La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/13

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implications

51. Deux conditions par rapport à une même variable étant données [52], il peut arriver que, toutes les fois que la première est vérifiée par une interprétation de , la seconde aussi se trouve vérifiée par la même interprétation de . En ce cas, nous dirons que la première condition implique la seconde.

Par ex.,          «  poisson »xximpliquexx«  vertébré »(8)

La signification précise que nous donnons à cette écriture est celle-ci :

«  n’est pas un poisson »xxou bienxx«  est un vertébré »(9)

On peut répéter pour la (9) ce que nous avons dit au sujet de la (5) [51] ; par suite , qui est une variable réelle [52] dans chacune des conditions
«  poisson »xxetxx«  vertébré », est une variable apparente [52] dans l’écriture (9) ou dans son équivalent (8); donc celle-ci est une vraie [52], qu’on appelle une « implication ».

Même à la (5) on peut donner la forme d’une implication :
                         «  » implique «   »(10)
Dans toute implication, la première condition est appelée « hypothèse » (qu’on abrège par « Hp ») et la seconde « thèse » (qu’on abrège par « Ts »).


55. On peut prouver d’une autre manière que dans l’implication (8) est une variable apparente ; en effet, on peut éviter l’emploi de cette variable, en disant :

tout poisson est un vertébré


ou en écrivant [31] :
                                             poisson vertébré(11)

Mais alors, en général, si a et b sont des quelconques, l’implication

«  » xximpliquexx «  »


est équivalente à l’inclusion
                                                       (12)

Ces deux dernières propositions étant équivalentes, au lieu d’inventer un nouveau symbole pour remplacer le mot « implique », on peut donner au signe «  » ce nouveau rôle [28], en écrivant :
                                        «  » «  »(13)

Les deux rôles du signe «  » sont bien distincts : il est le symbole de l’inclusion ou de l’implication selon qu’on le trouve entre deux ou entre deux conditions par rapport à une même variable [52]

Ainsi donc l’implication (8) s’écrira :
                                   «  poisson » «  vertébré »(14)

et, tandis que la lecture du signe «  » dans la (11) est « tout… est un… », dans la (14) cette lecture devient « implique » (ou bien « donc » ou bien « si… alors… »).

On verra dans la suite qu’en faisant ainsi nous respectons le principe de permanence [28], car le signe «  » a les mêmes propriétés formelles dans les deux rôles que nous lui avons donnés (et nous ne lui en donnerons pas d’autres [1]).


56. On pourrait faire l’objection que peut-être l’analogie entre les inclusions et les implications n’est pas toujours si saisissante qu’elle paraît en comparant les formules (12), (13) et en particulier les (11), (14) ; parce que, en ces cas, cette analogie semble dépendre de la forme particulière des conditions considérées.

En effet, comment pourrait-on se tirer d’affaire si l’Hp et la Ts d’une implication n’étaient pas deux appartenances par rapport au même individu variable ?

L’objection n’a aucune valeur ; car, ainsi que nous le verrons [60], chaque condition par rapport a [52], quelle qu’en soit la forme, peut se changer en une appartenance entre et une déterminée.

  1. Leibniz avait remarqué les liens entre les inclusions et les implications :