La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/3/02

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 64-66).

Propriété substitutive de l’égalité

84. Mais l’ensemble des trois propriétés que nous venons de considérer [83] ne suffit pas à caractériser l’égalité, parce qu’il y a d’autres relations qui jouissent des mêmes propriétés à la fois ; par ex., les relations géométriques « est superposable à », « est équivalent à », « est semblable à », « est projectif à », etc.

Le Formulaire énonce une propriété de l’égalité qui sert à la distinguer de toute autre relation :

48. $x=y\,:=:\,x\,\varepsilon \,a\,.\supset .y\,\varepsilon \,a$

Dans cette P, x et y étant donnés, le second membre est une implication entre des conditions par rapport à a ; c’est-à-dire :

« $x=y$ » signifie que « si x appartient à une $\mathrm {Cls}$ [66 $\mathrm {P}$ 6], alors, quelle que soit cette $\mathrm {Cls}$, y lui appartient aussi ».

C’est exact ; mais, à mon avis, cette $\mathrm {P}$ n’a pas la forme la plus convenable pour des applications immédiates. Je préfère dire que l’égalité est caractérisée par la propriété substitutive, savoir que si « $x=y$ », alors « en remplaçant x par y dans une écriture quelconque, la signification de cette écriture ne change pas ».

Pour exprimer cela, en se passant du langage ordinaire, il suffit de remarquer que dans nos $\mathrm {P}$ les signes se suivent toujours sur une même ligne ; c’est pourquoi une écriture quelconque, dans laquelle on rencontre la lettre x, aura nécessairement une des formes

« $ux$ », « $xv$ », « $uxv$ »,

selon que x est seulement précédé ou seulement suivi ou en même temps précédé et suivi par d’autres signes quelconques, dont je désigne l’ensemble par u et v.

Mon principe sera donc énoncé dans tous les cas possibles moyennant les P

00049. $x=y\,.\supset .ux=uy$	00050. $x=y\,.\supset .xv=yv$
00051. $x=y\,.\supset .uxv=uyv$

85. Voici une conséquence de ces P, qui me semble très importante pour la méthodologie.

Dans presque tous les traités d’Arithmétique on rencontre des $\mathrm {P}$ telles que :
                              $a,\,x,\,y\,\varepsilon \,\mathrm {N} .x\,=\,y\,:\supset :\,a+x\,=\,a+y$(1)
qui, malgré son apparence, n’est pas une vraie $\mathrm {P}$ arithmétique.

En effet, si l’écriture quelconque désignée par u dans la $\mathrm {P}$ 49 est « $a+$ », cette $\mathrm {P}$ devient :
                              $x\,=\,y\,.\supset .a+x\,=\,a+y$(2)

et ainsi la vérité de cette dernière $\mathrm {P}$ reste établie indépendamment de la $\mathrm {Cls}$ à laquelle appartiennent a, x, y et de la signification du symbole « $+$ ». Et réellement : ne resterait-elle pas vraie même si a, x, y, au lieu d’être des $\mathrm {N}$, étaient des nombres d’une espèce différente ou d’autres choses quelconques (par ex., des longueurs, des angles, des volumes, des forces, des vitesses, des poids, des valeurs, etc.) pour lesquelles on eût donné une signification, n’importe laquelle, au signe « $+$ » ? et ne resterait-elle pas vraie même si, au lieu du signe « $+$ », il s’agissait de n’importe quel autre signe d’opération (par ex., « $\times$ », « $-$ », etc.), pourvu que a et x soient des valeurs possibles par rapport à cette opération [94] ?^[1].

La $\mathrm {P}$ (2), ainsi que ses semblables par rapport à un autre signe d’opération, appartient donc aux applications immédiates de la Logique et n’exige aucune autre condition dans l’$\mathrm {Hp}$ ; toute tentative de démonstration de $\mathrm {P}$ de ce type ne saurait être qu’un paralogisme.

86. Il faut encore remarquer que les $\mathrm {P}$ 48, 49, 50 ne sont pas invertissables, c’est-à-dire que « $ux=uy$ » n’implique pas nécessairement « $x=y$ » ; et de même « $xv=yv$ », « $uxv=uyv$ ».

En effet, par ex., du fait que « le père de x = le père de y = » on ne peut pas conclure que « $x=y$ », car x pourrait être un frère ou une sœur de y. Donc, toutes les fois qu’une écriture donnée u est telle que

« $ux=uy$ » implique « $x=y$ »,

ce fait constituera une propriété remarquable de cette écriture u.

C’est pourquoi, par ex., la $\mathrm {P}$
                              $a,\,x,\,y\,\varepsilon \,\mathrm {N} .a+x\,=\,a+y\,:\supset :\,x\,=\,y$(3)

est une vraie $\mathrm {P}$ arithmétique, qui énonce une propriété de l’addition ; en effet, s’il y a d’autres opérations pour lesquelles sont vraies les $\mathrm {P}$ analogues à la (3), il y en a aussi de celles qui n’ont pas la même propriété^[2]. Eh bien ! Malgré ce que je viens de dire, si vous prenez au hasard un traité d’Arithmétique, il est plus probable que vous y rencontriez la (1) que la (3) !

1. Car, si « $x=y$ », cette opération sera forcément possible aussi par rapport à a et y, et le résultat ne pourra être que le même d’auparavant.
2. Telle, par ex., la détermination du plus grand commun diviseur qui, par ex., est 4 aussi bien pour 8 et 12 que pour 8 et 28, bien que 12 ne soit pas égal à 28.