La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/12
Variables réelles ou apparentes
52. Soit une proposition formée par des symboles constants et une seule variable, par ex., x [48].
Nous dirons que, dans la proposition donnée, x est une variable réelle ou apparente selon que la vérité de cette proposition dépend ou ne dépend pas du choix de l’interprétation de x ; par ex., x est une variable réelle dans les propositions (4), (6), (7), tandis que c’est une variable apparente dans la proposition (5).
En résumant : les propositions catégoriques sont des propositions vraies formées par des symboles constants, ainsi que la (1), ou par des symboles constants et des variables apparentes, ainsi que la (5) ; ce sont au contraire des propositions conditionnelles celles dans lesquelles entre au moins une variable réelle, ainsi que les (4), (6), (7).
Dans les explications, on abrège la phrase « proposition catégorique », en écrivant « », qu’on pourra lire « proposition », tout court ; et a la place de « proposition conditionnelle » dans laquelle entre seulement la variable réelle x on écrit condition par rapport à x.
53. J’ajoute pour les mathématiciens que la distinction ordinaire des égalités en « identités » et « équations » (d’où prend naissance celle entre l’arithmétique et l’algèbre) correspond exactement à celle que je viens de faire entre et conditions.
Voici, par ex., des identités :
dans la première desquelles il n’y a que des symboles constants, tandis que dans la seconde il y a aussi les variables a et b, mais qui sont des variables apparentes (si dans le traité on a déclare, une fois pour toutes, que chaque lettre représente un nombre) ; tandis que
est une équation, dont est la variable réelle, qui est vérifiée seulement si vaut 2[1].
Cette distinction mathématique correspond donc exactement à la distinction logique que je viens d’expliquer ; mais celle-ci est bien plus générale, car elle s’étend à des écritures pouvant avoir une forme quelconque (et pas seulement d’égalité) et à des variables pouvant avoir des interprétations quelconques (et pas seulement des nombres).
- ↑ Celles qui, dans le langage algébrique, sont appelées les inconnues d’une équation, ne sont que ses variables réelles ; ses solutions ou racines ne sont que les interprétations des variables réelles, qui transforment l’équation en une identité (savoir la condition en une ).