La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/3/03

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 66-69).

Transformation des relations logiques

87. Les relations logiques « $=\,\varepsilon \,\supset$ » sont liées entre elles par des propriétés très importantes.

Nous avons déjà vu [81] que la formule « $a\,\supset \,b$ » (tant comme inclusion que comme implication, selon que a et b sont des $\mathrm {Cls}$ ou des conditions par rapport à la même variable) n’implique pas la formule « $b\,\supset \,a$ » (qu’on peut appeler la réciproque de la précédente) ; mais, lorsque « $a\,\supset \,b$ » et « $b\,\supset \,a$ » subsistent toutes les deux, leur affirmation simultanée (c’est-à-dire « tout a est un b et tout b est un a », ou bien « a implique b et b implique a ») implique « $a\,=\,b$ », car les $\mathrm {Cls}$ et les conditions sont toujours envisagées au point de vue de l’extension [27, 60]. Donc :

52.                              $a\,\supset \,b\,.\,b\,\supset \,a\,:\,\supset \,:\,a=b$(Leibniz)
La réciproque de cette P, c’est-à-dire :

« $a\,=\,b$ » implique « $a\,\supset \,b\,.\,b\,\supset \,a$ »

est vraie seulement si a (et par conséquent aussi b [$\mathrm {P}$ 57]) est une $\mathrm {Cls}$ ou une condition, ce qu’il faut déclarer, parce qu’on pourrait avoir « $a\,=\,b$ » même en d’autres cas. Donc :

53.                    $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a\,=\,b\,:\,\supset \,:\,a\,\supset \,b\,.\,b\,\supset \,a$(Leibniz)
et l’on sous entend la $\mathrm {P}$ analogue pour les conditions à cause des considérations déjà développées [62]^[1].

88. Comme le signe « $\supset$ » est toujours employé entre deux $\mathrm {Cls}$ ou entre deux conditions (parce qu’on ne lui donnera pas d’autre rôle outre que ceux d’inclusion [31] et d’implication [55]), j’ajoute aux $\mathrm {P}$ du Formulaire les P

54.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a\,\supset \,b\,:\,\supset \,:\,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

55.                              $b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a\supset \,b\,:\,\supset \,:a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

qui permettent d’abréger l’$\mathrm {Hp}$ de plusieurs $\mathrm {P}$ du Formulaire.

Ainsi, par ex., à cause de la $\mathrm {P}$ 6 [66] et de la $\mathrm {P}$ 54, dans l’$\mathrm {Hp}$ de la P

56.                              $x\,\varepsilon \,a\,.\,a\supset \,b\,:\,\supset \,:x\,\varepsilon \,b$

on n’a plus besoin d’énoncer que « $a,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ ».

On peut aussi remarquer, comme ex. d’application de la propriété substitutive de l’égalité [84], que :

57.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a=\,b\,.\,\supset \,.b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

58.                              $b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a=\,b\,.\,\supset \,.a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

89. Pour simple que puisse paraître la relation d’égalité [23], on peut la décomposer. En effet, x étant un objet donné quelconque, l’écriture « $y=x$ » est une condition par rapport à y [52] ; l’ensemble des y qui la vérifient, c’est-à-dire [58] « $y$$\varepsilon$ $(y=x)$ », est la $\mathrm {Cls}$ dont x est le seul individu, c’est-à-dire [45] « $\iota \,x$ ». Donc :

59.                              $\iota x=y\,$ $\varepsilon$ $\,(y=x)$
d’où [60]

60.                              $y\,\varepsilon \,(\iota x)\,.=.\,y=x$

Ainsi toute égalité peut se transformer dans une appartenance.

On voit par là que le signe « $\iota$ » pourrait être lu « égal à » (tandis que le signe « $=$ » se lit « est égal à »). Mais ce n’est pas une lecture qui convienne au langage courant ; on ne saurait l’adopter, par ex., pour lire la $\mathrm {P}$ [46]

« $\iota \,2=\mathrm {Np} \smallfrown 2\mathrm {N}$ ».

Après quoi, pour la suite des signes « $\lnot \iota$ » [70] on peut proposer la lecture « différent de » (tandis que « $\lnot =$ » se lit « n’est pas égal à » ou « est différent de ») ; ainsi, par ex., la $\mathrm {P}$ [72 $\mathrm {P}$ 92]

$\mathrm {Np} \,\lnot \iota \,2\,\supset \,2\mathrm {N} +1$

sera lue « tout nombre premier différent de 2 est un nombre impair ».

90. Moyennant le symbole « $\iota$ » on peut aussi transformer toute appartenance en une inclusion ; en effet :

61.                               $x\,\varepsilon \,a\,.=.\iota x\,\supset \,a$

c’est-à-dire [23, 31, 45] : on peut dire indifféremment que x appartient à la $\mathrm {Cls} \,a$ [66 $\mathrm {P}$ 6] ou bien que la $\mathrm {Cls}$ dont x est le seul individu est contenue dans la $\mathrm {Cls} \,a$ [88 $\mathrm {P}$ 54].

Ainsi la $\mathrm {P}$ 56 [88] devient un cas particulier de la $\mathrm {P}$ 47 [82].

91. Les transformations indiquées par les $\mathrm {P}$ 60 et 61 confirment l’importance du symbole « $\iota$ », dont nous allons considérer quelques autres propriétés fondamentales.

D’abord, quel que soit x, moyennant la $\mathrm {P}$ 60 [89], la $\mathrm {P}$ 41 [80] se transforme ainsi :

62.                              $x\,\varepsilon \,(\iota x)$

De cette P, moyennant la $\mathrm {P}$ 6 [66] et [74] la P

63.                              $x\,\varepsilon \,a\,.\,\supset \,.\,\exists \,a$
on déduit, quel que soit x, que :

64.                    $(\iota x)\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

65.                    $\exists \,(\iota x)$

On remarquera encore que [44, 45] :

66.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Elm} \,:\,\supset \,:\,x\,\varepsilon \,a\,.=.\,a=\iota x\,.=.\,x=$$\iota$$a$

67.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Elm} \,.=.\exists \,x\,$$\varepsilon$ $\,(a=\iota x)$

92. On peut aussi transformer toute formule d’inclusion ou d’implication dans une égalité, et cela de plusieurs manières, indiquées par Leibniz.

En effet, dans le double rôle du signe «  $\supset$ » [31, 55, 39, 34 fig. 2],

68.        $a\,\supset \,b\,.=.\,a\,\smallfrown \,b=a$

69.        $b\,\supset \,a\,.=.\,a\,\smallsmile \,b=a$

On a aussi, mais seulement pour les inclusions, que [72 $\mathrm {P}$ 29] :

70.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a\,\supset \,b\,:=:\,a\,\lnot \,b=\wedge$

71.                              $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,b\,\supset \,a\,:=:\,a\,\smallsmile \,\lnot \,b=\vee$^[2]

93. Ayant ainsi obtenu la transformation d’une égalité dans une appartenance [89 $\mathrm {P}$ 60], d’une appartenance dans une inclusion [90 $\mathrm {P}$ 61] et d’une inclusion dans une égalité [92 $\mathrm {P}$ 68, 69, 70, 71], on peut aussi obtenir la transformation inverse de chacune d’elles en exécutant successivement les deux autres^[3].

Il est à propos de rappeler ici que la $\mathrm {P}$ 28 [70] transforme la négation d’une appartenance dans l’affirmation d’une appartenance ; par suite, on peut même transformer la négation d’une égalité ou inclusion (transformées d’abord en appartenance) dans l’affirmation d’une (appartenance, qu’après on pourra transformer en) égalité ou inclusion.

En résumé : les différentes relations logiques sont transformables l’une dans l’autre et même le caractère affirmatif ou négatif d’une assertion n’est qu’une question de forme.

1. Ainsi que les analogues des $\mathrm {P}$ 7, 8 [66], 14, 17 [67], 24, 26 [70] et, dans la suite immédiate, les analogues des $\mathrm {P}$ 54, 55, 57, 58 [88].
2. Pour rendre plus commodes des comparaisons que je ferai, j’ai préféré considérer « $a\,\supset \,b$ » dans les $\mathrm {P}$ 68, 70 et « $b\,\supset \,a$ » dans les $\mathrm {P}$ 69, 71. On remarquera, dans la $\mathrm {P}$ 70, que son premier membre implique « $b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [88 $\mathrm {P}$ 54] et que du second on déduit « $(a\,\lnot \,b)\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [68 $\mathrm {P}$ 20, 88 $\mathrm {P}$ 58], c’est-à-dire « $(a\,\smallfrown \,\lnot \,b)\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [72 $\mathrm {P}$ 29], d’où « $a,\,\lnot \,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [66 $\mathrm {P}$ 8], d’ou « $a,\,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ » [70 $\mathrm {P}$ 26]. Et de même pour la $\mathrm {P}$ 71.
3. Il y a des manières plus simples pour obtenir ces transformations inverses ; mais ici ce n’est pas le cas d’insister sur cette question.>