. 9 2 17
16 R. 8 44 18
17 R. 8 26 18
18 R. 8 8 18
19 R. 7 50 18
20 R. 7 32 18
21 R. 7 14 18
22 R. 6 55 19
23 R. 6 36 19
24 R. 6 17 19
25 R. 5 58 19
26 R. 5 40 18
27 R. 5 21 19
28 R. 5 2 19
29 R. 4 44 18
30 R. 4 25 19
31 R. 4 6 19


Jours
No image.svg AVRIL. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
R.    3    48 Sec. 18 qui
diminuent
le
retard
du
soleil.
2 R. 3 30 18
3 R. 3 11 19
4 R. 2 53 18
5 R. 2 35 18
6 R. 2 17 18
7 R. 2 0 17
8 R. 1 43 17
9 R. 1 26 17
10 R. 1 9 17
11 R. 0 53 16
12 R. 0 37 16
13 R. 0 21 16

14 R. 0 6 16 qui
font
avancer
le
tems
vrai
du
soleil.
15 A. 0 9 15
16 A. 0 24 15
17 A. 0 39 15
18 A. 0 53 14
19 A. 1 6 13
20 A. 1 19 13
21 A. 1 32 13
22 A. 1 44 12
23 A. 1 56 12
24 A. 2 8 12
25 A. 2 19 11
26 A. 2 29 10
27 A. 2 39 10
28 A. 2 48 9
29 A. 2 57 9
30 A. 3 5 8




Jours
No image.svg MAI. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
A.    3    13 Sec. 8 qui
font
avancer
le
du
soleil.
2 A. 3 20 7
3 A. 3 27 7
4 A. 3 33 6
5 A. 3 39 6
6 A. 3 44 5
7 A. 3 48 4
8 A. 3 52 4
9 A. 3 56 4
10 A. 3 59 3
11 A. 4 1 2
12 A. 4 2 1
13 A. 4 3 1
14 A. 4 4 1
15 A. 4 4
16 A. 4 3 2 qui
diminuent
les
quantité
dont
le
soleil
avance.
17 A. 4 2 1
18 A. 4 0 2
19 A. 3 58 2
20 A. 3 55 3
21 A. 3 51 4
22 A. 3 47 4
23 A. 3 43 4
24 A. 3 38 5
25 A. 3 32 6
26 A. 3 26 6
27 A. 3 19 7
28 A. 3 12 7
29 A. 5 5 7
30 A. 2 57 8
31 A. 2 49 8




Jours
No image.svg JUIN. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
A.    2    40 Sec. 9 qui
diminuent
l’avance
du
soleil.
2 A. 2 31 9
3 A. 2 21 10
4 A. 2 11 10
5 A. 2 5 10
6 A. 1 51 10
7 A. 1 40 11
8 A. 1 29 11
9 A. 1 18 11
10 A. 1 6 12
11 A. 0 54 12
12 A. 0 42 12
13 A. 0 30 12
14 A. 0 18 12
15 A. 0 5 13
16 R. 0 8
17 R. 0 21 13 qui
font
tarder
le
soleil.
18 R. 0 34 13
19 R. 0 47 13
20 R. 1 0 13
21 R. 1 13 13
22 R. 1 26 13
23 R. 1 39 13
24 R. 1 52 13
25 R. 2 5 13
26 R. 2 17 12
27 R. 2 29 12
28 R. 2 41 12
29 R. 2 53 12
30 R. 3 5 12



Jours
No image.svg JUILLET. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
R.    3    16 Sec. 11 qui
augmentent
le
retard
du
soleil.
2 R. 3 27 11
3 R. 3 38 11
4 R. 3 49 11
5 R. 4 0 11
6 R. 4 10 10
7 R. 4 19 9
8 R. 4 28 9
9 R. 4 38 9
10 R. 4 46 9
11 R. 4 54 8
12 R. 5 2 8
13 R. 5 9 7
14 R. 5 16 7
15 R. 5 22 6
16 R. 5 28 6
17 R. 5 33 5
18 R. 5 38 5
19 R. 5 42 4
20 R. 5 46 4
21 R. 5 49 3
22 R. 5 51 2
23 R. 5 53 2
24 R. 5 55 2
25 R. 5 56 1

26 R. 5 56 0 qui
font
diminuer
le
retard.
27 R. 5 55 1
28 R. 5 54 1
29 R. 5 53 1
30 R. 5 51 2
31 R. 5 48 3




Jours
No image.svg AOÛT. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
R.    5    44 Sec. 4 qui
diminuent
le
retard
du
soleil.
2 R. 5 40 4
3 R. 5 36 4
4 R. 5 31 5
5 R. 5 26 6
6 R. 5 19 6
7 R. 5 12 7
8 R. 5 5 7
9 R. 4 57 8
10 R. 4 48 9
11 R. 4 39 9
12 R. 4 29 10
13 R. 4 19 10
14 R. 4 8 11
15 R. 3 56 12
16 R. 3 44 12
17 R. 3 32 12
18 R. 3 19 13
19 R. 3 6 13
20 R. 2 52 14
21 R. 2 38 14
22 R. 2 23 15
23 R. 2 8 15
24 R. 1 52 16
25 R. 1 36 16
26 R. 1 19 17
27 R. 1 2 17
28 R. 0 45 17
29 R. 0 28 17
30 R. 0 10 18
31 A. 0 8 18




Jours
No image.svg SEPTEMBRE. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
A.    0    27 Sec. 19 qui
augmentent
les
quantités
dont
le
soleil
avance.
2 A. 0 46 19
3 A. 1 5 19
4 A. 1 24 19
5 A. 1 43 19
6 A. 2 3 20
7 A. 2 23 20
8 A. 2 43 20
9 A. 3 3 20
10 A. 3 23 20
11 A. 3 44 21
12 A. 4 5 21
13 A. 4 26 21
14 A. 4 47 21
15 A. 5 8 21
16 A. 5 29 21
17 A. 5 49 20
18 A. 6 10 21
19 A. 6 31 21
20 A. 6 52 21
21 A. 7 13 21
22 A. 7 34 21
23 A. 7 54 20
24 A. 8 14 20
25 A. 8 34 20
26 A. 8 54 20
27 A. 9 14 20
28 A. 9 34 20
29 A. 9 53 19
30 A. 10 12 19




Jours
No image.svg OCTOBRE. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
A.    10    31 Sec. 19 qui
augmentent
les
quantités
dont
le
soleil
avance.
2 A. 10 49 18
3 A. 11 7 18
4 A. 11 25 18
5 A. 11 43 18
6 A. 12 0 17
7 A. 12 17 17
8 A. 12 33 16
9 A. 12 48 15
10 A. 13 3 15
11 A. 13 18 15
12 A. 13 33 15
13 A. 13 47 14
14 A. 14 0 13
15 A. 14 13 13
16 A. 14 25 12
17 A. 14 36 11
18 A. 14 47 11
19 A. 14 57 10
20 A. 15 7 10
21 A. 15 16 9
22 A. 15 25 9
23 A. 15 33 8
24 A. 15 40 7
25 A. 15 46 6
26 A. 15 51 5
27 A. 15 56 5
28 A. 16 1 5
29 A. 16 5 4
30 A. 16 7 2
31 A. 16 9 2




Jours
No image.svg NOVEMBRE. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
A.    19    9 Sec. 0

qui
diminuent
le
nombre
de
minutes
dont
le
soleil
avance.
2 A. 16 9 0
3 A. 16 8 1
4 A. 16 7 1
5 A. 16 5 2
6 A. 16 2 3
7 A. 15 58 4
8 A. 15 53 5
9 A. 15 47 6
10 A. 15 40 7
11 A. 15 33 7
12 A. 15 25 8
13 A. 15 16 8
14 A. 15 6 10
15 A. 14 56 10
16 A. 14 44 12
17 A. 14 32 12
18 A. 14 19 13
19 A. 14 5 14
20 A. 13 50 15
21 A. 13 34 16
22 A. 13 17 17
23 A. 13 0 17
24 A. 12 42 18
25 A. 12 23 19
26 A. 12 4 19
27 A. 11 44 20
28 A. 11 23 21
29 A. 11 2 21
30 A. 10 40 22



Jours
No image.svg DECEMBRE. No image.svg Différence du retour
du Soleil au Mérid.
en 24 heur.
du
mois. M. S.



1 Le
Soleil
avance
ou
retarde.
A.    10    17 Sec. 23 qui
diminuent
les
nombres
des
minutes
dont
le
soleil
avance.
2 A. 9 53 24
3 A. 9 29 24
4 A. 9 4 25
5 A. 8 39 25
6 A. 8 13 26
7 A. 7 47 26
8 A. 7 20 27
9 A. 6 53 27
10 A. 6 25 28
11 A. 5 57 28
12 A. 5 29 28
13 A. 5 0 29
14 A. 4 31 29
15 A. 4 2 29
16 A. 3 33 29
17 A. 3 4 29
18 A. 2 34 30
19 A. 2 4 30
20 A. 1 34 30
21 A. 1 4 30
22 A. 0 34 30
23 A. 0 4 30

24 R. 0 26 30 qui
font
diminuer
le
retard.
25 R. 0 56 30
26 R. 1 26 30
27 R. 1 56 30
28 R. 2 25 29
29 R. 2 54 29
30 R. 3 23 29
31 R. 3 52 29


De l’usage de la table d’équation, pour regler les ouvrages d’Horlogerie. Après avoir parlé de la cause des variations du soleil, de la construction des différens méchanismes propres à imiter ces effets, des moyens de les exécuter, & de se servir des tables d’équation pour tailler l’ellipse, je dois m’arrêter à l’usage que l’on fait de ces tables pour regler les pendules ordinaires, ainsi que les montres, & donner des méthodes pour en rendre l’usage facile.

Les pendules & montres ne peuvent marquer constamment que le tems moyen. Ces machines étant bien construites, ne sauroient diviser le tems qu’en des parties égales ; lors donc que l’on veut regler une pendule par le méridien, il faut savoir si la quantité de tems écoulée entre le passage du soleil au méridien d’un jour, est égale à celle de son retour au même point pour un autre jour.

Les tables d’équation servent particulierement à indiquer les différences du retour du soleil, ainsi il reste à donner les moyens de s’en servir ; avant de le faire, il est à propos de faire connoître les deux sortes de tables d’équation que donne l’académie des Sciences, lesquelles sont jointes & font partie de la connoissance des tems.

Quoiqu’il n’y ait qu’une seule équation ou différence du tems vrai au tems moyen du soleil, cette différence peut cependant être exprimée différemment, suivant l’époque ou point d’où l’on part : pour la former on a construit deux tables d’équation, comme on le peut voir dans la connoissance des tems.

Dans la premiere espece de table, qui est celle que donne la connoissance des tems à la sixieme colonne de la seconde page de chaque mois, pour tous les jours de l’année, la variation du soleil est toûjours dans le même sens ; ensorte qu’une pendule réglée sur le tems moyen, mise le premier Novembre (époque que l’on a choisie pour la construction de cette table) avec le Soleil à son passage au méridien, avancera en certains tems de l’année de 30′ 53″ sans être jamais en retard ; ainsi le Soleil retardera toûjours sur le tems moyen. Une pendule mise sur cette table de l’équation de l’horloge, ne se trouvera juste avec le Soleil qu’une fois par an, qui est le premier Novembre, jour où elle est supposée avoir été mise avec lui à son passage au méridien.

La seconde table d’équation de la connoissance des tems a pour titre, table du tems moyen au midi vrai pour le méridien de Paris. Dans celle-ci on a partagé la somme de la variation du Soleil : ainsi une pendule reglée sur le tems moyen ne peut avancer que de 14′ 44″, mais doit retarder de 16′ 9″ ; ces deux quantités forment la même variation 30′ 53″ de la premiere table.

Une pendule reglée sur cette seconde espece de table, se trouvera quatre fois par an avec le Soleil ; les deux tems vrai & moyen ne différeront pas l’un de l’autre le 15 Avril, le 15 Juin, le 31 Août, & le 23 Décembre. Quoique l’une & l’autre table d’équation puissent également servir à regler les montres & pendules, il auroit été fort-à-propos d’éviter au public le choix entre ces deux tables, en envisageant leur usage simplement relatif aux montres & pendules, ou comme ne devant servir qu’à regler ces machines.

Le tems moyen donné par l’une, sera, il est vrai, aussi propre à regler les pendules que le tems moyen donné par l’autre ; mais ces deux tems paroîtront différer, quoiqu’étant au fond une même chose ; car, pour en donner un exemple, une pendule qu’on aura reglée sur le moyen mouvement du Soleil, & qui aura été mise sur la premiere espece de table de l’équation de l’horloge, au passage du Soleil par le méridien le premier Novembre marquera midi juste, dans l’instant de ce passage du Soleil, tandis qu’une autre pendule, aussi reglée sur le tems moyen par la seconde table, retardera de 16′ 9″. Ce même jour les deux tems moyens donnés par ces deux tables & marqués par deux pendules, différeront donc entr’eux de 16′ 9″, & ainsi des autres tems de l’année.

Cette seconde espece de table, qui est celle que j’ai donnée ci-devant d’après celle de la connoissance des tems ; cette table, dis-je, me paroît devoir être uniquement suivie, puisque la premiere n’a point d’autre propriété que la seconde, & que celle-ci au contraire a un avantage, c’est que le Soleil dans le tems qu’il est le plus éloigné de son moyen mouvement, ne l’est que de 16′ 9″ ; & l’autre au contraire ayant toute l’erreur dans le même sens, peut en différer de 30′ 53″.

Méthode pour regler une pendule par le méridien, & lui faire suivre le tems moyen ou égal. Il faut mettre la pendule au moment du passage du Soleil par le méridien, à la quantité de minutes & de secondes que la table indique, ayant égard, si le jour proposé le Soleil avance, de mettre en retard l’aiguille ; & au contraire s’il retarde, d’avancer l’aiguille du nombre de minutes & secondes qui répond audit jour.

On verra le lendemain si la pendule se trouve au passage du Soleil par le méridien à la différence que la table marque pour ce jour ; si elle se rencontre, c’est une preuve qu’elle est reglée ; au contraire si elle excede cette différence, soit en avance ou en retard, il faut baisser ou hausser la lentille proportionnellement à l’erreur qu’elle aura faite, & au sens dont elle se sera écartée de la table.

On doit mettre la pendule en retard, si la table marque que le Soleil avance, par la raison que cette pendule étant proposée pour marquer le tems moyen, le Soleil ne peut avancer sans que ce tems ne soit en retard, & qu’au contraire il ne peut retarder sans que le tems moyen n’avance, puisque c’est d’après la comparaison de ces deux tems que la table a été faite.

Exemple. Le 18 Décembre on a vû le méridien, & mis la pendule à deux minutes 34 secondes (nombre que la table marque à ce jour) : on observera le lendemain si elle retarde de la quantité que la table donne pour le 19, qui est 2 minutes 4 secondes ; si elle se rencontre à cette quantité, c’est une preuve qu’elle est reglée.

Si elle a avancé sur ce nombre, baissez la lentille ; au contraire si elle a retardé, faites-la monter par l’écrou en raison de l’erreur qu’elle aura faite, & repétez la même opération jusqu’à ce qu’elle suive la différence que la table indique.

On peut se dispenser de voir tous les jours le méridien, & en laisser écouler plusieurs, en se souvenant du nombre, afin que si la pendule differe de la table, on touche à la lentille en raison du nombre de jours écoulés, & de celui de minutes & secondes dont elle a avancé ou retardé.

On peut aussi, lorsque la pendule est reglée, savoir l’heure du tems vrai, en voyant par la table d’équation de quelle quantité le Soleil avance ou retarde sur le tems moyen au jour proposé.

Méthode pour faire suivre le tems vrai à une pendule. Pour faire suivre ce tems à une pendule, il faut s’assujettir à conduire l’aiguille chaque jour suivant que le Soleil varie ; car il n’y a que les pendules à équation qui puissent suivre cette variation. Il faut donc avoir soin en faisant suivre à une pendule ordinaire le tems vrai, d’y toucher de tems à autre, en conduisant l’aiguille suivant que le Soleil avance ou retarde, & faire attention si la pendule s’éloigne chaque jour du Soleil du nombre de secondes marquées à la derniere colonne de chaque mois, ensorte que le mouvement de la pendule suive toûjours le tems moyen : la différence dont le Soleil varie d’un jour à l’autre est marquée à la derniere colonne de chaque mois ; on peut se servir de cette variation pour regler la pendule proposée, si elle avance ou retarde d’une plus grande quantité que cette différence de 24 heures, il faut toucher à la lentille à proportion de l’erreur.

Dans le cas où on ne pourroit pas voir le Soleil tous les jours, la méthode dont je viens de parler pour faire suivre le tems vrai à l’aiguille, & regler la pendule par la troisieme colonne, ou excès de 24 heures, deviendroit difficile.

Il faut donc avant de faire varier l’aiguille comme le Soleil, commencer par regler la piece sur le tems moyen (par la premiere méthode), après quoi il est très-facile de faire suivre à l’aiguille le mouvement du Soleil, comme on le verra par cet exemple, qui suppose la pendule reglée sur le tems moyen, à laquelle on veut faire suivre les variations du Soleil ou le tems vrai.

Exemple pour regler la pendule sur le tems moyen, en lui faisant suivre le tems vrai. Ayant mis le premier Mars la pendule avec le Soleil à son passage au méridien, observez le 13 du même mois le Soleil, qui depuis le premier s’est approché de trois minutes du tems moyen : voyez pour cet effet la table d’équation, laquelle marque pour le premier Mars, le Soleil retarde de 12′ 36″, & le 13 de 9′ 36″, donc il a avancé de 3 minutes. Si la pendule est reglée sur le tems moyen, elle doit être en retard du Soleil de cette quantité ; si elle en differe en plus ou en moins, il faut monter la lentille si elle retarde, & la baisser si au contraire elle avance.

Pour regler une pendule à secondes ou d’observation, il est à-propos d’avoir une montre à secondes, que l’on arrête sur midi, & à l’instant du passage du Soleil par le méridien, on la laisse marcher (les montres à secondes ont ordinairement un petit levier qui sert pour cela), de sorte que cette montre donne exactement l’heure du Soleil ; car avec un méridien que j’ai fait, je suis assûré du passage du Soleil par le méridien à cinq secondes près, je puis même dire à deux secondes ; ainsi ayant une table d’équation, on met la pendule à la quantité de minutes & secondes qu’elle indique ; de cette façon on peut regler une pendule avec beaucoup d’exactitude.

Quant aux pendules & montres ordinaires, il n’est pas besoin de cette grande précision, & on ne doit pas même l’attendre ; de sorte qu’on peut négliger quelques secondes que l’on appercevra de variation en un jour ; & même quand il y auroit 30 secondes pour les montres, on ne doit pas y faire attention ; le méridien peut aussi ne pas donner exactement l’instant de midi.

Description d’un moyen particulier de faire une révolution annuelle astronomique, de marquer les quantiemes des mois, les mois de l’année, & années bissextiles, par M. Admyrauld, horloger à Paris ; figures 42 A & 43 A. Cette piece est exécutée dès 1734 ; & quoique le méchanisme en soit assez ingénieux pour avoir mérité d’être présenté à l’académie, l’auteur ne l’a pas jugé à propos, & cela par un sentiment de modestie qui ne peut que lui faire honneur ; car de nos jours on cherche à se faire payer de la moindre production par des éloges, que l’on n’a pas toûjours mérités : quoi qu’il en soit, il a bien voulu me confier cette piece pour la faire dessiner & en faire part au public, auquel je crois faire un présent, quoique l’ouvrage paroisse trop composé & pouvoir se réduire à une moindre quantité de pieces ; mais rien n’est à négliger en fait d’arts, sur-tout lorsque la composition annonce du génie, & un homme qui possede son objet.

La roue annuelle A (fig. 42 A), fait sa révolution en 365 jours dans les années communes, & en 366 dans les bissextiles, par un moyen que nous allons expliquer.

Cette roue A fait mouvoir un petit roüage qui lui est particulier, composé des roues def & du volant g, mises dans une petite cage formée par la platine des piliers, & par la piece ponctuée p. La tige du pignon de la roue f passe à-travers la piece p, & porte quarrément un pignon r de 4 dents. Ce pignon engrene dans le cercle A (fig. 43 A), où sont gravés les quantiemes du mois, & lui fait faire une révolution en 31 jours. La roue f fait un tour chaque jour, lorsque les doubles détentes be ont donné la liberté à la cheville que porte cette roue, de se dégager & de faire cette révolution. Ces détentes font le même effet que celle d’une sonnerie. La détente b est portée par le quarré d’une tige qui passe à-travers les platines. La partie de la tige qui passe à-travers l’autre platine, porte quarrément un levier qui est mû par une roue de la sonnerie, qui fait un tour en 24 heures ; laquelle porte une cheville qui fait agir les détentes bc, & dégage la cheville de la roue f.

Sur la platine des piliers, au-dessous de la roue annuelle, est fixé un barrillet, dans lequel agit un ressort qui fait tourner la roue annuelle, au moyen d’un encliquetage qu’elle porte, & sur lequel agit un rochet que porte l’arbre du barrillet dont le quarré va jusqu’au cadran, & sert à remonter ce petit roüage tous les quatre ans seulement.

On peut envisager ce roüage comme une espece de sonnerie, dont la plaque O est la roue de compte, qui fait faire 372 tours à la roue f, qui répondent à autant de jours, & font tous les mois de 31.

On conçoit que cette roue f n’étant dégagée qu’une fois chaque jour, à ne suivre que ce méchanisme, la roue annuelle feroit une révolution en 372 jours. L’effet de la plaque O est donc pour faire passer le nombre des jours dont la roue annuelle est composée, pour chaque mois, lesquels sont tous de 31, comme je viens de le dire, & qui excede celui dont tel mois est composé ; ensorte que si c’est un mois de vingt-huit jours, la roue f fera quatre tours en un seul jour, par le moyen de la partie saillante de la roue de compte O qui fait rester la détente c levée jusqu’à ce que la roue f ait fait quatre révolutions, & ainsi des autres mois.

La roue A emporte avec elle, en tournant, la roue d de 40 ; celle-ci engrene dans un pignon E de 10, à lanterne, fixé sur la plaque ponctuée pp : cette roue d fait donc un tour en quatre ans. Elle porte une plaque T, laquelle a une entaille où le levier qh entre tous les quatre ans une fois. Ce levier est porté par la roue annuelle ; il sert pour les années bissextiles ; c’est-à-dire à faire que la roue de compte présente une partie saillante moins large, & qui par conséquent ne fasse passer que trois jours, au lieu de quatre qu’il en doit passer dans les années communes de 365 jours, puisque l’on a dit que la roue annuelle est calculée pour faire une révolution en 372 jours, ensorte que chaque mois seroit de 31 jours : le mois de Février de l’année commune est donc composé de quatre jours de trop.

La partie saillante de la roue de compte a une largeur qui tient la détente levée jusqu’à ce que la roue f ait fait trois tours ; & la partie i du levier qh est mise contre la partie saillante de la roue de compte qui répond au mois de Février, & la rend plus large d’une quantité qui répond à un jour ; ainsi ces deux parties tiennent levées les détentes, & permettent à la roue de faire quatre tours qui répondent à quatre jours. Le levier qh reste dans cette position pendant trois années ; & à la quatrieme, qui est la bissextile, il entre dans l’entaille de la plaque T, & diminue pour lors la largeur de la dent saillante de la roue de compte ; de sorte que la roue f ne fait que trois tours pendant que la détente c reste levée : ainsi le mois de Février est composé par-là de 29 jours. Le cercle des mois marque aussi par ce moyen les quantiemes de mois exactement. Le levier b porte un bras à l’extrémité duquel il y a un pié-de-biche. Le bras s du levier b sert à faire changer à chacun de ses mouvemens une dent de l’étoile F de sept rayons, laquelle porte un chaperon où sont gravés les jours de la semaine.

La roue annuelle porte 12 chevilles, dont chacune sert & est placée à propos pour faire passer une dent de l’étoile M (fig. 43.), aussi de 12 rayons. Cette étoile porte un limaçon de 12 pas, sur lesquels appuie un bras du levier O. Ce levier monte & descend, suivant qu’il y est obligé par le limaçon P ; il sert à marquer les mois de l’année qui sont gravés sur la partie qr : ils paroissent alternativement à-travers de l’ouverture faite pour cet effet à la plaque ou cadran. L’étoile M porte une cheville qui fait mouvoir le levier abc, mobile au point a, brisé en b, & dont la partie c sert à faire tourner l’étoile E de huit rayons. Cette étoile porte un limaçon de quatre pas différens, lesquels sont répétés diamétralement deux fois, ce qui fait huit pas. L’étoile E reste huit ans à faire un tour ; elle pourroit même n’en rester que quatre, puisque son usage est pour marquer les années bissextiles, & qu’elles ne sont que tous les quatre ans. Mais M. Admirauld l’a fait, afin que le levier abc ne fût pas obligé de faire un trop grand chemin pour faire passer une dent de l’étoile, qui ne seroit pour lors que de quatre. Les pas de limaçon f font monter & descendre-le levier de, & marquer les années communes & bissextiles qui sont gravées sur la partie e, & paroissent, comme ceux des mois, au-travers de la plaque. Chacune des étoiles dont j’ai parlé est maintenue par un sautoir, comme on le verra par les figures.

On peut fixer sur la roue annuelle une ellipse, & faire servir par ce moyen le mouvement annuel à faire marquer l’équation. C’est en l’envisageant aussi sous ce point de vûe que j’ai crû devoir joindre la description de cette piece à l’article équation. Cet article est de M. Ferdinand Berthoud, horloger.