L’Encyclopédie/1re édition/QUADRATRICE

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QUADRATRICE, s. f. en Géométrie, est une courbe méchanique, par le moyen de laquelle on peut trouver des rectangles ou quarrés égaux à des portions de cercle, ou en général à des portions d’espaces curvilignes. Voyez Cercle, Quadrature, &c.

Pour parler plus exactement, la quadratrice d’une courbe est une courbe transcendante décrite sur le même axe, dont les demi-ordonnées étant connues, servent à trouver la quadrature des espaces qui leur correspondent dans l’autre courbe. Voyez Courbe.

Par exemple, on peut appeller quadratrice de la parabole AMC, la courbe AND (Pl. analys. fig. 21), dans laquelle les ordonnées PN, sont telles que celle dans laquelle , ou , ou enfin celle dans laquelle , multiplié par une constante a. Voilà donc trois especes de quadratrices de la parabole.

Les plus célebres des quadratrices, sont celles de Dinostrate & de M. Tschirnhausen pour le cercle.

La quadratrice de Dinostrate est une courbe AMmm (Pl. analys. fig. 22.), par le moyen de laquelle on trouve la quadrature du cercle, non point géométriquement, mais d’une maniere méchanique. Elle est ainsi appellée de Dinostrate, qui en est l’inventeur.

Voici sa génération. Divisez le quart de cercle ANB, en tel nombre de parties égales que vous voudrez, en N, n, &c. Divisez de même le rayon AC en un égal nombre de parties aux points P, p, &c. menez les rayons CN, cn, &c. enfin sur les points P, p &c. élevez les perpendiculaires P M, p m &c. Joignez ces lignes, & vous aurez autant de points M, m, que vous aurez fait de divisions ; on peut engendrer la quadratrice de Dinostrate par un mouvement continu, en supposant que le rayon CN décrive uniformément par son extrémité N l’arc AB, & que pendant ce tems une regle mobile PM, demeurant toujours parallele à elle-même, se meuve uniformément le long de AC ; ensorte que la regle PM, arrive en C, lorsque le rayon CA tombe en CB, l’intersection continuelle M du rayon CN, & de la regle PM, décrira la quadratrice AMD.

Par la construction, ANB : AN :: Ac : AP ; c’est pourquoi si ANB = a, Ac = b, AN = x, AP = y ; on aura ax = by. Voyez Quadrature.

La quadratrice de Tschirnhausen, est une courbe transcendante AMmmB (fig. 23.), par le moyen de laquelle on trouve également la quadrature du cercle. M. Tschirnhausen l’a inventée à l’imitation de celle de Dinostrate.

Voici sa formation. Divisez le quart de cercle ANB, & son rayon Ac, en un égal nombre de parties, comme dans les premiers cas ; des points P, p &c. menez les lignes droites PM, pm &c. paralleles à CB ; & des points Nn, les lignes NM, nm, paralleles à Ac ; joignez les points A, M, m, & vous aurez la quadratrice, dans laquelle ANB : AN :: AC : AP.

Puisque ANB : AN :: AC : AP ; si ANB = a, Ac = b, AN = x, & AP = y ; ax = b y. Voyez Quadrature. On peut décrire cette courbe par un mouvement continu, en supposant deux regles, NM, PM, perpendiculaires l’une à l’autre, qui se meuvent toujours uniformément & parallélement à elles-mêmes, l’une sur le quart de cercle AC, l’autre sur le rayon.