Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 15

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 192-219).

LEÇON QUINZIÈME.

Comment l’équation primitive singulière résulte de l’équation dérivée.

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Par les principes que nous venons d’établir, on peut trouver l’équation primitive singulière de toute équation dérivée dont on connaît déjà l’équation primitive de l’ordre immédiatement inférieur, ou dont on est en état de trouver cette équation à l’aide d’un multiplicateur.

Nous allons voir maintenant comment on peut déduire l’équation primitive singulière de l’équation dérivée seule.

Pour cela, il faut examiner ce que l’équation dérivée devient dans le cas de l’équation primitive singulière.

Reprenons le principe fondamental des équations primitives singulières.

Si

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

est l’équation primitive d’une équation du premier ordre, celle-ci sera le résultat de l’élimination de la constante $a,$ au moyen de son équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

relative à $x$ et $y\,;$ et l’équation primitive singulière sera le résultat de l’élimination de la même quantité $a,$ au moyen de l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(a)=0,$

relative à $a.$

Supposons que l’on tire de l’équation

$\operatorname {F} '(x,y)=0$

la valeur de $a$ en fonction de $x,y,y',$ que je représenterai par $\varphi (x,y,y'),$ et qu’on substitue cette fonction au lieu de $a,$ dans l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

on aura une équation en $x,y,y'$ qui sera la dérivée de la proposée.

Ainsi, en désignant simplement par $\varphi$ la fonction $\varphi (x,y,y'),$ on aura

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

pour l’équation dérivée.

Prenons maintenant la dérivée de celle-ci, et, comme $\varphi$ est une fonction des variables $x,y,y',$ on aura cette équation

$\operatorname {F} '(x,y)+\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

où l’expression $\operatorname {F} '(x,y)$ est la même chose que le premier membre de l’équation ci-dessus

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

si ce n’est qu’à la place de $a$ il y a sa valeur $\varphi ,$ tirée de cette même équation ; d’où il suit que l’expression dont il s’agit sera identiquement nulle, puisqu’elle est censée être le résultat de la substitution de la valeur de $a,$ qui la rend nulle.

La dérivée de l’équation du premier ordre

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

se réduira donc simplement à celle-ci

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

laquelle se décompose, comme l’on voit, en ces deux-ci,

$\varphi '=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(\varphi )=0.$

La première

$\varphi '=0,\quad {\text{savoir,}}\quad \varphi '(x,y,y')=0,$

est une équation du second ordre qui donne la valeur de $y''$ en $x,y$ et $y'.$

Cette équation a pour équation primitive $\varphi$ égal à une constante arbitraire ; ainsi

$\varphi =a\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

sont deux équations primitives du premier ordre de la même équation du second ordre

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0\,;$

donc, par la théorie exposée dans la Leçon XII, éliminant $y'$ de ces deux équations, on aura l’équation primitive de

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

dans laquelle $a$ sera la constante arbitraire ; mais, comme $y'$ n’est contenue que dans la fonction $\varphi ,$ le résultat de cette élimination sera le même que celui de l’élimination de $\varphi \,;$ par conséquent ce résultat sera

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

ce qui redonne la même équation primitive d’où l’on était parti.

Considérons maintenant l’autre équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0\,;$

celle-ci satisfait aussi, comme l’on voit, à la même équation du second ordre ; mais, comme elle ne contient que les fonctions $y$ et $y',$ elle peut être regardée comme une équation primitive du premier ordre de la même équation, mais sans constante arbitraire. Ainsi, en éliminant $y'$ par le moyen de celle-ci et de l’équation du premier ordre

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

on aura une nouvelle équation primitive de cette même équation, qui sera nécessairement différente de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0.$

Or, comme la quantité $y'$ n’est contenue que dans la fonction $\varphi ,$ le résultat de l’élimination de $y',$ des deux équations

$\operatorname {F} '(\varphi )=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

sera le même que celui de l’élimination de $\varphi ,$ comme nous l’avons

déjà observé plus haut ; et ce résultat sera évidemment le même que celui de l’élimination de la quantité $a$ des deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a)=0.$

Donc, par ce qu’on a démontré dans la Leçon précédente, ce résultat donnera l’équation primitive singulière de l’équation dérivée dont

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

est l’équation primitive ordinaire, $a$ étant la constante arbitraire.

D’où l’on doit conclure que l’équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0$

donnera, par l’élimination de $y',$ la même équation primitive singulière de la proposée du premier ordre

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

qu’on eût trouvée d’après son équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

suivant les principes et la méthode exposés dans la Leçon précédente.

On voit par là qu’il est toujours possible de mettre l’équation dérivée sous une forme telle que sa dérivée donne elle-même immédiatement l’équation primitive singulière, s’il y en a une ; et c’est une observation qui n’avait point encore été faite jusqu’ici.

Reprenons l’équation du premier exemple de la Leçon précédente

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0,$

en la regardant comme une équation primitive dont $a$ est la constante arbitraire ; pour avoir l’équation dérivée qui ait la propriété dont il s’agit, il faudra y substituer pour $a$ sa valeur ${\frac {x}{y'}}$ tirée de la dérivée

$x-ay'=0.$

Ainsi l’équation dérivée dont il s’agit sera

$x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}-b=0.$

En prenant la dérivée de celle-ci, on a

$x-{\frac {y}{y'}}-x+{\frac {xyy''}{y'^{2}}}-{\frac {x}{y'^{2}}}+{\frac {x^{2}y''}{y'^{3}}}=0,$

équation qui se réduit à

$\left({\frac {y}{y'}}+{\frac {x}{y'^{2}}}\right)\left({\frac {xy''}{y'}}-1\right)=0,$

comme nous l’avons déjà ohservé dans la Leçon XII.

En la mettant sous la forme

$\left({\frac {1}{y'}}-{\frac {xy''}{y'^{2}}}\right)\left(y+{\frac {x}{y'}}\right)=0,$

on voit qu’elle revient à

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

en supposant

$\operatorname {F} (x,y,a)=x^{2}-2ay-a^{2}-b$

et prenant pour $\varphi$ la valeur de $a,$ tirée de l’équation prime

$x-ay'=0.$

Le facteur du premier ordre donne l’équation

$y+{\frac {x}{y'}}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad y'=-{\frac {x}{y}},$

valeur qui, étant substituée dans l’équation du premier ordre, la réduit à

$x^{2}-b+2y^{2}-y^{2}=0,\quad {\text{ou}}\quad x^{2}+y^{2}-b=0,$

équation primitive singulière, comme nous l’avons déjà trouvée ; car l’équation dérivée, que nous considérons ici, est la même que l’équation

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0,$

que nous avons considérée dans le premier exemple de la Leçon précédente mais, sous cette forme, elle n’aurait pas son équation prime décomposable en deux facteurs.

Le facteur du second ordre ${\frac {1}{y'}}-{\frac {xy''}{y'^{2}}},$ étant fait égal à zéro, donnera

$y''={\frac {y'}{x}}.$

On aurait aussi facilement par ce facteur l’équation primitive ; car, étant la fonction dérivée exacte de ${\frac {x}{y'}},$ il donnera tout de suite l’équation primitive du premier ordre

${\frac {x}{y'}}=a\,;$

multipliant par $2y',$ et prenant de nouveau les fonctions primitives, il vient

$x^{2}=2ay+c,$

$a$ et $c$ étant des constantes arbitraires ; mais la proposée n’étant que du premier ordre ne peut avoir qu’une constante arbitraire ; il faut donc qu’il y ait une relation entre ces deux arbitraires ; pour la trouver il faut substituer dans la proposée les valeurs de $y$ et $y'$ tirées des équations primitives que nous venons de trouver. Ces valeurs sont ${\frac {x^{2}-c}{2a}}$ et ${\frac {x}{a}},$ et l’on aura

$x^{2}-b-x^{2}+c-a^{2}=0,\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad c=a^{2}+b\,;$

de sorte que l’équation primitive sera

$x^{2}=2ay+a^{2}+b,$

comme ci-dessus.

Il n’est pas même nécessaire de passer à une seconde équation primitive car ayant trouvé ${\frac {x}{y'}}=a,$ il n’y a qu’à substituer tout de suite la valeur de $y'={\frac {x}{a}}$ dans la proposée du premier ordre, et l’on aura aussi

$x^{2}-b-2ay-a^{2}=0.$

Considérons les équations du second ordre. Soit

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0$

l’équation primitive du premier ordre d’une équation dérivée du second.

En éliminant $a$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0,$

on aura l’équation du second ordre ; et, en l’éliminant au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(a)=0,$

on aura l’équation primitive singulière.

Soit $\varphi (x,y,y',y''),$ ou simplement $\varphi ,$ la valeur de $a$ en fonction de $x,y,y',y'',$ tirée de l’équation

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0\,;$

en substituant cette valeur dans l’équation primitive, on aura une équation dérivée de la forme

$\operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0\,;$

et, si l’on prend l’équation dérivée de celle-ci, il est visible que la partie $\operatorname {F} '(x,y,y'),$ relative à la variation de $x,y,y',$ sera identiquement nulle, puisque la quantité $\varphi ,$ qui y est regardée comme constante, est supposée déterminée par l’équation même

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0.$

Il ne restera donc que l’équation

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

qui se décompose en

$\varphi '=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(\varphi )=0.$

L’équation

$\varphi '=0$

sera du troisième ordre, et donnera la valeur de $y'''.$ Son équation primitive sera évidemment

$\varphi =a,$

en prenant $a$ pour une constante quelconque. Éliminant $y'',$ qui est

contenu dans $\varphi ,$ au moyen de l’équation dérivée

$\operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0,$

on aura le même résultat que par l’élimination de $w\,;$ c’est-à-dire,

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0,$

équation primitive.

L’autre équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0$

donnera aussi, par l’élimination de $y'',$ le même résultat que par l’élimination de $\varphi ,$ et, par conséquent, le même résultat que par l’élimination de $a,$ au moyen des équations

$\operatorname {F} '(a)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,y',a)=0,$

qui sont les mêmes en y changeant $a$ en $\varphi .$

Donc ce résultat sera l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre dont

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0$

est l’équation primitive du premier ordre.

L’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0,$

que nous avons considérée dans les Leçons précédentes, a pour dérivée

$2\left(y''-{\frac {y'}{x}}\right)y'''-{\frac {2y''^{2}}{x}}+{\frac {2y'y''}{x^{2}}}=0,$

qu’on peut mettre sous cette forme

$2\left(y''-{\frac {y'}{x}}\right)\left(y'''-{\frac {y''}{x}}\right)=0.$

Le facteur $y''-{\frac {y'}{x}},$ n’étant que du même ordre que la proposée, donnera, par l’élimination de $y'',$ une équation primitive singulière de celle-ci ; car, en faisant $y''-{\frac {y'}{x}}=0,$ on a

$y''={\frac {y'}{x}},$

valeur qui, étant substituée dans la proposée, donne

$-{\frac {y'^{2}}{x^{2}}}+1=0,\quad {\text{savoir,}}\quad x^{2}-y'^{2}=0,$

comme nous l’avons trouvé dans la Leçon précédente.

L’autre facteur donnera l’équation du troisième ordre

$y'''-{\frac {y''}{x}}=0,$

qui, étant divisée par $x,$ a pour primitive du second ordre

${\frac {y''}{x}}={\frac {1}{a}},$

$a$ étant une constante arbitraire ; celle-ci donne

$y''={\frac {x}{a}}\,;$

substituant cette valeur dans la proposée, on a

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {2y'}{a}}+1=0,\quad {\text{ou}}\quad x^{2}-2ay'+a^{2}=0,$

équation primitive, comme on l’a vu dans la Leçon citée.

Le même procédé s’applique aux équations d’un ordre quelconque ; et l’on en peut conclure, en général, que toute équation dérivée est susceptible d’une forme telle que sa dérivée ait deux facteurs, dont l’un réponde à l’équation primitive ordinaire, et dont l’autre donne immédiatement l’équation primitive singulière, s’il y en a une ; ce qui jette un nouveau jour sur la nature des équations primitives singulières car il est évident que les deux facteurs de l’équation dérivée, étant indépendants l’un de l’autre, doivent satisfaire chacun en particulier à cette équation, et par conséquent aussi à son équation primitive proposée.

En même temps on voit que le facteur qui donne l’équation primitive singulière, et qui est du même ordre que la proposée, ne pourra pas satisfaire aux équations des ordres supérieurs, puisqu’il ne satisfait pas à celle qui résulte de l’autre facteur, et qui contient seule les fonctions dérivées d’un ordre plus élevé que la proposée.

Je considère maintenant que, comme toute équation dérivée du premier ordre, telle que

$f(x,y,y')=0,$

ne peut être que le résultat de l’élimination de la constante arbitraire $a,$ au moyen de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

ainsi que nous l’avons vu dans la Leçon XII, et que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

est déjà le résultat de cette élimination par ce que nous avons démontré plus haut ; il suit, de la théorie connue de l’élimination, que, si les deux équations

$f(x,y,y')=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

ne sont pas identiques, elles ne peuvent différer que par un facteur qui affectera l’une des deux, et qui ne pourra être qu’une fonction de $x,y$ et $y'.$

Supposons donc que $\mathrm {M}$ soit un pareil facteur, en sorte qu’on ait l’équation identique

$f(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} (x,y,\varphi ).$

On aura donc, en prenant les fonctions dérivées,

$f'(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} '(x,y,\varphi )+\mathrm {M} '.\operatorname {F} (x,y,\varphi )\,;$

mais nous avons déjà vu que la dérivée de $\operatorname {F} (x,y,\varphi )$ se réduit à $\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )\,;$ donc, substituant $\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )$ pour $\operatorname {F} '(x,y,\varphi ),$ et mettant à la place de $\operatorname {F} (x,y,\varphi )$ sa valeur ${\frac {f'(x,y,y')}{\mathrm {M} }},$ on aura

$f'(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} '(\varphi ).\varphi '+\mathrm {\frac {M'}{M}} .f(x,y,y')\,;$

c’est la forme générale de la dérivée de la fonction $f(x,y,y')$ qui est le premier membre de l’équation proposée.

On voit par là qu’étant proposée l’équation du premier ordre

$f(x,y,y')=0,$

on pourra satisfaire à sa dérivée

$f'(x,y,y')=0,$

indépendamment de la valeur de $y'',$ par le moyen de l’équation du même ordre

$\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

combinée avec la proposée ; de sorte que ces deux équations pourront être regardées également comme des équations primitives du premier ordre de la même équation dérivée

$f'(x,y,y')=0$

du second ordre. Par conséquent il n’y aura qu’à éliminer $y'$ entre elles pour avoir une équation primitive de la proposée, laquelle ne sera qu’une primitive singulière, comme nous l’avons démontré ci-dessus.

Maintenant, si dans la fonction dérivée $f'(x,y,y')$ on sépare la partie affectée de $y'',$ elle devient $y''f'(y')+f'(x,y),$ suivant la notation que nous avons adoptée. Ainsi la dérivée de l’équation proposée

$f(x,y,y')=0$

sera

$y''f'(y')+f'(x,y)=0\,;$

et il est visible qu’on ne peut satisfaire à cette équation indépendamment de la valeur de $y'',$ qu’en égalant séparément à zéro les deux fonctions $f'(y')$ et $f'(x,y)\,;$ il est facile de voir, en effet, par la comparaison de l’expression précédente de $f'(x,y,y')$ avec la forme générale trouvée ci-dessus, que les deux équations

$\operatorname {F} '(\varphi )=0,\quad f(x,y,y')=0$

emportent ces deux-cis

$f'(y')=0,\quad f'(x,y)=0,$

et réciproquement.

On aura donc l’équation primitive singulière de la proposée

$f(x,y,y')=0,$

en faisant, dans sa dérivée

$y''f'(y')+f'(x,y)=0,$

les deux équations séparées

$f'(y')=0,\quad f'(x,y)=0,$

et éliminant la fonction $y'$ au moyen de la proposée.

Si les deux résultats donnent la même équation entre $x$ et $y,$ ce sera l’équation primitive singulière ; sinon ce sera une marque que la proposée n’admet pas d’équation primitive de cette espèce.

Lorsque les deux fonction $f'(y')$ et $f'(x,y)$ ont un facteur commun, ce facteur égalé à zéro remplit les deux conditions, et donne l’équation primitive singulière par l’élimination de $y',$ au moyen de la proposée c’est le cas où celle-ci est de la forme

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

comme nous l’avons vu au commencement de cette Leçon. Il y a, au reste, une forme plus générale que celle-ci, où la dérivée est toujours décomposable en deux facteurs dont l’un donne l’équation primitive singulière ; nous en parlerons plus bas.

L’équation du premier ordre

$y'^{2}\left(x^{2}-b\right)-2xyy'-x^{2}=0,$

qui est la même que nous avons considérée au commencement de cette Leçon, mais multipliée par $y'^{2},$ a pour dérivée

$2\left[y'(x^{2}-b)-xy\right]y''-2(yy'+x)=0.$

On voit ici que les deux fonctions $y'(x^{2}-b)-xy$ et $yy'+x$ n’ont aucun facteur commun cependant, si on les fait chacune séparément égale à zéro, elles donnent ces deux valeurs de $y'$ savoir,

${\frac {xy}{x^{2}-b}}$ et $-{\frac {x}{y}},$ qui étant substituées dans la proposée, donnent ces deux-ci

${\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}-b}}+x^{2}=0,\quad {\frac {x^{2}\left(x^{2}-b\right)}{y^{2}}}+x^{2}=0,$

lesquelles se réduisent à la même, savoir,

$x^{2}\left(x^{2}+y^{2}-b\right)=0.$

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, comme nous l’avions déjà trouvé.

Je remarque maintenant que l’équation du premier ordre

$f(x,y,y')=0,$

ayant pour dérivée

$y''f'(y')+f'(x,y)=0,$

donne en général

$y''=-{\frac {f'(x,y)}{f'(y')}}$

Mais nous venons de voir que, dans le cas de l’équation primitive singulière, on a séparément

$f'(y')=0,\quad f'(x,y)=0\,;$

donc on aura, dans ce cas,

$y''={\frac {0}{0}}\,;$

ce qui donne cette règle générale et fort simple pour trouver l’équation primitive singulière de toute équation du premier ordre lorsqu’il y en a une.

Cherchez, en prenant les fonctions dérivées, la valeur de la fonction seconde $y'',$ et supposez-la égale à zéro divisé par zéro, vous aurez deux équations en $x,y$ et $y',$ qui, étant combinées avec la proposée, donneront, par l’élimination de $y',$ deux autres équations en $x$ et $y.$ Si elles ont un facteur commun, ce sera l’équation primitive singulière de la proposée.

On peut appliquer ce procédé à l’exemple que nous avons traité ci-dessus.

Soit encore l’équation du premier ordre

$(xy'-y)(xy'-2y)+x^{3}=0\,;$

sa dérivée sera

$x(2xy'-3y)y''-xy'^{2}+yy'+3x^{2}=0,$

d’où l’on tire

$y''={\frac {xy'^{2}-yy'-3x^{2}}{x(2xy'-3y)}}.$

Faisant cette expression $={\frac {0}{0}},$ on aura les deux équations

$xy'^{2}-yy'-3x^{2}=0,\quad 2xy'-3y=0,$

d’où il faudra éliminer $y'$ par le moyen de la proposée. La seconde donne

$y'={\frac {3y}{2x}}\,;$

cette valeur, substituée d’abord dans la première, donne celle-ci

${\frac {3y^{2}}{4x}}-3x^{2}=0,$

et, substituée dans la proposée, elle donne

$-{\frac {y^{2}}{4}}+x^{3}=0\,;$

ces deux équations se réduisent, comme l’on voit, l’une et l’autre à celle-ci

$y^{2}-4x^{3}=0,$

qui sera, par conséquent, l’équation primitive singulière de la proposée.

On peut s’en assurer, en effet, par l’équation primitive qui est

$y-ax-{\frac {x^{2}}{a}}=0,$

ou $a$ est la constante arbitraire. Sa dérivée relative à $a$ sera

$-x+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=0,$

laquelle donne

$a^{2}=x\quad {\text{et}}\quad a={\sqrt {x}}\,;$

et l’équation primitive devient, par la substitution de cette valeur,

$y-2x{\sqrt {x}}=0,\quad {\text{ou}}\quad y^{2}-4x^{3}=0\,;$

la même que nous venons de trouver.

Il est facile de voir, par l’expression générale de $y'',$ que non seulement cette expression devient ${\frac {0}{0}}$ en vertu de l’équation primitive singulière, mais que les expressions des fonctions suivantes $y''',y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ deviendront aussi ${\frac {0}{0}}$ en les réduisant d’abord en simples fonctions de $y',y'',\ldots$ tirées de l’équation proposée, et substituant ensuite la valeur de $y$ en $x,$ donnée par l’équation primitive singulière.

On peut regarder cette propriété de l’équation primitive singulière comme son vrai caractère distinctif ; et l’on peut se convaincre d’ailleurs que son existence dépend, en effet, de ce que les valeurs des fonctions $y'',y''',\ldots$ des ordres supérieurs à la proposée demeurent indéterminées.

Car, si ces valeurs ne devenaient pas indéterminées dans le cas de l’équation primitive singulière, on pourrait, dans ce cas même, employer la formule générale donnée dans la Leçon XII

$y=y^{0}+y{^{0}}{'}x+y{^{0}}{''}{\frac {x^{2}}{2}}+y{^{0}}{'''}{\frac {x^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

dans laquelle $y^{0},y{^{0}}{'},y{^{0}}{''},\ldots$ sont les valeurs qui répondent à $x=0\,;$ et la quantité $y^{0},$ qui est la constante arbitraire, recevrait alors une valeur particulière dépendante de cette équation ; de sorte que la valeur de $y$ en $x,$ au lieu d’être une valeur singulière, ne serait plus, contre l’hypothèse, qu’un cas particulier de la valeur générale.

Il arrive donc ici ce qui a lieu dans les formules générales, lorsqu’il y a des cas qu’elles ne peuvent pas représenter elles donnent alors zéro divisé par zéro ; c’est, pour ainsi dire, le moyen que l’analyse emploie pour échapper aux contradictions ; les racines imaginaires n’indiquent pas, à proprement parler, une contradiction, mais une impossibilité.

Cette théorie s’applique également aux équations des ordres supérieurs au premier, et fournit des conclusions semblables.

En représentant par

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0$

l’équation primitive du premier ordre d’une équation du second ordre, nous avons vu que celle-ci peut se réduire à

$\operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0,$

et que sa dérivée sera alors

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0.$

Or, quelle que puisse être la forme sous laquelle une équation proposée du second ordre pourra se présenter, comme, en dernière analyse, elle doit toujours être le résultat de la même élimination qui donne l’équation

$\operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0,$

il s’ensuit qu’elle ne pourra être que celle-ci multipliée par une fonction quelconque du même ordre ou d’un ordre inférieur.

Ainsi, si l’équation proposée est

$f(x,y,y',y'')=0,$

on aura nécessairement

$f(x,y,y',y'')=\mathrm {M} .\operatorname {F} (x,y,y',\varphi ),$

$\mathrm {M}$ étant une fonction de $x,y,y',y''.$

De là, en prenant les fonctions dérivées, et mettant $\operatorname {F} '(\varphi ).\varphi '$ pour $\operatorname {F} '(x,y,y',\varphi ),$ on aura, comme plus haut, l’équation

$f'(x,y,y',y'')=\mathrm {M} .\operatorname {F} '(\varphi ).\varphi '+\mathrm {\frac {M'}{M}} .f(x,y,y',y'').$

D’où il est aisé de conclure que l’on pourra satisfaire à la dérivée

$f'(x,y,y',y'')=0$

de la proposée, indépendamment de la valeur de la fonction tierce $y''',$ au moyen des deux équations du second ordre

$\operatorname {F} '(\varphi )=0,\quad {\text{et}}\quad f(x,y,y',y'')=0,$

dont la seconde est la proposée ; et qu’on aura l’équation primitive singulière de celle-ci, en éliminant $y''$ des mêmes équations. Or, la dérivée de la proposée étant de la forme

$y'''f'(y'')+f'(x,y,y')=0,$

on n’y peut satisfaire, indépendamment de la valeur de $y''',$ que par les deux équations séparées

$f'(y'')=0,\quad {\text{et}}\quad f'(x,y,y')=0.$

Il faudra donc éliminer $y''$ de chacune de ces deux équations, au moyen de la proposée

$f(x,y,y',y'')=0\,;$

et, si les deux résultats donnent une même équation, ce sera l’équation primitive singulière de la proposée.

On voit, en même temps, que puisqu’on a, en général,

$y'''=-{\frac {f'(x,y,y')}{f'(y'')}},$

les deux équations dont il s’agit rendent la valeur de $y'''$ égale à ${\frac {0}{0}}\,;$ de sorte que l’on peut regarder la condition de $y'''={\frac {0}{0}}$ comme celle qui détermine l’équation primitive singulière de la proposée du second ordre.

En appliquant les mêmes principes aux équations d’un ordre quelconque $n$^ième, on en conclura que, pour trouver son équation primitive singulière, si elle en a une, il faudra tirer de sa dérivée la valeur de la fonction $y^{(n+1)}$ de l’ordre suivant, et la faire $={\frac {0}{0}},$ en égalant séparément le numérateur et le dénominateur à zéro, et éliminer ensuite de ces deux équations la fonction $y^{(n)}$ au moyen de la proposée.

Si ces deux éliminations donnent un même résultat, ce sera l’équation cherchée.

Nous avons vu plus haut que l’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0$

a pour dérivée une équation résoluble en facteurs dont l’un, qui n’est que du second ordre, donne sur-le-champ l’équation primitive singulière par l’élimination de $y''.$ Mais, si la même équation était proposée sous la forme

$xy''^{2}-2y'y''+x=0,$

sa dérivée

$2(xy''-y')y'''-y''^{2}+1=0$

ne présenterait plus de facteur.

Or elle donne

$y'''={\frac {y''^{2}-1}{2(xy''-y')}}.$

Égalant à zéro séparément le numérateur et le dénominateur, on a ces deux équations

$y''^{2}-1=0\quad {\text{et}}\quad xy''-y'=0.$

La première donne $y''=\pm 1\,;$ ce qui, étant substitué dans la proposée, donne

$2(x\pm y')=0\quad {\text{ou}}\quad y'^{2}-x^{2}=0.$

La deuxième donne

$y''={\frac {y'}{x}},$

dont la substitution dans la proposée donne

$-{\frac {y'^{2}}{x}}+x=0,\quad {\text{savoir,}}\quad y'^{2}-x^{2}=0.$

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, comme nous l’avons déjà trouvé.

Considérons encore l’équation du second ordre

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0.$

Prenons les fonctions dérivées pour avoir la valeur de $y'''\,;$ on trouvera

$y'-y'+xy''-xy''+{\frac {x^{2}}{2}}y'''+2(y'-xy'')xy'''-2y''y'''=0,$

c’est-à-dire,

$\left[{\frac {x^{2}}{2}}+2(y'-xy'')x-2y''\right]y'''=0,$

d’où l’on voit que $y'''$ deviendra ${\frac {0}{0}}$ en égalant à zéro le facteur par lequel il est multiplié.

On aura ainsi cette seule condition

${\frac {x^{2}}{2}}+2(y'-xy'')x-2y''=0,$

d’où l’on tire

$y''={\frac {4xy'+x^{2}}{4\left(1+x^{2}\right)}}.$

Cette valeur, étant substituée dans la proposée, donnera l’équation singulière

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}.{\frac {4xy'+x^{2}}{4\left(1+x^{2}\right)}}-{\frac {\left(4y'-x^{3}\right)^{2}+\left(4xy'+x^{2}\right)^{2}}{16\left(1+x^{2}\right)^{2}}}=0,$

laquelle se réduit tout de suite à celle-ci

$y-{\frac {2x+x^{3}}{2\left(1+x^{2}\right)}}y'+{\frac {x^{4}-16y'^{2}}{16\left(1+x^{2}\right)}}=0.$

L’équation du troisième ordre

$\left[{\frac {x^{2}}{2}}+2(y'-xy'')x-2y''\right]y'''=0,$

que nous venons de trouver pour la dérivée de la proposée du second ordre, donne naturellement

$y'''=0,$

d’où l’on tire successivement, par les fonctions primitives,

$y''=a,\quad y'=ax+b$

et

$y={\frac {a}{2}}x^{2}+bx+c,$

$a,b,c$ étant des constantes arbitraires, relativement à l’équation

$y'''=0\,;$

mais, comme la proposée n’est que du second ordre, elle aura une constante arbitraire de moins ; et, en y substituant les valeurs précédentes de $y,y',y'',$ elle devient

$c-b^{2}-a^{2}=0\,;$

ce qui donne $c=a^{2}+b^{2},$ de manière que l’équation primitive en $x$ et $y$ devient

$y={\frac {a}{2}}x^{2}+bx+a^{2}+b^{2},$

comme on l’a vu plus haut.

Ainsi, dans ce cas, les deux facteurs de la dérivée de l’équation proposée donnent directement, l’un, l’équation primitive singulière du premier ordre ; l’autre, l’équation primitive en $x$ et $y,$ comme nous l’avons déjà vu ci-dessus dans un autre exemple.

Nous avons vu, au commencement de cette Leçon, que l’équation dérivée d’une équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

peut être représentée par

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

où $\varphi$ est mis pour $\varphi (x,y,y'),$ cette fonction étant la valeur de $a,$ tirée

de l’équation prime

$\operatorname {F} '(x,y)=0\,;$

et nous avons vu en même temps que l’équation primitive singulière rend la fonction $\operatorname {F} '(\varphi )$ nulle.

Supposons, ce qui est toujours possible, que l’équation dérivée proposée soit réduite à la forme

$y'+f(x,y)=0\,;$

donc, si, dans l’équation

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

on substitue à la place de $y'$ sa valeur $-f(x,y),$ elle deviendra nécessairement identique ; par conséquent ses deux équations dérivées, relatives l’une à $x$ et l’autre à $y,$ auront Ueu chacune en particulier.

On aura donc ainsi, puisque la quantité $y'$ n’est contenue que dans la fonction, ces deux équations, dans lesquelles $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y)et\operatorname {F} '(\varphi )$ dénotent, comme à l’ordinaire, les fonctions dérivées de $\operatorname {F} (x,y,\varphi ),$ prises relativement à $x,y$ et $\varphi ,$

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)-\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(x)=&0,\\\operatorname {F} '(y)\,-\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y)=&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$f'(x)={\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\quad f'(y)={\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}}.$

Or l’équation primitive singulière rend

$\operatorname {F} '(\varphi )=0\,;$

donc elle rendra infinies les deux fonctions $f'(x)$ et $f'(y).$

Ce qui fournit un caractère fort simple pour reconnaître si une valeur qui satisfait, sans constante arbitraire, à une équation dérivée donnée, est une valeur singulière ou simplement un cas particulier de la valeur générale.

Cette propriété peut servir aussi à trouver les valeurs singulières dont une équation dérivée est susceptible ; car, si l’équation qui rend $f'(x)$ et $f'(y)$ infinies satisfait en même temps à la proposée

$y'+f(x,y)=0,$

elle en sera l’équation primitive singulière.

L’équation

$y'-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}}=0,$

qu’on a déjà considérée plus haut, donne

$f(x,y)=-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f'(x)=&-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}}+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y\right)}},\\f'(y)=&-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y\right)}}.\end{aligned}}$

Ces deux quantités deviennent infinies par la supposition de

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y=0,$

ainsi que par celle de

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}=0\,;$

la première donne

$x^{2}-b=0,$

valeur qui ne peut satisfaire à la proposée qu’en faisant

$b=0\,;$

la seconde donne

$x^{2}+y^{2}-b=0,$

équation qui satisfait à la proposée, et qui en est, par conséquent, l’éduation primitive singulière, comme on l’a déjà vu plus haut.

Appliquons la même théorie aux équations du second ordre ; on a vu qu’elles peuvent être représentées par

$\operatorname {F} '(x,y,y',\varphi )=0,$

en supposant que

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0$

soit l’équation primitive du premier ordre, et que $\varphi$ ou $\varphi (x,y,y')$ soit la valeur de $a$ tirée de l’équation prime

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0.$

On a vu, en même temps, que l’équation primitive singulière est donnée alors par l’équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0.$

Supposons maintenant que l’équation proposée soit réduite à la forme

$y''+f(x,y,y')=0.$

Donc, si dans l’équation

$\operatorname {F} '(x,y,y',\varphi )=0$

on substitue pour $y''$ sa valeur $-f(x,y,y'),$ on aura une équation identique dont, par conséquent, la dérivée aura lieu par rapport à chacune des variables $x,y,y'$ en particulier.

Ainsi, comme la fonction $y''$ n’est contenue que dans la fonction $\varphi ,$ on aura ces trois équations :

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x\,)-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(x\,)=0,\\\operatorname {F} '(y\ )-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y\ )=0,\\\operatorname {F} '(y')-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y')=0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f'(x\,)=&{\frac {\operatorname {F} '(x\,)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\\f'(y\ )=&{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\\f'(y')=&{\frac {\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}}.\end{aligned}}$

L’équation primitive singulière étant donnée par l’équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

il s’ensuit qu’elle rendra infinies les trois fonctions dérivées $f'(x),f'(y),$$f'(y'),\ldots .$

En général, on pourra prouver de la même manière que, si l’on a une équation de l’ordre $n$^ième, réduite à la forme

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

son équation primitive singulière rendra infinies les fonctions dérivées $f'(x),$$f'(y),f'(y'),\ldots ,$ jusqu’à la suivante inclusivement, $f'\left(y^{(n-1)}\right).$

Pour confirmer, a posteriori, ce que nous venons de démontrer, considérons une équation du premier ordre, telle que

$y'+f(x,y)=0,$

à laquelle satisfasse une valeur singulière de $y,$ que nous désignerons par $\mathrm {X} ,$ fonction de $x.$

On aura donc, par l’hypothèse,

$\mathrm {X} '+f(x,\mathrm {X} )=0\,;$

et, pour que la valeur $\mathrm {X}$ ne soit pas comprise parmi les valeurs de $y,$ données par l’équation primitive, il faudra qu’en supposant, en général,

$y=\mathrm {X} +z,$

$z$ étant une nouvelle variable, la valeur de $z,$ tirée de l’équation primitive ordinaire, ne puisse jamais être nulle.

Substituons donc $\mathrm {X} +z$ au lieu de $y$ dans l’équation proposée ; on aura

$\mathrm {X} '+z'+f(x,\mathrm {X} +z)=0.$

Développons la fonction $f(x,\mathrm {X} +z)$ suivant les puissances de $z\,:$ on aura généralement, en rapportant les fonctions dérivées à la seule variable $\mathrm {X} ,$

$f(x,\mathrm {X} +z)=f(x,\mathrm {X} )+zf'(\mathrm {X} )+{\frac {z^{2}}{2}}f''(\mathrm {X} )+\ldots \,;$

donc, faisant cette substitution, on aura, à cause de

$\mathrm {X} '+f(x,\mathrm {X} )=0,$

l’équation

$z'+zf'(\mathrm {X} )+{\frac {z^{2}}{2}}f''(\mathrm {X} )+\ldots =0,$

qui sert à déterminer $z$ en $x.$

Or, si la quantité $z$ pouvait devenir nulle, elle pourrait aussi être très petite.

Supposons-la d’abord très petite, et cherchons-en la valeur par approximation.

Pour cela, on négligera d’abord, vis-à-vis du terme qui contient $z,$ les suivants qui contiennent $z^{2},z^{3},\ldots ,$ comme étant beaucoup plus petits, et l’on aura, pour la première approximation, l’équation

$z'+zf'(\mathrm {X} )=0,$

laquelle, étant divisée par $z,$ a pour équation primitive

$lz+{\overline {\mathrm {X} }}=k,$

en prenant ${\overline {\mathrm {X} }}$ pour la fonction primitive de $f'(\mathrm {X} ),$ prise par rapport à la variable $x,$ dont $\mathrm {X}$ est une fonction donnée, et $k$ pour une constante arbitraire de là on tire

$z=e^{k-{\overline {\mathrm {X} }}}=e^{k}.e^{-{\overline {\mathrm {X} }}}=ae^{-{\overline {\mathrm {X} }}},$

en faisant $a=e^{k}.$

Ayant ainsi la première valeur approchée de $z,$ on la substitueras dans les termes négligés, et l’on pourra trouver une seconde valeur plus approchée, et ainsi de suite.

De cette manière, la valeur de $z$ contiendra la constante arbitraire $a,$ et elle deviendra nulle en faisant $a=0\,;$ par conséquent, $\mathrm {X}$ ne sera pas une valeur singulière, contre l’hypothèse.

On doit conclure de là que, pour que $\mathrm {X}$ soit une valeur singulière non comprise dans la valeur générale, il faut que le développement de $f(x,\mathrm {X} +z)$ contienne d’autres puissances de $z$ que les puissances entières et positives.

Supposons donc que ce développement donne, en général,

$f(x,\mathrm {X} +z)=f(x,\mathrm {X} )+\mathrm {P} z^{m}+\mathrm {Q} z^{n}+\ldots ,$

$m,n,\ldots$ étant des nombres quelconques qui vont en augmentant, et $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,$ des fonctions de $x\,;$ on aura l’équation en $z$

$z'+\mathrm {P} z^{m}+\mathrm {Q} z^{n}+\ldots =0.$

On aura donc aussi, pour la première approximation,

$z'+\mathrm {P} z^{m}=0,$

équation qui, étant divisée par $z^{m},$ a pour équation primitive

${\frac {z^{1-m}}{1-m}}+\mathrm {V} =k,$

en prenant $\mathrm {V}$ pour la fonction primitive de $\mathrm {P} ,$ et $k$ pour la constante arbitraire.

Or, pour que $\mathrm {X}$ soit une valeur singulière de $y,$ il faut que la valeur $z=0,$ qui y répond, ne puisse pas être contenue dans cette équation, en donnant à $k$ une valeur quelconque constante.

Il faut donc que l’exposant $1-m$ de $z$ soit un nombre positif ; car, s’il était négatif, $z^{1-m}$ deviendrait infini lorsque $z=0,$ et répondrait à la supposition de $k$ infini.

S’il était nul, on aurait le cas que nous venons d’examiner, où $m=1,$ et où $z=0$ répond aussi à $k$ infini.

Au contraire, lorsque $1-m$ est positif, $z=0$ donne aussi

$z^{1-m}=0,$

et l’équation devient alors

$\mathrm {V} =k,$

laquelle ne peut pas subsister, parce que la valeur de $k$ ne serait plus constante.

Donc, pour que $\mathrm {X}$ puisse être une valeur singulière de $y,$ il faut que le développement de $f(x,\mathrm {X} +z)$ contienne une puissance $z^{m}$ dans laquelle $m<1.$

En considérant la fonction $f(x,y),$ son développement, lorsqu’on y met $y+z$ à la place de $y,$ est, en général, $f(x,y)+zf'(y)+\ldots \,;$ donc, suivant la théorie que nous avons exposée dans la Leçon huitième, pour que ce développementdonne, dans le cas de $y=\mathrm {X} ,$ une puissance de $z$ moindre que la première, il faudra que, dans ce cas, la valeur de $f'(y),$ c’est-à-dire de $f'(\mathrm {X} ),$ devienne infinie.

Or l’équation proposée donne

$y'=-f(x,y),$

et, prenant les fonctions dérivées,

$y'=-f'(x)-y'f'(y)=-f'(x)+f'(y)f(x,y)\,;$

donc

$f'(x)=f'(y)f(x,y)-y''.$

Par conséquent on aura, lorsque $y=\mathrm {X} ,$

$f'(y)=\infty \quad {\text{et}}\quad f'(x)=\infty ,$

comme nous l’avons trouvé par la nature même des équations dérivées.

Dans l’exemple ci-dessus, où

$f(x,y)=-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}},$

la valeur singulière de $y$ est ${\sqrt {b-x^{2}}}\,;$ ainsi

$\mathrm {X} ={\sqrt {b-x^{2}}}\,;$

et substituant ${\sqrt {b-x^{2}}}+z$ à la place de $y,$ la fonction dont il s’agit devient

${\frac {-x}{{\sqrt {2z{\sqrt {b-x^{2}}}+z^{2}}}-{\sqrt {b-x^{2}}}-z}},$

laquelle, étant développée suivant les puissances de $z,$ donne

${\frac {x}{\sqrt {b-x^{2}}}}+{\frac {\sqrt {2z}}{\left(b-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-\ldots ,$

où l’on voit que le second terme du développement contient la puissance ${\sqrt {z}},$ dont l’exposant ${\frac {1}{2}}$ est moindre que l’unité.

D’ailleurs, nous avons déjà vu que les valeurs de $f'(y)$ et $f'(x)$ deviennent infinies lorsque

$y^{2}+x^{2}-b=0.$

L’analyse par laquelle nous venons de prouver que le développement de $f(x,y+z)$ doit contenir une puissance de $z$ moindre que la première, lorsqu’on donne à $y$ une valeur singulière, est due à Euler, qui a donné ainsi le premier critère général pour reconnaître si une valeur, qui satisfait à une équation différentielle, est ou non une valeur singulière non comprise dans l’intégrale. (Voyez le premier Volume de son Calcul intégral, Problème 72.)

Il restait à déduire de là la règle que, dans ce cas, la valeur, de $f'(y)$ devient nécessairement infinie ; c’est ce que Laplace a fait depuis, dans le Mémoire déjà cité sur les solutions particulières des équations différentielles, imprimé dans le Recueil de l’Académie des Sciences, pour l’année 1772.