La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/15

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 47-51).

Classes et conditions

58. Voici deux appartenances [24, 35]

$5\;\varepsilon \;\mathrm {Np}$xxxetxxx$x\;\varepsilon \;\mathrm {Np}$

dont l’une est une $\mathrm {P}$, tandis que l’autre est une « condition par rapport à $x$ » [52].

Évidemment, cette condition sera vérifiée ou non selon qu’on remplacera $x$ par un nombre premier ou par n’importe quelle autre chose ; c’est pourquoi nous pouvons écrire : « l’ensemble des valeurs de $x$ qui vérifient la condition $(x\;\varepsilon \;\mathrm {Np} )$ » $=\;\mathrm {Np} \$; ou, en abrégeant,

« l’ensemble des $x$ tel que $(x\;\varepsilon \;\mathrm {Np} )$ » $=\;\mathrm {Np} \$

Il ressort de cet ex. (et on verra en général [60]) que les deux phrases
                                        « l’ensemble des $x$ tel que »(1)

et                                                 « $x$ est un »(2)

indiquent deux transformations inverses, pareillement aux phrases

« le double de »xxx et xxx« la moitié de »

qui donnent, par ex.,

le double de (la moitié de 10) $\;=\;$ 10

Cette remarque, bien simple mais très importante, amena M. Peano à représenter ces deux transformations de manière à mettre sous les yeux que l’une est l’inverse de l’autre ; en effet, ayant déjà représenté la phrase (2) par l’écriture « $x\;\varepsilon$ », il représenta la phrase (1) par l’écriture « $x\;$ $\varepsilon$ ».

Ainsi, nous pouvons écrire en symboles

$x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;\mathrm {Np} \right)\;=\;\mathrm {Np}$

Il est bon de prendre note qu’en général, si $a$ est une $\mathrm {Cls}$ quelconque,

$x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;a\right)\;=\;a$

ce qui s’exprime complètement en symboles moyennant l’implication [55]^[1]

1.                          $a\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} .\;\supset \;.x\;$$\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;a\right)\;=\;a$

Ici $x$ est une variable apparente [52]; $a$ est une variable réelle dans l’$\mathrm {Hp}$ ainsi que dans la $\mathrm {Ts}$, séparément considérées, mais elle est apparente dans l’implication.

59. Une « condition par rapport à $x$ » étant donnée, même si elle n’avait pas la forme d’appartenance par rapport à $x$, nous pouvons représenter l’ensemble des $x$ qui la vérifient, en écrivant devant elle « $x\;$$\varepsilon$ » [58].

Ainsi donc, si $u$ est une équation ayant $x$ pour inconnue [53], avant de la résoudre et quand même on ne serait pas capable de la résoudre, l’écriture « $x\;$$\varepsilon$ $u$ » représentera l’ensemble de ses racines. Par ex., en nous bornant à considérer les racines réelles (au sens mathématique) d’une équation donnée, le fait que, des trois équations

$x^{2}+26=10x\qquad \quad x^{2}+25=10x\qquad \quad x^{2}+16=10x$

la première n’a aucune solution, la deuxième a la seule solution 5 et la troisième a les deux solutions 2 et 8, est exprimé respectivement par les formules [37, 45, 47] :
                                        $x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x^{2}+26=10x\right)\;=\;\land$

                                        $x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x^{2}+25=10x\right)\;=\;\iota 5$

                                        $x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x^{2}+16=10x\right)\;=\;\iota 2\smallsmile \iota 8$

60. Nous envisageons toujours les conditions au point de vue de l’extension, ainsi que nous faisons pour les $\mathrm {Cls}$ [27] et qu’on fait d’ordinaire pour les équations. En d’autres termes : deux conditions par rapport à $x$ étant données, quelle qu’en soit la forme, nous disons que l’une est égale à l’autre (selon le langage courant on les dirait équivalentes, mais c’est bien d’une égalité qu’il s’agit [23]) toutes les fois que l’ensemble des $x$ qui vérifient la première est égal à (savoir, est le même que) l’ensemble des $x$ qui vérifient la seconde.

Cela étant établi, je vais démontrer qu’a toute condition par rapport à $x$ on peut donner la forme d’une appartenance entre $x$ et une $\mathrm {Cls}$ déterminée, forme que je nommerai « condition explicite par rapport à $x$ ».

Soit $u$ la condition donnée ; désignons par $a$ l’ensemble des $x$ qui vérifient $u$, c’est-à-dire posons que [59]

$x\;$ $\varepsilon$$\;u\;=\;a$

Avec cela, $a$ est une $\mathrm {Cls}$ déterminée, même si l’on n’en connaît encore aucun individu ; donc, en comparant cette formule à la $\mathrm {P}$ 1 [58], on obtient

$x\;$ $\varepsilon$$\;u\;=\;x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;a\right)$

et par suite
                                                  $u\;=\;x\;\varepsilon \;a$( c. q. f. d.)

Comme toute « condition par rapport à $x$ » peut acquérir ainsi la forme « $x\;\varepsilon \;a$ », où $a$ est une $\mathrm {Cls}$ déterminée, c’est bien celle-ci la forme que nous lui donnerons dans les formules générales.

En remplaçant $a$ par sa valeur, dans la dernière formule, elle devient

$u\;=\;x\;\varepsilon \;(x\;$$\varepsilon$$\;u)$

et, en résumant cette formule avec la $\mathrm {P}$ 1, il résulte que les écritures « $x\;\varepsilon$ » et « $x\;$$\varepsilon$ » se détruisent l’une par l’autre, quel qu’en soit l’ordre, c’est-à-dire qu’elles représentent toujours deux transformations inverses. Et précisément : l’écriture « $x\;\varepsilon$ » transforme une $\mathrm {Cls}$ quelconque en une « condition par rapport à $x$ » et l’écriture « $x\;$$\varepsilon$ » transforme toute « condition par rapport à $x$ » en une $\mathrm {Cls}$.

61. Boole, et avant lui Leibniz et Lambert, tout en s’occupant des $\mathrm {Cls}$, n’avaient pas manqué d’observer certains liens entre la théorie des $\mathrm {Cls}$ et celle des conditions ; après Boole, un autre logicien anglais, Mac Coll, avait même tâché de construire une théorie des conditions, complète en soi (The calculus of equivalent statements).

Mais, c’est à M. Peano que revient le mérite d’avoir mis en pleine lumière la connexion intime et réciproque qui relie entre elles ces deux théories ; c’est une vraie découverte, dont l’importance fut bien comprise et relevée par M. L. Couturat dans l’Introduction à son livre sur Les Principes des Mathématiques [14].

« Jusqu’au milieu du XIX^e siècle, la Logique et les Mathématiques avaient vécu absolument distinctes et même séparées.

« La Logique était restée confinée dans le domaine étroit que lui avait assigné Aristote, à savoir dans l’étude des relations d’inclusion ou de prédication… » (ces dernières sont celles que j’appelle des appartenances).

« De leur côté, les Mathématiques (ce pluriel est significatif) formaient une collection de sciences spéciales d’un caractère technique : science du nombre, science de la grandeur, science de l’espace, science du mouvement, dont l’unité, assez vague, consistait uniquement dans la communauté de méthode.

« Mais, chose curieuse, cette méthode déductive était absolument inconnue de la Logique formelle, qui pourtant prétendait étudier toutes les formes de la déduction, de sorte qu’il s’était constitué implicitement une Logique mathématique tout à fait différente de la Logique classique (syllogistique) ; et les philosophes, pour expliquer cette dualité, se contentaient d’opposer entre elles la Logique de la qualité et la Logique de la quantité, sans chercher le lien qui devait les unir, en tant que branches d’une seule et même Logique. »

Ce lien est celui dont je vous ai déjà parlé, mais dont l’importance ne pourrait être appréciée avant d’en voir des applications.

62. Dans la Logica matematica de M. Burali Forti, ainsi que dans les premières éditions du Formulaire, la théorie des conditions précédait celle des $\mathrm {Cls}$. Mais, ayant reconnu l’analogie parfaite entre les deux théories, on a préféré, et je préfère, développer complètement celle des $\mathrm {Cls}$, qui est d’une compréhension plus immédiate ; en me contentant d’indiquer, pour ainsi dire, les ponts qui relient les deux rives du même fleuve et qui permettent de marcher un peu sur un bord et un peu sur l’autre, ainsi que l’on veut.

Pourtant, deux ponts de communication sont donnés par les $\mathrm {P}$ suivantes qui relient les deux rôles de chacun des symboles « $=$ » et « $\supset$ », selon qu’ils sont employés entre deux $\mathrm {Cls}$ ou entre deux conditions explicites par rapport à la même variable [60] :
                                        $x\;\varepsilon \;a\,.\;=\;.\,x\;\varepsilon \;b\,:\,=\,:\;a\;=\;b$(1)

                                        $x\;\varepsilon \;a\,.\;\supset \;.\,x\;\varepsilon \;b\,:\,=\,:\;a\;\supset \;b$(2)

dont la première exprime en symboles que les conditions sont aussi envisagées au point de vue extensif [60] et la seconde exprime l’égalité entre les formules (12) et (13) [55].

On peut les lire : « la condition $x\;\varepsilon \;a$ est égale à (ou implique) la condition $x\;\varepsilon \;b$ toutes les fois que $a$ est égal a (ou est contenu en) $b$ ».

1. Ici commence la numération des $\mathrm {P}$ générales, savoir de Logique déductive, complètement écrites en symboles. B. Russell commence chaque $\mathrm {P}$ vraie par un signe particulier qui signifie « il est vrai que » ; mais, par une convention universelle du langage, cette phrase est sous-entendue devant chaque assertion isolée. D’autre part, si l’on sent ce scrupule, pourquoi s’arrêter au premier pas ? pourquoi ne pas sentir le besoin de placer cette phrase même devant une $\mathrm {P}$ commençant par « il est vrai que » ? et ainsi sans fin ?