L’Encyclopédie/1re édition/STÉRÉOGRAPHIQUE

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STÉRÉOGRAPHIQUE, adj. (Perspect.) projection stéréographique de la sphere, est celle dans laquelle on suppose que l’œil est placé sur la surface de la sphere. Voyez Projection.

La projection stéréographique est la projection des cercles de la sphere, sur le plan de quelque grand cercle, l’œil étant placé au pole de ce cercle. Cette projection a deux avantages ; 1°. les projections de tous les cercles de la sphere, y sont des cercles, ou des lignes droites, ce qui rend ces projections faciles à tracer. 2°. Les degrés des cercles de la sphere, qui sont égaux, sont à la vérité inégaux dans la projection, mais ils ne sont pas à beaucoup près si inégaux que dans la projection orthographique ; c’est ce qui fait qu’on se sert par préférence de cette projection pour les mapemondes, ou cartes qui représentent le globe terrestre en entier.

Voici la méthode & la pratique de cette projection, dans tous les cas principaux, c’est-à-dire sur les plans du méridien, de l’équateur, & de l’horison.

Projection stéréographique sur le plan du méridien ; soit ZQNE (Pl. de perspect. fig. 22.) le méridien ; Z & N les poles, comme aussi le zénith & le nadir ; EQ l’équinoctial ou l’équateur ; ZN le colure des équinoxes, & le premier cercle vertical ; Z 15 N, Z 30 N, Z 45 N, &c. sont les cercles horaires ou méridiens. Pour décrire ces cercles, trouvez d’abord les points 15, 30, 45, 60, &c. dans l’équinoctial, pour cela il ne faudra que trouver les tangentes des moitiés des angles de 15 degrés, de 30, de 45, &c. dans le grand cercle ZENQ, & les porter depuis Y, jusqu’aux points 15, 30, 45, &c. ou bien, ce qui abrégera encore l’opération, on divisera le grand demi cercle ENQ en 180 degrés, en commençant au point N, 90 de chaque côté ; ensuite par le point Z, & par les points de 15, de 30, de 45 degrés, &c. on tirera des lignes droites qui couperont la ligne Y2, aux points 15, 30, 45, &c. Ces points étant trouvés, il ne s’agira plus que de décrire par ces points, & par les points Z & N, des arcs de cercle Z15N, Z30N, Z45N, &c. qui représenteront les méridiens ; ce qu’on exécutera facilement par les méthodes connues de géométrie, pour tracer un cercle par trois points donnés. Si on ne veut pas se servir de ces méthodes pour décrire ces cercles, on pourra en employer d’autres qui seront encore plus simples : par exemple, pour tracer le méridien Z15N, on tirera du point Z au point 15, une ligne droite, & sur cette ligne droite, on élevera au point Z une perpendiculaire qui ira couper la ligne YE, prolongée en quelque point ; la distance entre ce point de rencontre & le point 15, sera le diametre du cercle Z15N, dont on trouvera par conséquent le centre, en divisant cette distance en deux parties égales. On peut aussi avoir les centres d’une autre maniere : par exemple, pour avoir le centre du cercle Z45N, on tirera par le point Y & par le point de 45 degrés du quart de cercle NQ, une ligne droite ou diametre, qu’on prolongera jusqu’au quart de cercle ZE ; ensuite par le point Z, & par les points d’intersections de ce diametre, avec les deux quarts de cercle NQ, ZE, on tirera deux lignes droites qui iront couper la ligne QYE, prolongée, s’il est nécessaire, en deux points, & la distance de ces points donnera le diametre ; de-là, il est facile de conclure, par les principes de la Géométrie, que le diametre du cercle Z45N, est égal à la moitié de la somme de la tangente de la moitié de 45 degrés, & de la tangente du complément de cette moitié au quart de cercle ; que la distance du point Y au centre du cercle Z45N, est égale à la tangente du complément de 45 degrés, c’est-à-dire à la cotangente de 45 degres, & que la distance du point 45 à ce même centre, est égale à la sécante du complément de 45 degrés, c’est-à-dire à la cosécante de 45 degrés, & ainsi des autres ; ce qui fournit encore de nouvelles méthodes pour déterminer les centres des projections des différens méridiens ; car pour déterminer par exemple le méridien Z45N, il n’y a qu’à prendre depuis le point 45, vers E, une ligne égale à la cosécante de 45 degrés, ou à la demi somme des tangentes de la moitié de 45 degrés, & du complément de cette moitié ; ou bien on prendra depuis le point Y vers E, une ligne égale à la cotangente de 45 degrés.

Dans cette même projection les arcs de cercle ♋, ♋, & rs, rs, sont les tropiques septentrional & méridional, qui se projetteront aussi par des arcs de cercle. Pour tracer ces cercles, par exemple ♋, ♋, on prendra d’abord sur le demi-cercle F22, les arcs E ♋, Q ♋ de 23 degrés & demi, ensuite par le point E, & par le point ♋ qui en est le plus éloigné, on tirera une ligne droite qui coupera la ligne ZN en un point, & par ce point, & les deux points ♋, on décrira un arc de cercle qui représentera le tropique du cancer. On peut aussi s’y prendre de la maniere suivante pour décrire le tropique ♋ o ; on portera de y vers o une ligne yo, égale à la tangente de la moitié de 23 degrés 30’, & du point o vers le point Z, on portera une ligne égale à la cosécante de 23° 30’, en prenant pour sinus total le rayon du tropique. On pourra décrire par une méthode semblable tous les autres cercles paralelles à l’équateur.

Dans cette projection ♋, rs est l’écliptique, elle est représentée par une ligne droite & on la divisera en degrés, comme on a divisé la projection E2 de l’équateur ; on nommera ces degrés par les signes du zodiaque, en comptant 30°. pour chaque signe.

Projection stéréographique sur le plan de l’équinoctial ou équateur : soit SC (fig. 23.) le méridien & le colure des solstices ; EN le colure équinoctial, & le cercle horaire de 6 heures ; P le pole septentrional ; ♋, ♋, le tropique septentrional ; EN la moitié septentrionale de l’écliptique. Pour en trouver le centre, on divisera d’abord la ligne PC en 90 degrés, comme on a divisé dans la fig. 22. la ligne YQ ; on prendra ensuite la portion P ♋, de 66 degrés & demi, & on portera depuis ♋ vers S, une ligne égale à la sécante de 23 degrés & demi, ensuite d’un rayon égal à cette sécante, on décrira un cercle qui passe par le point ♋ ; ou bien on portera depuis le point P, vers S, une ligne égale à la tangente de 23 degrés & demi, & de l’extrémité de cette ligne, comme centre, on décrira un arc de cercle qui passe par les points N, E. Le pole a de l’écliptique est à l’intersection du cercle polaire & du méridien, parce que c’est le lieu par où doivent passer tous les cercles de longitude ; & EZN sera l’horison du lieu, par exemple de Paris. Pour la décrire, prenez depuis P jusqu’à Z la tangente de la demi-latitude ; alors la tangente de la colatitude, prise depuis P jusqu’à O, ou sa sécante depuis Z jusqu’à O, donne le centre du cercle qui doit représenter l’horison, & son pole qui représente le zénith, sera éloigné du pole P d’une quantité égale à la tangente de la demi colatitude.

Tracer tous les autres cercles dans cette projection : 1°. pour les cercles de longitude qui doivent tous passer par a, & par les différens degrés de l’écliptique ; prenez la tangente de 66 degrés 30 minutes, depuis a vers x sur le méridien, ce qui donnera un point par lequel une perpendiculaire étant tirée au méridien, elle contiendra les centres de tous les cercles de longitude, & les distances de ces centres au rayon PC, seront les tangentes des degrés de leurs distances au méridien SPC. 2°. On décrit tous les paralelles de déclinaison, en prenant les tangentes de leurs demi distances au pole P, & décrivant du point P & de ces demi distances, comme rayons, des cercles concentriques. 3°. Tous les cercles azimuthaux ou verticaux doivent passer par le zénith h : puis donc que le zénith de Paris est éloigné de P de 41°. 30′. prenez-en la cosécante, (ou la sécante de 48 degrés 50 minutes) depuis h vers C, & cela donnera le point X, qui est le centre de l’azimuth oriental & occidental, c’est-à-dire EhN. 4°. Les cercles de hauteur, ou almicantarats, sont des cercles plus petits, dont les poles ne sont point dans le plan de la projection ; ainsi le cercle Oc est un cercle de hauteur, élevé de 50 degrés au-dessus de l’horison. 5°. Tous les cercles horaires sont des lignes droites, tirées du centre P à l’extrémité du grand cercle SNXE.

Projection stéréographique sur le plan de l’horison. D’abord décrivez un cercle qui représente l’horison ; partagez-le en quatre parties par deux diametres : Z (fig. 24.) sera le zénith du lieu ; 12 z 12 sera le méridien ; 6 z 6 sera le premier vertical ou azimuth d’orient & d’occident ; faites ZP egal à la tangente de la moitié de 41°. 10 ; P sera le pole du monde : faites z Æ = à la tangente de la moitié de 48°. 30′. & vous aurez le cercle équinoctial 6 æ 6.

Dans cette projection, les almicantarats sont tous paralleles au cercle de projection, & les azimutaux sont tous des lignes droites qui passent par Z, centre du cercle de projection. Les paralleles de déclinaison sont tous de petits cercles paralleles au cercle équinoctial ; & on trouve leurs intersections avec le méridien, en prenant la tangente de leurs demi-distance du zénith, vers le midi ou vers le nord, ou des deux côtés depuis Z : leurs centres se trouvent en coupant en deux la distance qui est entre ces deux points : car le milieu sera le centre du parallele.

Pour ce qui regarde les cercles horaires, faites Ze = à la tangente de 48°. 50′ ; ou Pc = à la sécante de 48°. 50. tirez par le point C une perpendiculaire au méridien 12 Z C prolongé ; ensuite si vous prenez ZC pour rayon, & que sur la ligne CT vous portiez les tangentes de 15°. 30°. 45°. &c. d’un & d’autre côté, vous aurez les centres de chacun des cercles horaires, 7 & 5, 8, 4, &c.

Remarquez que dans toute projection stéréographique, tous les diametres sont divisés en degrés, par les tangentes des demi angles correspondans ; ainsi dans la fig. 22. on a divisé YQ en degrés, aux points 15, 10, 45, &c. en portant depuis Y les tangentes des moitiés de 15 degr. de 30 degr. de 45 degr. &c. & c’est-là le fondement de la projection des cercles horaires de la sphere, sur un plan donné. Voyez Gnomonique, &c.

Comme dans la projection stéréographique tous les cercles se projettent par des lignes droites, ou par d’autres cercles, on se sert beaucoup de cette sorte de projection. Il faut toujours imaginer dans ces sortes de projections, que l’œil est éloigné du plan, d’une quantité égale au rayon du grand cercle de la projection, & que la moitié de la sphere projettée est au-dessous du papier, en sorte que son centre se confonde avec le centre du grand cercle de projection. Au reste, cette espece de projection, malgré tous ses avantages, a un inconvénient, c’est que l’on ne peut pas s’y servir d’une même échelle pour trouver les distances des lieux : car par exemple, dans la fig. 22. les point 15, 30, 45, &c. sont inégalement éloignés les uns des autres sur la projection ; cependant les points de la sphere dont ces lieux sont la projection, sont tous à 15 degrés les uns des autres. Il en est de même de tous les autres points de la projection : car leurs distances se projettent par des arcs de différens cercles, & dans lesquels les degrés sont représentés par des divisions inégales. Ainsi dans une mapemonde qui n’est pas à l’horison de Paris, il faut bien se garder de se servir d’une échelle pour trouver la distance de Paris aux différentes villes de l’Europe ; on ne peut se servir d’une échelle pour mesurer ces distances, que dans les mappemondes dont Paris occupe le centre, c’est-à-dire dans celles dont la projection est sur l’horison de Paris ; encore faudra-t-il se servir d’une échelle dont les divisions soient inégales, comme le sont celles de la ligne YQ, fig. 22. & cette échelle ne pourra donner que les distances de Paris à toutes les autres villes, & non pas la distance de ces autres villes entre elles. (O)