La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/18

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 57-59).

Existence

74. Les symboles « $\wedge$ » et « $\vee$ » [37] sont employés dans quelques $\mathrm {P}$ de Logique, pour faire mieux ressortir les propriétés des idées qu’elles représentent et des analogies remarquables entre certaines $\mathrm {P}$ logiques et arithmétiques ; par ex., aux $\mathrm {P}$ 18, 19, 20 [68] on peut ajouter ces autres qu’on obtient en complétant des formules déjà vues [49] par l’$\mathrm {Hp}$ « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ ».

00032. $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .a\smallfrown \wedge =\wedge$	00033. $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .a\smallsmile \wedge =a$
00034. $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .a\smallsmile \vee =\vee$	00035. $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .a\smallfrown \vee =a$

Et l’on peut ajouter

00036. $\vee =\lnot \wedge$

00037. $\wedge =\lnot \vee$

Mais dans les applications on a préféré remplacer ces écritures par d’autres plus commodes, que je vais expliquer.

75. Si « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », au lieu que « $a\,\lnot \wedge$ » (« a n’est pas égal à rien »), on écrit « $\exists \,a$ », où le symbole « $\exists$ » se lit « il existe des » ou « il y a des »^[1]. Ainsi, par ex. [35] :

$\exists \,[\mathrm {N} ^{2}\smallfrown (\mathrm {N} ^{2}+\mathrm {N} ^{2})]$

« il y a des carrés qui sont la somme de deux carrés. »

Dans le Formulaire on énonce que :

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} :\supset :\exists \,a.=.a\lnot =\wedge$

mais moi je préfère la $\mathrm {P}$

38. $\exists \,a:=:a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .a\lnot =\wedge$
moyennant laquelle on déclare aussi que l’écriture « $\exists \,a$ » ne sera employée que si « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », car de la $\mathrm {P}$ 38 on tire :

39. $\exists \,a.\supset .a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

De la $\mathrm {P}$ 38 il résulte aussi que, a étant donné, il peut arriver que « $\lnot \exists \,a$ » [69] pour deux raisons différentes : il peut se faire que « $a\lnot \varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » ou bien que « $a=\wedge$ ». Donc :

40. $\lnot \exists \,a:=:a\,\lnot \varepsilon \,\mathrm {Cls} .\smallsmile .a=\wedge$

Par conséquent, si « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », au lieu que « $a=\wedge$ » on écrit « $\lnot \exists \,a$ », où la suite de signes « $\lnot \exists$ » se lit « il n’existe pas des » ou « il n’y a pas des » ou « il n’y a aucun » ; ainsi, par ex., en écrivant d’une autre manière une $\mathrm {P}$ déjà vue [40] :

$\lnot \exists \,[\mathrm {N} ^{3}\smallsmile (\mathrm {N} ^{3}+\mathrm {N} ^{3})]$

J’ai déjà averti que le symbole « $\vee$ » n’a pas d’applications [37] ; toutefois, si « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », on pourrait toujours remplacer « $a=\vee$ », savoir [$\mathrm {P}$ 37] « $\lnot a=\wedge$ », par « $\lnot \exists \,(\lnot a)$ » ; et de même « $a\lnot =\vee$ », savoir « $(\lnot a)\lnot =\wedge$ », par « $\exists \,(\lnot a)$ ».

1. Le symbole « $\exists$ » est la lettre initiale du mot « existent », qu’on a renversée parce que la lettre « E » avait été déjà adoptée par Legendre, Théorie des nombres, a. 1808, comme symbole arithmétique (signifiant « l’entier de »).