Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 16

Joseph-Louis Lagrange

Leçons sur le calcul des fonctions

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome X, p. 220-242).

LEÇON SEIZIÈME.

Équations dérivées qui ont des équations primitives singulières données. Analyse d’une classe d’équations de tous les ordres qui ont toujours nécessairement des équations primitives singulières.

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Si les équations primitives singulières ont moins d’étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu’elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu’une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d’équations dérivées ; et c’est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux, et qu’il peut être utile dans plusieurs occasions, nous allons en donner ici une solution, pour servir de complément à notre théorie des équations primitives singulières.

Représentons par

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

une équation primitive entre $x,y$ et deux constantes $a$ et $b,$ dont l’une soit une fonction quelconque de l’autre, ou qui dépendent, en général, l’une de l’autre par l’équation

$\Phi (a,b)=0.$

On aura l’équation dérivée qui en résulte, en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \Phi (a,b)=0.$

Donc, si l’on tire des deux premières les valeurs de $a$ et $b$ en fonctions de $x,y,y',$ et qu’on désigne ces valeurs par

$\varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad \psi (x,y,y'),$

on aura l’équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de $a$ et $b$ dans l’équation de condition

$\Phi (a,b)=0.$

Ainsi, en mettant simplement $\varphi$ et $\psi$ pour les fonctions dont il s’agit, l’équation dérivée sera

$\Phi (\varphi ,\psi )=0.$

Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura pour équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

les deux constantes $a$ et $b$ étant liées par l’équation

$\Phi (a,b)=0\,;$

et l’on aura en même temps les deux équations

$\varphi (x,y,y')=a,\quad \psi (x,y,y')=b.$

Donc toute valeur de $y$ en $x$ qui satisfera à la même équation

$\Phi (\varphi ,\psi )=0,$

et qui ne rendra pas les fonctions $\varphi$ et $\psi$ constantes, ne pourra pas être comprise dans l’équation primitive générale, et sera par conséquent une valeur singulière.

Soit

$y=\Sigma (x)$

cette valeur singulière, $\Sigma (x)$ étant une fonction donnée de $x\,;$ en substituant $\Sigma (x)$ et $\Sigma '(x)$ au lieu de $y$ et $y'$ dans les fonctions et, elles deviendront de simples fonctions de $x\,;$ et, éliminant $x$ entre elles, on aura une équation $\varphi$ et $\psi ,$ qu’on prendra pour l’équation

$\Phi (\varphi ,\psi )=0\,;$

ainsi l’équation

$y=\Sigma (x)$

satisfera à l’équation

$\Phi (\varphi ,\psi )=0\,;$

mais, ne rendant pas les fonctions $\varphi$ et $\psi$ constantes, elle ne sera pas comprise dans l’équation primitive générale, et ne sera, par conséquent, qu’une équation primitive singulière.

La solution se réduit donc à ceci : soit

$y=\Sigma (x)$

la valeur singulière donmée de $y,$ en fonction de $x.$ Ayant pris une équation quelconque

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

en $x,y$ et deux constantes $a$ et $b,$ de cette équation et de son équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0$

on tirera les valeurs de $a$ et $b$ en fonctions de $x,y,y'\,;$ on substituera dans ces valeurs $\Sigma (x)$ et $\Sigma '(x)$ à la place de $y$ et $y',$ on aura deux équations qui, par l’élimination de $x,$ en donneront une en $a$ et $b,$ que je représente par

$\Phi (a,b)=0.$

Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de $a$ et $b$ leurs premières valeurs en fonctions de $x,y,y',$ on aura l’équation dérivée dont

$y=\Sigma (x)$

sera l’équation primitive singulière, et dont

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

sera l’équation primitive ordinaire, les constantes $a$ et $b$ étant l’une fonction de l’autre déterminée par l’équation

$\Phi (a,b)=0.$

Prenons, par exemple, l’équation

$y^{2}-ax^{2}-b=0\,;$

son équation dérivée sera

$yy'-ax=0\,;$

et l’on tire de ces deux équations

$a={\frac {yy'}{x}},\quad b=y^{2}-xyy'.$

Supposons maintenant que l’on ait l’équation primitive singulière

$y-\mathrm {A} x-\mathrm {B} =0\,;$

elle donne

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,$

donc

$y^{2}=\mathrm {A} ^{2}x^{2}+2\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2},$

et

$yy'=\mathrm {A} ^{2}x+\mathrm {AB} \,;$

de sorte que, par ces substitutions, les valeurs de $a$ et $b$ deviendront

$a=\mathrm {A} ^{2}+{\frac {\mathrm {AB} }{x}},\quad b=\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2}\,;$

d’où l’on tire, en éliminant $x,$ cette équation en $a$ et $b,$

$\left(a-\mathrm {A} ^{2}\right)\left(b-\mathrm {B} ^{2}\right)-\mathrm {A^{2}B^{2}} =0\,;$

savoir,

$ab-\mathrm {B} ^{2}a-\mathrm {A} ^{2}b=0.$

Donc, substituant ici les premières valeurs de $a$ et $b$ en $x,y,y',$ on aura l’équation du premier ordre

${\frac {yy'}{x}}\left(y^{2}-xyy'\right)-\mathrm {B} ^{2}{\frac {yy'}{x}}-\mathrm {A} ^{2}\left(y^{2}-xyy'\right)=0,$

dont celle-ci

$y-\mathrm {A} x-\mathrm {B} =0$

sera l’équation primitive singulière.

Son équation primitive ordinaire sera

$y^{2}-ax^{2}-b=0,$

en supposant entre $a$ et $b$ l’équation ci-dessus

$ab-\mathrm {B} ^{2}a-\mathrm {A} ^{2}b=0\,;$

de sorte que, comme cette équation donne

$b={\frac {\mathrm {B} ^{2}a}{a-\mathrm {A} ^{2}}},$

l’équation primitive sera

$y^{2}-ax^{2}-{\frac {\mathrm {B} ^{2}a}{a-\mathrm {A} ^{2}}}=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

En effet, si l’on cherche l’équation primitive singulière d’après celle-ci, on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $a,$

$-x^{2}+{\frac {\mathrm {B^{2}A^{2}} }{\left(a-\mathrm {A} ^{2}\right)^{2}}}=0\,;$

d’où l’on tire

$a=\mathrm {A} ^{2}\pm {\frac {\mathrm {BA} }{x}}.$

Substituant cette valeur dans la même équation, on aura

$y^{2}-\mathrm {A} ^{2}x^{2}\mp 2\mathrm {AB} x-\mathrm {B} ^{2}=0,$

ce qui donne

$y=\pm \mathrm {A} x\pm \mathrm {B} ,$

où les signes ambigus sont à volonté.

En général, il est facile de voir qu’on aura le même résultat

$\Phi (a,b)=0,$

en substituant d’abord, dans l’équation supposée

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

la valeur donnée

$y=\Sigma (x),$

et éliminant ensuite $x$ par le moyen de son équation prime, relative à $x.$

Or si l’équation

$\Phi (a,b)=0$

donne

$b=\psi (a),$

et qu’on substitue cette valeur à la place de $b,$ il s’ensuivra que l’équation

$\operatorname {F} \left[x,\Sigma (x),a,\psi (a)\right]=0$

aura lieu en même temps que son équation prime relative à $x.$ Mais, $a$ étant alors une fonction de $x,$ l’équation prime relative à $x$ et $a$ doit avoir lieu ; donc la partie relative à $a$ aura lieu aussi en particulier ; ce qui est le caractère de l’équation primitive singulière.

Ainsi, ayant pris une équation primitive quelconque en $x,y,a$ et $b,$ il n’y aura qu’à éliminery au moyen de l’équation primitive singulière donnée, ensuite éliminer $x$ par celle-ci et par son équation prime relative à $x\,;$ on aura sur-le-champ une équation en $a$ et $b$ qui sera l’équation de condition

$\Phi (a,b)=0,$

par laquelle il faudra déterminer l’une des deux constantes $a$ ou $b$ par l’autre. Ensuite on pourra, d’après la même équation primitive, chercher, si l’on veut, l’équation dérivée par l’élimination de la constante arbitraire.

Dans l’exemple précédent, en substituant $\mathrm {A} x+\mathrm {B}$ pour $y$ dans l’équation

$y^{2}-ax^{2}-b=0,$

on a

$\left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)x^{2}+2\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2}-b=0,$

dont l’équation prime est

$\left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)x+\mathrm {AB} =0\,;$

celle-ci donne

$x=-{\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A} ^{2}-a}},$

et cette valeur, substituée dans la première, donne sur-le-champ l’équation de condition

$\left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)\left(\mathrm {B} ^{2}-b\right)-\mathrm {A^{2}B^{2}} =0,$

comme plus haut.

En prenant d’autres équations en $x,y,aetb,$ et opérant de la même manière, on trouvera autant d’équations du premier ordre qu’on voudra, dont la même équation

$y-\mathrm {A} x-\mathrm {B} =0$

sera l’équation primitive singulière.

On voit aussi que la même équation en $x,y,a$ et $b$ pourra donner telle équation primitive singulière qu’on voudra, suivant la relation qu’on établira entre les constantes $a$ et $b.$

Enfin on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver la relation entre deux constantes $a,b$ d’une équation donnée en $x,y,a$ et $b,$ pour que cette équation soit l’équation primitive ordinaire et complète, répondant à une équation primitive singulière donnée.

On peut appliquer la même méthode à la recherche des équations du second ordre ou des ordres supérieurs dont l’équation primitive singulière sera donnée.

Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée par

$y'+f(x,y)=0.$

On prendra une équation quelconque en $x,y,$ et trois constantes arbitraires $a,b,c.$

On tirera de cette équation et de ses équations prime et seconde les valeurs de $a,b,c$ en fonctions de $x,y,y'$ et $y''.$

On substituera dans ces fonctions les valeurs de $y'$ et $y''$ en $x$ et $y,$ tirées de l’équation primitive donnée, c’est-à-dire $-f(x,y)$ à la place de $y',$ et $-f'(x)+f'(y)f(x,y)$ à la place de $y''\,;$ on aura $a,b,c$ exprimées en fonctions de $x$ et $y,$ ce qui donnera trois équations, d’où, éliminant $x$ et $y,$ il résultera une équation en $a,b,c,$ que je représenterai par

$\Phi (a,b,c)=0.$

Cette équation, en y substituant les premières valeurs de $a,b,c$ en fonctions de $x,y,y',y'',$ sera l’équation du second ordre dont la proposée

$y'+f(x,y)=0$

sera l’équation primitive singulière, et l’équation en $x,y,a,b,c$ en sera l’équation primitive en $x$ et $y,$ en supposant entre les trois constantes $a,b,c$ la relation donnée par l’équation

$\Phi (a,b,c)=0.$

Si l’équation singulière donnée était du second ordre, on prendrait une équation en $x$ et $y,$ et quatre constantes $a,b,c,d,$ et ainsi de suite.

Supposons que l’équation primitive singulière soit

$y'=\mathrm {A} y,$

et prenons l’équation

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0,$

d’où l’on tire les deux dérivées, prime et seconde,

$y'-ax-b=0,\quad y''-a=0\,;$

ces trois équations donnent

$a=y'',\quad b=y'-xy'',\quad c=y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}-y''.$

Mais la proposée donne

$y'=\mathrm {A} y,\quad y''=\mathrm {A} y'=\mathrm {A} ^{2}y\,;$

donc, substituant ces valeurs, on aura

$a=\mathrm {A} ^{2}y,\quad b=\mathrm {A} y(1-\mathrm {A} x),\quad c=y\left(1-\mathrm {A} x+{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}x^{2}\right).$

Éliminant $x$ et $y,$ on trouve l’équation

$a^{2}+\mathrm {A} ^{2}\left(b^{2}-2ac\right)=0,$

dans laquelle, en substituant les premières valeurs de $a,b,c,$ il vient l’équation du second ordre

$y'^{2}-2\mathrm {A} ^{2}yy''+\mathrm {A} ^{2}y'^{2}=0,$

dont la proposée $y'=\mathrm {A} y$ sera l’équation primitive singulière, et

l’équation supposée

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0$

sera l’équation primitive en $x$ et $y,$ en supposant l’équation

$a^{2}+\mathrm {A} ^{2}\left(b^{2}-2ac\right)=0\,;$

de sorte que, comme cette équation donne

$c={\frac {a^{2}+\mathrm {A} ^{2}b^{2}}{2\mathrm {A} ^{2}a}},$

on aura

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-{\frac {a^{2}+\mathrm {A} ^{2}b^{2}}{2\mathrm {A} ^{2}a}}=0,$

$a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires.

Les équations de la forme

$\Phi (a,b,c,\ldots )=0,$

que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités $a,b,c,\ldots$ sont les valeurs en $x,y,y',\ldots$ des constantes $a,b,c,\ldots ,$ tirées d’une équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )=0$

et de ses dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,\quad \ldots ,$

constituent une classe remarquable d’équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d’une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l’équation.

Pour le démontrer, soit d’abord

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

une équation quelconque en $x,y$ et deux constantes $a$ et $b.$

En regardant ces constantes comme arbitraires, l’équation dont il s’agit sera la primitive d’une équation du second ordre en $x,y,y'$ et $y'',$ qui résultera de l’élimination de $a$ et $b$ au moyen des deux équations dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0\,;$

et cette équation pourra toujours, comme nous l’avons vu, se mettre sous la forme

$y''+f(x,y,y')=0.$

Maintenant, si l’on commence par tirer les valeurs de $a$ et $b$ des deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(x,y)=0,$

et que ces valeurs soient représentées par les fonctions

$\varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad \psi (x,y,y')\,;$

et il est clair que les deux équations

$a=\varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad b=\psi (x,y,y'),$

où $a$ et $b$ sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier ordre de l’équation précédente

$y''+f(x,y,y')=0\,;$

par conséquent, leurs dérivées

$\varphi '(x,y,y')=0\quad {\text{et}}\quad \psi '(x,y,y')=0$

devront coïncider avec cette même équation, en donnant la même valeur de $y''$ en $x,y$ et $y'.$

Or

$\varphi '(x,y,y')=\varphi '(x,y)+y''\varphi '(y'),$

et

$\psi '(x,y,y')=\psi '(x,y)+y''\psi '(y'),$

suivant la notation abrégée que nous avons adoptée ; donc on aura

$y''=-{\frac {\varphi '(x,y)}{\varphi '(y')}}=-{\frac {\psi '(x,y)}{\psi '(y')}}=-f(x,y,y'),$

expressions de $y'',$ qui seront nécessairement identiques.

On aura donc

${\begin{aligned}\varphi '(x,y)=&\varphi '(y')f(x,y,y'),\\\psi '(x,y)=&\psi '(y')f(x,y,y')\,;\end{aligned}}$

par conséquent, si l’on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées $\varphi '(x,y,y'),\ \psi '(x,y,y'),$ c’est-à-dire de $a'$ et $b',$ et, regardant maintenant $a$ et $b$ comme fonctions de $x,y,y',$ on aura

${\begin{aligned}a'=&\varphi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right],\\b'=&\psi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right].\end{aligned}}$

Cela posé, soit $\Phi (a,b)=0$ une équation du premier ordre ; sa dérivée sera

$a''\Phi '(a)+b'\Phi '(b)=0,$

et, par la substitution des valeurs de $a',b'$ qu’on vient de trouver, elle deviendra

$\left[\varphi '(y)\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)\right]\left[y''+f(x,y,y')\right]=0.$

Cette équation a, comme l’on voit, deux facteurs, l’un qui n’est que du premier ordre, comme l’équation proposée ; l’autre qui contient $y'',$ et qui donne proprement l’équation dérivée du second ordre.

Celui-ci donne l’équation

$y''+f(x,y,y')=0,$

de laquelle résultent

$a'=0,\quad b'=0,$

par les formules trouvées plus liaut, de sorte que les fonctions $a$ et $b$ seront constantes.

Prenant donc $a$ et $b$ pour des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre

$\varphi (x,y,y')=a,\quad \psi (x,y,y')=b,$

d’où, éliminant la fonction dérivée $y',$ on aura une équation en $x,y,a$ et $b,$ qui sera l’équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

d’où l’on avait déduit les fonctions $\varphi (x,y,y')$ et $\psi (x,y,y').$

Mais il faudra que les constantes $a$ et $b$ de cette équation satisfassent à la condition

$\Phi (a,b)=0$

donnée par l’équation proposée ; ce qui les réduira a une seule, qui sera par conséquent la constante arbitraire de l’équation primitive de la proposée.

Le facteur du premier ordre

$\varphi '(y')\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)$

donnera, de son côté, l’équation en $x,y$ et $y',$

$\varphi '(y')\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)=0,$

en supposant qu’on y mette pour $a$ et $b$ leurs valeurs $\varphi (x,y,x')$ et $\psi (x,y,y')\,;$ et cette équation, d’après la théorie exposée dans la Leçon précédente, donnera sur-le-champ l’équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant $y'$ par le moyen de ces deux équations.

Or il est facile de voir que, si l’on représente par

$\Psi (x,y,y')=0$

la fonction donnée $\Phi (a,b),$ dans laquelle

$a=\varphi (x,y,y')$

et

$b=\psi (x,y,y'),$

le facteur dont il s’agit se réduira simplement à $\Psi '(y),$ puisque les expressions $\varphi '(y')$ et $\psi '(y')$ ne sont que les fonctions dérivées de $a$ et $b,$ prises par rapport à $y'$ seule.

Ainsi on aura la primitive singulière de l’équation

$\Psi (x,y,y')=0,$

dans le cas où elle est réductible à la forme

$\Phi (a,b)=0,$

en éliminant $y'$ de cette équation au moyen de sa dérivée, prise relativement à $y'$ seule.

En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs, on prouvera que, si l’on a une équation du second ordre, représentée par

$\Psi (x,y,y',y'')=0,$

dont le premier membre puisse être une fonction quelconque $\Phi (a,b,c)$ de trois fonctions $a,b,c,$ déterminées par une équation quelconque

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

entre $x,y,a,b,c,$ et par ses deux équations dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,$

prises en regardant $a,b,c$ comme constantes, l’équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l’élimination de $y'',$ au moyen de son équation dérivée

$\psi '(y'')=0,$

relative à $y''.$

Et l’on aura l’équation primitive en $x$ et $y,$ par l’équation même

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,$

en prenant les constantes $a,b,c$ de manière qu’elles satisfassent à l’équation donnée

$\Phi (a,b,c)=0,$

de sorte qu’il en restera deux d’arbitraires.

Et de même pour les équations des ordres supérieurs.

Prenons l’équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0\,;$

sa dérivée sera

$x-ay'=0\,;$

de ces deux équations on tire

$a={\frac {x}{y'}},\quad b=x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}.$

Si maintenant on prend, pour l’équation $\Phi (a,b)=0,$ celle-ci, $b=$ à une constante, on aura l’équation du premier ordre

$x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}-b=0,$

où $b$ est une constante quelconque.

Ainsi on aura tout de suite sa primitive singulière, en éliminant $y'$ au moyen de l’équation dérivée prise relativement à $y',$ laquelle sera

${\frac {2xy}{y'^{2}}}+{\frac {2x^{2}}{y'^{3}}}=0,$

d’où l’on tire

$y'=-{\frac {x}{y}}\,;$

en substituant cette valeur de $y',$ on a

$x^{2}+y^{2}-b=0,$

comme on l’a déjà trouvé par d’autres voies.

Prenons encore l’équation

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0\,;$

on aura les deux dérivées

$y'-ax-b=0,\quad y''-a=0,$

d’où l’on tire

$a=y'',\quad b=y'-xy'',\quad c=y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''.$

Soit, par exemple,

$\Phi (a,b,c)s=c-b^{2}-a^{2}\,;$

on aura l’équation du second ordre

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0,$

dont la primitive singulière résultera de l’élimination de $y'',$ au moyen

de sa dérivée relative à $y'',$ savoir,

${\frac {x^{2}}{2}}+2x(y'-xy'')-2y''=0\,;$

ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé.

Lorsqu’on connaît l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,\ldots )=0,$

avec l’équation

$\Phi (a,b,\ldots )=0,$

qui donne la relation entre les quantités $a,b,c,\ldots ,$ on peut trouver directement l’équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions de $x,y,y',\ldots \,;$ car, ayant réduit les quantités $a,b,\ldots$ à une de moins par le moyen de l’équation de condition

$\Phi (a,b,\ldots )=0,$

il n’y aura qu’à appliquer à l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,\ldots )=0$

la méthode générale exposée dans la Leçon quinzième.

Mais la difficulté consiste à reconnaître a posteriori si des fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d’une même équation primitive, de manière qu’elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.

Pour la résoudre, j’observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions est que leurs dérivées ont entre elles des rapports exprimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s’agit. En effet, relativement aux fonctions du premier ordre, nous avons déjà vu plus haut que les fonctions $\varphi (x,y,y')$ et $\psi (x,y,y'),$ qui représentent les valeurs des constantes $a$ et $b$ tirées de l’équation générale

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

sont telles que leurs dérivées $\varphi '(x,y,y')$ et $\psi '(x,y,y'),$ que nous avons désignées par $a'$ et $b',$ ont la forme suivante :

${\begin{aligned}\varphi '(x,y,y')=&\varphi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right],\\\psi '(x,y,y')=&\psi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right]\,;\end{aligned}}$

de sorte que l’on a simplement

${\frac {\varphi '(x,y,y')}{\psi '(x,y,y')}}={\frac {\varphi '(y')}{\psi '(y')}},$

où l’on voit que les fonctions dont il s’agit ont la propriété que la fonction seconde $y''$ disparaît du rapport de leurs dérivées, et que ce rapport est le même que si l’on prenait ces dérivées relativement à la variable $y'$ seule.

Soit, par exemple, l’équation à la ligne droite

$y+ax+b=0\,;$

sa dérivée sera

$y'+a=0\,;$

ainsi on aura

$a=-y',\quad b=xy'-y.$

On aura donc, en dénotant simplement par $\varphi$ et $\psi$ ces expressions de $a$ et $b,$

$\varphi =-y',\quad \psi =xy'-y\,;$

prenant les fonctions dérivées, il viendra

$\varphi '=-y'',\quad \psi '=xy''\,;$

donc

${\frac {\varphi '}{\psi '}}=-{\frac {1}{x}}.$

Si l’on ne prenait $\varphi '$ et $\psi '$ que relativement à $y',$ on aurait

$\varphi '=-1,\quad \psi '=x\quad {\text{et}}\quad {\frac {\varphi '}{\psi '}}=-{\frac {1}{x}},$

comme précédemment.

Soit encore l’équation

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0,$

qui est à un cercle dont le rayon $=b,$ et dont le centre est dans l’axe des abscisses à la distance $a$ de leur origine.

La dérivée sera

$yy'+x-a=0,$

d’où l’on tire

$a=x+yy'=\varphi \,;$

de là on aura, par les substitutions,

$b=y{\sqrt {1+y'^{2}}}=\psi .$

Si maintenant on prend les dérivées de $\varphi$ et $\psi ,$ on aura

$\varphi '=1+y'^{2}+yy'',\quad \psi '=y'{\sqrt {1+y'^{2}}}+{\frac {yy'y''}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\,;$

et de là

${\frac {\varphi '}{\psi '}}={\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{y'}}={\frac {\psi }{\varphi -x}}.$

Si l’on ne prenait les dérivées $\varphi '$ et $\psi '$ que relativement à $y',$ on aurait

$\varphi '=y,\quad \psi '={\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},$

donc

${\frac {\varphi '}{\psi '}}={\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{y'}},$

comme ci-dessus.

On pourrait prouver, par une analyse semblable, que les fonctions de $x,y,y'$ et $y'',$ qui expriment les valeurs des quantités $a,b,c,$ tirées d’une équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

et de ses deux dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,$

dans lesquelles ces quantités sont traitées comme constantes, ont des dérivées dont les rapports sont indépendants de la fonction tierce $y''',$

et qui sont les mêmes que si l’on ne prenait ces dérivées que relativement à la fonction seconde $y'',$ parce qu’en désignant ces fonctions par

$\varphi (x,y,y',y''),\quad \psi (x,y,y',y''),\quad \xi (x,y,y',y''),$

les trois équations

$\varphi (x,y,y',y'')=a,\quad \psi (x,y,y',y'')=b,\quad \xi (x,y,y',y'')=c,$

où $a,b,c$ seraient des constantes arbitraires, seront les trois primitives d’une même équation du troisième ordre, telle que

$y'''+f(x,y,y',y'')=0,$

à laquelle les dérivées de ces équations devront par conséquent satisfaire et de même pour les fonctions du même genre des ordres supérieurs. Mais on peut s’en convaincre encore d’une manière plus directe que voici :

En dénotant simplement par $\varphi$ et $\psi$ les fonctions $\varphi (x,y,y'),\ \psi (x,y,y'),$ qui expriment les valeurs des constantes $a$ et $b$ tirées de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

il est clair que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi )=0$

sera identique ; que, par conséquent, sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)+\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )=0$

aura lieu d’elle-même ; mais on a déjà

$\operatorname {F} '(x,y)=0\,;$

donc on aura séparément l’équation

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )=0,$

laquelle donne

${\frac {\varphi '}{\psi '}}=-{\frac {\operatorname {F} '(\psi )}{\operatorname {F} '(\varphi )}}.$

Or, comme $\varphi$ et $\psi$ ne contiennent que $x,y$ et $y',$ il est visible que la valeur de ${\frac {\varphi '}{\psi '}}$ ne sera qu’une fonction du premier ordre.

Ainsi, dans le dernier exemple, où

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2},$

si l’on change $a$ en $\varphi ,$ et $b$ en $\psi ,$ on aura

$\operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi )=y^{2}+x^{2}-2x\varphi +\varphi ^{2}-\psi ^{2}\,;$

donc

$\operatorname {F} '(\varphi )=2(\varphi -x),\quad \operatorname {F} '(\psi )=-2\psi \,;$

par conséquent

${\frac {\varphi '}{\psi '}}={\frac {\psi }{\varphi -x}},$

comme nous l’avons trouvé par une autre voie.

De même, si $\varphi ,\psi ,\xi$ sont les fonctions de $x,y,y'$ et $y''$ qui expriment les valeurs des constantes $a,b,c,$ tirées de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

et de ses deux dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,$

en substituant ces fonctions à la place de $a,b,c,$ on aura des équations identiques, dont, par conséquent, les dérivées auront lieu aussi.

On aura donc, en premier lieu,

$\operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi ,\xi )=0,$

et, par conséquent aussi,

$\operatorname {F} '(x,y)+\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )+\xi '\operatorname {F} '(\xi )=0\,;$

mais on a déjà

$\operatorname {F} '(x,y)=0\,;$

donc on aura l’équation

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )+\xi '\operatorname {F} '(\xi )=0.$

Ensuite, comme l’équation

$\operatorname {F} (x,y)=0$

contient, outre les quantités $x,y,y',$ les trois fonctions $\varphi ,\psi ,\xi ,$ si on la dénote par $f(x,y,y',\varphi ,\psi ,\xi ),$ on aura l’équation identique

$f(x,y,y',\varphi ,\psi ,\xi )=0,$

et, par conséquent, la dérivée

$f'(x,y,y')+\varphi 'f'(\varphi )+\psi 'f'(\psi )+\xi 'f'(\xi )=0\,;$

mais on a déjà

$f'(x,y,y')=0,$

puisqu’il est visible que $f'(x,y,y')$ est la même chose que $\operatorname {F} ''(x,y)\,;$ donc on aura aussi l’équation

$\varphi 'f'(\varphi )+\psi 'f'(\psi )+\xi 'f'(\xi )=0.$

Si l’on combine cette équation avec la précédente, il est clair que, puisque les quantités $\varphi ',\psi ',\xi '$ n’y sont qu’à la première dimension, et en multiplient tous les termes, il est clair, dis-je, qu’on en tirera les valeurs de ${\frac {\varphi '}{\psi '}}$ et de ${\frac {\varphi '}{\xi '}}$ en fonctions des quantités $x,y,y',\varphi ,\psi$ et $\xi \,;$ de sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre, et ainsi de suite.

Si les fonctions $\varphi$ et $\psi$ exprimaient les valeurs des constantes $a$ et $b$ tirées de l’équation du premier ordre

$\operatorname {F} (x,y,y',a,b)=0$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0,$

ces fonctions seraient alors du second ordre ; et l’on trouverait, par le même raisonnement, que le rapport ${\frac {\varphi '}{\psi '}}$ de leurs dérivées serait exprimé également par $-{\frac {\operatorname {F} '(\psi )}{\operatorname {F} '(\varphi )}},$ de sorte que ce rapport serait une fonction du second ordre, et, par conséquent, du même ordre que les fonctions $\varphi$ et $\psi .$

En général, il résulte de l’analyse précédente que, si $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots$ sont des fonctions d’un ordre quelconque, qui expriment les valeurs des constantes $a,b,c,\ldots ,$ tirées d’une équation en $x,y,y',y'',\ldots ,$ $a,b,c,\ldots ,$ et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes.

Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de $x,y,y',$ $y'',\ldots$ sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes, c’est-à-dire, dans lesquels il n’entre que des fonctions dérivées de $y$ du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d’autant de constantes tirées d’une équation primitive et de ses dérivées successives ; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.

Car, si l’on désigne par $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots$ les fonctions dont il s’agit, et que $\mathrm {M,N} ,\ldots ,$ soient les valeurs des rapports des dérivées $\psi ',\xi ',\ldots$ à la dérivée $\varphi ',$ ces valeurs étant, par l’hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots ,$ on aura donc les équations

$\psi '=\mathrm {M} \varphi ',\quad \xi '=\mathrm {N} \varphi ',\quad \ldots .$

Supposons

$\varphi '=0,$

on aura donc aussi

$\psi '=0,\quad \xi '=0,\quad \ldots \,;$

donc

$\varphi =a,\quad \psi =b,\quad \xi =c,\quad \ldots ,$

$a,b,c,\ldots$ étant des constantes.

Ces différentes équations seront donc autant d’équations primitives de la même équation

$\varphi '=0,$

puisqu’elles ont lieu en même temps qu’elle ; par conséquent ; en éliminant de ces mêmes équations

$\varphi =a,\quad \psi =b,\quad \xi =c,\quad \ldots ,$

les plus hautes fonctions dérivées de la variable $y,$ on aura une équa-

tion primitive d’un ordre inférieur, qui contiendra les constantes $a,b,c,\ldots ,$ et qui sera l’équation primitive génératrice de la forme

$\operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots ,a,b,c,\ldots )=0,$

d’où résultent les fonctions $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots ,$ en les prenant pour les valeurs des constantes $a,b,c,\ldots ,$ tirées de cette équation et de ses dérivées successives

$\operatorname {F} '(x,y,y',y'',\ldots )=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y,y',y'',\ldots )=0,\quad \ldots .$

Ainsi, si l’on avait entre ces fonctions une équation quelconque

$\Phi (\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots )=0,$

et que l’on reconnût que leurs dérivées $\varphi ',\psi ',\xi ',\ldots$ ont entre elles des rapports du même ordre que ces fonctions, on aurait tout de suite les équations primitives

$\varphi =a,\quad \psi =b,\quad \xi =c,\quad \ldots ,$

et de là l’équation primitive principale

$\operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots ,a,b,c,\ldots )=0,$

dans laquelle les constantes $a,b,c,\ldots ,$ seraient arbitraires, hors une, qui devrait être déterminée par l’équation donnée, laquelle se réduit alors à

$\Phi (a,b,c,\ldots )=0.$

On aurait ensuite l’équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.

Par exemple, si l’on proposait l’équation du premier ordre

$\Phi \left(x+yy',y{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)=0,$

sans qu’on sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exprimer les constantes tirées d’une équation primitive et de sa dérivée, on examinerait d’abord leurs dérivées, qui sont

$1+y'^{2}+yy''\quad {\text{et}}\quad y'{\sqrt {1+y'^{2}}}+{\frac {yy'y''}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\,;$

comme celle-ci se réduit à ${\frac {y'+y'^{3}+yy'y''}{\sqrt {1+y'^{2}}}},$ on voit d’abord que son rapport à la première sera exprimé simplement par ${\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},$ sans que la fonction seconde $y''$ puisse y entrer. On est donc assuré par là que les deux fonctions $x+yy'$ et $y{\sqrt {1+y'^{2}}}$ peuvent provenir d’une équation primitive qu’on trouvera en faisant les deux équations

$x+yy'=a,\quad y{\sqrt {1+y'^{2}}}=b,$

et éliminant $y',$ ce qui donne celle-ci

$y^{2}+(a-x)^{2}=b^{2},$

laquelle coïncide avec celle d’où nous avions déduit les expressions de $a$ et $b$ dans le dernier exemple.

Maintenant l’équation proposée deviendra simplement

$\Phi (a,b)=0,$

par laquelle on déterminera $b$ en $a\,;$ de sorte que l’équation précédente ne contiendra plus que la constante arbitraire $a,$ et sera alors la primitive complète de la proposée.

On pourra tirer de là la primitive singulière, en éliminant $a$ au moyen de la dérivée prise par rapport à $a$ seul, suivant la méthode de la Leçon quinzième, ou bien il n’y aura qu’à éliminer $y'$ de la proposée, au moyen de sa dérivée prise par rapport à $y'$ seule, comme nous l’avons vu plus haut relativement aux équations de ce genre.