La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/16

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 51-55).

Affirmations simultanées ou alternes

63. Si $a$ et $b$ sont des $\mathrm {Cls}$, leur intersection « $a\;\smallfrown \;b$ » est aussi une $\mathrm {Cls}$ [39] ; par suite, « $x\;\varepsilon \;(a\smallfrown b)$ » est une condition explicite par rapport à $x$ [60], qui est égale à l’affirmation simultanée des conditions « $x\;\varepsilon \;a$ » et « $x\;\varepsilon \;b$ » ; en effet [60], l’ensemble des $x$ qui vérifient à la fois ces deux conditions est égal à l’ensemble des $x$ qui vérifient la condition « $x\;\varepsilon \;(a\smallfrown b)$ », c’est-à-dire [58 $\mathrm {P1}$] à la $\mathrm {Cls}$ « $a\;\smallfrown \;b$ ».

C’est pourquoi on donne au signe « $\smallfrown$ » le rôle de symbole d’affirmation simultanée (entre deux conditions, tandis qu’entre deux $\mathrm {Cls}$ il reste le symbole d’intersection), en lui conservant la lecture « et ». Donc, en symboles :

$x\;\varepsilon \;a\,.\;\smallfrown \;.\,x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;(a\;\smallfrown \;b)$

ou bien

$x\;$$\varepsilon$$\;(x\;\varepsilon \;a\;.\,\smallfrown \,.\;x\;\varepsilon \;b)\;=\;a\;\smallfrown \;b$

64. Lorsque le signe « $\smallfrown$ » se trouverait placé entre des écritures qui, par leur forme, sont nécessairement des conditions, on a l’habitude de le sous-entendre ; mais sa place reste marquée par un des points ou des groupes de points qui se trouvaient à ses côtés. Donc,

2.                              $x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;a\,.\,\smallfrown \,.\;x\;\varepsilon \;b$

Par suite, les deux dernières formules s’écrivent ainsi :

3.                              $x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;(a\;\smallfrown \;b)$
                                        $x\;$$\varepsilon$$\;(x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b)\;=\;a\;\smallfrown \;b$(3)

65. La $\mathrm {P}$ 3 nous apprend a condenser en une seule deux appartenances ayant le même sujet, et cela d’une manière conforme au langage courant ; en effet, par ex., au lieu de l’affirmation simultanée

« Homère était un poète et Homère était un Grec »,

on dit
                                        « Homère était un poète grec », (4)

où poète grec est bien l’intersection des deux $\mathrm {Cls}$ conjointes « poète » et « grec » [41].

De même, le langage courant condense en une seule deux appartenances ayant le même prédicat ; par ex., au lieu de l’affirmation simultanée :

« Homère était un poète » et « Virgile était un poète »,

on dit
                              « Homère et Virgile étaient des poètes ».(5)

Mais cet « et », qui vient lier deux sujets (c’est-à-dire deux individus), est bien différent de l’ « et » qui lierait deux prédicats (c’est-à-dire deux $\mathrm {Cls}$), car ce nouveau « et » n’est pas assurément un signe d’intersection [39] ; et par suite nous ne pouvons pas le représenter par le signe « $\smallfrown$ ».

Puisque nous n’employons pas la virgule « $,$ » comme signe de ponctuation [57], nous allons l’employer comme symbole, en lui confiant seulement le rôle déclaré.

Par suite, sans nous soucier des flexions, nous écrivons ainsi les (4), (5)

Homère $\varepsilon$ (poète $\smallfrown$ grec)

Homère$\,,$ Virgile $\varepsilon$ poète

Donc [$\mathrm {P}$ 2], la signification du symbole « $,$ » est établi par la $\mathrm {P}$

4.                              $x\,,\;y\;\varepsilon \;a\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;a\,.\,y\;\varepsilon \;a$
d’où, en particulier,

5.                         $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;:\,=\,:\;a\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \,.\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$

66. Dans le Formulaire la $\mathrm {P}$ 4 est précédée par l’$\mathrm {Hp}$ « $a\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ » qui me parait superflue, car pour moi l’affirmation « $x\;\varepsilon \;a$ » implique que « $a\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ », c’est-à-dire

6.                                   $x\;\varepsilon \;a\,.\,\supset \,.\,a\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$

D’ailleurs, la $\mathrm {P}$ 4 dit seulement qu’on peut toujours remplacer l’une par l’autre deux écritures de la forme « $x\,,\;y\;\varepsilon \;a$ » et « $x\;\varepsilon \;a\,.\,y\;\varepsilon \;a$ », ce qui est permis sans exception.

Et de même pour la $\mathrm {P}$ 2 [64] ; en ajoutant que, comme on admet que

7.                                   $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\;(a\;\smallfrown \;b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$

(c’est-à-dire, en éliminant les variables apparentes, que « l’intersection de deux $\mathrm {Cls}$ est aussi une $\mathrm {Cls}$ »), ainsi j’admets la $\mathrm {P}$ (qu’on ne trouve pas dans le Formulaire) :

8.                                    $(a\;\smallfrown \;b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\;a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$

Pour justifier cette P, j’analyse le symbole « $\smallfrown$ » dans ses deux rôles [39, 63], en déclarant qu’il n’en aura pas d’autres ; or, selon qu’on le place entre deux $\mathrm {Cls}$ ou entre deux conditions, on obtient une $\mathrm {Cls}$ ou une condition ; donc, selon que « $a\;\smallfrown \;b$ » est une $\mathrm {Cls}$ ou une condition, on a le droit de conclure que $a$ et $b$ sont aussi, respectivement, des $\mathrm {Cls}$ ou des conditions ; d’où la $\mathrm {P}$ 8.

Mais par rapport a la formule (l) [62] la chose est différente ; en effet, tandis que

9.                                   $x\;\varepsilon \;a\;.\,=\,.\;x\;\varepsilon \;b\;:\,\supset \,:\;a\;=\;b$
pour que « $a=b$ » implique « $x\;\varepsilon \;a\;.\,=\,.\;x\;\varepsilon \;b$ » il faut que $a$ et $b$ soient des $\mathrm {Cls}$ ; donc

10.                    $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\;a=b\;:\,\supset \,:\;x\;\varepsilon \;a\;.\,=\,.\;x\;\varepsilon \;b$

On peut faire des distinctions analogues au sujet des formules (2) [62] et (3) [64], qui donnent les $\mathrm {P}$

11.                                $x\;\varepsilon \;a\;.\,\supset \,.\;x\;\varepsilon \;b\,:\,\supset \,:\;a\;\supset \;b$

12.                    $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \,.\,a\;\supset \;b\;:\,\supset \,:\;x\;\varepsilon \;a\,.\,\supset \,.\;x\;\varepsilon \;b$

13.               $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\;x$ $\varepsilon$ $(x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b)\,=\,a\;\smallfrown \;b$

67. Nous savons que, si $a$ et $b$ sont des $\mathrm {Cls}$, leur réunion simple
« $a\,\smallsmile \,b$ » est aussi une $\mathrm {Cls}$ [39], c’est-à-dire que l’on a :

14.                         $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \;(a\;\smallsmile \;b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$($\mathrm {P}$ 7)^[1]

Par suite, si « $a\,,\,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ », l’écriture « $x\;\varepsilon \;(a\,\smallsmile \,b)$ » est une condition explicite par rapport à $x$ [60] qui est égale a l’affirmation alterne des conditions « $x\;\varepsilon \;a$ » et « $x\;\varepsilon \;b$ » ; en effet [60], l’ensemble des $x$ qui vérifient une au moins de ces conditions est égal à l’ensemble des $x$ qui vérifient la condition « $x\;\varepsilon \;(a\,\smallsmile \,b)$ », c’est-à-dire [58 $\mathrm {P}$ 1]
à la $\mathrm {Cls}$ « $a\,\smallsmile \,b$ ».

C’est pourquoi on donne au signe « $\smallsmile$ » le rôle de symbole d’affirmation alterne (entre deux conditions, tandis qu’entre deux $\mathrm {Cls}$ il reste le symbole de réunion simple) en lui conservant la lecture « ou » (au sens du latin « vel » [42]).

Donc en symboles :

15.                         $x\;\varepsilon \;a\;.\,\smallsmile \,\,.x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,x\;\varepsilon \;(a\,\smallsmile \,b)$($\mathrm {P}$ 3[$\mathrm {P}$ 2])

16.           $a,\,b\,\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\,x$ $\varepsilon$ $(x\;\varepsilon \;a\,.\,\smallsmile \,.\,x\;\varepsilon \;b)=a\smallsmile b$($\mathrm {P}$ 13)

Comme au symbole « $\smallsmile$ » on ne donnera pas d’autres rôles, par des considérations analogues à celle que je viens de faire pour le symbole « $\smallfrown$ » [66] je suis amené à admettre que

17.                          $(a\smallsmile b)\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} \;.\,\supset \,.\,a,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ ($\mathrm {P}$ 8)^[2]

68. Voici des applications des symboles que nous connaissons, tirées de la Logique et de l’Arithmétique et qui sont propres à relever encore une fois l’analogie partielle entre ces deux sciences [49] :

18.                         $a\smallsmile b=\land :=:a=\land .b=\land$
savoir [37, 39, 64] « la réunion de deux $\mathrm {Cls}$ est rien, toutes les fois que chacune d’elles est rien, de même que

$a,b\;\varepsilon \;\mathrm {N} \;.^{\,\cdot }.\;\,\supset \,.^{\,\cdot }.\;a+b=0:\,=\,:\;a=0\,.\,b=0$

savoir [35] « la somme de deux $\mathrm {N}$ (absolus) est zéro toutes les fois que chacun d’eux est zéro » ;

19.                         $a\;\smallfrown \;b=\lor :=:a=\lor .b=\lor$
savoir « l’intersection de deux $\mathrm {Cls}$ est tout, toutes les fois que chacune d’elles est tout », de même que

$a,b\;\varepsilon \;\mathrm {N} \;.^{\,\cdot }.\;\,\supset \,.^{\,\cdot }.\;a\times b=1\;:\,=\,:\;a=1\,.\,b=1$

savoir [35] « le produit de deux $\mathrm {N}$ (entiers) est un, toutes les fois que chacun d’eux est un ».

Comme [37 et $\mathrm {P}$ 5]

20.                         $\lor ,\;\land \;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$
il est inutile de placer devant les $\mathrm {P}$ 18, 19 l’$\mathrm {Hp}$ « $a,b\;\varepsilon \;\mathrm {Cls}$ » [$\mathrm {P}$ 17 et $\mathrm {P}$ 8].

Boole avait decouvert les $\mathrm {P}$ 18, 19 et les avait exprimées par les signes arithmetiques analogues et par le langage ordinaire. Mais l’analogie n’est pas complète ; en effet, tandis que :

$a,b~\varepsilon ~\mathrm {N} ~\therefore \,\supset \,\therefore a\times b=0:=:a=0.\smallsmile .b=0$

$a,b~\varepsilon ~\mathrm {N} ~::\,\supset \,::a+b=1\therefore \,=\,\therefore a=1.b=0:\smallsmile :a=0.b=1$

savoir « le produit de deux $\mathrm {N}$ est zéro, toutes les fois qu’au moins un d’eux est zéro » et « la somme de deux $\mathrm {N}$ est un, toutes les fois qu’un d’eux est un et que l’autre est zéro », les propriétés logiques analogues ne subsistent pas^[3].

1. Une $\mathrm {P}$ entre [xx] indique une citation, tandis qu’une $\mathrm {P}$ entre (xx) indique une remarque d’analogie.
2. Voici un ex. pour mieux éclairer la distinction entre les affirmations simultanées [65] ou alternes [67] ; si $x\;\varepsilon \;\mathrm {N}$,
   alors                         $2<x<7\,.\;\smallfrown \;.\,4<x<9\;:\,=\,:\;4<x<7$
   tandis que               $2<x<7\,.\;\smallsmile \;.\,4<x<9\;:\,=\,:\;2<x<9$
3. En effet : si deux $\mathrm {Cls}$ sont disjointes [40], leur intersection est rien, même si toutes les deux sont différentes de rien ; et la réunion de deux $\mathrm {Cls}$ peut bien être tout, sans que l’une soit tout et que l’autre soit rien.