Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 14

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 166-191).

LEÇON QUATORZIÈME.

Des valeurs singulières qui satisfont aux équations dérivées et qui ne sont pas comprises dans les équations primitives. Théorie des équations primitives singulières.

---

La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. Il y a néanmoins des équations dérivées auxquelles satisfont les valeurs que j’appelle singulières, parce qu’elles ne sont pas comprises dans leurs équations primitives. Ces sortes de valeurs se sont présentées aux géomètres presque dès la naissance du Calcul différentiel ; mais, comme la théorie des constantes arbitraires n’était guère connue alors, on n’a pas d’abord regardé ces valeurs comme formant une exception aux règles générales du Calcul différentiel. Euler est le premier qui les ait envisagées sous ce point de vue et qui ait donné des règles pour les distinguer des intégrales ordinaires.

Depuis, on a reconnu qu’elles dépendent de la théorie générale des équations différentielles ou dérivées, et qu’elles servent à la compléter c’est ce que nous allons développer avec toute l’étendue qu’exige l’importance de la matière.

Considérons une équation quelconque du premier ordre, représentée par

$f(x,y,y')=0,$

et supposons qu’elle soit dérivée de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Suivant la théorie générale, cette équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

donnera l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y,a)=0,$

qui se réduit à la forme

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,$

conformément à la notation que nous avons employée jusqu’ici ; et ces deux équations, étant combinées ensemble de manière que la constante $a$ disparaisse, produiront la suivante

$f(x,y,y')=0.$

Maintenant il est clair que le résultat de l’élimination de $a$ sera le même, quelle que soit la quantité $a,$ soit constante ou variable, pourvu que les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,\quad \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0$

soient les mêmes. Donc aussi la même équation

$f(x,y,y')=0$

pourra résulter de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

en supposant $a$ variable et fonction de $x,$ pourvu que l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y,a)=0$

soit également

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0.$

Mais, en regardant $a$ comme une fonction de $x,$ on a

$\operatorname {F} '(x,y,a)=\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+a'\operatorname {F} '(a)\,;$

ainsi la condition dont il s’agit aura lieu si le terme $a'\operatorname {F} '(a)$ disparaît ; d’où il suit que la valeur de $y,$ tirée de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

satisfera également à l’équation du premier ordre

$f(x,y,y')=0,$

en prenant pour $a$ une fonction de $x$ déterminée par l’équation

$a'\operatorname {F} '(a)=0.$

Cette équation donne ou

$a'=0,\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {F} '(a)=0.$

L’équation $a'=0$ donne $a$ égal à une constante quelconque ; c’est le cas de l’équation primitive ordinaire, dans lequel $a$ est la constante arbitraire.

Mais l’autre équation

$\operatorname {F} '(a)=0,$

dans laquelle $\operatorname {F} '(a)$ est une fonction de $x,y$ et $a,$ donnera, par la résolution, la valeur de $a$ en $x$ et $y\,;$ et, cette valeur étant substituée dans l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

on aura une nouvelle équation en $x$ et $y,$ sans constante arbitraire, qui conduira également à la même équation dérivée, et qui sera nécessairement différente de l’équation primitive ordinaire, puisque dans celle-ci la quantité $a$ est une constante arbitraire, et que dans l’autre elle devient une fonction de $x$ et $y.$

Donc, en général, si l’on élimine $a$ des deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,\quad \operatorname {F} '(a)=0,$

on aura l’équation qui renfermera les valeurs singulières de $y,$ qui peuvent satisfaire à l’équation dérivée

$f(x,y,y')=0,$

dont

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

est l’équation primitive ordinaire.

Nous appellerons cette équation équation primitive singulière, pour la distinguer de l’équation primitive ordinaire, que nous appellerons aussi équation primitive complète.

Il faut seulement remarquer que, comme l’essence de cette équation consiste en ce que la valeur de $a$ est une fonction variable, si l’équation

$\operatorname {F} '(a)=0,$

par laquelle on doit déterminer $a,$ donnait pour $a$ une quantité constante, ou bien une telle fonction de $x$ et $y$ qui devînt égale à une constante en vertu de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

dans laquelle on doit substituer cette valeur de $a,$ ou qui, dans cette substitution, donnât le même résultat qu’on aurait par une valeur constante de $a,$ alors cette équation cesserait d’être une équation primitive singulière, et ne serait plus qu’un cas particulier de l’équation primitive ordinaire.

Nous avons trouvé (Leçon XII) que l’équation du premier ordre

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0$

a pour équation primitive

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0,$

où $a$ est la constante arbitraire. Faisant donc

$\operatorname {F} (x,y,a)=x^{2}-2ay-a^{2}-b,$

et prenant les fonctions dérivées de tous les termes relativement à $a$ seul, on aura

$\operatorname {F} '(a)=-2y-2a\,;$

donc l’équation

$\operatorname {F} '(a)=0\quad {\text{donnera}}\quad a=-y,$

valeur qui, étant substituée dans l’équation primitive, donne

$x^{2}+y^{2}-b=0,$

équation qui satisfait également à l’équation du premier ordre.

En effet, cette équation donne

$y^{2}=b-x^{2}\quad {\text{et}}\quad yy'=-x\,;$

ces valeurs substituées dans l’équation

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0$

la rendent identique.

Comme on sait, par la théorie des équations, que l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(a)=0,$

relative à $a,$ contient la condition qui rend égales deux des racines de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

ordonnée par rapport à $a,$ il s’ensuit que la valeur singulière de $y,$ dans cette équation, a la propriété de donner à l’équation en $a$ une racine double.

On voit, en effet, que l’équation

$a^{2}+2ay-x^{2}+b=0$

acquiert une racine double, en faisant

$y^{2}=b-x^{2}.$

Si l’équation primitive était

$\left(x^{2}+y^{2}-b\right)\left(y^{2}-2ay\right)+\left(x^{2}-b\right)a^{2}=0,$

$a$ étant la constante arbitraire, l’équation dérivée relative à $a$ serait

$-y\left(x^{2}+y^{2}-b\right)+\left(x^{2}-b\right)a=0,$

d’où l’on tire

$a={\frac {y\left(x^{2}+y^{2}-b\right)}{x^{2}-b}},$

valeur qui, étant substituée dans la proposée, donne

${\frac {y^{4}\left(x^{2}+y^{2}-b\right)}{x^{2}-b}}=0,$

et, par conséquent,

$x^{2}+y^{2}-b=0$

pour l’équation primitive singulière.

Mais, de ce que cette équation rend la valeur même de $a$ nulle, il suit qu’elle ne sera qu’un cas particulier de l’équation primitive ; en effet elle résulte de celle-ci, en y faisant $a=0.$

On peut appliquer aux équations des ordres supérieurs au premier la théorie que nous venons de donner sur les équations dérivées de cet ordre.

En effet, si

$\operatorname {F} \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

est l’équation primitive de l’équation de l’ordre $n$

$f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)=0,$

$a$ étant la constante arbitraire, celle-ci doit résulter de l’élimination de $a$ entre l’équation primitive et son équation dérivée ; et il est évident que le résultat de cette élimination sera le même, soit que la quantité $a$ soit constante ou variable, pourvu que les deux équations soient de la même forme.

Or l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

est la même dans l’un et dans l’autre cas son équation dérivée est, dans le cas de $a$ constante,

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0\,;$

et, dans le cas où $a$ serait une fonction quelconque de $x,$ elle sera

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)+a'\operatorname {F} '(a)=0\,;$

donc les deux équations deviendront identiques si l’on détermine $a$ de manière que le terme $a'\operatorname {F} '(a)$ disparaisse.

Faisant donc

$a'\operatorname {F} '(a)=0,$

on a ou

$a'=0,$

et par conséquent $a$ égal à une constante, ce qui est le cas ordinaire ; ou

$\operatorname {F} '(a)=0,$

ce qui donnera une valeur de $a$ en $x$ et $y,$ laquelle, étant substituée dans l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0,$

donnera une équation du même ordre, qui satisfera également à l’équation

$f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0\,;$

elle pourra donc être regardée aussi comme une équation primitive singulière sans constante arbitraire.

L’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0$

a pour équation primitive du premier ordre

$x^{2}-2ay'+a^{2}=0,$

comme on peut s’en assurer en éliminant $a$ au moyen de son équation dérivée

$x-ay''=0.$

Si l’on prend l’équation dérivée relativement à $a,$ on a

$-y'+a=0\,;$

d’où l’on tire

$a=y',$

valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne celle-ci

$x^{2}-y'^{2}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad y'=\pm x.$

Cette valeur de $y'$ satisfait aussi à l’équation proposée ; màis c’est une valeur singulière, puisqu’elle n’est pas contenue dans l’équation primitive.

Si l’on cherche l’équation primitive de l’équation du premier ordre

$x^{2}-2ay'+a^{2}=0,$

il est facile de trouver celle-ci

${\frac {x^{3}}{3}}-2ay+a^{2}x+b=0,$

où $b$ est la nouvelle constante arbitraire.

Si maintenant on élimine $a$ de ces deux équations, on aura la suivante

$4x^{2}(y-xy')^{2}-4\left(b-{\frac {2x^{3}}{3}}\right)(y-xy')y'+\left(b-{\frac {2x^{3}}{3}}\right)^{2}=0,$

qui sera par conséquent l’autre équation primitive du premier ordre de la proposée.

On peut donc aussi chercher une équation primitive singulière d’après cette équation-ci, en prenant son équation dérivée relativement à $b,$ et l’on trouvera

$-4(y-xy')y'+2\left(b-{\frac {2x^{3}}{3}}\right)=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {2x^{3}}{3}}+2(y-xy')y'.$

Substituant cette valeur dans l’équation précédente, elle devient

$4(y-xy')^{2}\left(x^{2}-y'^{2}\right)=0.$

Cette équation donne ces deux-ci

$y-xy'=0\quad {\text{et}}\quad x^{2}-y'^{2}=0.$

La première ne satisfait pas à la proposée, car elle donne c’est la même que nous avons trouvée ci-dessus.

$y'={\frac {y}{x}},$

et, de là,

$y''={\frac {y'}{x}}-{\frac {y}{x^{2}}}={\frac {y}{x^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}}}=0.$

La seconde donne

$y'=\pm x\,;$

c’est la même que nous avons trouvée ci-dessus.

Ainsi les deux équations primitives du premier ordre ne donnent que la même équation singulière.

Il serait cependant naturel de penser que des équations primitives différentes devraient donner aussi différentes valeurs singulières ; mais nous allons démontrer, a priori, que l’on a toujours la même équation primitive singulière, de quelque équation primitive qu’on la déduise ; ce qu’on ne savait pas jusqu’ici.

Considérons une équation du second ordre ; représentée en général par

$f(x,y,y',y'')=0,$

et dont l’équation primitive entre $x$ et $y$ soit

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

$a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires.

Par la théorie générale, on aura ses deux équations primitives du premier ordre, en éliminant $a$ ou $b,$ par le moyen de cette même équation et de sa première équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

$a$ et $b$ étant ici regardées comme constantes.

Comme la fonction dérivée $\operatorname {F} '(x,y)$ renferme, outre les constantes $a$ et $b,$ la fonction $y',$ désignons-la par $\varphi (x,y,y',a,b).$

Ainsi on aura les deux constantes primitives du premier ordre, en substituant alternativement, dans la même équation

$\varphi (x,y,y',a,b)=0,$

la valeur de $b$ en $x,y,a,$ et la valeur de $a$ en $x,y$ et $b,$ tirées de la même équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0.$

Ensuite on aura les équations primitives singulières, en éliminant $a$ de la première par le moyen de son équation dérivée, prise relativement à $a,$ et en éliminant $b$ de la seconde par le moyen de son équation dérivée, prise relativement à $b.$

Considérons d’abord, dans l’équation

$\varphi (x,y,y',a,b)=0,$

la quantité $b$ comme une fonction de $x,y,a,$ déterminée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\,;$

son équation dérivée, prise relativement à $a,$ sera

$\varphi '(a)+b'\varphi '(b)=0,$

en supposant que $b'$ soit la fonction dérivée de $b,$ prise relativement à $a\,;$ or, comme $b$ est une fonction de $a,$ déterminée par l’équation,

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

on aura la valeur de $b',$ en prenant la dérivée de cette équation par rapport à $a,$ opération qui donne

$\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0.$

Si maintenant on élimine $b'$ de ces deux équations, on a

$\varphi '(a)\operatorname {F} '(b)-\varphi '(b)\operatorname {F} '(a)=0.$

Cette équation, étant combinée avec les deux

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y,y',a,b)=0,$

donnera, par l’élimination de $a$ et $b,$ l’équation singulière résultant de l’équation dérivée relative à $a.$

En regardant de même $a$ comme fonction de $b$ dans l’équation

$\varphi (x,y,y',a,b)=0,$

on aura également l’équation dérivée relative à $b$

$a'\varphi '(a)+\varphi '(b)=0,$

et la valeur de $a'$ dépendra alors de l’équation dérivée relativement à $b,$

$a'\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b)=0\,;$

de sorte que, par l’élimination de $a',$ on aura pareillement

$\varphi '(a)\operatorname {F} '(b)-\varphi '(b)\operatorname {F} '(a)=0.$

Ainsi l’équation primitive singulière, déduite de l’équation dérivée relative à $b,$ sera encore le résultat de l’élimination de $a$ et $b,$ par le moyen de l’équation précédente et des équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \varphi (x,y,y',a,b)=0.$

Donc ce résultat sera le même dans les deux cas, puisque les équations sont les mêmes.

Il suit de là qu’on peut trouver directement l’équation primitive singulière d’une équation du second ordre, au moyen de son équation primitive complète, sans connaître en particulier les deux équations primitives du premier ordre ; car, soit

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

cette équation, où $a$ et $b$ sont les deux constantes arbitraires ; il n’y aura qu’à éliminer $a,b$ et $b',$ au moyen des quatre équations

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {F} (x,y,a,b)=&0,&\varphi (x,y,y',a,b)=&0,\\\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=&0,\qquad &\varphi '(a)+b'\varphi '(b)=&0,\end{alignedat}}$

en supposant

$\varphi (x,y,y',a,b)=\operatorname {F} '(x,y).$

On peut appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

est supposée l’équation primitive entre $x$ et $y,$ et les trois constantes arbitraires $a,b,c$ d’une équation dérivée du troisième ordre, les trois équations primitives du second ordre donneront une même équation primitive singulière de ce même ordre, qui ne sera que le résultat de l’élimination de $a,b,c$ et de $b',c',$ au moyen de ces six équations

${\begin{aligned}\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=&0,\\\varphi (x,y,y',a,b,c)=&0,\\\psi (x,y,y',y'',a,b,c)=&0,\\\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c)=&0,\\\varphi '(a)+b'\ \varphi '(b)+c'\varphi '(c)=&0,\\\psi '(a)+b'\ \psi '(b)+c'\psi '(c)=&0,\\\end{aligned}}$

en supposant

${\begin{aligned}\varphi (x,y,y',a,b,c)=&\operatorname {F} '\,(x,y),\\\psi (x,y,y',y'',a,b,c)=&\operatorname {F} ''(x,y)\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Ainsi l’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0$

ayant, comme on l’a vu ci-dessus, pour équation primitive entre $x$ et $y,$ l’équation

${\frac {x^{3}}{3}}-2ay+a^{2}x+b=0,$

où $a$ et $b$ sont les constantes arbitraires, on aura tout de suite l’équation primitive singulière du premier ordre, en combinant cette équation avec son équation dérivée ordinaire, et avec les deux dérivées de celles-ci, prises par rapport à $a,$ et en regardant $b$ comme fonction de $x,y,y'$ et $a,$ de manière que les quantités $a,b$ et $b'$ disparaissent.

Pour donner plus de généralité à cet exemple, en conservant la constante $b$ dans l’équation dérivée, je donnerai d’abord à l’équation primitive la forme

$x^{2}+3a^{2}+{\frac {3b-6ay}{x}}=0,$

et j’aurai pour sa dérivée

$2x-{\frac {6ay'}{x}}-{\frac {3b-6ay}{x^{2}}}=0.$

Prenant maintenant les dérivées de l’une et de l’autre relativement à $a,$ il viendra

${\begin{aligned}6a-{\frac {6y}{x}}\ -{\frac {3b'}{x}}\ =&0,\\{\frac {6y}{x^{2}}}-{\frac {6y'}{x}}-{\frac {3b'}{x^{2}}}=&0,\end{aligned}}$

$b$ étant supposé fonction de $a$

En éliminant d’abord $b',$ on a

${\frac {6(a-y')}{x}}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad a=y'\,;$

les deux premières donnent ensuite, en éliminant $b,$

$3x+{\frac {3a^{2}-6ay'}{x}}=0\,;$

substituant la valeur de $a,$ il vient

$3x-{\frac {3y'^{2}}{x}}=0,\quad {\text{ou}}\quad y'^{2}-x^{2}=0,$

comme plus haut.

Soit encore l’équation du second ordre

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0,$

dont l’équation primitive en $x$ et $y$ est

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0.$

Si l’on élimine tour à tour $a$ et $b$ de cette équation, au moyen de son équation dérivée

$y'-ax-b=0,$

on a ces deux-ci

$y+\left({\frac {a}{2}}-a^{2}\right)x^{2}-(1-2a)xy'-a^{2}-y'^{2}=0,$

$y-{\frac {(b+y')x}{2}}-{\frac {(b-y')^{2}}{x^{2}}}-b^{2}=0.$

En prenant l’équation dérivée de la première relativement à $a,$ on trouve

$\left({\frac {1}{2}}-2a\right)x^{2}+2xy'-2a=0\,;$

d’où résulte

$a={\frac {x^{2}+4xy'}{4\left(1+x^{2}\right)}},$

valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne

$y-xy'-y'^{2}+{\frac {\left(4xy'+x^{2}\right)^{2}}{16\left(1+x^{2}\right)}}=0.$

De même l’équation dérivée de la seconde, relativement à $b,$ sera

${\frac {x}{2}}+{\frac {2(b-y')}{x^{2}}}+2b=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {4y'-x^{3}}{4\left(1+x^{2}\right)}}\,;$

et la substitution de cette valeur donnera

$y-{\frac {xy'}{2}}-{\frac {y'^{2}}{x^{2}}}+{\frac {\left(4y'-x^{3}\right)^{2}}{16x^{2}\left(1+x^{2}\right)}}=0\,;$

ces deux équations reviennent au même, car elles se réduisent l’une et l’autre à celle-ci

$\left(1+x^{2}\right)y-\left(x+{\frac {x^{2}}{2}}\right)y'-y'^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=0,$

qui est, par conséquent, l’équation primitive singulière de la proposée du second ordre.

On aura le même résultat en éliminant immédiatement $a,b$ et $b',$ au moyen de l’équation primitive

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0,$

de sa première dérivée

$y'-ax-b=0$

et de leurs deux dérivées par rapport à $a,$

${\frac {x^{2}}{2}}+2a+(x+2b)b'=0,\quad x+b'=0.$

Ces deux-ei donnent, en éliminant $b',$

${\frac {x^{2}}{2}}+2a-(x+2b)x=0.$

En combinant celle-ci avec la seconde, on trouve

$a={\frac {x^{2}+4xy'}{4\left(1+x^{2}\right)}},\quad b={\frac {4y'-x^{3}}{4\left(1+x^{2}\right)}}\,;$

et, ces valeurs étant substituées dans la première, il vient

$y\left(1+x^{2}\right)+{\frac {x^{4}}{16}}-\left({\frac {x^{3}}{2}}+x\right)y'-y'^{2}=0,$

comme ci-dessus.

Si de l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

on tire la valeur de $a$ en fonction de

$x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},$

et qu’on la désigne par

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right),$

il est clair qu’en substituant cette fonction à la place de $a,$ dans la

même équation, elle deviendra nécessairement identique par conséquent ses équations dérivées, relatives à

$x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}$

en particulier, auront lieu aussi.

On aura donc

${\begin{aligned}&\operatorname {F} '(x\,)+\operatorname {F} '(a)\Phi '(x\,)=0,\\&\operatorname {F} '(y\ )+\operatorname {F} '(a)\Phi '(y\,)=0,\\&\operatorname {F} '(y')+\operatorname {F} '(a)\Phi '(y')=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où j’ai conservé, sous le signe $\operatorname {F} ',$ la lettre $a$ à la place de sa valeur

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right).$

De là on déduira

${\begin{aligned}&\Phi '(x\,)=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(a)}},\\&\Phi '(y\,)=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(a)}},\\&\Phi '(y')=-{\frac {\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(a)}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

Donc, puisque la quantité $\operatorname {F} '(a)$ devient nulle dans le cas de l’équation primitive singulière, il s’ensuit que, dans ce même cas, les valeurs de

$\Phi '(x),\ \ \Phi '(y),\ \ \Phi '(y'),\ \ \ldots ,\ \ \Phi '\left(y^{(n-1)}\right)$

deviendront chacune infinie.

Ce caractère fournit aussi un moyen général de trouver l’équation primitive singulière ; et ce moyen est surtout utile, lorsque l’équation primitive est sous la forme

$\Phi \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a,$

laquelle paraît échapper à la règle générale établie ci-dessus, car on aurait ici

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)-a$

et, de là,

$\operatorname {F} '(a)=-1,$

d’où l’on ne pourrait rien conclure relativement à l’équation primitive singulière.

Il faut néanmoins observer que, quoiqu’il soit vrai que l’équation primitive singulière rend les fonctions

$\Phi '(x),\ \ \Phi '(y),\ \ \Phi '(y'),\ \ \ldots$

infinies, on n’en doit pas conclure que toute équation qui rendra ces quantités infinies sera une équation primitive singulière ; il faudra, de plus, que cette équation ne rende pas la fonction

$\Phi (x,y,y',\ldots )$

égale à une constante, car on n’aurait alors qu’un cas particulier de l’équation primitive générale.

Par exemple, si

$\Phi (x,y)=(y-x)^{m},$

on aura

$\Phi '(x)=-m(y-x)^{m-1},\quad \Phi '(y)=m(y-x)^{m-1}\,;$

l’une et l’autre de ces quantités deviennent infinies, en faisant $y-x=0,$ pourvu que $m<1.$

Mais cette équation

$y-x=0$

rend la valeur de $\Phi (x,y)$ égale à zéro ou à l’infini, suivant que $m$ est positif ou négatif ; donc elle ne peut pas être une équation primitive singulière.

Prenons l’équation du premier exemple

$x^{2}-2ay+a^{2}-b=0\,;$

elle donne

$a=-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}},$

donc

$\Phi (x,y)=-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}},$

et, de là,

${\begin{aligned}\Phi '(x)=&{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}},\\\Phi '(y)=&-1+{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}},\end{aligned}}$

où l’on voit que ces deux fonctions deviennent infinies par l’équation primitive singulière

$x^{2}+y^{2}-b=0.$

Nous avons trouvé plus haut cette équation du premier ordre

$y\left(1+x^{2}\right)+{\frac {x^{4}}{16}}-\left({\frac {x^{3}}{2}}+x\right)y'-y'^{2}=0,$

pour l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre

$y'-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0\,;$

en dégageant la fonction $y',$ on a

$y'+{\frac {2x+x^{3}}{4}}-{\frac {{\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}{4}}=0\,;$

et, divisant par ${\frac {1}{8}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}},$ on obtient

${\frac {8y'+4x+2x^{3}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}=2{\sqrt {1+x^{2}}},$

équation dont les deux membres sont des fonctions dérivées exactes.

En prenant leurs fonctions primitives, et ajoutant la constante arbitraire $k,$ on aura l’équation primitive

${\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}=x{\sqrt {1+x^{2}}}+l\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right)+k,$

comme il est facile de s’en assurer en prenant les fonctions dérivées de ses deux membres.

Cette équation est, comme l’on voit, bien différente de l’équations primitive complète

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0\,;$

mais elle satisfait également à l’équation proposée du second ordre, parce qu’elle satisfait, en général, à l’équation du premier ordre, qui satisfait à celle du second ordre, comme primitive singulière.

Mais cette équation du premier ordre peut avoir elle-même une primitive singulière qu’il est bon de chercher.

Comme la constante $k$ est débarrassée des variables $x$ et $y,$ on a immédiatement

$k={\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}-x{\sqrt {1+x^{2}}}-l\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right),$

de sorte que, en désignant cette fonction par $\Phi (x,y),$ et prenant les fonctions dérivées relatives à $x$ ou $y,$ on aura sur-le-champ

$\Phi '(y)={\frac {8}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}\,;$

donc, supposant cette quantité infinie, on aura l’équation

$16y+4x^{2}+x^{4}=0$

pour l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre, qui est déjà elle-même une primitive singulière de la proposée du second ordre.

Elle satisfait, en effet, comme on peut s’en assurer, à l’équation du premier ordre ; mais elle ne satisfait plus à celle du second ordre.

On aurait pu aussi déduire immédiatement cette même équation singulière de l’équation primitive entre $x$ et $y$

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0,$

en déterminant $a$ et $b$ par ses deux équations dérivées relatives à $a$ et $b.$

On aura ainsi

${\frac {1}{2}}x^{2}+2a=0,\quad x+2b=0,$

d’où l’on tire

$a=-{\frac {x^{2}}{4}},\quad b=-{\frac {x}{2}}\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendrait

$y+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {x^{2}}{4}}=0.$

Il n’est pas difficile, en effet, de démontrer, par la théorie générale des équations primitives singulières, que ces sortes d’équations primitives singulières doubles résultent de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

en éliminant les deux constantes $a$ et $b$ par les deux équations particulières

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(b)=0.$

Et par là il est aisé de voir la raison pourquoi elles ne satisfont pas, en général, à l’équation du second ordre, dont

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

est l’équation primitive complète avec les deux constantes arbitraires $a$ et $b.$

Car soit

$f(x,y,y',y'')=0$

cette équation du second ordre ; elle résulte, comme nous l’avons vu, de l’élimination de $a$ et $b$ regardées comme constantes, au moyen des trois équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0.$

Mais, lorsqu’on regarde $a$ et $b$ comme des fonctions de $x$ et $y,$ l’équation dérivée de

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

n’est plus simplement

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

mais elle devient

$\operatorname {F} '(x,y)+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0,$

laquelle se réduit cependant à

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

en déterminant $a$ et $b$ par les deux conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

qui sont celles de l’équation primitive singulière double.

Comme la fonction dérivée $\operatorname {F} '(x,y),$ étant développée, renferme les variables $x,y,y'$ et les deux constantes $a$ et $b,$ désignons-la par $\varphi (x,y,y',a,b)\,;$ il est clair que la troisième équation

$\operatorname {F} ''(x,y)=0,$

où $a$ et $b$ sont regardées comme constantes, sera représentée par

$\varphi '(x,y,y')=0\,;$

mais, dans le cas où ces quantités sont variables, elle deviendra

$\varphi '(x,y,y')+a'\varphi '(a)+b'\varphi '(b)=0,$

qui ne se réduit plus à

$\varphi '(x,y,y')=0,$

parce que les deux fonctions $\varphi '(a)$ et $\varphi '(b)$ ne sont pas nulles.

Ainsi il est impossible que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

dans laquelle $a$ et $b$ sont des fonctions de $x$ et $y,$ déterminées par les conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

satisfasse généralement à l’équation du second ordre qui résulte de la même équation par l’élimination des quantités $a$ et $b,$ au moyen de ses deux dérivées, première et seconde, prises en regardant $a$ et $b$ comme constantes.

On peut étendre cette théorie aux équations primitives des équations des ordres supérieurs.

Ainsi, si l’on a l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,$

où $a,b,c,\ldots ,$ sont trois constantes arbitraires, et qu’on détermine ces trois quantités par les trois conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,\quad \operatorname {F} '(c)=0,$

on aura une équation primitive singulière triple, qui sera, par conséquent, la primitive singulière d’une équation du premier ordre, qui sera elle-même la primitive singulière d’une autre du second ordre, laquelle sera enfin la primitive singulière de l’équation du troisième ordre, dont la même équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

sera la primitive ordinaire complète avec les trois constantes arbitraires $a,b,c\,;$ mais cette équation primitive singulière triple ne satisfera ni à l’équation du troisième ordre, ni même à sa primitive singulière du second ordre.

Nous avons démontré plus haut que les fonctions $\Phi '(x),\Phi '(y),\Phi '(y'),$ $\ldots ,\Phi '\left(y^{(n-1)}\right)$ ont des valeurs infinies dans le cas de l’équation primitive singulière de la dérivée, dont

$\Phi \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a$

est la primitive ordinaire, avec la constante arbitraire $a.$

On peut conclure de là, tout de suite, que tout multiplicateur qui rendra une équation de l’ordre quelconque $n,$ telle que

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

une dérivée exacte d’une équation de l’ordre inférieur $n-1,$ deviendra nécessairement infini en vertu de l’équation primitive singulière de la même équation.

Car soit $\mathrm {M}$ ce multiplicateur on aura donc, par l’hypothèse,

$\mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right]=\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\,;$

et l’équation primitive sera

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a.$

Or,

$\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}\Phi '\left(y^{(n-1)}\right)+\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right).$

Donc

$\mathrm {M} =\Phi '\left(y^{(n-1)}\right)\,;$

par conséquent la quantité $\mathrm {M}$ deviendra infinie par la substitution de la valeur de $y^{(n-1)}$ donnée par l’équation primitive singulière.

Cette conclusion suit aussi directement de la forme même des multiplicateurs, que nous avons donnée dans la Leçon XIII. En effet, si l’équation est du premier ordre, comme

$y'+f(x,y)=0,$

elle n’aura qu’une équation primitive, telle que

$\operatorname {F} (x,y,a)=0\,;$

et tous les multiplicateurs de cette équation sont nécessairement renfermés dans la formule ${\frac {\Phi (a)\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(a)}},$ $\Phi (a)$ étant une fonction quelconque de $a,$ en supposant qu’on substitue pour $a$ sa valeur tirée de la même équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0\,;$

donc, puisque l’équation primitive singulière rend la fonction $\operatorname {F} '(a)$ nulle, tous les multiplicateurs deviendront aussi infinis.

Si l’équation dérivée est du second ordre, comme

$y''+f(x,y,y')=0,$

elle peut avoir deux équations primitives différentes, chacune du premier ordre, telles que

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {\overline {F}} (x,y,y',b)=0\,;$

et la formule générale des multiplicateurs sera

${\frac {\Phi '(a)\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(a)}}+{\frac {\Phi '(b)\operatorname {\overline {F'}} (y')}{\operatorname {\overline {F'}} (a)}},$

$\Phi (a,b)$ étant une fonction quelconque de $a$ et $b,$ c’est-à-dire de leurs valeurs déterminées par les équations précédentes.

Or l’équation primitive singulière rend nulle chacune des deux fonctions dérivées $\operatorname {F} '(a),\operatorname {\overline {F'}} (b)\,;$ donc tous les multiplicateurs deviendront infinis dans le cas de cette équation, et ainsi de suite.

Par exemple, l’équation

$y'-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}}=0,$

qui est la même que celle qu’on a considérée ci-dessus, $a,$ pour l’un de ses multiplicateurs, la quantité

${\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}}.$

En supposant ce multiplicateur infini, on a

$x^{2}+y^{2}-b=0$

pour son équation primitive singulière ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a déjà trouvé.

On a donc ainsi un nouveau moyen de trouver les équations primitives singulières par les multiplicateurs.

Mais, quoiqu’il soit prouvé que tout multiplicateur doit devenir infini par l’équation primitive singulière, on ne peut pas dire, réciproquement, que toute équation qui rendra un multiplicateur infini sera une équation singulière. En effet, la formule générale des multiplicateurs étant pour le premier ordre ${\frac {\Phi (a)\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(a)}},$ il est évident que sa valeur peut devenir infinie sans que l’on ait

$\operatorname {F} '(a)=0\,;$

car pour cela il suffit que l’une ou l’autre des fonctions $\Phi (a),\operatorname {F} '(y)$ reçoive une valeur infinie.

Au reste, on peut se convaincre aussi, par ce raisonnement fort simple, que l’équation primitive singulière doit rendre infini tout multiplicateur d’une équation d’un ordre quelconque $n,$ de la forme

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0.$

Car, $\mathrm {M}$ étant un multiplicateurde cette équation, on aura

$\mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right]=\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\,;$

et l’équation deviendra

$\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

dont la primitive sera

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Maintenant l’équation primitive singulière doit satisfaire à la proposée

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

et ne doit pas être comprise dans sa primitive complète

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a.$

Donc la valeur de $y^{(n-1)},$ tirée de la primitive singulière, étant substituée dans la fonction $\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right),$ ne doit pas la rendre égale à une constante ; par conséquent elle ne devra pas rendre nulle sa dérivée $\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right).$

Donc cette valeur doit rendre nulle la quantité

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right),$

et ne doit pas rendre nulle la quantité

$\mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right],$

ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’elle rendra la quantité $\mathrm {M}$ infinie.

C’est à peu près de cette manière que Laplace a démontré le premier cette proposition importante, que d’autres géomètres avaient entrevue, mais dont on n’avait pas encore donné une démonstration rigoureuse. Voir son Mémoire sur les Solutions particulières, parmi ceux de l’Académie des Sciences de 1772.