Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 11

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 120-141).

LEÇON ONZIÈME.

Suite de l’analyse des sections angulaires, ou l’on démontre les formules générales des tables données dans la leçon précédente.

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Reprenons les expressions générales de $\cos mx$ et $\sin mx$ données dans la Leçon précédente ; faisant

$\cos x=p,\quad \mathrm {et\ par\ cons{\acute {e}}quent} \quad \sin x={\sqrt {1-p^{2}}},$

on aura

${\begin{aligned}2\cos mx=&\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}+\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},\\2\sin mx{\sqrt {-1}}=&\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}-\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.\end{aligned}}$

Nous observerons d’abord que ces formules sont toujours vraies, quel que soit le nombre $m,$ parce qu’elles ont été déduites de l’équation générale

$\cos x\pm \sin x{\sqrt {-1}}=e^{\pm x{\sqrt {-1}}}$

élevée à la puissance $m.$ Ainsi les doutes qui pourraient rester à cet égard disparaissent ici entièrement.

Tout se réduit donc à développer, suivant les puissances de $p,$ l’expression

$\left(p\pm {\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$

Comme les quantités $p+{\sqrt {p^{2}-1}}$ et $p-{\sqrt {p^{2}-1}}$ sont les deux racines de l’équation

$z^{2}-2pz+1=0,$

je ferai usage du théorème que j’ai démontré dans la Note XI de la Résolution des équations numériques, sur la somme des puissances des racines des équations.

Suivant ce théorème, si l’on a une équation quelconque de la forme

$u-x+f(x)=0,$

où $x$ est l’inconnue, la formule

$u^{-m}+\left(u^{-m}\right)'f(u)+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right)'+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right)''+\ldots ,$

n’étant continuée que tant qu’il y aura des puissances négatives de $u,$ donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance $-m\,;$ mais, étant continuée à l’infini, elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités $f^{2}(u),\ f^{3}(u),\ \ldots$ sont le carré, le cube, etc. de $f(u)\,;$ et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de $u$ renfermées entre ces parenthèses.

Ainsi, dans notre cas, si l’on change $z$ en $x$ et qu’on divise l’équation par $2p,$ coefficient de $x,$ elle deviendra

${\frac {1}{2p}}-x+{\frac {x^{2}}{2p}}=0,$

laquelle, étant comparée à

$u-x+f(x)=0,$

donne

$u={\frac {1}{2p}},\quad {\text{et}}\quad f(x)={\frac {x^{2}}{2p}}\,;$

donc

$f(u)={\frac {u^{2}}{2p}}.$

de manière que la série précédente deviendra

$u^{-m}+{\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{2}}{2p}}+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{4}}{2(2p)^{2}}}\right)'+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{6}}{2.3.(2p)^{3}}}\right)''+\ldots ,$

où il faudra faire $u={\frac {1}{2p}},$ après avoir pris les fonctions dérivées désignées par les traits appliqués aux parenthèses.

Or

${\begin{aligned}&\left(u^{-m}\right)'=-mu^{-m-1},\\&\left(\left(u^{-m}\right)'u^{4}\right)'\,=\left(-mu^{-m+3}\right)'\,=m(m-3)u^{-m+2},\\&\left(\left(u^{-m}\right)'u^{6}\right)''=\left(-mu^{-m+5}\right)''=-m(m-5)(m-4)u^{-m+3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi la série deviendra

$u^{-m}-{\frac {m}{2p}}u^{-m+1}+{\frac {m(m-3)}{2.(2p)^{2}}}u^{-m+2}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3.(2p)^{3}}}u^{-m+3}+\ldots .$

Faisons maintenant $u=-{\frac {1}{2p}},$ et l’on aura la série

$(2p)^{m}-m(2p)^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}(2p)^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}(2p)^{m-6}+\ldots ,$

laquelle, étant continuée seulement tant qu’il y aura des puissances négatives de ${\frac {1}{2p}},$ c’est-à-dire des puissances positives de $2p,$ exprimera la valeur de

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}+\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

à cause de

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)=1.$

Ainsi, dans cet état, la série dont il s’agit donnera la valeur de $2\cos mx,$ ce qui s’accorde avec la formule de la Table (A).

Mais, si l’on continue la série à l’infini, alors elle ne donnera que la valeur de

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{-m},$

puisque $p-{\sqrt {p^{2}-1}}$ est la plus petite des deux racines ; ou, ce qui revient au même, elle donnera la valeur de

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$

Pour nous convaincre en effet que la série précédente, prise dans toute son étendue, n’est que le développement de cette quantité, nous allons chercher ce développement par une marche directe, ce qui servira d’exemple de la manière d’employer les fonctions dérivées dans ces sortes de recherches.

Supposons donc qu’il s’agisse de développer l’expression

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}$

dans une série descendante de la forme

$\mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}+\mathrm {C} p^{m-2}+\mathrm {D} p^{m-3}+\ldots \,;$

si l’on divise de part et d’autre par $p^{m},$ et qu’on fasse ${\frac {1}{p}}=z,$ on aura

$\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)^{m}=\mathrm {A} +\mathrm {B} z+\mathrm {C} z^{2}+\mathrm {D} z^{3}+\ldots ,$

où l’on voit que la série ne peut avoir que des puissances paires de $z.$

Ainsi, en faisant $u=z^{2},$ on aura la fonction

$\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m}$

à développer suivant les puissances de $u.$

Donc, par la formule générale donnée à la fin de la Leçon IX, si l’on fait

$f(u)=\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m},$

on aura

$\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m}=f+uf'+{\frac {u^{2}}{2}}f''+\ldots ,$

où $f,f',f'',\ldots$ sont les valeurs de $f(u),f'(u),f''(u),\ldots$ lorsque $u=0,$ et forment ici les coefficients $\mathrm {A,C} ,\ldots .$

Ainsi l’on trouvera d’abord $f=2^{m}\,;$ ensuite on aura

$f'=-{\frac {m}{2}}{\frac {\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m-1}}{\sqrt {1-u}}},$

et de là

$f'=-m.2^{m-2},$

et ainsi de suite.

On peut de cette manière avoir successivement tous les coefficients de la série ; mais on n’en aura pas la loi, ce qui est le plus essentiel.

Pour la trouver d’une manière générale, je reprends la formule en $p$ et je la suppose égale à $y,$ ce qui me donne l’équation

$y=\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$

Je remarque maintenant qu’un des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux. En effet, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $p$ et regardant $y$ comme fonction de $p,$ on a

$y'=m\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m-1}\left(1+{\frac {p}{\sqrt {p^{2}-1}}}\right)=m{\frac {\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}}{\sqrt {p^{2}-1}}}\,;$

cette équation, divisée par l’équation primitive, donne

${\frac {y'}{y}}={\frac {m}{\sqrt {p^{2}-1}}}\,;$

multipliant en croix et carrant, on aura

$y'^{2}\left(p^{2}-1\right)=m^{2}y^{2}.$

Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à $p,$ on obtiendra

$2y'y''\left(p^{2}-1\right)+2y'^{2}p=2m^{2}yy',$

d’où, en divisant par $2y',$ résulte cette équation du second ordre en $y$ et $p$

$m^{2}y-py'-\left(p^{2}-1\right)y''=0,$

laquelle étant, comme l’on voit, linéaire par rapport à $y$ et dégagée de radicaux, est très propre au développement de $y$ en série.

En effet, il n’y a qu’à substituer pour $y$ la série

$\mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}+\mathrm {C} p^{m-2}+\mathrm {D} p^{m-3}+\ldots ,$

et par conséquent pour $y'$

$m\mathrm {A} p^{m-1}+(m-1)\mathrm {B} p^{m-2}+(m-2)\mathrm {C} p^{m-3}+\ldots ,$

et pour $y''$

$m(m-1)\mathrm {A} p^{m-2}+(m-1)(m-2)\mathrm {B} p^{m-3}+\ldots .$

Ordonnant les termes suivant les puissances de $p,$ on aura

$\left[m^{2}\mathrm {A} -m\mathrm {A} -m(m-1)\mathrm {A} \right]p^{m}$

${\begin{aligned}&+\left[m^{2}\mathrm {B} -(m-1)\mathrm {B} -(m-1)(m-2)\mathrm {B} \right]p^{m-1}\\&+\left[m^{2}\mathrm {C} -(m-2)\mathrm {C} -(m-2)(m-3)\mathrm {C} +m(m-1)\mathrm {A} \right]p^{m-2}\\&+\left[m^{2}\mathrm {D} -(m-3)\mathrm {D} -(m-3)(m-4)\mathrm {D} +(m-1)(m-2)\mathrm {B} \right]p^{m-3}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment de $p,$ il faudra égaler à zéro le coefficient de chaque terme.

Le coefficients de $p^{m}$ disparaissant de lui-même, c’est une marque que le coefficient $\mathrm {A}$ demeure indéterminé.

Le coefficient de $p^{m-1}$ se réduit à $m^{2}\mathrm {B} -(m-1)^{2}\mathrm {B} ,$ qui ne peut devenir nul à moins de faire $\mathrm {B} =0.$ Or, $\mathrm {B}$ étant nul, il est facile de voir que les coefficients de $p^{m-3},p^{m-5},\ldots$ ne pourront aussi devenir nuls qu’en faisant $\mathrm {D} =0,\ \mathrm {F} =0,\ \ldots .$

Maintenant le coefficient de $p^{m-2}$ se réduit à

$m^{2}\mathrm {C} -(m-2)^{2}\mathrm {C} +m(m-1)\mathrm {A} ,$

celui de $p^{m-4}$ se réduit de même à

$m^{2}\mathrm {E} -(m-4)^{2}\mathrm {E} +(m-2)(m-3)\mathrm {C} ,$

et ainsi des autres.

On aura donc, en réduisant, les équations

${\begin{aligned}4(m-1)\mathrm {C} +&m(m-1)\mathrm {A} =0,\\8(m-2)\mathrm {E} +&(m-2)(m-3)\mathrm {C} =0,\\12(m-3)\mathrm {G} +&(m-4)(m-5)\mathrm {E} =0,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

lesquelles donnent la loi suivant laquelle les coefficients $\mathrm {A,C,E,G} ,\ldots$ dépendent les uns des autres.

On tire de ces équations

${\begin{aligned}&\mathrm {C} =-{\frac {m\mathrm {A} }{4}},\\&\mathrm {E} =-{\frac {(m-3)\mathrm {C} }{8}}={\frac {m(m-3)\mathrm {A} }{4.8}},\\&\mathrm {G} =-{\frac {(m-4)(m-5)\mathrm {E} }{12(m-3)}}=-{\frac {m(m-4)(m-5)\mathrm {A} }{4.8.122}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or nous avons vu que le premier coefficient $\mathrm {A}$ est égal à $2^{m}\,;$ ainsi on aura ce développement

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}=$

$(2p)^{m}-m(2p)^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}(2p)^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}(2p)^{m-6}+\ldots ,$

qui s’accorde avec la série trouvée ci-dessus.

Cherchons de même le développement de $\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$ Comme cette expression ne diffère de celle que nous venons de traiter que par le signe du radical, lequel ne se trouve plus dans l’équation dérivée en $y$ dont nous avons fait usage, il s’ensuit que la même formule, que nous venons d’obtenir, pourra encore s’appliquer à ce développement. Il faut seulement remarquer que, comme les premiers termes du radical ${\sqrt {p^{2}-1}}$ sont $p-{\frac {1}{2p}}+\ldots ,$ le premier terme du développement dont il s’agit sera ${\frac {1}{(2p)^{m}}},$ de sorte qu’ici il faudra prendre $m$ négativement et, comme l’équation dérivée en $y$ ne contient que $m^{2},$ on aura nécessairement la même série en $y$ changeant seulement $m$ en $-m,$ ce qui suit d’ailleurs aussi de ce que

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}=\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{-m}\,;$

on aura donc

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}=$

$(2p)^{-m}+m(2p)^{-m-2}+{\frac {m(m+3)}{2}}(2p)^{-m-4}+{\frac {m(m+4)(m+5)}{2.3}}(2p)^{-m-6}+\ldots ,$

Si maintenant on réunit ces deux séries, on aura la valeur de $2\cos mx\,;$ donc

$2\cos mx=$

${\begin{aligned}&(2p)^{m}-m(2p)^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}(2p)^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}(2p)^{m-6}+\ldots \\&+(2p)^{-m}+m(2p)^{-m-2}+{\frac {m(m+3)}{2}}(2p)^{-m-4}+{\frac {m(m+4)(m+5)}{2.3}}(2p)^{-m-6}+\ldots .\end{aligned}}$

C’est le développementcomplet de $2\cos mx$ en puissances de $\cos x,$ pour une valeur quelconque de $m.$

Si maintenant on fait ici $m=1,$ on a

$\cos x=p-{\frac {1}{4p}}-{\frac {1}{16p^{3}}}-{\frac {2}{64p^{5}}}-\ldots +{\frac {1}{4p}}+{\frac {1}{16p^{3}}}+{\frac {2}{64p^{5}}}+\ldots ,$

où l’on voit que les deux séries se réduisent au premier terme $p.$

En donnant à $m$ d’autres valeurs entières et positives quelconques, on trouvera toujours que la seconde série, qui contient les puissances négatives de $p,$ servira à détruire dans la première série tous les termes qui contiendront ces mêmes puissances ; c’est ce qu’on peut démontrer en général par la loi même des deux séries ; de sorte que le résultat se réduira aux seuls termes de la première qui contiennent des puissances positives de $p\,;.$ ce qui revient à ne conserver dans cette série que les termes où $p$ est élevée à une puissance positive, ou nulle, comme nous l’avons trouvé plus haut a priori.

Mais lorsqu’on donne à $m$ une valeur fractionnaire quelconque, les deux séries ne se détruisent plus, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de $2\cos mx.$

En prenant la différence des deux séries au lieu de leur somme, on aurait la valeur de $\sin mx{\sqrt {-1}}\,;$ mais $\sin mx$ serait exprimé de cette manière par des séries infinies et imaginaires. Pour avoir une expression réelle, il suffit de considérer que la fonction dérivée de $\cos mx$ est $-m\sin mx,$ et que celle de $p$ est $-q,$ puisque

$p=\cos x\quad {\text{et}}\quad q=\sin x\,;$

de manière qu’en prenant les fonctions dérivées des séries trouvées

pour $\cos mx\,;$ on aura sur-le-champ, en changeant les signes et divisant par $2m,$

${\begin{aligned}\sin mx=&\left[(2p)^{m-1}-(m-2)(2p)^{m-3}+{\frac {(m-3)(m-4)}{2}}(2p)^{m-5}-\ldots \right]q\\&-\left[(2p)^{-m-1}+(m+2)(2p)^{-m-3}+{\frac {(m+3)(m+4)}{2}}(2p)^{-m-5}+\ldots \right]q.\end{aligned}}$

Cette expression se réduit aussi à une forme finie, lorsque $m$ est un nombre entier, par la destruction mutuelle des termes qui contiendraient des puissances négatives de $p\,;$ de sorte que, $m$ étant un nombre positif entier, il suffira de prendre dans la première série les termes qui contiendront des puissances positives de $p\,;$ ce qui s’accorde avec la formule de la Table (B).

Lorsque $m$ est un nombre fractionnaire, les deux séries vont à l’infini, et, jointes ensemble, elles donnent la vraie valeur de $\sin mx$ développée suivant les puissances descendantes de $\cos x,$ comme cela a lieu pour la valeur de $\cos mx.$

Euler a le premier reconnu cette espèce d’imperfection des formules connues des Tables (A) et (B) ; il a fait voir, par une analyse à peu près semblable à celle que nous venons de donner, que ces formules, pour être générales et applicables à des valeurs quelconques de $m,$ doivent être complétées par des valeurs semblables où l’exposant $m$ est négatif.

J’ai cru devoir entrer dans ce détail pour l’instruction des jeunes analystes, et surtout pour montrer que, si l’Analyse paraît quelquefois en défaut, c’est toujours faute de l’envisager d’une manière assez étendue et de la traiter avec toute la généralité dont elle est susceptible. (Voyez le Tome IX des Nova Acta de l’Académie de Pétersbourg.)

Nous venons de développer les expressions

$\left(p\pm {\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

suivant les puissances descendantes de $p\,;$ on peut de même, et par le moyen de la même équation dérivée en $y,$ les développer suivant les puissances ascendantes de $p,$ ce qui nous donnera les formules des

Tables (C), (D), (E), (F), et pourra même servir à les compléter pour toutes les valeurs de $m.$

Supposons donc, en général,

$y=\mathrm {A} +\mathrm {B} p+\mathrm {C} p^{2}+\mathrm {D} p^{3}+\ldots .$

Substituant dans la même équation, et ordonnant suivant les puissances de $p,$ on aura

${\begin{aligned}m^{2}&\mathrm {A+2C} ,\\&+\left(m^{2}\mathrm {B-1B+2.3D} \right)p\\&+\left(m^{2}\mathrm {C-2C+3.4E-2C} \right)p^{2}\\&+\left(m^{2}\mathrm {D-3D+4.5F-2.3D} \right)p^{3}\\&+\left(m^{2}\mathrm {E-4E+5.6G-3.4E} \right)p^{4}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

Égalant donc à zéro chacun des coefficients des puissances de $p,$ on aura, en réduisant,

${\begin{aligned}m^{2}\mathrm {A+2C} =0,&\\\left(m^{2}-\ \ 1\right)\mathrm {B+2.3D} =0,&\\\left(m^{2}-\ \ 4\right)\mathrm {C+3.4E} =0,&\\\left(m^{2}-\ \ 9\right)\mathrm {D+4.5F} =0,&\\\left(m^{2}-16\right)\mathrm {E+5.6G} =0,&\\..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en substituant successivement les valeurs précédentes,

${\begin{aligned}&\mathrm {C} =-{\frac {m^{2}\mathrm {A} }{2}},\\&\mathrm {D} =-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\mathrm {B} }{2.3}},\\&\mathrm {E} ={\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\mathrm {A} }{2.3.4}},\\&\mathrm {F} ={\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\mathrm {B} }{2.3.4.5}},\\&\mathrm {G} =-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)\mathrm {A} }{2.3.4.5.6}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant restés indéterminés, il faudra les déterminer par la nature de la fonction $y.$ Or il est visible qu’on a

$\mathrm {A} =y,\quad \mathrm {B} =y',$

en faisant $p=0.$ Ainsi, puisque la fonction $y$ est égale à

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

on aura d’abord, en faisant $p=0,$

$\mathrm {A} =\left({\sqrt {-1}}\right)^{m}.$

Ensuite, en faisant $p=0$ dans la fonction dérivée $y'$ trouvée ci-dessus, on aura

$y'=m\left({\sqrt {-1}}\right)^{m-1}=\mathrm {B} .$

Substituant donc ces valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on aura le développement de l’expression

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$

Pour avoir celui de l’expression

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

il n’y aura qu’à prendre le radical ${\sqrt {p^{2}-1}}$ en moins ; mais, comme ce radical n’entre plus dans l’équation dérivée en $y,$ par laquelle nous avons déterminé les coefficients de la série, il s’ensuit qu’on aura la même série pour cette dernière expression que pour la première, aux coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ près, qui pourront être différents ; et on trouvera ici, par le même procédé,

$\mathrm {A} =\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m},\quad \mathrm {B} =m\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m-1}.$

Donc, puisque la somme de ces deux expressions donne la valeur de $2\cos mx,$ comme on l’a vu plus haut, on aura cette valeur en substituantdans la série $\mathrm {A} +\mathrm {B} p+\mathrm {C} p^{2}+\ldots ,$ la place de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ la somme des deux valeurs qu’on vient de trouver, c’est-à-dire en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left({\sqrt {-1}}\right)^{m}+\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m},\\\mathrm {B} =&m\left({\sqrt {-1}}\right)^{m-1}+m\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m-1}\,;\end{aligned}}$

d’où il est facile de voir que, lorsque $m$ est un nombre entier impair, on aura $\mathrm {A} =0,\ \mathrm {B} =\pm 2m,$ et, lorsque $m$ sera pair, on aura $\mathrm {A} =\pm 2,\ \mathrm {B} =0.$

Mais, pour avoir les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ dégagées d’imaginaires pour toutes les valeurs de $m,$ il n’y a qu’à employer la formule générale

$\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos mx+\sin mx{\sqrt {-1}},$

et y supposer $x$ égal à l’angle droit, car alors $\cos x=0$ et $\sin x=1\,;$ ainsi, en adoptant l’angle droit pour l’unité des angles, et prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ en $+$ et en $-,$ on aura

$\left(\pm {\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos m\pm \sin m{\sqrt {-1}},$

et les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ deviendraient

$\mathrm {A} =2\cos m,\quad \mathrm {B} =2m\cos(m-1).$

On aura donc en général, pour un nombre quelconque $m,$

$\cos mx=$

${\begin{aligned}&\left[1-{\frac {m^{2}}{2}}p^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}p^{4}-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right]\cos m\\&+\left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right]\cos(m-1).\end{aligned}}$

Tel est le développement complet de $\cos mx$ en série ascendante de $p$ ou $\cos x.$ On voit que, lorsque $m$ est un nombre entier, il y a toujours une des deux séries partielles qui se termine, et que l’autre qui irait à l’infini disparaît parce qu’elle se trouve toute multipliée par un coefficient $\cos m$ ou $\cos(m-1),$ qui devient nul. On a alors l’unc ou l’autre des Tables (C) et (E). Mais, lorsque $m$ est une fraction quelconque, les deux séries vont à l’infini, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de $\cos mx,$ ce que personne, ce me semble, n’avait encore observé.

En prenant les fonctions dérivées, comme on a fait plus haut, pour déduire la valeur de $\sin mx$ de celle de $\cos mx,$ on aura aussi, à cause de $p'=-q,$

${\begin{aligned}\sin mx=&-\left[mp+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right]q\cos m\\&+\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}p^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}p^{4}-\ldots \right]q\cos(m-1)\end{aligned}}$

pour le développement complet de $\sin mx,$ quel que soit $m\,;$ ou l’on voit que, lorsque $m$ est un nombre entier, on a les formules des Tables (D) et (F).

Il nous reste à considérer encore les développements de $\cos mx$ et $\sin mx,$ suivant les puissances ascendantes de $q,$ conformément aux Tables (G), (H), (I), (K).

Pour cela nous remarquerons d’abord qu’en faisant $\sin x=q,$ on a $\cos x={\sqrt {1-q^{2}}},$ et les expressions générales de $\cos mx$ et $\sin mx$ deviennent

${\begin{aligned}2\cos mx=&\left({\sqrt {1-q^{2}}}+q{\sqrt {-1}}\right)^{m}+\left({\sqrt {1-q^{2}}}-q{\sqrt {-1}}\right)^{m},\\2\sin mx{\sqrt {-1}}=&\left({\sqrt {1-q^{2}}}+q{\sqrt {-1}}\right)^{m}-\left({\sqrt {1-q^{2}}}-q{\sqrt {-1}}\right)^{m}.\end{aligned}}$

Il ne s’agit donc que de développer les formules

$\left({\sqrt {1-q^{2}}}\pm q{\sqrt {-1}}\right)^{m}$

en puissances ascendantes de $q.$

Faisons

$\left({\sqrt {1-q^{2}}}+q{\sqrt {-1}}\right)^{m}=z\,;$

on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $q,$

${\begin{aligned}z'&=m\left({\sqrt {1-q^{2}}}+q{\sqrt {-1}}\right)^{m-1}\left(-{\frac {q}{\sqrt {1-q^{2}}}}+{\sqrt {-1}}\right)\\&={\frac {m\left({\sqrt {1-q^{2}}}+q{\sqrt {-1}}\right)^{m-1}\left({\sqrt {1-q^{2}}}{\sqrt {-1}}-q\right)}{\sqrt {1-q^{2}}}}\\&={\frac {m{\sqrt {-1}}\left({\sqrt {1-q^{2}}}+q{\sqrt {-1}}\right)^{m}}{\sqrt {1-q^{2}}}}.\end{aligned}}$

Divisant cette équation par l’équation primitive, on a

${\frac {z'}{z}}={\frac {m{\sqrt {-1}}}{\sqrt {1-q^{2}}}}\,;$

multipliant en croix et carrant, on aura

$z'^{2}\left(1-q^{2}\right)=-m^{2}z^{2}.$

Prenant de nouveau les fonctions dérivées et divisant par $2z',$ on obtiendra cette équation du second ordre en $z$

$m^{2}z-qz'-\left(q^{2}-1\right)z''=0,$

qui est, comme l’on voit, entièrement semblable à l’équation en $y$ et $p$ trouvée plus haut.

Ainsi, en supposant

$z=\mathrm {A} +\mathrm {B} q+\mathrm {C} q^{2}+\mathrm {D} q^{3}+\ldots ,$

on trouvera les mêmes valeurs des coefficients ; mais, comme les deux premiers $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ demeurent indéterminés, ils pourront être différents, à raison de la diversité des fonctions $y$ et $z$ en $p$ et en $q.$

Pour trouver ici ces deux coefficients, ce qu’il y a de plus simple, c’est de chercher par le développementactuel les deux premiers termes de la série. Or, puisque ${\sqrt {1-q^{2}}}$ donne

$1-{\frac {q^{2}}{2}}+\ldots ,$

il est évident que les deux premiers termes de

$\left(1+q{\sqrt {-1}}-{\frac {q^{2}}{2}}+\ldots \right)^{m}$

sont $1+mq{\sqrt {-1}}\,;$ ainsi l’on aura

$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =m{\sqrt {-1}}.$

Le développement de

$\left({\sqrt {1-q^{2}}}-q{\sqrt {-1}}\right)^{m}$

sera le même en changeant seulement ${\sqrt {-1}}$ en $-{\sqrt {-1}}\,;$ ainsi l’on aura, relativement à ce développement,

$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =-m{\sqrt {-1}}.$

Donc, pour avoir la somme des deux développements, il n’y aura qu’à prendre pour $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ la somme des deux valeurs correspondantes, ce qui donne

$\mathrm {A} =2,\quad \mathrm {B} =0.$

Et, pour avoir la différence des mêmes développements, on prendra la différence des valeurs correspondantes de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ ce qui donnera

$\mathrm {A} =0,\quad \mathrm {B} =2m{\sqrt {-1}}.$

Faisant ces substitutions, on aura donc, en divisant par $2$ et par $2{\sqrt {-1}},$

${\begin{aligned}\cos mx=&1-{\frac {m^{2}}{2}}q^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}q^{4}-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}q^{6}+\ldots ,\\\sin mx=&mq-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}q^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}q^{5}-\ldots .\end{aligned}}$

Ces formules sont, comme l’on voit, les mêmes que celles des Tables (I) et (H) ; mais, par la manière dont nous venons de les trouver, on voit en même temps qu’elles sont générales pour des valeurs quelconques de $m.$ Cependant, comme la première ne se termine que lorsque $m$ est un nombre entier pair, et que la seconde ne se termine que lorsque $m$ est un nombre entier impair, elles ne peuvent servir pour la section des angles que dans ces cas ; mais on peut, en prenant les fonctions dérivées, comme nous l’avons fait ci-dessus, déduire de ces mêmes formules d’autres formules qui se termineront justement dans les cas où celles-ci vont à l’infini. Pour cela, on se rappellera que les fonctions dérivées de $\cos mx$ et $\sin mx$ sont $-m\sin mx$ et $m\cos mx,$ et que celles de $p$ et $q$ sont $-q$ et $p\,;$ de sorte que les deux équations fourniront, par la dérivation, ces deux-ci :

${\begin{aligned}\sin mx=&p\left[mq-{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}q^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}q^{5}-\ldots \right],\\\cos mx=&p\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}q^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}q^{4}-\ldots \right],\end{aligned}}$

qui répondent, comme l’on voit, aux formules des Tables (K) et (G), et qui sont par conséquent aussi générales pour des valeurs quelconques de $m.$ Ainsi toutes les formules de ces différentes Tables sont démontrées d’une manière générale.

Le théorème de Cotes est si intimement lié à la théorie des sections angulaires, que nous ne pouvons nous dispenser d’en dire un mot ici.

On ignore comment Cotes l’a trouvé, et on en a donné après sa mort différentes démonstrations plus ou moins simples, et même plus ou moins rigoureuses. Sans avoir recours aux expressions imaginaires comme on le fait communément, on peut le déduire directement des formules mêmes données par Viète, que nous avons rapportées dans la Table (A) ; et il est vraisemblableque c’est ainsi que Cotes y est parvenu.

En effet, si l’on multiplie ces formules par $2$ et qu’on y suppose $p=y+{\frac {1}{y}},$ elles se réduisent à cette forme simple

${\begin{aligned}&2\cos 1x=y\ +{\frac {1}{y}},\\&2\cos 2x=y^{2}+{\frac {1}{y^{2}}},\\&2\cos 3x=y^{3}+{\frac {1}{y^{3}}},\\&2\cos 4x=y^{4}+{\frac {1}{y^{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où il est facile de conclure, en général,

$2\cos mx=y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}}.$

Pour se convaincre d’une manière plus directe de la généralité de cette formule, il suffit de considérer que si, dans l’équation

$2\cos x\cos mx=\cos(m-1)x+\cos(m+1)x,$

on fait

$2\cos x=y+{\frac {1}{y}},$

et qu’on suppose que deux termes consécutifs $2\cos(m-1)x$ et $2\cos mx$ soient de la forme

$y^{m-1}+{\frac {1}{y^{m-1}}}\quad {\text{et}}\quad y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}},$

elle donnera

$2\cos(m+1)x=\left(y+{\frac {1}{y}}\right)\left(y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}}\right)-\left(y^{m-1}+{\frac {1}{y^{m-1}}}\right)=y^{m+1}+{\frac {1}{y^{m+1}}}.$

Ainsi, pourvu que les deux premiers termes $2\cos x$ et $2\cos x$ soient de la forme $y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}},$ en faisant $m=0$ et $m=1,$ ce qui est en effet, tous les autres seront nécessairement de la même forme.

Maintenant les deux équations

$2\cos x=y+{\frac {1}{y}},\quad 2\cos mx=y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}}$

donnent ces deux-ci

$y^{2}-2y\cos x+1=0,\quad y^{2m}-2y^{m}\cos mx+1=0,$

qui doivent donc avoir lieu en même temps ; par conséquent, il faut qu’elles aient une racine commune.

Ce dernier théorème a été donné par Moivre, sans démonstration, dans les Transactions philosophiques de 1722, année où a paru l’Harmonia mensurarum de Cotes, qui était mort six ans auparavant.

Soit maintenant $a$ la racine commune à ces deux équations ; comme elles demeurent les mêmes en y changeant $y$ en ${\frac {1}{y}},$ il s’ensuit que ${\frac {1}{a}}$ sera encore une racine commune aux mêmes équations ; mais l’équation

$y^{2}-2y\cos x+1=0,$

n’étant que du second degré, ne peut avoir que les deux racines $a$ et ${\frac {1}{a}}\,;$ donc cette équation a toutes ses racines communes avec

$y^{2m}-2y^{m}\cos mx+1=0\,;$

par conséquent elle est nécessairement un diviseur de celle-ci.

Soit

$mx=\varphi ,\quad {\text{donc}}\quad x={\frac {\varphi }{m}}\,;$

il suit de ce qu’on vient de démontrer que la formule

$y^{2m}-2y^{m}\cos \varphi +1$

a pour diviseur celle-ci :

$y^{2}-2y\cos {\frac {\varphi }{m}}+1,$

$m$ étant un nombre quelconque entier.

Or, si $c$ est la circonférence ou l’angle de quatre droites, on sait que $\cos \varphi =\cos(\varphi +nc),$ $n$ étant un nombre quelconque entier ; ainsi, en mettant $\varphi +nc$ à la place de $\varphi ,$ et faisant successivement $n=0,1,2,\ldots (m-1),$ on en conclura que la formule

$y^{2m}-2y^{m}\cos \varphi +1$

a pour diviseurs les $m$ formules suivantes :

${\begin{aligned}&y^{2}-2\cos {\frac {\varphi }{m}}.y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {\ \ c}{m}}\right).y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {2c}{m}}\right).y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {3c}{m}}\right).y+1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {m-1}{m}}c\right).y+1.\end{aligned}}$

De sorte que, comme ces diviseurs sont tous différentes entre eux et qu’ils sont au nombre de $m,$ la formule en question du $2m$^ième degré ne peut être que le produit de ces $m$ formules du second degré.

Le théorème de Cotes n’est, comme l’on sait, qu’un cas particulier de ce théorème général, lorsqu’on y fait $\varphi =0$ ou $\varphi ={\frac {c}{2}},$ ce qui donne $\cos \varphi =\pm 1,$ et réduit la formule générale à

$\left(y^{m}\pm 1\right)^{2}.$

Le théorème général est dû à Moivre, comme on le voit par ses Miscellanea analytica.

Jusqu’ici nous-avons développé les cosinus et les sinus des angles multiples en puissances des cosinus ou des sinus de l’angle simple. On peut chercher réciproquement à développer les puissances des cosinus ou sinus de l’angle simple en cosinus ou sinus des angles multiples, et cette transformation, qui est toujours possible, est un des plus grands avantages de l’algorithme des sinus et cosinus, par la facilité qu’elle donne de passer des fonctions primitives aux fonctions dérivées, et de revenir de celles-ci aux primitives.

Nous pourrions la déduire des formules trouvées ci-dessus, mais nous aimons mieux la chercher directement par le moyen des fonctions dérivées, pour donner un nouvel exemple de leur usage dans la transformation des fonctions.

Considérons la puissance $\cos ^{m}x,$ et supposons cette fonction de $x$ égale à $y\,;$ nous aurons ainsi

$y=\cos ^{m}x,$

et, prenant les fonctions dérivées par rapport à $x,$ il viendra

$y'=-m\cos ^{m-1}xsinx\,;$

cette équation, divisée par la précédente, donne

${\frac {y'}{y}}=-{\frac {m\sin x}{\cos x}},$

d’où l’on tire, en réduisant,

$my\sin x+y'\cos x=0,$

équation dérivée du premier ordre, qui a l’avantage de ne plus contenir la puissance indéterminée de $\cos x.$

Supposons maintenant, en général,

$y=\mathrm {A} \cos nx+\mathrm {B} \cos(n-1)x+\mathrm {C} \cos(n-2)x+\mathrm {D} \cos(n-3)x+\ldots ,$

les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant indéterminés, ainsi que $n.$ L’équation précédente deviendra par cette substitution

$m\left[\mathrm {A} \cos nx+\mathrm {B} \cos(n-1)x+\mathrm {C} \cos(n-2)x+\ldots \right]\sin x$

$-\left[n\mathrm {A} \sin nx+(n-1)\mathrm {B} \sin(n-1)x+(n-2)\mathrm {C} \sin(n-2)x+\ldots \right]\cos x=0,$

savoir, en développant les produits des sinus et cosinus, et ordonnant les termes suivant les sinus multiples :

${\begin{aligned}&+\left[m\mathrm {A} -n\mathrm {A} \right]\sin(n+1)x\\&+\left[m\mathrm {B} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin nx\\&+\left[m\mathrm {C} -m\mathrm {A} -(n-2)\mathrm {C} -n\mathrm {A} \right]\sin(n-1)x\\&+\left[m\mathrm {D} -m\mathrm {B} -(n-3)\mathrm {D} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin(n-2)x\\&+\left[m\mathrm {E} \,-m\mathrm {C} -(n-4)\mathrm {E} -(n-2)\mathrm {C} \right]\sin(n-3)x\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

Égalant donc à zéro chacun des coefficients de ces différents termes, on aura

${\begin{aligned}(m-n)\mathrm {A} =0,&\\(m-n+1)\mathrm {B} =0,&\\(m-n+2)\mathrm {C} -(m+n)\mathrm {A} =0,&\\(m-n+3)\mathrm {D} -(m+n-1)\mathrm {B} =0,&\\(m-n+4)\mathrm {E} -(m+n-2)\mathrm {C} =0,&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

La première donne d’abord $n=m,$ et, substituant cette valeur, les autres deviennent

${\begin{aligned}\mathrm {B} =0,&\\2\mathrm {C} -2m\mathrm {A} =0,&\\3\mathrm {D} -(2m-1)\mathrm {B} =0,&\\4\mathrm {E} -(2m-2)\mathrm {C} =0,&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi le premier coefficient $\mathrm {A}$ demeure indéterminé ; ensuite on a

${\begin{aligned}&\mathrm {B} =0,\\&\mathrm {C} ={\frac {2m}{2}}\mathrm {A} ,\\&\mathrm {D} ={\frac {2m-1}{3}}\mathrm {B} ,\\&\mathrm {E} ={\frac {2m-2}{4}}\mathrm {C} ,\\&\mathrm {F} ={\frac {2m-3}{5}}\mathrm {D} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc,

$\mathrm {B} =0,\quad \mathrm {D} =0,\quad \mathrm {F} =0,\quad \ldots .$

Ensuite,

${\begin{aligned}&\mathrm {C} =m\mathrm {A} ,\\&\mathrm {E} ={\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {A} ,\\&\mathrm {G} ={\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {A} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On a donc en général, quel que soit l’exposant $m,$

$\cos ^{m}x=\mathrm {A} \left[\cos mx+m\cos(m-2)x+{\frac {m(m-1)}{2}}\cos(m-4)x+\ldots \right].$

Il reste à déterminer le coefficient $\mathrm {A} \,;$ pour cela, supposant $x=0,$ on obtient

$1=\mathrm {A} \left[1+m+{\frac {m(m-1)}{2}}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}+\ldots \right]$

$=\mathrm {A} (1+1)^{m}=2^{m}\mathrm {A} \,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {A} ={\frac {1}{2^{m}}}.$

Donc enfin, en multipliant toute l’équation par $2^{m},$ on aura

$(2\cos x)^{m}=\cos mx+m\cos(m-2)x+{\frac {m(m-1)}{2}}\cos(m-4)x+\ldots .$

série fort simple qui se termine toujours, comme celle du binôme, lorsque $m$ est un nombre entier positif.

On peut déduire de cette formule un pareil développement pour $\sin ^{m}x,$ en changeant simplement $x$ en $1-x,$ l’angle droit étant pris pour l’unité des angles.

Ainsi on aura de même

$(2\sin x)^{m}=$

$\cos m(1-x)+m\cos(m-2)(1-x)+{\frac {m(m-1)}{2}}\cos(m-4)(1-x)+\ldots .$

Nous venons de donner une théorie complète des sections angulaires, et nous avons en même temps montré, par différents exemples, combien l’algorithme des fonctions dérivées est utile pour la transformation des fonctions, en faisant disparaître des équations les puissances et les radicaux, qui rendent les développements difficiles et font perdre la loi et la dépendance mutuelle des termes.

On voit que tout se réduit à former d’abord des équations dérivées d’après l’équation ou les équations primitives données, et à déduire ensuite de ces équations dérivées d’autres équations primitives, qui seront les transformées des premières. Il est donc important de bien connaître la théorie de ces équations, et de se rendre familiers les différents artifices qui peuvent en faciliter le calcul.

Commençons par exposer les principes généraux de cette théorie.